12.4 3.角平分线.（教学课件）-2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

第12章 全等三角形 12.4　逆命题和逆定理 3.角平分线 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 角平分线的定义是什么？ 如果一条射线平分已知角，那么该射线是已知角的平分线. 则射线OP是∠AOB的平分线. A O B P 1 如图，∠1=∠2= ∠AOB, 1 2 2 【探究1】角平分线的性质定理 【猜想】 探究与应用 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等. 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.将∠AOB沿OC对折，我们发现PD与PE完全重合. 【探究1】角平分线的性质定理 【验证】 探究与应用 已知: 如图, OC是∠AOB的平分线,点P是 OC上的任意一点，PD丄OA, PE丄OB, 垂足分别为点D和点E. 求证：PD=PE. D P A C B E O 你能写出完整的证明过程吗？ 分析：图中有Rt△PDO和Rt△PEO，只要证明 这两个三角形全等，便可证得PD=PE. 【探究1】角平分线的性质定理 探究与应用 证明:∵ OC平分∠AOB, P是OC上一点， ∴∠DOP=∠BOP. ∵PD⊥OA,PE⊥OB ， ∴∠ODP=∠OEP=90°. 在△OPD和△OPE 中， ∠DOP=∠EOP , ∠ODP=∠OEP , OP=OP, ∴ △OPD≌△OPE (AAS). ∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）. D P A C B E O 【探究1】角平分线的性质定理 【知识要点】 探究与应用 角平分线上的点到角两边的距离相等． D P A C B E O 关键词：(1)点一定要在角平分线上； (2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度. 作用：角平分线的性质可用来证明两条线段相等． 几何语言 ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E, ∴PD＝PE. 点在角平分线上 距离（线段）相等 【探究2】角平分线的判定定理 【探索】 探究与应用 写出该性质定理与它的逆命题的条件和结论，你有什么发现？ 条 件 结 论 性质定理 逆命题 一个点在角的平分线上 这个点到这个角两边的距离相等 一个点到角两边的距离相等 这个点在这个角的平分线上 这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？ 角平分线的性质定理的条件和结论反过来会有什么结果呢？ 【探究2】角平分线的判定定理 探究与应用 【验证】 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E，PD=PE. A B O P D E 求证：点P在∠AOB的平分线上. Rt△OPD≌Rt△OPE 直角边: 斜 边: PD=PE 作射线OP OP=OP 分析:要证明点P在∠AOB平分线上 ∠AOP=∠BOP 【探究2】角平分线的判定定理 探究与应用 证明：过点O、P作射线OP. ∵ PD⊥OA, PE⊥OB ， ∴ ∠PDO= ∠PEO = 90°. 在 Rt △PDO和 Rt △PEO中， ∵ OP = OP，PD = PE， ∴ Rt △PDO≌ Rt △PEO (HL), ∴ ∠DOP= ∠EOP(全等三角形的对应角相等). ∴点P在∠AOB的平分线上. B A D O P E 【探究2】角平分线的判定定理 探究与应用 【知识要点】 几何语言: ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在∠AOB的平分线上. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 作用：可以证明两个角相等或一条射线是角的平分线． A B O P D E 点到角两边的距离相等 点在角的平分线上 点拨：要证明三角形的三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了.其思路可表示如下： 【探究3】三角形的三条角平分线交于一点 探究与应用 【试一试】 作出△ABC三个内角的平分线，你有什么发现？ A C O I H 如何证明？ G 发现：三角形的三条角平分线交于一点． B 【探究3】三角形的三条角平分线交于一点 探究与应用 证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC， PF⊥AC, 垂足分别为D、E、F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上, ∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）. 同理 PE=PF. ∴ PD=PF. ∴ 点P在∠BAC的平分线上. A B C P E D F M N 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P也在∠BAC的平分线上. 【探究3】三角形的三条角平分线交于一点 【应用】 探究与应用 例1 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线 相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. G H M ∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC, ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD， FM⊥BC, ∴FM＝FH, ∴FG＝FH, ∴点F在∠DAE的平分线上.　　　 【探究3】三角形的三条角平分线交于一点 探究与应用 例2 如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BD＝CD，BE＝CF． 求证：AD平分∠BAC． 解：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°． 在Rt△BED和Rt△CFD中， BD＝CD，BE＝CF, ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴DE＝DF． ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC． 课堂小结 课堂小结与检测 角平分线的性质及判定 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 三角形的三条角平分线交于其内部一点 达标检测 课堂小结与检测 1.如图, DE⊥AB, DF⊥BC, 垂足分别是E、 F, DE =DF, ∠EDB= 60°, 则 ∠EBF= ，BE= ． 60° BF A B C D E F 达标检测 课堂小结与检测 2. 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B .下列结论中不一定成立的是(　　) A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP D 达标检测 课堂小结与检测 3.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.求证：CF=EB. 证明：∵AD平分∠CAB,DE⊥AB，∠C＝90°, ∴CD＝DE (角平分线的性质定理). 在Rt△CDF和Rt△EDB中, 　　 CD=ED, DF=DB , ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL). ∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）. C F A E D B 达标检测 课堂小结与检测 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．求∠B的度数． 解：∵DE⊥AB于点E，E为AB的中点， ∴DE是线段AB的垂直平分线， ∴DA=DB，∴∠2=∠B， ∵∠C=90°，∴∠B=∠1=∠2=30°. $