12.2 3.角边角.（教学课件）-2025--2026学年华东师大版八年级数学上册

第12章 全等三角形 12.2　三角形全等的判定 3. 角边角 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 1、两条边及其夹角分别相等的两个三角形一定全等．（SAS） 2、两条边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.（SSA） A B M C D A B C A B D 【探究1】角边角 探究与应用 如果两个三角形有两个角、一条边分别相等，那么这两个三角形全等吗？ 应该有几种不同的情况？ 两个角及这两个角的夹边 两个角及其中一个角的对边 【探究1】角边角 探究与应用 【做一做】 作法：　 （1）作线段AB，使AB=c； （2）作∠BAM=∠α,∠ABN=∠β, AM与BN交于点C； △ABC即为所要求作的三角形． 如图，已知∠α、∠β和线段c，试作△ABC，使∠A=∠α，AB=c，∠B=∠β. 别着急 (authorId_208376095) - 培养学生规范的动手作图能力,通过观察、比较、探索、归纳出结论的过程,体验到学习数学的乐趣,从而有意识地培养学生的探索精神,把自主探索的权力还给学生. 【探究1】角边角 探究与应用 【验证】 （1）你作的三角形与其他同学作的三角形一定全等吗？如何验证？ （2）换两个角和一条线段，试试看，是否有同样的结论？ B C A B ' C ' A ' B C A B ' C ' A ' B C A 全等 【探究1】角边角 探究与应用 【知识要点】 2. 几何语言：在△ABC和△A′B′C′中， ∴△ABC≌△A′B′C′. ∵∠A＝∠A′， AB＝A′B′， ∠B＝∠B′， A B C A′ B′ C′ 1.基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”. 必须是两角“夹”一边 【探究1】角边角 【应用】 探究与应用 求证：△ABC≌△DCB， 例1 如图，∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC. A D C B C B A D C B ∠ABC=∠DCB （已知） ∠ACB=∠DBC（已知） 分析：要证△ABC≌△DCB 角: 边: 角: （隐形条件） AB=DC. 【探究1】角边角 【应用】 探究与应用 A D C B 证明：在△ABC与△DCB中, ∴AB=DC（全等三角形的对应边相等）. ∴△ABC≌△DCB（ASA）， ∵∠ABC=∠DCB（已知）， BC＝CB （公共边）， ∠ACB=∠DBC（已知）， 求证：△ABC≌△DCB， 例1 如图，∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC. AB=DC. 【探究2】角角边 探究与应用 【思考】 如图,如果两个三角形有两个角分别相等， 且其中一组相等的角的对边相等，那么这两个 三角形是否一定全等？ 分析 因为三角形的内角和等于180°，因此有两个角分别相等，那么第三个角必定相等，于是由“角边角”，便可证得这两个三角形全等. 【探究2】角角边 探究与应用 证明： ∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）， ∴∠C=180°－∠A-∠B（等式的性质）. 同理，∠C′ =180°-∠A′ -∠B′ . ∵∠A=∠A′ (已知)，∠B=∠B′(已知)， ∴∠C=∠C′ 在△ABC与△A′B′C′中， ∠B=∠B′ （已知）， BC＝B′C′（已知）， ∠C=∠C′ （已证）， ∴△ABC≌△ A′B′C′. （ASA） （等量代换）． 已知：如图，∠A=∠A′ ，∠B=∠B′ , BC= B′C′ . 求证：△ABC≌△A′B′C′ . 【探究2】角角边 探究与应用 【知识要点】 几何语言： 在△ABC 和△A′B′C′中， ∵ ∴△ABC≌△A′B′C′. ∠A＝∠A′， ∠B＝∠B′， AC＝A′C′， A B C A ′ B ′ C ′ 定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”. 【探究2】角角边 【应用】 探究与应用 例2 如图，在△ABC中，D是边BC的中点,过点C 作直线CE, 使CE//AB, 交AD的延长线于点 E. 求证:AD=ED. A B C D E 证明：∵ CE//AB(已知）， ∴ ∠ ABD = ∠ECD，∠BAD= ∠CED (两直线平行，内错角相等). 在△ ABD与△ ECD中， ∵∠ ABD = ∠ECD(已证)， ∠BAD= ∠CED(已证)， BD=CD(已知）， ∴ △ABD≌△ECD (AAS)， ∴ AD= ED (全等三角形的对应边相等）. 【探究2】角角边 【概括】 探究与应用 要证明两条线段AD、ED相等，我们发现它们分别属于△ABD和△ECD，若能证明这两个三角形全等，便可利用全等三角形的对应边相等得到要证明的结论.这就是通常证明两条线段相等的一个重要方法. 可以采用类似的方法证明两个角相等. 【探究2】角角边 【应用】 探究与应用 例3 证明：全等三角形对应边的高相等. 已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD，A′D′ 分别是△ABC的边BC和△A′B′C′的边B′C′上的高.求证：AD＝ A′D′ . A B C D A ′ B ′ C ′ D ′ 文字命题证明 需要画图， 写出已知和求证 分析:从图中可以看出,AD、A'D'分别属于△ABD与△A'B'D', 要证AD = A'D',只需证明这两个三角形全等即可. 【探究2】角角边 探究与应用 【应用】 证明： ∵ △ABC≌△A′B′C′ (已知）， ∴ AB=A′B′（全等三角形的对应边相等）， ∵∠ B= ∠B′ （全等三角形的对应角相等）. 在△ABD和△A′B′D′中， ∵ ∴ △ABD≌△A′B′D′（AAS）， ∴AD = A′D′ (全等三角形的对应边相等). ∠ADB=∠A′D′B′ = 90 °（已知）， ∠B=∠B′ （已证）， AB=A′B′（已证）， 全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线又有什么关系呢？你能说明其中的道理吗？ 别着急 (authorId_208376095) - 课堂上引起学生思考，并由学生亲自动笔去证明全等三角形对应角的平分线和对应边上的中线相等. 【探究2】角角边 探究与应用 全等三角形的对应边上的中线、对应边上的高线、对应角的平分线分别相等． 课堂小结 课堂小结与检测 内容 基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“ASA.”) 定 理：两角及一角对边分别相等的两个三角形全等（简写成“AAS.”) 应用 为证明线段和角相等提供了新的证法 注意 注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别 三角形全等的判定方法2和3 达标检测 课堂小结与检测 1.如图，某同学将一块三角形玻璃打碎成了三块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是( ) (A)带(1)去 (B)带(2)去 (C)带(3)去 (D)带(1)(2)去 C 【解析】选C.题干中图(3)包含原三角形的两角一边，根据“ASA”可配一块与原三角形玻璃完全一样的玻璃. 达标检测 课堂小结与检测 2. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，AE＝AD，若根据“AAS”判定△ABE≌△ACD，则需添加的一个条件是________． ∠B=∠C 达标检测 课堂小结与检测 3.如图，∠1=∠2. （1）当BC=BD时，则△ABC≌△ABD的依据是 ； （2）当∠3=∠4时，则△ABC≌△ABD的依据是 ； （3）当∠C=∠D时，则△ABC≌△ABD的依据是 . 边角边 角边角 角角边 达标检测 课堂小结与检测 4.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2, 求证：AB=AD. 证明： ∵ AB⊥BC，AD⊥DC， ∴ ∠ B=∠D=90 °. 在△ABC和△ADC中， ∠1=∠2 （已知）， ∠ B=∠D（已证）， AC=AC （公共边）， ∴ △ABC≌△ADC（AAS). ∴AB=AD. A C D B 1 2 $