11.5 第2课时 公式法 课件 2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

该初中数学课件聚焦公式法因式分解，核心内容为平方差公式和完全平方公式的应用。课堂导入通过回顾因式分解定义及乘法公式，搭建新旧知识支架，清晰呈现整式乘法与因式分解的逆过程关联。 其亮点在于以“探究-应用-总结”为主线，通过针对训练判断公式适用性培养抽象能力，结合实例将多项式整体看作“a”“b”发展模型意识，归纳“一提二套三查”步骤强化推理意识。学生能系统掌握方法，教师可借助结构化内容提升教学效率。

第11章 整式的乘除 11.5　因式分解 第2课时 公式法 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 1.什么叫多项式的因式分解? 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解. 2.还记得前面学过的乘法公式吗？ 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2 两数和（差）的平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2 3.将乘法公式反过来用进行因式分解的方法称为公式法. 【探究1】平方差公式因式分解 探究与应用 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2 a2-b2 = (a+b)(a-b) 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 特点：两数是平方， 减号在中央． a2-b2 = (a+b)(a-b) 平方差公式的特点： 1.必须是二项式（或可以看成二项的）； 2.是两个数或式的平方差的形式； 多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ 平方差公式： 【探究1】平方差公式因式分解 【针对训练】 探究与应用 √ √ × × 下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ 两数是平方， 减号在中央． （1）x2+y2； （2）x2-y2； （3）-x2-y2； -(x2+y2) （4）-x2+y2； （5）x2-25y2； （6）m2-1. ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成： ( )2-( )2的形式. 别着急 (authorId_208376095) - 让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征,并能利用相关结论进行实例练习. 【探究1】平方差公式因式分解 【应用】 探究与应用 例1 分解因式： 解：(1)原式= (2)原式 解题技巧：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式分解因式. 【探究1】平方差公式因式分解 【应用】 探究与应用 例2 分解因式： (2)原式＝(x2)2-(y2)2 ＝(x2+y2)(x2-y2) 分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. ＝(x2+y2)(x+y)(x-y). 解：(1)原式＝ab(a2-1) 分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法，最后进行检查. ＝ab(a+1)(a-1). 【探究2】两数和（差）的平方公式因式分解 探究与应用 (a±b)2=a2±2ab+b2 a2±2ab+b2=(a±b)2 两数和（差）的 平方公式： 整式乘法 因式分解 特点： 首平方，尾平方， 首尾两倍在中央. a2 2 a b b2 ± . + . = (a ± b)² 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方． 两数和（差）的平方公式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间是两底数之积的±2倍. 【探究2】两数和（差）的平方公式因式分解 探究与应用 3.a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 2.m²-6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )² 1.x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )² x 2 x + 2 a a 2b a + 2b 2b 对照公式a²±2ab+b²=(a±b)²进行因式分解，你会吗？ m m - 3 3 x 2 m 3 【探究2】两数和（差）的平方公式因式分解 探究与应用 【针对训练】 下列各式是不是两数和（差）的平方？ （1）a2－4a+4; （2）1+4a²; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. 是 （2）因为它只有两项； 不是 （3）4b²与-1的符号不统一； 不是 解析： 不是 是 （4）因为ab不是a与b的积的2倍. 【探究2】两数和（差）的平方公式因式分解 探究与应用 【应用】 例3 分解因式： （1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2. 解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x + 3)2. = (4x)2 + 2·4x·3 + 32 (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2. =-[x2-2·x·2y+(2y)2] 【探究2】两数和（差）的平方公式因式分解 探究与应用 【应用】 例4 分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36. 解：(1)原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2. 分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解； (2)中，将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为完全平方式m2-12m+36. (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2. 【探究2】两数和（差）的平方公式因式分解 探究与应用 因式分解的一般步骤: 一提：先考虑用提公因式法(公因式可以是单项式或多项式)； 二套：然后考虑用公式法(平方差公式或两数和（差）的平方公式)，能连续用公式分解的要继续分解； 三查：检查每个因式是否被分解彻底． 【归纳总结】 课堂小结 课堂小结与检测 公式法因式分解 公式 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解 到不能再分解为止. 两数和（差）的平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 达标检测 课堂小结与检测 1.下列各个多项式中，不能运用平方差公式分解因式的是(　　) A．8x2－2 B．－x2－y2 C．a2b2－4 D．－x3＋x B 2.下列各式中能用两数和(差)的平方公式进行因式分解的是(　　) A．x2＋x＋1 B. x2＋2x－1 C．x2－1 D. x2－8x＋16 D 达标检测 课堂小结与检测 3.分解因式：(1)9a2－4b2；(2)x2y－4y； (3)－2x3y＋4x2y－2xy； (4)(a＋1)2－1； (5)x4－1. 解： (1)原式＝(3a)2－(2b)2＝(3a＋2b)(3a－2b)； (2)原式＝y(x2－4)＝y(x＋2)(x－2)； (3)原式＝－2xy(x2－2x＋1)＝－2xy(x－1)2； (4)原式＝(a＋1＋1)(a＋1－1)＝a(a＋2)； (5)原式＝(x2＋1)(x2－1)＝(x2＋1)(x＋1)(x－1). $