专题07 直线与圆锥曲线的综合问题14大考点30题（高效培优期中专项训练）高二数学上学期北师大版

专题07 直线与圆锥曲线的综合问题 考点01 求直线与圆锥曲线的交点（共3小题） 1 考点02 直线与圆锥曲线的位置关系（共3小题）（重点） 2 考点03 弦长问题（共2小题）（重点） 2 考点04 中点弦问题（共2小题）（常考点） 2 考点05 圆锥曲线的切线问题(共2小题) 3 考点06 定点问题(共2小题)（重点） 4 考点07 定值问题（共2小题）（重点） 4 考点08 最值问题（共2小题）（重点） 4 考点09 取值范围问题（共2小题）（重点） 5 考点10 定直线问题（共2小题） 5 考点11 存在性问题（共2小题）（常考点） 6 考点12 证明问题（共2小题）（难点） 6 考点13 与向量的综合问题（共2小题）（常考点） 7 考点14 新定义问题（共2小题）(难点) 7 考点01 求直线与圆锥曲线的交点（共3小题） 1．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点坐标分别为和，长轴长为4，则直线与椭圆的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 2．（23-24高二下·广东·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线，经过其焦点的直线交曲线于两点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 考点02 直线与圆锥曲线的位置关系（共3小题） 4．（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 5．（多选）（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 6．(多选)（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知双曲线的两个焦点为，，点在双曲线上，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的离心率为 C．直线与双曲线只有一个公共点 D．直线与双曲线的左支和右支各有一个交点 考点03 弦长问题（共2小题） 7．（25-26高三上·广东潮州·开学考试）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，分别求的周长和面积． 8．（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线过且交于两点，若弦的长度为的实轴长的两倍，求的方程. 考点04 中点弦问题（共2小题） 9．（24-25高二上·广东惠州·期中） 已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 10．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为弦的中点时，求直线的方程； (3)求的最小值． 考点05 圆锥曲线的切线问题(共2小题) 11．（2025·全国·模拟预测）已知是双曲线上一动点，为坐标原点.设双曲线在点处的切线和两条渐近线的交点分别为. (1)设到两条渐近线的距离分别为，求的值； (2)证明：； (3)求的值. 12．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点到的距离等于到直线的距离. (1)求M的轨迹方程； (2)P为不在x轴上的动点，过点作（1）中的轨迹的两条切线，切点为A，B；直线AB与PO垂直(O为坐标原点)，与x轴的交点为R，与PO的交点为Q； （ⅰ）求证：R是一个定点； （ⅱ）求的最小值. 因此，时取等号. 考点06 定点问题(共2小题) 13．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 14．（25-26高二上·广西南宁·阶段练习）已知椭圆，，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)设，分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，，且．证明：直线过定点． 考点07 定值问题（共2小题） 15．（24-25高二下·云南·期末）已知两条平行直线，分别与双曲线的左、右两支相切，且交的两条渐近线于，两点，交的两条渐近线于，两点，点，都在轴上方，当且仅当与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)证明：四边形的面积为定值． 16．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知椭圆：的离心率为，长轴为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线：与椭圆交于，两点，求弦长； (3)点在上，过点的直线交椭圆于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 考点08 最值问题（共2小题） 17．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值． 18．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （i）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值； （ii）设G为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值． 考点09 取值范围问题（共2小题） 19．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知椭圆过点，短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，若椭圆上的点到的距离的最小值是，求正实数的值； (3)椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值. 20．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知抛物线过点，焦点为． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线交抛物线于A、两点，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 考点10 定直线问题（共2小题） 21.(25-26高二上·全国·单元测试）已知定点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程． (2)设过点且与轴不重合的直线交曲线于E，F两点． ①过点作与直线垂直的直线交曲线于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值； ②设曲线与轴交于P，Q两点，直线PE与直线QF相交于点，证明：点在定直线上． 22．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知，，等轴双曲线：的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，且．点为双曲线的左支上异于点的一个动点． (1)求双曲线的方程； (2)若，求点的坐标； (3)设点，直线交双曲线的右支于点．试判断直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，请求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 考点11 存在性问题（共2小题） 23. （25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，，直线与的另一个交点分别为． (1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． (2)证明：直线经过定点． 24. （24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动． (1)求C的方程． (2)若直线AB的方程为，求内切圆的半径r． (3)设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 考点12 证明问题（共2小题） 25．（25-26高二上·江西赣州·阶段练习）矩形的长为4，宽为2，其四边的中点恰为椭圆的顶点． (1)求的方程； (2)若，，三点在以为直径的圆上，且直线，均与有且只有一个公共点，证明：是直角三角形． 26．（2025·四川成都·模拟预测）已知点，，P是直线AB外的一个动点，，垂足为Q，且Q在线段AB外，，记点P的轨迹为曲线C．不过原点的直线l交C于M，N两点，M关于x轴的对称点为T，直线TB和NB的斜率之积为6． (1)求C的方程； (2)判断l是否过定点，若是请求出该定点坐标，若不是请说明理由； (3)试判断的形状（锐角、直角或钝角三角形），并给出证明． 考点13 与向量的综合问题（共2小题） 27．（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）已知双曲线的离心率是，焦距为6． (1)求的方程； (2)若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的方程． 28．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线相切，且切点为，点为抛物线C上的点． (1)求直线的方程； (2)若直线不与轴垂直，点在轴上，轴，．若直线QP与抛物线和直线分别交于M，N两点，求证：． 考点14 新定义问题（共2小题） 29．（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，双曲线． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值； (3)对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积． 30．（24-25高二下·上海·期中）如图所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点是角α终边上的点（异于原点），设，将点P绕O逆时针旋转θ后得到． (1)求证：． (2)已知曲线是函数的图象，曲线绕原点O逆时针旋转后得到，求的标准方程； (3)已知曲线表示一个中心在原点的椭圆，Q为第一象限内一点，且在椭圆的长轴上，满足，过点Q作直线交曲线于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交曲线于点G、H，试判断：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 直线与圆锥曲线的综合问题 考点01 求直线与圆锥曲线的交点（共3小题） 1 考点02 直线与圆锥曲线的位置关系（共3小题）（重点） 3 考点03 弦长问题（共2小题）（重点） 5 考点04 中点弦问题（共2小题）（常考点） 7 考点05 圆锥曲线的切线问题(共2小题) 9 考点06 定点问题(共2小题)（重点） 12 考点07 定值问题（共2小题）（重点） 16 考点08 最值问题（共2小题）（重点） 19 考点09 取值范围问题（共2小题）（重点） 21 考点10 定直线问题（共2小题） 24 考点11 存在性问题（共2小题）（常考点） 28 考点12 证明问题（共2小题）（难点） 31 考点13 与向量的综合问题（共2小题）（常考点） 34 考点14 新定义问题（共2小题）(难点) 37 考点01 求直线与圆锥曲线的交点（共3小题） 1．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点坐标分别为和，长轴长为4，则直线与椭圆的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】求出椭圆方程，再与直线方程联立，可得解. 【详解】由题，长轴长为，所以， 由焦点可得，所以， 因为焦点在轴上，所以椭圆方程为， 联立，消去得，, 得，所以直线与椭圆有1个交点. 故选：B 2．（23-24高二下·广东·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】首先求出焦点坐标，再联立直线与双曲线方程，求出交点的坐标，再由数量积的坐标表示计算可得. 【详解】双曲线的左、右焦点分别为，， 由，解得或，所以， 则，， 所以. 故选：A 3．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线，经过其焦点的直线交曲线于两点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设出，两点的坐标，根据题干条件将其坐标解出，再利用三角形面积公式即可求出最终结果. 【详解】设点，，由题知，由， 可得， 则， 故选：C 考点02 直线与圆锥曲线的位置关系（共3小题） 4．（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 5．（多选）（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 【答案】BD 【分析】直接代入点的坐标到直线方程验证后判断A；利用特例判断C；由直线方程与抛物线方程组成方程组，由方程组的解的情况判断BD． 【详解】选项A，因为，因此不是直线所过定点，A错； 选项B，时，直线方程为，代入抛物线方程得，解得，从而， 又直线与抛物线的对称轴不平行，所以直线与抛物线相切，切点为，B正确； 选项C，时，直线方程为，它与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个公共点，C错； 选项D，由得，， 由，得或，D正确． 故选：BD． 6．(多选)（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知双曲线的两个焦点为，，点在双曲线上，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的离心率为 C．直线与双曲线只有一个公共点 D．直线与双曲线的左支和右支各有一个交点 【答案】AC 【分析】由已知，可求得双曲线中的，则可得离心率，即可判断A、B；写出双曲线C的渐近线方程，由直线和与渐近线的位置关系，即可判断C、D. 【详解】由题意，可知两个焦点，，双曲线上一点， 则，，， 则，则，故A正确，B不正确； 因为双曲线C中，，则， 则双曲线C的渐近线方程为， 所以直线与双曲线C的渐近线平行， 则直线与双曲线C只有一个公共点，故C正确； 因为直线与轴交点在双曲线右顶点右侧， 且其斜率大于渐近线斜率， 所以直线与双曲线C的右支有两个交点，故D不正确． 故选：AC. 考点03 弦长问题（共2小题） 7．（25-26高三上·广东潮州·开学考试）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，分别求的周长和面积． 【答案】(1) (2)周长为8，面积为 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出，，从而得到，得到椭圆方程； （2）根据椭圆的定义求出三角形的周长，得到，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，结合点到直线距离公式得到三角形面积. 【详解】（1）由题意可知：，则， ， ， 椭圆 （2）根据椭圆的定义，的周长为； 其中，直线的斜率为， 直线， 联立方程组得，显然， 设，则， ， 点到直线的距离， . 8．（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线过且交于两点，若弦的长度为的实轴长的两倍，求的方程. 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）由离心率和所过点求出，写出方程； （2）若直线斜率不存在，验证；若直线斜率存在，设为，联立-消元-韦达定理，利用弦长公式求. 【详解】（1）因为双曲线过，离心率为，所以， 解得，所以双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的实轴长为2，当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，得，， 设，则， 所以，解得， 由直线与双曲线渐近线的位置关系可得此时直线与双曲线有两个交点； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，符合题意. 综上所述，直线的方程为或或. 考点04 中点弦问题（共2小题） 9．（24-25高二上·广东惠州·期中） 已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) 【分析】（1）首先由点差法求出直线方程，然后联立直线方程与双曲线方程，判断判别式是否大于0即可； （2）联立直线与双曲线方程，根据题意列出的不等式即可求解. 【详解】（1）当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为， 又双曲线，右顶点为在直线l上， 所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意； 当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且， 因为A、B在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点为线段的中点，则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率，                所以直线l的方程为，即，     验证:将直线l与双曲线联立，可得， ，故方程无解所以不存在这样的直线l， 综上，点P不能是线段AB的中点. （2）设直线l的方程为:， 将其代入双曲线方程得， 依题意有，解得. 10．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为弦的中点时，求直线的方程； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由抛物线的焦点求得，即得抛物线的方程； （2）设的方程为，与抛物线C联立方程组，利用根与系数的关系结合中点，求得，即可求解直线的方程． （3）由抛物线定义可知根据题意得到，结合根与系数的关系代入即可求解. 【详解】（1）∵抛物线的焦点为，∴，即. ∴抛物线的方程为. （2）设，显然直线斜率存在. 设的方程为， 联立方程，消去，整理得，， 因为点是的中点，由，解得. 所以直线AB的方程为．即． （3）由抛物线定义可知 所以， 由（2）知， ∴， 所以 所以当时，取得最小值为． 考点05 圆锥曲线的切线问题(共2小题) 11．（2025·全国·模拟预测）已知是双曲线上一动点，为坐标原点.设双曲线在点处的切线和两条渐近线的交点分别为. (1)设到两条渐近线的距离分别为，求的值； (2)证明：； (3)求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设，再借助点到直线距离公式计算即可得； （2）先推导过双曲线上的一点的切线方程，将其与两条渐近线方程联立计算可得、两点坐标，推理得到点为中点，即可证得； （3）借助向量数量积坐标公式计算即可. 【详解】（1）设，则有，即， 双曲线的两条渐近线的方程为，则， 故； （2）设，先证明：双曲线在处的切线方程为. 证明：由两边对求导：，即， 于是过点的切线斜率为：，则切线方程为：（*）， 因在双曲线上，则有， 故（*）可化成：，即得证. 记, 将代入，解得，， 将代入，解得， 则有， ， 即点为中点，故； （3）设，则， 又， 故. 12．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点到的距离等于到直线的距离. (1)求M的轨迹方程； (2)P为不在x轴上的动点，过点作（1）中的轨迹的两条切线，切点为A，B；直线AB与PO垂直(O为坐标原点)，与x轴的交点为R，与PO的交点为Q； （ⅰ）求证：R是一个定点； （ⅱ）求的最小值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）利用抛物线的定义求M的轨迹方程； （2）（ⅰ）设点，由切线AP和BP的方程，得到直线AB的方程为，又直线AB与PO垂直得，则直线AB的方程，可得所过定点. （ⅱ）联立直线AB与直线OP的方程得交点Q的坐标，表示出，结合基本不等式求最小值. 【详解】（1）因为动点到的距离等于到直线的距离，所以M的轨迹为开口向右的抛物线， 又因为焦点为，所以轨迹方程为. （2）（ⅰ）证明：设点， 设以为切点的切线方程为， 联立抛物线方程,可得，由，得， 所以切线AP：，同理切线BP： 点P在两条切线上，则， 由于均满足方程，故此为直线AB的方程， 由于垂直即，则， 所以直线AB的方程，恒过；    （ⅱ）解：由（ⅰ）知，则，直线 联立直线AB与直线OP的方程得， 因此，时取等号. 即的最小值是. 考点06 定点问题(共2小题) 13．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 14．（25-26高二上·广西南宁·阶段练习）已知椭圆，，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)设，分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，，且．证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，，，表示出，故最大值为，又，从而得到，求出，得到椭圆方程； （2）法一：设，直线的方程为，直线的方程为，分别联立椭圆方程，求出的坐标，得到直线的方程为，所以直线过定点； 法二：设，求出，所以，设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由得到，由得到方程，求出，所以直线过定点. 【详解】（1）设，则，，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 又为椭圆上顶点时，为等边三角形，故， 联立，解得， 因为，所以椭圆的标准方程为． （2）法一：由（1）可知， 设直线的斜率为，则直线的斜率为，设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立，化简得， 因为，所以，即， 联立，化简得， 因为，所以，即， 则， 所以直线的方程为， 整理得， 所以直线过定点． 考点07 定值问题（共2小题） 15．（24-25高二下·云南·期末）已知两条平行直线，分别与双曲线的左、右两支相切，且交的两条渐近线于，两点，交的两条渐近线于，两点，点，都在轴上方，当且仅当与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)证明：四边形的面积为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的渐近线求出双曲线方程； （2）根据题意，计算出与轴垂直时，四边形面积为；与轴不垂直时，设直线的方程为，联立曲线方程得出新方程，得出，的关系；根据，的平行关系确定四边形为平行四边形，数形结合得出平行四边形和三角形间的面积关系，联立双曲线渐近线方程和直线的方程得出交点坐标表达式，根据面积公式算出四边形面积为，从而证明四边形的面积为定值. 【详解】（1）当且仅当与轴垂直时，，此时， 即， 则双曲线的方程为． （2）（2）证明： 当直线与轴垂直时，，四边形是矩形，面积为； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， 联立消去可得： ， 此时，并且， 故； 设与轴交于点， 由及双曲线的对称性，可知四边形ADEB是平行四边形， 面积， 双曲线两条渐近线方程为， 联立， 同理可得， 则． 所以，四边形的面积为定值． 16．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知椭圆：的离心率为，长轴为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线：与椭圆交于，两点，求弦长； (3)点在上，过点的直线交椭圆于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据离心率、长轴的长度和，求出的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）通过直线和椭圆联立方程组，消元后得到一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式求解； （3）先根据题意判断出直线存在斜率，再按照斜率是否为0进行分类讨论，在斜率为0时，利用斜率公式求出，，计算的值；在斜率不为0时，先设直线，再将直线和椭圆联立方程组，消去，得，整理得到的一元二次方程，设，利用根与系数的关系和斜率公式计算得解. 【详解】（1）由题知，，又有，解得，，， 所以椭圆C的标准方程为． （2）联立与椭圆可得， 设，，则，， 所以弦长. （3）证明：由已知直线过点，且交椭圆于两点，所以直线的斜率存在． 当直线l2的斜率为0时，方程为y=0，此时两点坐标为，又， 则. 当直线的斜率不为0时，由已知设直线， 设点且与点不重合， 联立直线与椭圆的方程，消去，得， 整理得，则，即， 解得或，且，则 ， 代入， 得. 综上，为定值，且． 考点08 最值问题（共2小题） 17．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）关于轴的对称点与三点在同一直线上，设直线的方程为，与抛物线联立方程组，利用根与系数的关系可求，进而求得抛物线的方程； （2）求得直线的方程，设，利用点到直线的距离公式可求到直线距离的最小值. 【详解】（1）抛物线的焦点 因为直线与直线斜率之和为0， 所以点关于轴的对称点与三点在同一直线上，    设直线的方程为， 与抛物线联立可得，消去得， 由是方程的两根， 所以，解得，所以抛物线的方程为； （2）因为在抛物线上，所以，所以， 所以，又，所以，又且直线， 所以的方程为， 设，所以点到直线距离； 当时，到直线距离取最小值，最小值为. 18．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （i）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值； （ii）设G为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）利用双曲线的顶点和离心率，结合双曲线方程求出 即可. （2）设出直线的方程与双曲线联立，利用韦达定理及斜率公式，推理计算即可. （3）由（2）可得斜率之间的关系，联立方程求出点坐标，再求出三角形面积的函数关系并求出最小值. 【详解】（1）（1）由题意知，因为， 得，， 所以双曲线的方程为. （2）（i）依题意，设直线的方程为，. 由消去x并整理得. 由直线与双曲线的右支交于两点，可得 . 解得. 则，. 即，而. 所以为定值. （ii）由（2）知，直线：，直线：. 则点的横坐标为. 于是. 因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为. 考点09 取值范围问题（共2小题） 19．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知椭圆过点，短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，若椭圆上的点到的距离的最小值是，求正实数的值； (3)椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值. 【答案】(1) (2)或 (3). 【分析】（1）依题意可得，即可求出、，从而得解； （2）设椭圆上任一点为，则点到的距离，结合椭圆上点的横坐标范围与函数单调性即可得最值，从而得正实数的值； （3）将直线与椭圆联立消，设直线、的方程，结合韦达定理化简计算解出的轨迹方程，利用对称性即可求解的最小值． 【详解】（1）由题意得椭圆过点，且短轴长为， 可得，解得， 可得椭圆的方程为； （2）设椭圆上任一点为，故，则， 则点到的距离为， 由于在椭圆上，所以， 令二次函数，其对称轴为， 而，当时，解得， 此时，解得或 （舍）， 当时，解得， 此时二次函数在上单调递减， 则当时，二次函数取得最小值， 此时， 解得或（舍）； 综上，或； （3）设点、， 直线与椭圆的方程联立消去整理得， 由， 且，所以， 由于在椭圆上，则， 所以，则， 易知、，则直线的方程为， 直线的方程为，   两式作商得 解得，故在定直线上， 由图可知，点、都在直线的上方，点关于直线的对称点为原点， 由对称性知，所以， 当且仅当为线段与直线的交点时，即点的坐标为时等号成立， 故的最小值为. 20．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知抛物线过点，焦点为． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线交抛物线于A、两点，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入抛物线方程可得答案. （2）由题可得，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理及题意可得关于t的不等式，据此可得答案. 【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的方程为． （2）易知抛物线的焦点为，且“点在以为直径的圆内”等价于“”． 设，，则，记为① 由题意，过点且斜率为1的直线方程为．于是有和，将其代入①式，得 ，记为② 由联立消去，整理得．于是有，即且，记为③ 再将③代入②，整理得 ． 要成立，只要在上恒成立即可． 解不等式得，符合题意． 综上可知，实数的取值范围为． 考点10 定直线问题（共2小题） 21.(25-26高二上·全国·单元测试）已知定点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程． (2)设过点且与轴不重合的直线交曲线于E，F两点． ①过点作与直线垂直的直线交曲线于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值； ②设曲线与轴交于P，Q两点，直线PE与直线QF相交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)①7 ；②证明见解析 【分析】（1）根据两点间距离公式列方程，化简可得结论． （2）①根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式可计算｜EF｜，｜GH｜，即可根据面积公式得表达式，结合基本不等式即可求解最值．②联立直线与圆的方程得根与系数的关系，由圆的方程得P，Q的坐标，即可根据点斜式求解直线PE，QF的方程，联立两直线方程即可求解定直线，从而得证． 【详解】（1）设动点的坐标为，因为，且， 所以， 整理得，即， 所以动点的轨迹的方程为． （2）①如图，因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为， 即，则直线GH的方程为． 由（1）知轨迹为圆，圆的半径为， 设圆的圆心到直线和直线GH的距离分别为， 则， 所以， 所以． 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立． 综上所述，四边形EGFH面积的最大值为7． ②设，联立得， 则． 因为曲线与轴交于P，Q两点，所以不妨取（如图）， 则直线PE的方程为， 直线QF的方程为． 联立两直线方程得， 所以在定直线上，得证． 22．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知，，等轴双曲线：的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，且．点为双曲线的左支上异于点的一个动点． (1)求双曲线的方程； (2)若，求点的坐标； (3)设点，直线交双曲线的右支于点．试判断直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，请求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)直线与直线的交点在一条定直线上上. 【分析】（1）根据等轴双曲线的概念，结合，可求的值，得双曲线的方程. （2）先判断点在圆上，列方程，解方程组可得点坐标. （3）设直线的方程为，与双曲线方程联立，消去，利用韦达定理表示出，，再表示出直线与，探索两直线交点的横坐标是不是定值即可. 【详解】（1）由题意：. 所以双曲线的方程为：. （2）因为，所以在以为圆心，以为半径的圆上. 由或. 所以或. （3）如图： 因为与不重合，所以直线的斜率不为0， 故可设直线的方程为，，. 因为点在双曲线的左支上，故或. 联立得：. . 故，， 则，故. 易得，， 则，所以直线的方程为， ，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：，显然， 由题意得：，， 则， 则. 故点在定直线上. 考点11 存在性问题（共2小题） 23. （25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，，直线与的另一个交点分别为． (1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． (2)证明：直线经过定点． 【答案】(1)是，2 (2)证明见解析 【分析】（1）设直线，斜率分别为，然后根据题意利用韦达定理把表示出来作比值即可； （2）结合（1）设直线，利用已知条件求出设直线即可. 【详解】（1）设直线，斜率分别为，则为定值． 理由如下：如图， 易知，设，直线， 联立得， ．① ， 因为，所以， 所以点为线段OD的中点， 因为，所以， 故直线， 代入抛物线方程可得：， 则．② 联立①②得，同理可得， 所以， 所以，为定值． （2）由（1）知． ， 因为N，B，D三点共线，所以， 化简得， 所以，即， 所以． 设直线， 由得， ， 解得，所以直线方程为：， 当， 所以直线过定点． 24. （24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动． (1)求C的方程． (2)若直线AB的方程为，求内切圆的半径r． (3)设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】（1）将代入，结合，则，得到C的方程为； （2）联立与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出，，求出的面积，进而利用求出半径； （3）由角平分线得到，设，，结合，得到方程，联立与得两根之和，两根之积，代入上式，求出，从而求出直线AB过定点． 【详解】（1）因为抛物线C：经过点，所以， 解得或， 又C的焦点F在x轴的正半轴上，所以，则，则C的方程为． （2）设，． 由得，，则 ， ． 因为点到直线AB的距离， 所以的面积， 所以． （3）是，定点坐标为， 因为EF平分，所以， 设，， 则， 因为，，所以， 整理得， 则， 即．① 将代入，得， 则 代入①可得， 因为，所以，即， 所以直线方程为， 所以直线AB过定点． 考点12 证明问题（共2小题） 25．（25-26高二上·江西赣州·阶段练习）矩形的长为4，宽为2，其四边的中点恰为椭圆的顶点． (1)求的方程； (2)若，，三点在以为直径的圆上，且直线，均与有且只有一个公共点，证明：是直角三角形． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）数形结合可得出的值，即可求出方程； （2）分点是矩形的顶点、点不是矩形的顶点两种情况讨论，若点不是矩形的顶点，设，分别与椭圆方程联立，得出是一元二次方程的根，利用韦达定理即可求证. 【详解】（1）依题意，，，则，，半焦距， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，以为直径的圆的方程为， 当点是矩形的顶点时，均与坐标轴垂直，此时； 当点不是矩形的顶点时，设点的坐标为，直线， 由消去得：， 由， 化简得， 设直线的方程为，同理得：， 于是是关于的一元二次方程的两根， 则，， 又，因此，则，即， 所以是直角三角形.    26．（2025·四川成都·模拟预测）已知点，，P是直线AB外的一个动点，，垂足为Q，且Q在线段AB外，，记点P的轨迹为曲线C．不过原点的直线l交C于M，N两点，M关于x轴的对称点为T，直线TB和NB的斜率之积为6． (1)求C的方程； (2)判断l是否过定点，若是请求出该定点坐标，若不是请说明理由； (3)试判断的形状（锐角、直角或钝角三角形），并给出证明． 【答案】(1) (2)过定点，理由见解析 (3)钝角三角形，证明见解析 【分析】（1）设，由，及得出，结合Q在线段AB外，即可求解； （2）设，，根据直线TB和NB的斜率之积为6，设，结合韦达定理即可得出l过定点； （3）分类讨论和的情况，由平面向量数量积即可证明． 【详解】（1）设，因为，，且，垂足为Q， 则Q点坐标为，则，，， 已知，即， 因为Q在线段AB外，所以，则， 所以曲线C的方程为． （2）设，，则， 显然l的斜率不为零，否则有，，， 此时，与直线TB和NB的斜率之积为6，矛盾； 故可设，由得， 依题意，且， ∴且，，， 由得， ∴，， ∵直线TB和NB的斜率之积为6，∴， 所以，，，解得， 此时恒成立， ∴，过定点． （3）由（2）知，，，， ①当，即时，， ∴M，N均在C的右支，如图，    此时 ， ∴∠MBN是钝角，△BMN是钝角三角形； ②当，即或时，， ∴M，N分别在C的两支.不妨设M在C的右支，则，如图，    设，则， ∴， ∵l过点R，∴， ∴∠BMN是钝角，△BMN是钝角三角形， 综上，△BMN是钝角三角形． 考点13 与向量的综合问题（共2小题） 27．（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）已知双曲线的离心率是，焦距为6． (1)求的方程； (2)若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的方程． 【答案】(1)． (2)或． 【分析】（1）依题意求出和，进而求出，即可得双曲线方程； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元后根据韦达定理可得，，再根据数量积的坐标表示得到方程，代入，即可求出的值. 【详解】（1）因为双曲线的离心率是，焦距为6， 所以，，其中，解得，，所以． 因此，的方程为． （2）设，， 联立方程消去，得， 因为直线与相交于两点， 所以即且， 由韦达定理，得，， 又，， 所以， 即，所以， 将韦达定理代入上式，得，即， 解得，满足且， 因此，的方程为或． 28．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线相切，且切点为，点为抛物线C上的点． (1)求直线的方程； (2)若直线不与轴垂直，点在轴上，轴，．若直线QP与抛物线和直线分别交于M，N两点，求证：． 【答案】(1)或 (2)证明见解析； 【分析】（1）求出抛物线方程，再结合直线与抛物线相切的几何意义求得直线方程； （2）根据已知条件分别求得三点的坐标，即可证得. 【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为2，则，所以抛物线的方程为， 当斜率存在时，设过点的直线的方程为，因为直线与抛物线相切，则联立得，，由解得，， 所以直线的方程为. 当直线斜率不存在时，满足过点的直线与抛物线相切，故过点与抛物线相切的直线方程为或 （2）因为直线不与轴垂直，则直线的方程为，根据题意如图所示：    由得，因为点为抛物线C上的点，设， 由，则为的中点，则，因为轴，且直线QP与抛物线和直线分别交于M，N两点，则 得，由得， 由，所以为的中点，即. 考点14 新定义问题（共2小题） 29．（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，双曲线． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值； (3)对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积． 【答案】(1)． (2)答案见解析 (3)4 【分析】（1）写出渐近线方程即可判断夹角； （2）设，再根据两点间距离公式化简，求解一元二次函数的最值即可； （3）设为好点，则根据好点定义求出，再根据好点定义求出直线与双曲线交于同一支时得出，即时，即可求出，求出四边形面积即可. 【详解】（1）渐近线，夹角为． （2）设，或， 则 ， 当即时，令，最小值为； 当即时，令，最小值为． （3）设为好点，考虑、需满足的充要条件． 若直线的斜率存在，设直线，， 将与联立，得．（*） 则，，， 而 ， ①当直线与的左右两支都有公共点，即时， ，当时有最小值． 这说明，； ②当直线与的左支有两个公共点或与右支有两个公共点时， 需满足的条件为：且（*）式的判别式． 此时可得：． 这说明时，判别式条件不能成立． 即时，． 当时，，解得． 另一方面，当时，． 两边平方后即得． 若直线斜率不存在，假设直线与双曲线存在交点， 则，则，， 则，显然与好点矛盾； 因此，为好点当且仅当， 于是所有好点对应的区域为， 即由构成的正方形，故所求面积为． 30．（24-25高二下·上海·期中）如图所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点是角α终边上的点（异于原点），设，将点P绕O逆时针旋转θ后得到． (1)求证：． (2)已知曲线是函数的图象，曲线绕原点O逆时针旋转后得到，求的标准方程； (3)已知曲线表示一个中心在原点的椭圆，Q为第一象限内一点，且在椭圆的长轴上，满足，过点Q作直线交曲线于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交曲线于点G、H，试判断：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)是，定值为 【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简得证； （2）设曲线上一点为，表达出，，利用代入法求曲线的方程； （3）方法一：设长轴在x轴上的椭圆一点为，根据题意先求得，分直线旋转后斜率不存在和存在两种情况，设出直线旋转后的方程，直线旋转后的方程，联立椭圆，结合韦达定理可得； 方法二：设长轴在x轴上的椭圆一点为，根据题意先求出，故，分斜率不存在，斜率为且0和斜率存在且不为0三种情况，设出直线方程，联立，可得. 【详解】（1）点是角α终边上的点（异于原点），设， 则， 经过逆时针旋转θ到后，角终边与重合， 所以， ，得证． （2）设曲线上一点为， 逆时针旋转后的点在的图像上， 由（1）知：，， 代入得， 化简即得曲线的方程为． （3）方法一：设长轴在x轴上的椭圆一点为， 逆时针旋转得到点在的图像上， 由（1）知，，满足， 于是得． 因此且， 由不等式可得，故， 由此得，所以， ，故． 点Q旋转后的坐标为． 当直线旋转后斜率不存在时，中，令得， 解得，则， 此时直线为轴，故，， 当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为，直线旋转后为， 旋转后，，． 与椭圆方程联立，即， 可得， 则由韦达定理得，， 故 ， 将代入椭圆方程中，有，， 故， 则． 方法二：设长轴在x轴上的椭圆一点为， 逆时针旋转得到点在的图像上， 由（1）知，，满足， 于是得． 因此且， 由不等式可得，故， 由此得， 又，故，当斜率不存在时，直线方程为， 中，令得， 此时、满足，故， 于是， 此时直线为，中，令， 解得，故， 此时． 当斜率为0时，直线方程为，此时同理得； 当斜率存在且不为0时，设直线，． 设，，联立与得， 故， 则联立椭圆联立得， 有， 故， 则， 故． 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $