专题06 抛物线8大考点37题（高效培优期中专项训练）高二数学上学期北师大版

专题06 抛物线 考点01抛物线的定义及其应用(共5小题)（重点） 1 考点02 抛物线的简单几何性质（共5小题）（重点） 2 考点03 抛物线的标准方程(共4小题)（重点） 2 考点04 抛物线中的最值（范围）问题（共6小题）（常考点） 3 考点05 抛物线的焦点弦性质(共7小题)（常考点） 3 考点06 抛物线的实际应用(共3小题)（难点） 4 考点07 抛物线的光学性质(共3小题) 5 考点08 抛物线中的数学文化题、新定义题（共4小题）（难点） 6 考点01抛物线的定义及其应用(共5小题) 1．（2025·陕西安康·三模）已知抛物线上的点到焦点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D．4 2．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）设点为抛物线上一点，F为焦点，若，则（    ） A． B．4 C． D． 3．（24-25高三下·福建·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4.（24-25高二下·河南新乡·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 5.（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 考点02 抛物线的简单几何性质（共5小题） 6．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（    ）． A． B． C． D． 7．（24-25高二上·陕西·期中）已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 8．(多选)（24-25高二上·陕西汉中·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（        ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 9.（23-24高二下·广西柳州·期中）已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则其准线方程为（   ） A． B． C． D． 10.（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）设抛物线的焦点为，点在上，，若，则（    ） A． B．12 C． D． 考点03 抛物线的标准方程(共4小题) 11．（24-25高二下·北京东城·期中）已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·吉林四平·期中）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 14.（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 考点04 抛物线中的最值（范围）问题（共6小题） 15．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知抛物线的焦点为为上的动点，为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（24-25高二下·湖北·期中）已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18.（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（    ）. A． B．2 C． D． 19.（24-25高二上·全国·课后作业）已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 20．（23-24高二上·上海宝山·期中）已知F是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点． (1)是一个定点，求的最小值： (2)若焦点F是的垂心，求点A、B的坐标 考点05 抛物线的焦点弦性质(共7小题) 21．（24-25高三上·四川成都·期中）设为抛物线Γ：的焦点，过且倾斜角为的直线交Γ于两点（在第一象限），O为坐标原点，过作Γ的准线的垂线，垂足为，则（    ） A． B． C．2 D．3 22．(多选)（2025·浙江金华·二模）过抛物线：的焦点且斜率为的直线与交于，两点，线段，的中点分别为，，为坐标原点，直线，与抛物线的另一个交点分别为，，记点，到轴距离分别为，，则（   ） A． B． C．轴 D．若，则 23．（2025·广东·模拟预测）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 24．（多选）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）在直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过分别作的准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则直线的斜率为 B． C．以线段为直径的圆与轴相切 D．的面积的最小值为8 25．(多选)（24-25高二下·重庆巴南·期中）已知直线经过抛物线的焦点，与交于不同的两点，与的准线交于点，则（    ） A． B．若，则 C．若，则的取值范围是 D．若成等差数列，则 26．（24-25高二上·江苏南京·期中）设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且这两交点纵坐标分别为，，A，B在抛物线准线上的射影分别为，． (1)求值； (2)求证：是直角； (3)M是线段AB中点，求点M的轨迹方程． 27．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的准线方程为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值. 考点06 抛物线的实际应用(共3小题) 28．（24-25高二上·江苏扬州·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二上·内蒙古·期中）永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 ；该石拱桥对应的抛物线的焦点到准线的距离为 . 30．（23-24高二上·河北邯郸·期中）如图，某高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为时，水面宽度为，当水面再上升时，水面宽度为 .      考点07 抛物线的光学性质(共3小题) 31．(多选)（23-24高三上·湖北·期中）抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射线都与抛物线的对称轴平行或重合.已知抛物线：的焦点为F，过x轴上F右侧一点的直线交于A，B两点，C在A，B处的切线交于点P，直线，交y轴分别于点D，E，则（    ） A． B． C． D． 32．（2023·陕西榆林·二模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线：（）焦点为，准线为，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点（点在抛物线内）射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，且经过点，若直线与抛物线的准线交于点，则直线的斜率为 ；若，且平分，则 . 33．（24-25高二上·山西太原·期中）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.如下示意图中，手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面.该镜面圆形镜口的直径，镜深.为使小灯泡发出的光经镜面反射后，射出为一束平行光线，则该小灯泡距离镜面顶点的距离应为 . 考点08 抛物线中的数学文化题、新定义题（共4小题） 34．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并完成了对定义的证明他指出，到定点的距离与到定直线的距离之比是常数e的点的轨迹是圆锥曲线（定点不在定直线上）：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线则（  ） A．方程 表示的曲线是椭圆 B．方程 表示的曲线是双曲线 C．方程表示的曲线是椭圆 D．方程 表示的曲线是双曲线 35．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条直径与拋物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 36．（23-24高二上·江西景德镇·期末）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，往杯盏里面放入一个半径为的小球，要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则最大值为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高二上·江西·期中）倍立方问题是古希腊三大几何问题之一.倍立方问题是指给定一个棱长为的正方体，作另一个正方体，使得这个正方体体积是原来正方体体积的两倍（即给出长度为的线段）.古希腊数学家梅内克缪斯采用了抛物线的工具研究倍立方问题：在平面直角坐标系上，画出抛物线（）和抛物线（），使得这两个抛物线的其中一个交点横坐标为，则的值应取为（    ） A． B． C． D． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 抛物线 考点01抛物线的定义及其应用(共5小题)（重点） 1 考点02 抛物线的简单几何性质（共5小题）（重点） 3 考点03 抛物线的标准方程(共4小题)（重点） 5 考点04 抛物线中的最值（范围）问题（共6小题）（常考点） 7 考点05 抛物线的焦点弦性质(共7小题)（常考点） 11 考点06 抛物线的实际应用(共3小题)（难点） 19 考点07 抛物线的光学性质(共3小题) 21 考点08 抛物线中的数学文化题、新定义题（共4小题）（难点） 24 考点01抛物线的定义及其应用(共5小题) 1．（2025·陕西安康·三模）已知抛物线上的点到焦点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由抛物线的定义确定坐标，即可求解. 【详解】由抛物线方程可得：抛物线的准线方程为：， 由抛物线的定义可得：点到准线的距离为6， 所以点纵坐标为，代入抛物线方程可得：， 得：， 所以点到轴的距离为， 故选：B 2．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）设点为抛物线上一点，F为焦点，若，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】先根据抛物线的标准方程求出其焦点坐标和准线方程，再利用抛物线的定义求出点的横坐标，最后将代入抛物线方程求出纵坐标. 【详解】在抛物线中，，则，所以焦点的坐标为，准线方程为. 已知点到焦点的距离，则点到准线的距离也为，即，解得. 因为点在抛物线上，且，所以. 又因为，所以. 故选：A. 3．（24-25高三下·福建·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由已知及抛物线定义可得，，从而得到，利用长度关系可得，故求解可得. 【详解】 记坐标原点为，过点作，垂足为． 由已知及抛物线定义可得，，， ∴△为等边三角形，， 又∵，∴，则． ∴，解得. 故选：B． 4.（24-25高二下·河南新乡·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】因为点到直线的距离为， 所以点到抛物线准线的距离为， 由抛物线的定义得，. 故选：D. 5.（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为，再结合和及抛物线定义知识可求得，即可求解. 【详解】记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为， 因为，所以，即， 由于，所以， 由可知，所以，而， 由可知，即的方程为．故C正确. 故选：C. 考点02 抛物线的简单几何性质（共5小题） 6．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求双曲线的右焦点坐标，根据抛物线的焦点可求的值，再根据抛物线方程求其准线方程. 【详解】对于双曲线：因为，，所以，所以. 所以双曲线的右焦点坐标为：. 对于抛物线，因为焦点为，即. 所以其准线方程为：. 故选：B 7．（24-25高二上·陕西·期中）已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入点可得，即可得抛物线方程为，进而可得准线方程. 【详解】因为点在抛物线上，则， 可得抛物线，即， 可知，且焦点在y轴正半轴上， 所以抛物线的准线方程为. 故选：D. 8．(多选)（24-25高二上·陕西汉中·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（        ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 【答案】D 【分析】根据抛物线的方程结合抛物线的性质逐项分析判断. 【详解】因为抛物线方程为，则，即， 所以开口向左，焦点坐标为，准线为，对称轴为x轴， 即D正确，ABC错误. 故选：D. 9.（23-24高二下·广西柳州·期中）已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则其准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的性质得出，求出值，即可得到抛物线的准线方程. 【详解】由题可得，解得：，所以抛物线的准线方程为 故选：A 10.（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）设抛物线的焦点为，点在上，，若，则（    ） A． B．12 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到所以，结合抛物线的几何性质，得到轴，利用勾股定理，即可求解. 【详解】由抛物线，可得，所以焦点， 因为，根据抛物线的定义，可得， 又因为，所以， 因为，即抛物线的通径长为，所以轴， 所以. 故选：C. 考点03 抛物线的标准方程(共4小题) 11．（24-25高二下·北京东城·期中）已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用准线的性质求出，再求出标准方程即可. 【详解】因为抛物线的准线方程为，所以， 解得，则该抛物线的标准方程为，故D正确. 故选：D 12．（24-25高二上·吉林四平·期中）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出椭圆的焦点坐标，写出抛物线的焦点坐标，列出等量关系，求出，即可得抛物线的标准方程. 【详解】对于椭圆，，，则， 椭圆的焦点坐标为和， 抛物线的焦点的坐标为， 因为抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合， 所以，解得，所以抛物线的标准方程为. 故选：B. 13．（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，点的轨迹方程为. 故选：B. 14.（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】由抛物线的准线方程,分类讨论求参数的值. 【详解】当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为． 所以抛物线的方程为或． 故选：C 考点04 抛物线中的最值（范围）问题（共6小题） 15．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由两点间距离公式表示出，再由二次函数的最值，即可得到结果. 【详解】依题意，是抛物线上的点，设， 则， 对于函数，当时，， 所以的最小值是， 即的最小值为. 故选：C 16．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知抛物线的焦点为为上的动点，为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】作出图形，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，利用抛物线的定义可知，分析可知，当且仅当为线段分别与圆A､抛物线的交点时，取最小值，即可得解. 【详解】根据已知得到，圆， 所以，圆A的半径为1， 抛物线的准线为，过点作，垂足为点，则， 由抛物线的定义可得， 所以， . 当且仅当为线段分别与圆A､抛物线的交点时，两个等号成立， 因此，的最小值为2. 故选：B. 17．（24-25高二下·湖北·期中）已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义得到，从而，结合图形，可知当三点共线，且在中间时，取得最小值，利用点到直线的距离计算即得. 【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知． 如图，设于点，则， 由图可知，当三点共线，且在中间时，取得最小值． 由抛物线，得， 所以的最小值即点到直线的距离，为． 故选：D ．    18.（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（    ）. A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】运用抛物线的定义将距离之和的最小值问题转化为三点共线问题，后求最值即可. 【详解】解：如图 过点作抛物线的准线的垂线，垂足为M，由抛物线的定义可知，， 要使点P到点的距离与到该抛物线准线的距离之和最小，则当Q，P，F三点共线时最小，最小值为. 故选：A. 19.（24-25高二上·全国·课后作业）已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用梯形中位线将中点的横坐标转化为，再应用抛物线定义转化为，再由可得最小值. 【详解】设的中点，抛物线的准线为， 如图，作，垂足分别为. 由直角梯形的性质可得， 取抛物线焦点为，由抛物线定义可得， 当且仅当直线经过点时取等号， 所以线段中点的横坐标的最小值为． 故选：B. 20．（23-24高二上·上海宝山·期中）已知F是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点． (1)是一个定点，求的最小值： (2)若焦点F是的垂心，求点A、B的坐标 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由抛物线的定义，得，结合图形得最小值； （2）垂心为三条高线的交点，由对称性知关于轴对称，设点，再利用垂直关系建立方程求解坐标. 【详解】（1）由抛物线知焦点，准线， 过作，垂足为，过点作，垂足为，， 由抛物线的定义，， 当且仅当三点共线时取等号，此时， 所以的最小值为. （2）由焦点是的垂心，则， 即关于轴对称，且， 设，由， 得，化简得，解得， 所以点的坐标为或. 考点05 抛物线的焦点弦性质(共7小题) 21．（24-25高三上·四川成都·期中）设为抛物线Γ：的焦点，过且倾斜角为的直线交Γ于两点（在第一象限），O为坐标原点，过作Γ的准线的垂线，垂足为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】由题意得过直线方程为，与抛物线方程联立，即可解得坐标，利用两点的距离公式即可求解. 【详解】由题意得，Γ的准线方程为，过且倾斜角为的直线方程为，所以，得， 设，，，则，， 故，， 所以，， 故，， ，故． 故选：D.    22．(多选)（2025·浙江金华·二模）过抛物线：的焦点且斜率为的直线与交于，两点，线段，的中点分别为，，为坐标原点，直线，与抛物线的另一个交点分别为，，记点，到轴距离分别为，，则（   ） A． B． C．轴 D．若，则 【答案】C 【分析】设，,的直线方程，求出,进而求出，判断选项A,B,求出直线方程，表达出,判断选项C,再根据,求出的值，判断选项D. 【详解】设，,的直线方程， 因为线段的中点分别为, 所以， 根据中位线性质，则，， 由抛物线的定义可得，，，故A,B错误； 设直线方程：， 联立可得，，则， 故， 同理可得 又,则 故，故 则，故轴,故C正确；    由,则， 则，再由，故 则或（舍去），故 故，则，故D错误. 故选：C. 23．（2025·广东·模拟预测）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，联立直线与抛物线方程，即可得到的横坐标，结合焦半径公式代入计算，即可得到结果. 【详解】    由于，直线方程为， 联立方程，消去得， 显然，得， 所以，即. 故选：D. 24．（多选）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）在直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过分别作的准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则直线的斜率为 B． C．以线段为直径的圆与轴相切 D．的面积的最小值为8 【答案】BCD 【分析】设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线的定义求解判断ABC；表示出的面积，进而求解判断D. 【详解】由抛物线，则，准线， 设直线的方程为，， 联立，则， 则，， 则， ， 而，. 对于A，由，则，即， 则，解得（舍去）或，即， 所以，或，， 则直线的斜率为或，故A错误； 对于B，， ， 所以，故B正确； 对于C，线段中点的横坐标， 即线段的中点到轴的距离是， 所以以线段为直径的圆与轴相切，故C正确； 对于D，， 点到直线的距离为， 则， 当时，的面积取得最小值8，故D正确. 故选：BCD.    25．(多选)（24-25高二下·重庆巴南·期中）已知直线经过抛物线的焦点，与交于不同的两点，与的准线交于点，则（    ） A． B．若，则 C．若，则的取值范围是 D．若成等差数列，则 【答案】ABD 【分析】对于A选项，由直线经过抛物线的焦点可求得，对于B选项，联立直线与抛物线方程，，消去得：，设，由韦达定理和求出，对于C选项，将表示为的函数求值域即可得到范围，对于D选项，由抛物线的定义结合图形即可判断为中点. 【详解】对于A，由题： 抛物线的焦点为在直线上， 所以，故A正确； 对于B，联立直线与抛物线方程，，消去得： ，即：， 设，故，（*） 由得：，代入（*）式得：， 解得：，故B正确； 对于C，过作，垂足为，则 所以， 令，则且，所以且 则， 故C不正确； 对于D，若成等差数列，过作，垂足为，过作，垂足为，则，则如下右图，所以， 又，所以，即， 又，所以，所以为中点， 故，D正确， 故选：ABD. 26．（24-25高二上·江苏南京·期中）设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且这两交点纵坐标分别为，，A，B在抛物线准线上的射影分别为，． (1)求值； (2)求证：是直角； (3)M是线段AB中点，求点M的轨迹方程． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）设直线为，联立抛物线并应用韦达定理即可求结果； （2）由题设有，且，进而得到，即可证结论； （3）根据题设有，结合（1）有，即可得轨迹方程. 【详解】（1）由题设，焦点，直线可设为，联立抛物线有， 所以，由直线与抛物线有两个交点，即，则. （2）如下图示，由题意易知，则，， 又，则，， 综上，，，即， 而，即， 所以，得证. （3）由题意，由（1）知：，， 所以，故， 所以轨迹为. 27．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的准线方程为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的准线方程可求出的值，由此可得出抛物线的标准方程； （2）设点、，由对称性，不妨设点在第一象限，利用抛物线的定义结合已知条件求出点的坐标，由此可得出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的横坐标，再利用抛物线的定义可求得的值. 【详解】（1）抛物线的准线方程为，所以，即， 因此，抛物线的标准方程为. （2）设点、，由对称性，不妨设点在第一象限， 由抛物线的定义可得，可得，则，可得， 所以点，易知点， 所以直线的斜率为，则直线的方程为， 联立可得，解得，， 所以. 考点06 抛物线的实际应用(共3小题) 28．（24-25高二上·江苏扬州·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上， 所以，可得，所以抛物线的方程为， 当水面下降后，即当时，，可得， 因此，当水面下降后，桥洞内水面宽为. 故选：D. 29．（23-24高二上·内蒙古·期中）永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 ；该石拱桥对应的抛物线的焦点到准线的距离为 . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，将点带入解析式，求出，得到焦点到准线的距离；当水面下降时，，求出，得到水面宽度. 【详解】 如图，以拱顶为原点，建立直角坐标系. 设抛物线方程为，由题意可知抛物线过点， 得，得，所以抛物线方程为， 所以该抛物线的焦点到准线的距离为.当水面下降时，，则，得，所以水面的宽度为. 故答案为：； 30．（23-24高二上·河北邯郸·期中）如图，某高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为时，水面宽度为，当水面再上升时，水面宽度为 .      【答案】6 【分析】建立平面直角坐标系，让抛物线的顶点与坐标原点重合，设抛物线的方程为，根据点在抛物线上求出，再根据求出，则答案可得. 【详解】如图建立平面直角坐标系，让抛物线的顶点与坐标原点重合， 则由题意可设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上， 则，所以， 所以抛物线的方程为， 当水面再上升时，，此时有，解得， 所以此时的水面宽度为.    故答案为：6. 考点07 抛物线的光学性质(共3小题) 31．(多选)（23-24高三上·湖北·期中）抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射线都与抛物线的对称轴平行或重合.已知抛物线：的焦点为F，过x轴上F右侧一点的直线交于A，B两点，C在A，B处的切线交于点P，直线，交y轴分别于点D，E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，由光的反射定律和抛物线标准方程及几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】设直线，在C上的反射线分别为，，则轴， 设G，H分别为线段，延长线上的点， 结合光的反射定律可知，， 由几何关系可知，设交x轴于， 则，所以，故A正确； 设，其中，C在A处的切线的斜率为， 故C在A处的切线方程为， 令，则，即，故直线的斜率为， 所以，故，同理可知， 因为四边形的内角和为360°，所以，故B正确； 设，其中， 同上可知抛物线C在B处的切线方程为， 求得，所以， 且由抛物线的几何性质可知，， 所以，， 当且仅当时等号成立，故C错误； 设为坐标原点，由，则，同理， 所以，故D正确. 故选：ABD. 32．（2023·陕西榆林·二模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线：（）焦点为，准线为，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点（点在抛物线内）射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，且经过点，若直线与抛物线的准线交于点，则直线的斜率为 ；若，且平分，则 . 【答案】 0 2 【分析】①设直线的方程，与抛物线方程联立得出韦达定理，求出的坐标，写出直线的方程，求出点的坐标，得到直线的斜率； ②由平分推导角的关系得出，即，根据弦长公式写出方程，求出结果. 【详解】依题意直线过抛物线的焦点.设直线的方程为，，， 联立方程组得，则，． 因为，所以，． 因为直线的方程为， 所以直线与抛物线的准线的交点为， 所以直线的斜率为0． ②因为平分，所以，所以． 因为，所以，即 所以，得． 33．（24-25高二上·山西太原·期中）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.如下示意图中，手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面.该镜面圆形镜口的直径，镜深.为使小灯泡发出的光经镜面反射后，射出为一束平行光线，则该小灯泡距离镜面顶点的距离应为 . 【答案】 【分析】根据抛物线的方程以及性质即可求解. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则点坐标为，设平面截该镜面所得的抛物线方程为，代入，得，小灯泡应置于焦点处，故其距离镜面顶点的距离应为. 故答案为： 考点08 抛物线中的数学文化题、新定义题（共4小题） 34．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并完成了对定义的证明他指出，到定点的距离与到定直线的距离之比是常数e的点的轨迹是圆锥曲线（定点不在定直线上）：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线则（  ） A．方程 表示的曲线是椭圆 B．方程 表示的曲线是双曲线 C．方程表示的曲线是椭圆 D．方程 表示的曲线是双曲线 【答案】B 【分析】将选项中曲线方程转化为动点到定点的距离与到定直线的距离之比是常数，分别比较常数与1的大小关系，结合圆锥曲线的统一定义，逐一判断即可 【详解】不在直线 上， 对于A，方程化为=， 表示动点到定点的距离与到定直线的距离之比是常数， 而，所以表示的曲线是双曲线，错误； 对于B，方程化为=， 表示动点到定点的距离与到定直线的距离之比是常数， 而，所以表示的曲线是双曲线，正确； 对于C，方程化为=， 表示动点到定点的距离与到定直线的距离之比是常数， 所以表示的曲线是抛物线，错误； 对于D，方程化为=，表示动点到定点的距离与到定直线的距离之比是常数，而，所以表示的曲线是椭圆，错误； 故选： 35．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条直径与拋物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线经过点，从而可得答案. 【详解】因为圆的一条直径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边， 而抛物线的通径与轴垂直， 所以圆的这条直径与轴垂直， 且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点， 因为圆的圆心为，半径为， 所以该圆与轴垂直的直径的上端点为， 即抛物线经过点，则，即. 故选：C 36．（23-24高二上·江西景德镇·期末）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，往杯盏里面放入一个半径为的小球，要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的标准方程为，设小球大圆圆周方程，联立方程组求出，或，分析，可得最大值. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意可得的坐标为， 设抛物线的标准方程为，则，解得， 故该抛物线的标准方程为， 设小球大圆圆周方程， 联立方程组，解得或， 要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则小球与杯子有且只有一个交点， 就是抛物线的顶点，所以或无效， 考虑到抛物线不可能在轴下方，所以不成立，即， 所以，解得， 所以最大值为. 故选：C 37．（23-24高二上·江西·期中）倍立方问题是古希腊三大几何问题之一.倍立方问题是指给定一个棱长为的正方体，作另一个正方体，使得这个正方体体积是原来正方体体积的两倍（即给出长度为的线段）.古希腊数学家梅内克缪斯采用了抛物线的工具研究倍立方问题：在平面直角坐标系上，画出抛物线（）和抛物线（），使得这两个抛物线的其中一个交点横坐标为，则的值应取为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两抛物线方程联立，再结合可求出的值. 【详解】由，得. 因为是这个方程的一个解，所以，解得， 故选：B. 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $