专题05 双曲线18大考点50题（高效培优期中专项训练）高二数学上学期北师大版

专题05 双曲线 考点01 利用双曲线定义求轨迹（共4小题）(重点) 1 考点02 由双曲线方程求参（共3小题） 2 考点03 求双曲线的标准方程（共3小题）（重点） 3 考点04 利用双曲线定义求最值（共3小题）（难点） 3 考点05 双曲线的焦点三角形问题（共4小题（常考点） 3 考点06 双曲线的渐近线（共4小题）（重点） 4 考点07 双曲线的离心率（共4小题）（重点） 5 考点08 双曲线离心率的取值范围（共3小题） 5 考点09 双曲线焦点三角形的内切圆问题（共3小题）（难点） 6 考点10 双曲线第三定义的应用（共2小题） 6 考点11 共焦点椭圆与双曲线（共2小题） 7 考点12 利用双曲线求代数式的取值范围（重点） 8 考点13 双曲线中的最值或取值范围问题（共2小题）（重点） 8 考点14 双曲线的对称性（共2小题）（重点） 8 考点15 双曲线的光学性质（共2小题）（常考点） 9 考点16 双曲线的实际应用（共2小题） 9 考点17 双曲线中的文化题、新定义题（共3小题）（难点） 10 考点18 双曲线性质的综合应用（共2小题）（难点） 10 考点01 利用双曲线定义求轨迹（共4小题） 1．（2025高二·全国·专题练习）已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）一动圆过定点，且与圆B：相外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 考点02 由双曲线方程求参（共3小题） 5．（25-26高三上·江西·阶段练习）“”是方程“”表示双曲线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）当从0到逐渐变大时，方程表示的曲线依次为（    ） A．圆，椭圆，两条直线，双曲线 B．圆，椭圆，双曲线 C．椭圆，一条射线，双曲线，圆 D．圆，椭圆，一条直线，双曲线 7．(多选)（2025·海南·模拟预测）已知方程，则下列说法正确的有（   ） A．若，此时方程为椭圆，离心率为 B．若，此时方程为双曲线，其渐近线为 C．若方程表示双曲线，则 D．若方程表示椭圆，则 考点03 求双曲线的标准方程（共3小题） 8．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的离心率，则双曲线的标准方程为 ． 10．（25-26高二上·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (3)过点，且焦点在坐标轴上． 考点04 利用双曲线定义求最值（共3小题） 11．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 12．（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 13．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知双曲线的离心率为，为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程; (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 考点05 双曲线的焦点三角形问题（共4小题） 14．（2025高三·全国·专题练习）为双曲线上的任意一点，为焦点，若，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 16．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于点，，，则的面积为（    ） A．16 B． C．32 D． 17．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 考点06 双曲线的渐近线（共4小题） 18．（25-26高三上·北京·开学考试）若双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 20．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线的左右焦点分别为，过且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，中点纵坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为 . 21．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是 ． 考点07 双曲线的离心率（共4小题） 22．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．   23．（24-25高二上·天津滨海新·期中）双曲线的左焦点为，，点为双曲线右支上的动点且周长的最小值为14，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 24．（2025·河南·二模）已知的顶点，分别为双曲线：的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则 . 25．（2025·广东佛山·一模）直线过双曲线的左焦点，交的渐近线于两点．若，且，则的离心率为 ． 考点08 双曲线离心率的取值范围（共3小题） 26．（2025·河北邯郸·一模）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）在双曲线的右支上有一点，过点的直线交的两条渐近线于两点（点均在轴的右侧）.若，且（为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点09 双曲线焦点三角形的内切圆问题（共3小题） 28．(多选)（21-22高三上·全国·阶段练习）若双曲线，，分别为左、右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为△的内心，，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．点的运动轨迹为双曲线的一部分 C．若，，则 D．的最小值为9 29．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知分别为双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则双曲线的离心率为 ． 30．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（点在第一象限），且是腰长为8的等腰三角形，则双曲线的离心率为 ；若直线的斜率大于零，且圆为的内切圆，则圆的半径为 ． 考点10 双曲线第三定义的应用（共2小题） 31．（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线的离心率，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，已知，是双曲线的右支上的两点（点在第一象限），点关于坐标原点对称的点为，且，若直线的斜率为，则该双曲线的离心率为 ． 考点11 共焦点椭圆与双曲线（共2小题） 33．（24-25高二下·湖南·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，的值为（   ）. A． B． C． D． 34．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 考点12 利用双曲线求代数式的取值范围 35．（22-23高二上·辽宁锦州·期末）已知实数x，y满足，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 36．（2025·北京东城·一模）已知集合，，如果有且只有两个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点13 双曲线中的最值或取值范围问题（共2小题） 37．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线，点、是右支上任意两点，且，则的取值范围是 ． 38．（2025高三·全国·专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点（除右顶点），若平面内存在一点满足是的角平分线，是的外角平分线，则的取值范围是 ． 考点14 双曲线的对称性（共2小题） 39．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）双曲线的右焦点，过原点的直线与相交于P，Q两点，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 40．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（    ） A．0 B． C．1 D． 考点15 双曲线的光学性质（共2小题） 41．（24-25高二下·海南海口·期中）圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 42．（24-25高二上·广西河池·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点16 双曲线的实际应用（共2小题） 43．（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 44．（24-25高二上·辽宁·期中）某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 考点17 双曲线中的文化题、新定义题（共3小题） 45．（25-26高三上·湖南·开学考试）若双曲线与关于直线对称，且的离心率与的离心率之积为常数），则称与互为型双曲线.已知双曲线，则的3型双曲线的渐近线为（   ） A． B． C． D． 46．（23-24高三上·河北·期末）我们把形如：和：的两个双曲线叫做共轭双曲线.已知与互为共轭双曲线，且的离心率，则的离心率（    ） A． B．2 C． D． 47．（2025·山东枣庄·二模）设，记曲线与直线，轴所围成的封闭区域的面积为，数学家牛顿研究发现：，则（    ） A． B． C．S D． 考点18 双曲线性质的综合应用（共2小题） 48．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知椭圆的上、下焦点分别为，，为椭圆上的一个动点，当取最大值时，其余弦值为，且点到上焦点的距离的最大值为9.又知双曲线与椭圆有公共焦点，它们的离心率之和为. (1)求椭圆的标准方程； (2)求双曲线的标准方程； (3)设是双曲线与椭圆的一个交点，求的面积. 49．（上海市宝山区2024-2025学年高二下期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是其左顶点，点是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率. (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标. 50．（2025·吉林·模拟预测）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，设椭圆和双曲线的离心率分别为和． (1)求证：； (2)设点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，求的最小值，并求此时与的值； (3)在（2）的条件下，设点为椭圆上任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的垂线（点不在两条渐近线上），垂足分别为和，试问面积是否有最大值，如果有最大值，求出此时的值，如果没有最大值，请说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 双曲线 考点01 利用双曲线定义求轨迹（共4小题）(重点) 1 考点02 由双曲线方程求参（共3小题） 4 考点03 求双曲线的标准方程（共3小题）（重点） 5 考点04 利用双曲线定义求最值（共3小题）（难点） 7 考点05 双曲线的焦点三角形问题（共4小题（常考点） 9 考点06 双曲线的渐近线（共4小题）（重点） 12 考点07 双曲线的离心率（共4小题）（重点） 15 考点08 双曲线离心率的取值范围（共3小题） 19 考点09 双曲线焦点三角形的内切圆问题（共3小题）（难点） 20 考点10 双曲线第三定义的应用（共2小题） 24 考点11 共焦点椭圆与双曲线（共2小题） 26 考点12 利用双曲线求代数式的取值范围（重点） 27 考点13 双曲线中的最值或取值范围问题（共2小题）（重点） 30 考点14 双曲线的对称性（共2小题）（重点） 32 考点15 双曲线的光学性质（共2小题）（常考点） 34 考点16 双曲线的实际应用（共2小题） 36 考点17 双曲线中的文化题、新定义题（共3小题）（难点） 37 考点18 双曲线性质的综合应用（共2小题）（难点） 39 考点01 利用双曲线定义求轨迹（共4小题） 1．（2025高二·全国·专题练习）已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的上支， 且，， 所以其轨迹方程为， 故选:C． 2．（2024高三·全国·专题练习）一动圆过定点，且与圆B：相外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据圆过点及与圆B外切得，利用双曲线的定义即可求解轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为点，连接PB，PA，则，则， 所以点P的轨迹是以，为焦点，且实轴长为4的双曲线的左支． 设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，则，． 所以动圆圆心的轨迹方程为． 故选：A 3．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可. 【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故选：B 4．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆上恰有三个点到直线的距离为，得到圆心到直线的距离恰好为，求得，设，得到，代入方程，即可得到点的轨迹方程. 【详解】由圆，可得标准方程为， 所以圆心，半径为， 若圆上恰有三个点到直线的距离为， 则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即， 设，则， 代入，可得， 整理得，即点的轨迹方程为. 故选：A. 考点02 由双曲线方程求参（共3小题） 5．（25-26高三上·江西·阶段练习）“”是方程“”表示双曲线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据方程表示双曲线，求得或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若方程表示双曲线，则满足，解得或， 所以“”是方程“”表示双曲线的充分不必要条件. 故选：A. 6．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）当从0到逐渐变大时，方程表示的曲线依次为（    ） A．圆，椭圆，两条直线，双曲线 B．圆，椭圆，双曲线 C．椭圆，一条射线，双曲线，圆 D．圆，椭圆，一条直线，双曲线 【答案】A 【分析】根据的变化规律得出对应的余弦值的大小，再由圆、椭圆、双曲线等标准方程对应即可得出结论. 【详解】①当时，，曲线，表示圆； ②当时，，曲线表示椭圆； ③当时，，曲线即，表示两条直线； ④当时，，曲线表示双曲线. 故选：A. 7．（多选）（2025·海南·模拟预测）已知方程，则下列说法正确的有（   ） A．若，此时方程为椭圆，离心率为 B．若，此时方程为双曲线，其渐近线为 C．若方程表示双曲线，则 D．若方程表示椭圆，则 【答案】AB 【分析】AB求出具体的方程可判断；C根据可求；D根据，，可求. 【详解】若，则为椭圆，，则离心率为， 故A正确； 若，则为双曲线，则渐近线方程为，故B正确； 若方程表示双曲线，则，得或，故C错误； 若方程表示椭圆，则，得且， 故D错误. 故选：AB 考点03 求双曲线的标准方程（共3小题） 8．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据渐近线的倾斜角可得，即可由焦距以及的关系列方程求解. 【详解】由条渐近线的倾斜角为，可知，故， 又和， 解得，故双曲线方程为， 故选：A 9．（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的离心率，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】与双曲线共离心率的双曲线方程可设为或，代入点的坐标求解. 【详解】设与双曲线共离心率的双曲线方程为或， 因为双曲线过点，所以，（舍去）， 所以双曲线的方程为，即． 故答案为：． 10．（25-26高二上·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (3)过点，且焦点在坐标轴上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意设双曲线的标准方程为，代入点，计算求得，即得双曲线方程； （2）依题设所求双曲线方程为，代入点，计算求得的值，回代入方程即得双曲线方程； （3）依题意设双曲线的方程为，，代入点的坐标，求得的值，回代入方程即得双曲线方程. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，且， 则可设双曲线的标准方程为， 因双曲线经过点，可得，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）因所求的双曲线与双曲线有相同的焦点， 故可设所求双曲线方程为． 又双曲线过点，则得，解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）设双曲线的方程为，． 点，在双曲线上， 则有解得， 双曲线的标准方程为． 考点04 利用双曲线定义求最值（共3小题） 11．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 12．（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【详解】由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故选：B. 13．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知双曲线的离心率为，为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程; (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【答案】(1) (2)23 【分析】（1）利用点到直线的距离公式和离心率列方程求出，，，即可得到双曲线的方程； （2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可. 【详解】（1）由题意知，解得， 则， 所以双曲线的方程为. （2）设双曲线的左焦点为，则， 由双曲线的定义知：，则， 可得， 当，，三点共线时，最小，且最小值为. 故的最小值为. 考点05 双曲线的焦点三角形问题（共4小题） 14．（2025高三·全国·专题练习）为双曲线上的任意一点，为焦点，若，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义和余弦定理以及三角函数二倍角公式即可求解. 【详解】设，，， 列， 所以． ， 故选：A． 15．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义和余弦定理得，在和中，由余弦定理得，求解即可. 【详解】由题意得，，所以①， 在中，由余弦定理得， 即②，联立①②，解得， 因为， 所以在和中，由余弦定理，得， 结合，可得， 所以， 所以， 所以，得，所以，所以，解得． 故选：A 16．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于点，，，则的面积为（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义确定的长，再由定义可得，由得为等腰直角三角形，从而可求得的面积. 【详解】由双曲线的实轴长为4，得， 所以，又，所以，因为，所以， 又，所以， 又，所以为等腰直角三角形， 由，得， 所以的面积为. 故选：A. 17．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程. （2）利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解. 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）设，，则由双曲线的定义得， 在中，， 则，所以的面积. 考点06 双曲线的渐近线（共4小题） 18．（25-26高三上·北京·开学考试）若双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线定义求出，再由双曲线方程求出其渐近线方程. 【详解】双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4， 则有，得， 所以双曲线的渐近线的方程为. 故选：C 19．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线的性质，结合离心率可求渐近线方程. 【详解】由题意知，所以， 所以的渐近线方程为，即为， 故选：A． 20．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线的左右焦点分别为，过且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，中点纵坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】设的方程为，联立渐近线方程求出纵坐标，根据中点坐标公式结合列方程组求解可得. 【详解】易知，直线的斜率不为0，设方程为， 双曲线的渐近线方程为， 联立解得，由解得， 由题知，，即， 整理得①， 因为，记的中点为，则，， 所以，整理得②， ②代入①得，整理得③， ③代入②整理得，即， 因为，所以，所以， 又，所以，即，所以渐近线方程为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于中点坐标公式和垂直直线的斜率关系列方程，化简得到齐次式即可得解. 21．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是 ． 【答案】 【分析】由角平分线定理，结合余弦定理，求得，再求的正切值，进而即可求得渐近线方程. 【详解】根据题意，作图如下：    依题意，为的角平分线，且， 设，由角平分线定理可得：，则； 在中，由余弦定理； 在中，由余弦定理可得，， 即，解得. 故，， 所以的渐近线方程是． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程，常见有三种方法： ①直接求出，从而得解； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，从而得解； ③求得其中一个渐近线的倾斜角（或斜率），从而得解. 考点07 双曲线的离心率（共4小题） 22．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据通径的性质以及等边三角形的性质即可求解. 【详解】由于是等边三角形，故, 由于通径长，所以 ， 故，进而，故，即， 故， 故选：D    23．（24-25高二上·天津滨海新·期中）双曲线的左焦点为，，点为双曲线右支上的动点且周长的最小值为14，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】利用双曲线的定义将转化为，然后利用三点共线时取最小值求解即可. 【详解】∵，， ∵周长的最小值为14， ∴的最小值为14，即的最小值为， 设右焦点为，则，即， 则，即三点共线且依次排列时等号成立， 此时，即最小值为，得， ∵，∴离心率. 故选：A. 24．（2025·河南·二模）已知的顶点，分别为双曲线：的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则 . 【答案】/ 【分析】设，在中利用正弦定理，再结合双曲线的定义可得到的关系式，即可求出. 【详解】 由题意可知，与渐近线垂直，则直线的斜率为， 设，则，所以，， ，，， 在中利用正弦定理得， ， ， 由双曲线定义知，， 即，化简得， . 故答案为：. 25．（2025·广东佛山·一模）直线过双曲线的左焦点，交的渐近线于两点．若，且，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】先判断出直线的斜率，由此求得直线的方程，通过联立方程求得两点的坐标，再根据比例列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】双曲线的左焦点，到渐近线的距离为 所以直线与渐近线垂直，所以直线的斜率为， 直线的方程为，设， 联立，消去并化简得点横坐标为. 联立，消去并化简得点横坐标. 因为，所以. 即，， ，. ， ， ， ， ，， 又因为， 所以双曲线的离心率. 故答案为： 【点睛】方法点睛： 利用双曲线焦点到渐近线的距离与已知条件建立联系，确定直线与渐近线的位置关系，进而得到直线方程，这是解决本题的关键之一. 通过联立直线与渐近线方程求出交点坐标，再结合向量关系列出等式，最后利用双曲线的基本性质和离心率公式求解离心率，这是处理此类双曲线与直线、向量综合问题的常见方法. 考点08 双曲线离心率的取值范围（共3小题） 26．（2025·河北邯郸·一模）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义可得，又，可得，又当轴时最小，可得，即，可得，即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】由已知，设， 则， 两式相加得， 又，所以， 又，所以， 当轴时最小，此时， 所以，又， 则，整理得， 又，两边除以得，解得， 又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：B. 27．（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）在双曲线的右支上有一点，过点的直线交的两条渐近线于两点（点均在轴的右侧）.若，且（为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可求出点，将其坐标代入双曲线的方程可得求出，代入，即可求出的范围，进而求出双曲线的离心率的取值范围. 【详解】由双曲线的对称性，设. 由，可得， 即. 将其坐标代入双曲线的方程，得， 化简得因为双曲线的渐近线方程为：， 因为，所以， 所以， . 故选：B. 考点09 双曲线焦点三角形的内切圆问题（共3小题） 28．(多选)（21-22高三上·全国·阶段练习）若双曲线，，分别为左、右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为△的内心，，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．点的运动轨迹为双曲线的一部分 C．若，，则 D．的最小值为9 【答案】CD 【分析】根据双曲线的方程直接写出渐近线方程判定A；由圆的切线长定理和双曲线的定义可求得的横坐标，可判定B；由双曲线的定义和余弦定理，利用等面积法求得的纵坐标，由正弦和求交点，求得的坐标，运用向量的坐标表示，可得，可判定C；若与关于y轴对称，结合双曲线的定义及对称性可得，可判定D. 【详解】由题意，双曲线，可知其渐近线方程为，A错误； 设，△的内切圆与、、分别切于、、，可得， 由双曲线的定义可得：，即， 又，解得，则的横坐标为， 由与的横坐标相同，即的横坐标为，故在定直线上运动，B错误； 由且，解得：， ∴，则， ∴，同理可得：， 设直线，直线，联立方程得， 设△的内切圆的半径为，则，解得，即， ∴， 由，可得，解得，故， C正确； 若与关于y轴对称，则且，而， ∴，故要使的最小，只需三点共线即可， 易知：，D正确. 故选：CD. 29．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知分别为双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】先根据双曲线的定义及内切圆的概念，判断与内切圆圆心在直线上，判断，表述出两内切圆的半径，根据可求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设的内切圆圆心为，与各边的切点分别为，，， 根据切线长定理，可得，，，根据双曲线的定义：， 所以， 又，所以，所以点坐标为，即为双曲线的左顶点. 即在直线上.设的内切圆圆心为，同理可得点在直线上. 根据内切圆的概念，可得、分别平分、，所以. 设，则.因为，所以，同理. 所以.又，所以， 因为，所以.故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于根据双曲线的概念和内切圆的定义，先判断出与的内切圆圆心在直线上. 30．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（点在第一象限），且是腰长为8的等腰三角形，则双曲线的离心率为 ；若直线的斜率大于零，且圆为的内切圆，则圆的半径为 ． 【答案】 2 / 【分析】先根据等腰三角形的性质及双曲线的定义求出的值，再结合双曲线中的关系求出，从而可求出双曲线的离心率；对于求内切圆的半径，先求出直线的斜率，则可求出直线的方程，代入双曲线方程可求出点的坐标，从而可求出，然后利用三角形面积与周长关系求解即可. 【详解】由，得，则， 因为过的直线与双曲线的右支交于，两点（点在第一象限），且是腰长为8的等腰三角形，所以或，所以，得， 所以，得，解得，所以离心率为， 因为直线的斜率大于零，是腰长为8的等腰三角形，所以， 因为，所以，所以，所以，所以，所以直线的斜率为， 因为，所以直线为， 由，得，解得或，因为直线的斜率大于零，点在第一象限，所以，，所以， 所以，因为，所以， 设圆的半径为，则， 所以，解得.故答案为：2， 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的离心率问题，考查双曲线的焦点三角形问题，解题的关键是根据题意结合双曲线的定义在等腰中求出直线的斜率，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 考点10 双曲线第三定义的应用（共2小题） 31．（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线的离心率，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一，由双曲线的第三定义可求；方法二，由离心率得，再由点差法和斜率公式可求. 【详解】方法一，  由双曲线的性质可得，且，． 方法二，  由题易知解得，双曲线的方程为． 由题知关于坐标原点对称，设，，， 由得． 直线的斜率分别为，且， ，，， ． 32．（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，已知，是双曲线的右支上的两点（点在第一象限），点关于坐标原点对称的点为，且，若直线的斜率为，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】作图，取的中点并连接，得到，，从而求出直线的斜率，设，，利用点差法得到的值，再根据离心率的公式计算即可得结果. 【详解】如图，设直线与轴交于点，取的中点，连接， 由双曲线的对称性可知为线段的中点，则，所以．由直线的斜率，得， 则直线的斜率． 设，，则两式相减，得，化简得，即， 所以该双曲线的离心率． 故答案为： 考点11 共焦点椭圆与双曲线（共2小题） 33．（24-25高二下·湖南·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，的值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设为第一象限的交点，，，由椭圆、双曲线定义可得，，结合余弦定理、离心率公式可得，由不等式及其取等条件即可求解. 【详解】设为第一象限的交点，，， 则，，解得，， 在中，由余弦定理得， ，， ，，， ，即， 当且仅当，即，时等号成立，此时，故选：D． 34．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆、双曲线的定义结合勾股定理整理可得，结合解得，进而可求渐近线方程. 【详解】设椭圆的半长轴长为，双曲线的半实轴长为，半虚轴长为，焦距均为， ，，，则，， 由题意可得：，因为，则，可得，即， 又因为，即，可得，解得， 可得，且双曲线的焦点在x轴上， 所以双曲线的渐近线方程为.故选：D. 考点12 利用双曲线求代数式的取值范围 35．（22-23高二上·辽宁锦州·期末）已知实数x，y满足，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对的正负分类讨论，去掉绝对值转化为相应的曲线方程，根据的几何意义利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】依题意，当时，方程为，是双曲线在第一象限的部分； 当时，方程为，不能表示任何曲线；当时，方程为， 是双曲线在第三象限的部分；当，方程为， 是椭圆在第四象限的部分；其图象大致如图所示： 的几何意义是曲线上的点到 直线的距离的两倍， 双曲线的渐近线与平行， 所以曲线在第一、三象限上的点到 的距离，由图象可知直线与椭圆在第四象限的部分 相切时，距离取得最小值，设切线为：且，由，可得， 由，解得或（舍去）， 所以曲线在第四象限上的点到的距离. 所以的取值范围是：.故选：A. 【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法． (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义． 36．（2025·北京东城·一模）已知集合，，如果有且只有两个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析出曲线表示的是双曲线在轴上及上方的所有点，再分情况讨论当取不同值时，表示的不同曲线，及与曲线的交点个数情况即可得到结果. 【详解】因为有且只有两个元素， 所以曲线与有且只有两个交点. 对于曲线变形可得， 表示的是双曲线在轴上及上方的所有点， 对于曲线， （1）当时，如图所示，表示的是一条直线， 与交于，两点，符合题意； （2）当时，，与至多有一个交点，不符合题意； （3）当时，表示的是两条射线， ， ①当时， 表示的是 和两条射线， 与仅有一个交点， 如下图所示，所以不符合题意； ②当时，与轴的交点为，， 且的斜率，的斜率， 而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和， 所以与的左右两支各有一个交点， 如下图所示，所以符合题意； ③当时，与轴的交点为，， 且的斜率，的斜率， 而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和， 所以与的右支没有交点，与左支有两个交点， 如下图所示，所以符合题意； 综上，实数的取值范围为. 故选：D 考点13 双曲线中的最值或取值范围问题（共2小题） 37．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线，点、是右支上任意两点，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，则，数形结合分析得，即可得. 【详解】设，则，则或为锐角，如下图， 设点为双曲线的渐近线在第一象限内的一点， 设点为双曲线的渐近线在第四象限内的一点， 由题意知，，则，解得. 38．（2025高三·全国·专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点（除右顶点），若平面内存在一点满足是的角平分线，是的外角平分线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，作出图象，结合图象和的运动轨迹，即可求解. 【详解】由已知得，则，作图如下.    设点，且，而， 则且， 故， 而在直线，的下方程， 故且， 故， 而， 所以， 故，即， 所以，则有， 结合双曲线方程消元，得，所以. 故答案为：. 考点14 双曲线的对称性（共2小题） 39．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）双曲线的右焦点，过原点的直线与相交于P，Q两点，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质可得，由双曲线的定义及对称性可得，由此可求，进而可得的面积． 【详解】因为双曲线，所以，设左焦点为， 由题意可知，关于原点对称，所以， 由双曲线的对称性可得， 由双曲线的定义可得， 所以，可得， 又， 所以， 所以的面积为． 故选：B． 40．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意得且，则，根据双曲线定义得点的轨迹是以为焦点的双曲线，求出其方程即可得解. 【详解】如图，连接，由题意可得，且为的中点， 又为的中点，所以且． 连接，因为点关于点的对称点为， 线段的垂直平分线与直线相交于点， 由垂直平分线的性质可得， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，，， 所以，所以曲线的方程为， 令可得，即． 考点15 双曲线的光学性质（共2小题） 41．（24-25高二下·海南海口·期中）圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案. 【详解】椭圆；双曲线则双曲线和椭圆的焦点重合. 根据双曲线的定义有 所以 根据椭圆的定义由 所以路程 故选：B. 42．（24-25高二上·广西河池·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，设，利用双曲线定义表达出其他边，在中，由余弦定理得到方程，求出，再在中，由余弦定理得到方程，求出，求出离心率. 【详解】由题意知延长 则必过点 ， ， 设， 则，， 由双曲线的定义可得 ，， 由可得， 在中，由余弦定理 可得， 在中，由余弦定理 可得 解得：， 则， 故选：D 考点16 双曲线的实际应用（共2小题） 43．（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】将代入双曲线得到，当得到，进而求得拱顶到水面的距离，即可判断. 【详解】根据题意，，，故，解得，即， 则当水面宽度为米时，即时，解得，， 因此，拱顶M到水面的距离为. 故选：D 44．（24-25高二上·辽宁·期中）某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【分析】分析可知，在以、为焦点的双曲线的右支上，建立平面直角坐标系，求出双曲线方程，将线段的垂直平分线方程与双曲线的方程联立，求出点的坐标，可求出直线的斜率及倾斜角，即可得出结论. 【详解】因为、同时接到信号，所以，，则点在线段的垂直平分线上， 因为、比处同时晚收到信号，所以有， 从而在以、为焦点的双曲线的右支上，所以，，，则， 如图，以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，正东方向为轴的正方向， 建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、，， 所以，双曲线的方程为， 线段的垂直平分线的方程为，即， 联立，解得，即点， 从而，所以，直线的倾斜角为， 则在处测得的方向角为北偏东， 故选：A. 考点17 双曲线中的文化题、新定义题（共3小题） 45．（25-26高三上·湖南·开学考试）若双曲线与关于直线对称，且的离心率与的离心率之积为常数），则称与互为型双曲线.已知双曲线，则的3型双曲线的渐近线为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由3型双曲线定义可知双曲线的方程为，且，求得，即可求出渐近线方程. 【详解】由新概念可知，的3型双曲线的方程为，且， 所以，即，则， 所以的3型双曲线的渐近线为. 故选：D. 46．（23-24高三上·河北·期末）我们把形如：和：的两个双曲线叫做共轭双曲线.已知与互为共轭双曲线，且的离心率，则的离心率（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由共轭双曲线的定义分别写出关于参数a,b的表达式，即可确定答案. 【详解】由，得， ，解得. 故选：C. 47．（2025·山东枣庄·二模）设，记曲线与直线，轴所围成的封闭区域的面积为，数学家牛顿研究发现：，则（    ） A． B． C．S D． 【答案】AD 【分析】结合题设新定义判断ABC；设直线分别与曲线交于两点，与轴交于两点，结合图形可得表示梯形ABCD的面积，进而根据图形判断D. 【详解】对于A，由题意，， 而， 所以，故A正确； 对于B，， ， 则，所以，故B错误； 对于C，， 令，则， 而，故C错误； 对于D，如图，设直线分别与曲线交于两点， 与轴交于两点， 则， 则梯形ABCD的面积为， 由图可知，，故D正确. 故选：AD. 考点18 双曲线性质的综合应用（共2小题） 48．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知椭圆的上、下焦点分别为，，为椭圆上的一个动点，当取最大值时，其余弦值为，且点到上焦点的距离的最大值为9.又知双曲线与椭圆有公共焦点，它们的离心率之和为. (1)求椭圆的标准方程； (2)求双曲线的标准方程； (3)设是双曲线与椭圆的一个交点，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设椭圆的焦距为.当点在椭圆左右顶点时，取最大值；当点在椭圆下顶点时，点到上焦点的距离最大.由此得到关系，根据求出，得到椭圆的标准方程. （2）由双曲线与椭圆有公共焦点且它们的离心率之和为，可得到双曲线的实半轴长和半焦距，从而求出双曲线的标准方程. （3）结合双曲线和椭圆的定义，得到的关系，利用余弦定理求得，从而求得，并求得的面积. 【详解】（1）当取最大值时，为短轴的端点，如图1：    由，，，所以. 又点到上焦点的距离的最大值为9，如图2，即，解得，. 由，可得，椭圆的方程为. （2）由题意，设双曲线的方程为，且. 由椭圆方程为，得到焦点坐标为，椭圆的离心率为. 因为双曲线与椭圆有公共焦点，则. 因为椭圆与双曲线的离心率之和为，即，所以双曲线的离心率， 则，即，所以，故双曲线的方程是. （3）由（1）（2）结合椭圆和双曲线的定义，得，， 解得或又，所以在中， 由余弦定理得， 所以. 故的面积为.    49．（上海市宝山区2024-2025学年高二下期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是其左顶点，点是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率. (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由，得到，结合，求得，即可求得双曲线的方程； （2）设，由点为第一象限，其中，根据为等腰三角形，分或或，三种情况讨论，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】（1）解：设双曲线的半焦距为，因为双曲线的离心率， 可得，所以且， 又因为，即，解得， 所以双曲线的方程为. （2）解：由（1）知，双曲线的方程为，可得， 设，因为点为第一象限，其中， 又因为为等腰三角形，可得或或， 若，则在线段的中垂线上，则（舍去）； 若，则，所以， 联立方程组，其中，解得，所以点； 若，同理可得，其中， 解得，所以点， 综上可得，点或. 50．（2025·吉林·模拟预测）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，设椭圆和双曲线的离心率分别为和． (1)求证：； (2)设点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，求的最小值，并求此时与的值； (3)在（2）的条件下，设点为椭圆上任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的垂线（点不在两条渐近线上），垂足分别为和，试问面积是否有最大值，如果有最大值，求出此时的值，如果没有最大值，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)3，， (3)有， 【分析】（1）根据椭圆、双曲线参数之间的关系，进行证明. （2）利用椭圆、双曲线的定义即焦点三角形的性质，结合余弦定理和基本不等式可求的最小值，并得到取到最小值时与的值. （3）利用点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，表示出的面积，求出其最大值，进一步确定的值. 【详解】（1）如图：    已知椭圆与双曲线有公共的焦点，即， 两边平方，得， 移项，得到． （2）设椭圆和双曲线在第一象限的交点为， 所以. 又，利用余弦定理，得到方程， 即， 因此， 当且仅当，即，时等号成立， 因此解得椭圆离心率和双曲线的离心率． （3）设，渐近线斜率分别为和， 不妨设点在渐近线上，倾斜角为，则， 同理， 在四边形中，， ， ， ， ， ， 此时． 6 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $