专题03 轴对称与等腰三角形（期中真题汇编，长沙专用）八年级数学上学期人教版2024

专题03 轴对称与等腰三角形 常考考点概览 考点01 轴对称图形的识别 考点02 画轴对称图形 专题03 轴对称与点的坐标 专题04 轴对称的性质综合 专题05 线段垂直平分线的性质与判定综合 专题06 等腰三角形的性质——三线合一 专题07 等腰三角形的性质——等边对等角 专题08 等腰三角形的性质与判定综合 专题09 等边三角形的性质与判定综合 专题10 含30°角的直角三角形 地 城 考点01 轴对称图形的识别 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，此次亚运会在规模、项目、覆盖面、商业价值等方面都创造了多个“历史之最”．以下运动图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握，“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”． 【详解】解：A．是轴对称图形，故A正确； B．不是轴对称图形，故B错误； C．不是轴对称图形，故C错误； D．不是轴对称图形，故D错误． 故选：A． 2．(24-25八上·湖南长沙一中教育集团·期中)剪纸窗花不仅是艺术品，更是文化的传承与创新．它们通过谐音、象征等手法，构成富于寓意的艺术画面．下面是某学校部分学生的作品，其中不是轴对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：C． 3．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中梅溪湖中学·期中)下列汉字中，属于轴对称图形的是（    ） A．师 B．梅 C．中 D．学 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合，熟练掌握轴对称图形定义是解题的关键． 【详解】解：“中”字沿着中间一竖笔画所在直线对折可以完全重合，所以“中”字是轴对称图形，选项C符合题意， 故选：C． 4．(23-24八上·湖南长沙长郡教育集团·期中)我们生活在一个充满对称的世界中：许多建筑都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中有些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受!在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中，轴对称图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义即可求解． 【详解】 解：轴对称图形是， 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 5．(23-24八上·湖南长沙一中教育集团·期中)杭州亚运会中有各种比赛项目，下列可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称，熟练掌握轴对称的定义：“如果一个图形沿着一条直线折叠，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形．”利用定义逐一判断即可． 【详解】解：根据轴对称的定义可得，C符合题意， 故选：C． 6．(23-24八上·湖南长沙岳麓区湖南师大附中博才实验中学·期中)第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 地 城 考点02 画轴对称图形 一、解答题 1．(23-24八上·湖南长沙岳麓区湖南师大附中博才实验中学·期中)在平面直角坐标系中的位置如图所示，按下列要求解答： (1)画出关于轴对称的图形； (2)写出、、三个点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了坐标与图形，画轴对称图形； （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）根据坐标系写出，，即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解： 2．(23-24八上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．    (1)画出关于x轴的对称图形，点的坐标为 ． (2)将沿x轴方向向左平移3个单位，向下平移2个单位后得到，直接写出顶点，，的坐标． 【答案】(1)见解析，点的坐标为 (2) 【分析】本题主要考查画轴对称图形，平移，写出平面直角坐标系中点的坐标； （1）根据轴对称的性质画出x轴的对称图形，根据坐标系写出点的坐标即可求解； （2）根据平移的性质画出，根据坐标系写出顶点，，的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标为    （2）解：如图所示，    3．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为．    (1)直接写出的面积 ； (2)已知与关于y轴对称，请在坐标系中画出； (3)点与点关于x轴对称，求的值． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据网格得出的底和高，利用三角形面积公式求解； （2）在坐标系中找出三个顶点关于y轴的对应点，顺次连接即可； （3）根据关于x轴对称的点的坐标特征“横坐标相等，纵坐标互为相反数”求出a和b的值，再代入求解即可．掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可知，， 故答案为：6； （2）解：如图； （3）解：∵点与点关于x轴对称， ，， ． 4．(23-24八上·湖南长沙明德教育集团·期中)如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作，使和关于轴对称； (2)写出点，，的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法． （1）分别作出点A，B，C关于轴对称的点，，，再顺次连接即可得出； （2）根据点，，在坐标平面内的位置，写出点的坐标即可； （3）利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【详解】（1）如图，即为所求 （2），，； （3）. 5．(24-25八上·湖南长沙明德教育集团·期中)如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中作出关于y轴的对称图形；并写出的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)见解析，，， (2)5 【分析】本题考查了作轴对称图形，坐标与图形等知识．熟练掌握作轴对称图形，坐标与图形是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，作答即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由轴对称的性质作图，如图，即为所求； ∴，，； （2）解：由题意知，， ∴的面积为5． 6．(24-25八上·湖南长沙宁乡玉潭街道城北初级中学·期中)在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)请直接写出点A、B的坐标； (2)请画出关于y轴的对称图形； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)见详解 (3)8 【分析】本题考查了网格作图——关于y轴对称，解题的关键是根据轴对称变换的定义作出变换后的对应点． （1）根据点A、B在平面直角坐标系中的位置即可求出答案； （2）点A、B、C分别作关于y轴对称的点，依次连接，即可画出图形； （3）由网格可知，的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图可知，点A的坐标为，B的坐标为； （2）如图，点A、B、C分别作关于y轴对称的点，依次连接， 就是所求作的图形， （3）由图可知，． 7．(24-25八上·湖南长沙长郡集团联考·期中)如图，在平面直角坐标系中；的三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出将向右平移7个单位得到的； (2)请画出与关于轴对称的，并写出的坐标； (3)在轴上找一点使得的面积为3，直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， (3)或 【分析】本题考查作图轴对称变换、作图平移变换，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案； （2）根据轴对称的性质作图，并写出的坐标； （3）设点P坐标为，由的面积为3，可得，再求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求．， （3）解：设点P坐标为， 的面积为3， ， ， 或， 解得：或， 或， 地 城 考点03 轴对称与点的坐标 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙华益中学·期中)在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：①关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据平面直角坐标系中任意一点，，关于轴的对称点的坐标是即可得出答案． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是． 故选：A． 2．(24-25八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)若点与点关于y轴对称，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， 故选：B． 3．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)圆周率是精确计算圆周长、圆面积、球体积的关键值．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若第一笔画上有一点，其坐标为，则经过第2025次变换后所得的点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2025除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的圆周率所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：∵点第一次关于轴对称后在第四象限， 点第二次关于轴对称后在第三象限， 点第三次关于轴对称后在第二象限， 点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置， ∴每四次对称为一个循环组依次循环， ∵， ∴经过第2025次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为， 故选：C． 二、填空题 4．(23-24八上·湖南长沙一中教育集团·期中)点关于x轴对称的点是，则 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到，则． 【详解】解：∵点关于x轴对称的点是， ∴， ∴， 故答案为：36． 5．(24-25八上·湖南长沙长郡集团联考·期中)在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质及代数式求值，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于轴对称点的性质得出，的值，进而代入求值即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ． 故答案为：． 地 城 考点04 轴对称的性质综合 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙开福区湖南师大附中植基中学·期中)如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，依据两点之间，线段最短，将所求路线长转化为两定点之间的距离是解答本题的关键． 依题意，分析出所需管道最短，利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：如图， 画出点关于的对称点，则： 连接，交直线于点， ， 此时，最小， 故选：． 二、解答题 2．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中高新实验中学·期中)如图，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)在图中作出关于y轴对称的图形； (2)若P为x轴上一点，画出点P，使得的值最小； (3)计算的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了画轴对称图形、坐标与轴对称变换、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握轴对称变换是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点，，，再顺次连接即可得； （2）先作点A关于x轴对称的点，再连接，与x轴的交点即为点P； （3）依据割补法即可求得的面积． 【详解】（1）解：即为所求，如图：   ； （2）解：作点关于x轴对称的点，    由两点之间线段最短得：当点、、共线时，取得最小值， 连接，则， 的值最小， 点P即为所求； （3）解： ． 3．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)在如图的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点），点的坐标为． (1)请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点）； (2)直接写出三点的坐标： ． (3)若在轴上有一点，使得的值最小，请画出点的位置． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）如图，连接交轴于点，连接，此时，为最小值，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，，，． （3）解：如图所示，点即为所求． 4．(23-24八上·湖南长沙一中教育集团·期中)如图，已知    (1)作出关于轴对称的图形； (2)求以三点为顶点的三角形的面积； (3)在轴上求作一点，使最小． 【答案】(1)作图见解析 (2)3.5 (3)作图见解析 【分析】本题考查作图及网格中求三角形面积，涉及图形与坐标、作轴对称图形、网格中三角形面积求法和动点最值—“将军饮马”问题作图，掌握轴对称作图方法、掌握“将军饮马”问题作图方法是解决问题的关键 （1）根据轴对称性质，作出三个顶点关于轴对称的点，连接即可得到； （2）根据图形，用矩形面积减去周围的三角形面积即可得到所求的图形面积； （3）根据“将军饮马”，作关于轴的对称点，连接对称点与，与轴的交点即可所求． 【详解】（1）解：如图所示：    为所求作图形； （2）解：如图所示：    ； （3）解：如图所示：   点为所求． 5．(24-25八上·湖南长沙一中教育集团·期中)“2024全球领导者大会”于10月在上海黄浦区举行．大会围绕能源与双碳、绿色金融、可持续发展、科技与公益等前沿议题，推动全球合作、发展与共赢．我们规定，在平面直角坐标系中，对于点作如下“可持续发展”变换：若，则作它关于x轴的对称点；若，则作它关于y轴的对称点．点作第一次“可持续发展”变换得到点，再将点作第二次“可持续发展”变换得到点．若与重合，我们称点为“可持续发展点”；若与不重合，我们称点为“合作共赢点”． (1)将点作如上“可持续发展”变换，则点的坐标为_______，点的坐标为________，由此，点为“_______点”（填“可持续发展”或“合作共赢”）； (2)若点为第三象限中的一点，求证：必为“合作共赢点”，且； (3)若点为第三象限中的一点，且，，若t为实数，，当时，求出t的值和的坐标． 【答案】(1)；；可持续发展 (2)证明见解析 (3)； 【分析】本题考查了坐标与图形变化，新定义问题和三角形的面积，深入理解“可持续发展”变换是解决问题的关键， （1）根据“可持续发展”变换的定义及“可持续发展点”的定义进行求解即可； （2）分为①当时，②当时，两种情况结合新定义求解即可； （3）先根据新定义求得，即的坐标为，再由，求得，即可求解． 【详解】（1）解：中，， 点作第一次“可持续发展”变换，即关于x轴的对称点， 中，， 点作第二次“可持续发展”变换，即关于x轴的对称点， 与重合， 为“可持续发展点”， 故答案为：；；可持续发展； （2）解：①当时，作点关于x轴的对称点， ∵， ∴， ∴作点关于y轴的对称点， ∴，且， ∴； ②当时，作点关于y轴的对称点； ∵， ∴， ∴作点关于x轴的对称点 ∴且， ∴， 综上所述，与不重合， ∴必为“合作共赢点”，且； （3）解：∵， ∴作点关于x轴的对称点， ∴， ∴， 又由（2）可知，， ∴， 求得， 即的坐标为， ∵， ∴， ∴． ∴，的坐标为． 地 城 考点05 线段垂直平分线的性质与判定综合 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙明德教育集团·期中)如图，在中，的垂直平分线分别交、于点，，连接．若，的周长为24，则的周长为（    ）    A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【分析】分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵的周长， ∴， ∴的周长， 故选：A． 2．(23-24八上·湖南长沙岳麓区湖南师大附中博才实验中学·期中)如图，中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接．若，，则长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，由作法得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，然后根据线段和差即可求解． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 3．(24-25八上·湖南长沙明德教育集团·期中)如图，中作的垂直平分线交于D，交于E，已知，若的周长为，则的周长是 ． 【答案】21 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵的周长为， ∴， ∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴，即， ∴的周长， 故答案为：21． 4．(23-24八上·湖南长沙长郡教育集团·期中)如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接．若，则的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴的周长为； 故答案为：10． 5．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查作图—线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法得出垂直且平分是解题的关键．由题意可得垂直且平分，根据垂直平分线的性质可得，然后根据周长公式求解即可． 【详解】解：由题意可得，垂直且平分， ∴， ∴， 故答案为：10． 地 城 考点06 等腰三角形的性质——三线合一 一、单选题 1．(24-25八上·湖南长沙一中教育集团·期中)“一亭幽绝费平章，峡口清风赠晚凉．前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄．饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳．此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔．”其中“一亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ） A． B． C． D．与的周长相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一，是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴平分，即是的角平分线，故A不符合题意； B．∵，， ∴平分，即是的角平分线，故B不符合题意； C．根据不能判断是的角平分线，故C符合题意； D．∵与的周长相等， ∴， ∴， ∵， ∴平分，即是的角平分线，故D不符合题意． 故选：C． 二、填空题 2．(23-24八上·湖南长沙长沙县百熙实验中学·期中)如图，在中，，D为的中点，，点P为边上的动点，点E为边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查最短路径问题，掌握等腰三角形三线合一以及面积法是解题的关键，根据等腰三角形三线合一可得，连接，过点C作，可得，当E、P、C三点共线且时，最小值，结合面积法即可求解． 【详解】解：在中， ，D为的中点，， ，， 连接，过点C作， 、C关于轴对称， ， ， 当E、P、C三点共线且时，最小值， ， 故答案为：． 3．(23-24八上·湖南长沙长郡教育集团·期中)如图，已知线段是等边的高，点在上，且，则 ． 【答案】/75度 【分析】根据等边三角形性质，等腰三角形三线合一，得到，根据等腰三角形的两个底角相等，即可求解． 【详解】解：如图，因为等边中，是高， 所以， 因为， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形三线合一性质是解题的关键． 4．(23-24八上·湖南长沙长郡教育集团·期中)如图，已知线段是等边的高，点在上，且，则 ． 【答案】/75度 【分析】根据等边三角形性质，等腰三角形三线合一，得到，根据等腰三角形的两个底角相等，即可求解． 【详解】解：如图，因为等边中，是高， 所以， 因为， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形三线合一性质是解题的关键． 三、解答题 5．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中高新实验中学·期中)如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． (3)若平分的周长，的周长为15，求的周长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)30 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识， （1）利用等腰三角形三线合一的性质即可得到，再利用等腰三角形的性质即可求出的度数，即可求解； （2）只要利用角平分线的定义和平行线的性质证明，即可解决问题； （3）根据的周长可得，利用平分的周长，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴， ，为的中点， ， ， ∴； （2）证明：平分， ， 又∵， ∴， ∴， ， 是等腰三角形； （3）解：的周长为15， ， ， ， 即， 平分的周长， ， 的周长． 地 城 考点07 等腰三角形的性质——等边对等角 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中梅溪湖中学·期中)在中，，的垂直平分线交于D，连接，，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，设，则，根据三角形内角和得出，求出，根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握“等边对等角”． 2．(24-25八上·湖南长沙宁乡六校联考·期中)如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，取的中点，连接，以点为圆心，适当长为半径作弧，与边相交于点和，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧交于点，作直线，交于点．若，且，则下列结论：①；②；③；④．正确的有（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查作图-基本作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，由作图可知，垂直平分，，利用等腰三角形“三线合一”“等边对等角”以及三角形外角的性质逐项判断即可． 【详解】解：由作图可知， ∵的中点是点，， ∴，故①正确； 由作图知，，， ∴垂直平分， ∴，故②正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 现有条件不能证明， 综上所述，正确的有①②④． 故选：C． 二、解答题 3．(23-24八上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期中)如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查中垂线的性质，等边对等角：等边对等角，得到，根据中垂线的性质，得到，得到，再根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点08 等腰三角形的性质与判定综合 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙一中教育集团·期中)若一个等腰三角形的腰长为2023，则它的底边长不可能是（    ） A．1 B．2000 C．4000 D．6000 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形的三边关系，解题的关键是理解题意； 根据等腰三角形的定义及三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：设该等腰三角形的底边长为x，由题意得：， ∴该等腰三角形的底边长不可能是6000； 故选D． 2．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形一内角为，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况讨论． 【详解】解：当角为顶角，顶角度数即为； 当为底角时，顶角； 综上，若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是或， 故选：C． 3．(24-25八上·湖南长沙明德教育集团·期中)如图，在中，是的角平分线，则的长是（　 　）． A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的“三线合一”是解题的关键． 根据得到是等腰三角形，由是角平分线得到是中线，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵是的角平分线， ∴是中边的中线， ∴， 故选：C ． 4．(23-24八上·湖南长沙长沙县百熙实验中学·期中)如图，中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，可得，求出，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ， ， ， ． 故选：D． 5．(23-24八上·湖南长沙华益中学·期中)如图，中，，，以下结论中不一定正确的是（    ）    A． B．是的角平分线 C．为的中点 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质．熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形是轴对称图形是解题的关键． 由题意知，是等腰三角形，根据等腰三角形的性质进行判断作答即可． 【详解】解：∵中，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴由等腰三角形的性质可知，，是的角平分线，为的中点， ∴A、B、C正确，故不符合要求； ∵与不一定相等， ∴D错误，故符合要求； 故选：D． 6．(23-24八上·湖南长沙长沙县百熙实验中学·期中)如图所示，在中，是的平分线，交于E，若，，则（   ）．    A．5 B．7 C．10 D．12 【答案】D 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，等熟练掌握等腰三角形的判定与性质，平行线的性质是解决问题的关键，根据平分线及平行线的性质得，进而得，然后再根据可得出答案． 【详解】解：是的平分线， ， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， 故选：D． 7．(23-24八上·湖南长沙长沙县百熙实验中学·期中)在平面直角坐标系中，若点，点，在坐标轴上找一点C，使得是等腰三角形，这样的点C可以找到的个数是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．根据等腰三角形两腰相等，分别以A、B为圆心以的长度为半径画圆，与坐标轴的交点即为所求的点C，的垂直平分线与坐标轴的交点也可以满足是等腰三角形． 【详解】解：如图，使得是等腰三角形，这样的点C可以找到8个． 故选：D． 8．(24-25八上·湖南长沙明德教育集团·期中)如图，在中，，是边上的中点，点分别是边上的动点，与相交于点，且．下列个结论：①图中共有对全等三角形；②；③；④．其中正确的结论有（　 　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可得是等腰直角三角形，，，平分，由此可证，根据，可得，则，可证，同理，可证，可得结论①；由，可得是等腰直角三角形，，运用三角形的外角可得，，可得结论②；由，得到，可得结论③；由全等三角形的性质可得，再根据，，可判定结论④；由此即可求解． 【详解】解：∵在中，，是边上的中点， ∴是等腰直角三角形，，，平分， ∴，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， 同理，， ∴， 又，， ∴， ∴途中共有对全等三角形，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：A ． 9．(24-25八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)如图，是等腰的角平分线，，，过点B作，且，连接交于点F，交于点P，点M是线段上的动点，点N是线段上的动点，连接，下列五个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】先由平行线的性质得到，则可利用证明得到，，据此可判断①；再利用三角形外角的性质得到，据此可判断②；证明，得到，进而可导角证明，得到，据此可判断③；连接，可证明垂直平分，得到，则当C、M、N三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，再由当时，，据此可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，故①正确 ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，故③正确； ③∵， ∴， ∴，故④正确； 如图所示，连接， ∵平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当C、M、N三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴当时，， ∴的最小值为， ∴，故⑤正确； ∴正确的有①②③④⑤， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，角平分线得定义，全等三角形的性质与判定 ，轴对称最短路径问题等，解决问题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的边角性质，角平分线定义及轴对称性，全等三角形的判断和性质． 二、填空题 10．(24-25八上·湖南长沙宁乡六校联考·期中)若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识点，先根据或为腰求出三角形的三边，再根据三角形三边关系判断是不是三角形，最后求周长即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两条边长分别为和， ∴当以为腰时，三角形三边为，，，此时，不构成三角形； 当以为腰时，三角形三边为，，，此时构成三角形，周长为． 故答案为： 11．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)如图，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，平行线的性质及等腰三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．由全等三角形的性质得到 ，，推出，进而求出，由三角形内角和定理结合平行线的性质即可解答． 【详解】解： ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ． 故答案为：． 12．(23-24八上·湖南长沙开福区湖南师大附中植基中学·期中)如图，关于，给出下列四组条件：①；②，；③，平分；④，是边上的中线．其中能判定是等腰三角形的条件有 ．（填序号）    【答案】①②③④ 【分析】此题考查了等腰三角形的判定及线段垂直平分线的性质，熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键．根据等腰三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：， 是等腰三角形， 故①符合题意； 中，，， ， ， 是等腰三角形， 故②符合题意； 中，，平分， ，， ，， ， 是等腰三角形， 故③符合题意； 中，，是边上的中线， ， 是等腰三角形， 故④符合题意； 故答案为：①②③④． 13．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中高新实验中学·期中)如图，已知为等腰三角形，，的垂直平分线交于D．若的周长为，则的底边 ． 【答案】10 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的意义，三角形的周长，正确理解垂直平分线的意义是解题关键． 【详解】∵为等腰三角形，，的垂直平分线交于D． ∴，，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 14．(23-24八上·湖南长沙长沙县百熙实验中学·期中)如图，一艘海轮位于灯塔的南偏东方向的处，它以每小时海里的速度向正北方向航行，小时后到达位于灯塔的北偏东的处，则处与灯塔的距离为 海里． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，根据平角的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】解：∵，向北的方向线是平行的， ∴， ∴， ∴（海里）， 故答案为：． 三、解答题 15．(24-25八上·湖南长沙浏阳·期中)如图，在中，平分交于点，过点作交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若平分的周长，的周长为，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）首先根据角平分线的定义可证，根据两直线平行内错角相等可证，等量代换可证得，根据等角对等边可证是等腰三角形； （2）根据的周长为15，可得，由可知，所以可得，根据平分的周长，可以得到的周长为． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：的周长为15， ， ， ， ， 平分△的周长， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定．解决本题的关键是根据角平分线的定义和平行线的性质找到边和角之间的关系． 16．(23-24八上·湖南长沙长沙县百熙实验中学·期中)如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，关键是根据证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答． （1）根据平行线的性质得出，求出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得； （2）结合（1）得出，然后根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ∵，， ， ． 17．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)如图，已知和，．，，与交于点P，点C在上．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用证明，即可证明； （2）根据三角形外角的性质求出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在AC和中， ， ， （2）解：， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 18．(24-25八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)如图所示，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数； (3)在（2）的条件下判断的形状，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)是等腰直角三角形，证明见解析 【分析】（1）由推出，再结合，，即可证明； （2）由，，可得，，最后根据三角形的外角性质即可求解； （3）根据可得，推出，进而得到，即可求解． 【详解】（1）证明： ， ， ， ，， 在和中， ， ； （2） ，， ，， ； （3）是等腰直角三角形，证明如下： ， ， ， 由（2）知，， ， ， 是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 19．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)已知点是平面直角坐标系中一点，且．点是平面内一动点，是以为斜边的等腰直角三角形（点A、B、C逆时针排列）． (1)直接写出点A的坐标：A ； (2)如图1，当点B位于x轴正半轴上时，求证： (3)如图2，点B在第二象限内运动，，，轴于点H，点G是的中点．现在给出两个结论：①为定值；②的大小为定值，其中有且只有一个是正确的，请找出正确的结论并加以证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)结论②正确，证明见解析 【分析】（1）由得到，根据非负数的性质得到，即可得到点A的坐标； （2）过点C作于点M，过点A作于点N交y轴于点P，则，证明，则，设证明，则是的垂直平分线，即可得到结论； （3）延长至点D使得连，连接并延长交的延长线于点E．证明，则，，再证，则，得到是等腰三角形，由得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标是； 故答案为： （2）如图1，过点C作于点M，过点A作于点N交y轴于点P，则， 是以为斜边的等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设 ， ， ， ， ， ， ∴是的垂直平分线， ； （3）结论②正确. 如图2，延长至点D使得连，连接并延长交的延长线于点E． 在和中， ， ， ，， ， ， 在四边形中，， ， 又：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴是等腰三角形， ， ， ， ∴结论②正确 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、坐标与图形、非负数的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质并数形结合是解题的关键． 20．(23-24八上·湖南长沙开福区湖南师大附中植基中学·期中)如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角，设点C的坐标为． (1)当时，则C点的坐标为（ ， ）． (2)动点B在运动的过程中，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出其值，若变，请说明理由． (3)当时，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使与全等？若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，6 (2)动点B在运动的过程中，的值不变， (3)存在，符合条件的P的坐标是或或． 【分析】（1）先过点C作轴于E，证，推出，，即可得出点C的坐标； （2）先过点C作轴于E，同理证，推出，，可得，即可得出点C的坐标，据此可得的值不变； （3）分为三种情况讨论，分别画出符合条件的图形，构造直角三角形，证出三角形全等，根据全等三角形对应边相等即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于E，则． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，6； （2）动点B在运动的过程中，的值不变． 理由：过点C作轴于E，则， 同（1）可得：， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵点C的坐标为， ∴，即的值不变； （3）存在点P，使与全等； 如图，过C作轴于M，过P作轴于E，则， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 即P的坐标是； 过P作轴于E，则， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， 即P的坐标是； 如图，过P作轴于E，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， 即P的坐标是， 综合上述，符合条件的P的坐标是或或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形性质的应用，坐标与图形，考核了学生综合运用性质进行推理的能力，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及运用分类讨论的思想． 21．(24-25八上·湖南长沙明德教育集团·期中)已知直线交轴于点，交轴于点，且满足． (1)求的值； (2)如图1，若点在第一象限，且于点，延长至点，使得，连，试判断的形状，并说明理由； (3)如图2，若点在上，点在的延长线上，为的中点且，是以为直角边的等腰直角三角形，求证：． 【答案】(1) (2)等腰直角三角形，见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据绝对值，平方数的非负性列式求解即可； （2）如图所示，设与交于点，由，即垂直的定义可得，由，，可得，可证，得到，，且，，由此即可求解； （3）根据点的坐标可得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，如图所示，过点作交于点，则， 可证则为等腰直角三角形，，由题目中，为的中点，设，，则，可证，得到，，由此证明，得到，由，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 解得，； （2）解：为等腰直角三角形 理由如下： 如图所示，设与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 如图所示，过点作交于点，则， ∴，则， ∴则为等腰直角三角形，， 又∵，为的中点， ∴是的中线，则， 设，，则， ∴，，，即：， 又， ∴ ∴， ∵是以为直角边的等腰直角三角形， ∴，，即， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查有理数的非负性，坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识的综合，理解坐标与图形的特点，掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 22．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中梅溪湖中学·期中)在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E．    (1)如图①，求证：； (2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，连接DO． ①求证：； ②当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②2 【分析】（1）由题意知，，，则，证明即可； （2）①由，可得，则，如图2，作于，于，由，可知，，则，即是的平分线，，，进而可证；②如图3，在上截取，使，证明，由，可得，进而可求，，然后计算求解即可． 【详解】（1）证明：由题意知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴； （2）①证明：∵， ∴， ∴， 如图2，作于，于，    ∵， ∴，， ∴，解得， ∵，， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴； ②解：如图3，在上截取，使，    由①可知，是的平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的判定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23．(24-25八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)已知：在中，，． (1)如图1，是的中线． ①的面积是 ； ②已知：，交于点，，连接，求证：； (2)如图2，点为线段延长线上一点，过点作，过点作的垂线交于点，线段的延长线与线段的延长线交于点，是否存在点，使，若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】（1）①由是的中线，可得，最后根据三角形的面积公式求解即可； ②根据，可推出，证明，得到，证明，得到，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，设、交于点，证明，得到，，推出是的垂直平分线，得到，证明，得到，进而得，则，证明，得到，由，，，可得，即可求解． 【详解】（1）解：① 是的中线，， ， ， 故答案为：； ② ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交的延长线于点，设、交于点， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，垂直的定义，解题的关键是证明三角形全等． 地 城 考点09 等边三角形的性质与判定综合 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)如图，为等边三角形，．若，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质．得用平行线性质“两直线平行，同旁内角互补”求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 故选：D． 2．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)如图，是等边三角形，点是边上的一个点，点关于边，的对称点分别为，，连接，，则的大小为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】此题考查轴对称的性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质和判定，关键是根据轴对称的性质得出解答．连接，根据轴对称的性质得出，进而利用等边三角形的内角解答即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ， 由轴对称可知，， ， ， 故选：B． 3．(23-24八上·湖南长沙华益中学·期中)如图所示，在边长为2的等边三角形中，为的中点，为的中点，过点作交于，交于，是线段上一个动点，连接，，则的周长的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称一最短路线问题，连接，首先证明是的垂直平分线，得，则的周长为，当B、P、A共线时，的最小值为2，从而得出答案． 【详解】解：连接，如下图： ∵点G是的中点，是等边三角形； ∴， ∵， ∴ ∵为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴的周长为 当B、P、A共线时，的最小值为边长2， ∴的周长最小值为3， 故选∶C． 4．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】如图1，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，证明，则，是等边三角形；进而可判断①的正误；由，可知，进而可判断②的正误；由的周长为，可知当时，最短， 的周长最小，进而可判断③的正误；如图2，当时，，则是等边三角形，则与重合，与交于点；进而可判断④的正误． 【详解】解：如图1，连接，作于，于，    ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形；①正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴四边形的面积是一个定值；②正确，故符合要求； ∵的周长为， 当时，最短，即等边的周长最小，③正确，故符合要求； 如图2，当时，    ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴与重合，与交于点；④错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，多边形内角和定理，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，平行线的性质等知识．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 5．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中梅溪湖中学·期中)如图，等边三角形与等边三角形，连接、，的延长线与交于点，连接，有以下四个结论：①；②平分；③；④；⑤．其中一定正确的结论是（    ）    A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】①根据等边三角形的性质证出，可得，从而得出①正确； ②过作于，过作于，由得出，由等角的补角相等得出，由可证，得到，由角平分线的判定定理得到平分，从而得出②正确； ③在上截取，使，求出即可得出，得出③正确； ④根据，，得出，从而得出，即可得出④错误； ⑤根据全等三角形的判定与性质得出，可得，即可求得，从而得出⑤正确． 【详解】①解：∵和是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴，①正确； ②解：过作于，延长，过作于，如图1. ∵ ∴ ∵， ∴ 在和中： ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴平分，②正确；    ③解：在上截取，使，如图2， ∵， ∴ ∵ ∴，③正确；    ⑤解：∵ 平分 ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ，⑤正确； ④解：∵， ∴，④错误. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作辅助线，构造全等三角形，是解答本题的关键． 二、填空题 6．(24-25八上·湖南长沙一中教育集团·期中)公路边上的很多汽车警示标志形状都是等边三角形．我们知道等边三角形是轴对称图形，它有 条对称轴． 【答案】3 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，等边三角形有3条对称轴．等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，就是三条角平分线所在的直线． 【详解】解：等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，就是三条角平分线所在的直线． 故答案为：3． 7．(24-25八上·湖南长沙明德教育集团·期中)如图，在等边中，是边上的高，为上一动点，若，为边上一点，则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称最短路径的计算，点到直线垂线段最短，掌握等边三角形的性质，垂线段最短的知识是解题的关键． 根据等边三角形的性质可得点关于的对称点为点，连接，，则，则有，由点到直线垂线段最短可得，当时，的值最小，则的值最小，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴点关于的对称点为点， ∴连接，，则，如图所示， ∴，当时，的值最小，则的值最小， ∵是等边三角形，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： ． 8．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)如图，等边的三个顶点都在坐标轴上，，过点B作，交x轴于点D，则点D的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．利用等边三角形的性质求得的长，再利用含30度角的直角三角形的性质求得的长，继而求得的长，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 三、解答题 9．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中高新实验中学·期中)如图，点O是等边内一点，．连接，． (1)求证：是等边三角形； (2)求的度数； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当为或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了等边三角形的判定方法和性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质进行分类讨论． （1）利用，得出，，证出，即可证明是等边三角形； （2）利用，得出，再根据四边形的内角和，即可求解； （3）分三种情况讨论，①，②，③，分别列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ， 是等边三角形， ， ， ∴是等边三角形； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：当为或或时，是等腰三角形， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ①当时， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴， ∴； ③当时， ∴， ∴， ∴， ∴当为或或时，是等腰三角形． 10．(23-24八上·湖南长沙岳麓区湖南师大附中博才实验中学·期中)如图，在四边形中，，，，为上一点，连接，交于点，且．    (1)连接，求证：直线是线段的垂直平分线； (2)求证：是等边三角形； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据垂直平分线的判定定理，直接可得结论； （2）证明是等边三角形，可得，再由平行线的性质可得，则结论得证； （3）连接交于点，由题意可证垂直平分，由是等边三角形，可得，，由（2）中是等边三角形，可得，可得的长． 【详解】（1）证明：连接，    ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线； （2）证明：，， 是等边三角形． ． ， ，， ， 是等边三角形； （3）解：如图所示，   ，， 是的垂直平分线， 即． ，， ． ， ， ， ． 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的性质与判定定理，等边三角形的性质和判定等知识，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键． 11．(23-24八上·湖南长沙明德教育集团·期中)如图，点在的外部，点在边上，交于点，若，，．    (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形．理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理以及等边三角形的判定等知识． （1）根据三角形内角和定理得到，再根据，判定，即可得到． （2）根据等腰三角形的性质以及全等三角形的性质，可得，进而得出，可得是等边三角形． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）是等边三角形．理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 12．(24-25八上·湖南长沙一中教育集团·期中)如图，平分，为反向延长线上的一点，，． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】根据平行线的性质可证，、，根据角平分线的性质可证，等量代换可得，根据等角对等边可证是等腰三角形； 根据可以求出，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形，根据等边三角形的三线合一定理可得，从而求出的长度． 【详解】（1）证明：如下图所示， ， ，， 平分， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ， 是等腰三角形， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定和性质．解决本题的关键是根据平行线的性质找到角之间的关系；根据等边三角形的性质找到边之间的关系． 13．(23-24八上·湖南长沙华益中学·期中)已知，如图，在中，延长至点，过点作平分，且． (1)求证：； (2)如图2，若，在上取点，上取点，使，连接，，，求证：是等边三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作，分别交，，于，，，连接交于点． ①求证：； ②若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)①见详解；②1 【分析】（1）由平行线的性质可得，由角平分线的性质可得，得出即可求解； （2）由“”可证，可得，可得结论； （3）①由等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质证明和是等边三角形，可得，由“”可证． ②根据，可得，根据①中可得设，可得根据①中可得得出即可求解． 【详解】（1）证明：∵ 平分 （2）证明：∵ 是等边三角形， 又 是等边三角形； （3）①是等边三角形， 是等边三角形， 即， ， 又 ， 又 是等边三角形， 又 ② ， ， 设， 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 14．(24-25八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)平面直角坐标系中，如果一个点到两坐标轴距离相等，则该点称为“雅点”，例如、、、都称为“雅点”． (1)如图1，点，则线段的垂直平分线l上的第一象限的“雅点”D的坐标为 ． (2)若n为正整数，点是“雅点”，求的值； (3)如图2，和都是等边三角形，点M、O、F在一条直线上，点，连接交y轴于点K，连接交于点H，点Q为y轴上一点，连接，，与交于点P，当H为第四象限的“雅点”时，，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由线段垂直平分线及“雅点”的定义，即可求解； （2）由“雅点”的定义得，可求，代数式化为，然后代入求解即可； （3）过作交于，作交于，连接，由可判定，由全等三角形的性质得，，由角平分线的判定定理得平分，由三角形内角和得，由“雅点”的定义得，由三角形外角性质得，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 第一象限的“雅点”D在线段的垂直平分线l上， ， 故答案：； （2）解：点是“雅点” ， 为正整数， ，（舍去） ； （3）解：过作交于，作交于，连接， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ， 即：， 在和中 ， （）， ，，， ， ∴， ， 平分， ， ， ， H为第四象限的“雅点”， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了新定义，整体代换求代数式的值，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定及性质，理解新定义，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，并能利用新定义进行求解是解题的关键． 地 城 考点10 含30°角的直角三角形 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙明德教育集团·期中)如图，中，，，且，则（    ） A．10 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质：在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，根据含30°角的直角三角形的性质得出，再代入求出答案即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C 2．(24-25八上·湖南长沙一中教育集团·期中)如图是某公园的一滑梯侧面图，已知，滑梯架的高为，则滑梯长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了含角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．利用含角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：在中，，， ， 故选：A． 3．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中高新实验中学·期中)如图，．按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作圆弧，交射线于点F，连接；②以点F为圆心，长为半径作圆弧，交弧于点G；③连接、，作射线．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的个数有(   ) ①    ②垂直平分    ③        ④    ⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由作法得，，根据线段垂直平分线的判定方法可判断垂直平分，即判断②；利用点与点关于对称得到，通过判断为等边三角形即判断①③，利用含度的直角三角形三边的关系得到 ，即可判断④⑤． 【详解】由作法得，，则垂直平分，故②正确； 点与点关于对称， ， ，故①正确； 为等边三角形， ， 故③正确； 在中， ，故⑤正确； ，， ，故④不正确； 故选：C. 【点睛】本题考查含30度的直角三角形、线段垂直平分线的判定、尺规作图、等边三角形的性质与判定，三角形的三边关系，等边三角形，熟练应用所学知识点判断是关键，利用尺规作图步骤分析是重点． 二、填空题 4．(23-24八上·湖南长沙明德教育集团·期中)如图，在直角中，已知，边的垂直平分线交于点，交于点，且，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、直角三角形的性质、三角形外角的定义及性质，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的外角性质求出，根据含的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵是线段边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中梅溪湖中学·期中)如图，已知，平分，，若，，则 ．    【答案】10 【分析】如图，延长交于M，延长交于N，结合题意根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得，易证为等边三角形，结合已知求出，在中运用角所对的直角边等于斜边的一半解三角形可求解． 【详解】解：延长交于M，延长交于N，如图，    ∵平分， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质；解含角的直角三角形；解题的关键是灵活运用相关性质进行计算． 三、解答题 6．(23-24八上·湖南长沙一中教育集团·期中)如图，在等腰中，，点D、点E分别是边上一点，连接交于点F，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形等知识点．熟记相关几何结论是解题关键． （1）由可得，结合可得，即可求证； （2）证可得，根据可得；在中，可推出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，    ∵， ∴， ∴是等腰三角形 （2）解：∵在和中， ∴（ASA）， ∴， 由（1）知是等腰三角形， ∴， 又∵， ∴， ∵在等腰中，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知是等腰三角形， ∴， ∴， ∵在中，， ∴ 7．(23-24八上·湖南长沙明德教育集团·期中)如图，等边三角形中，为边的中点，为的延长线上一点，过点作于点，并交于点，    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，平行线的判定和性质，含角的直角三角形的性质的综合，掌握以上知识的灵活运用是结果的关键． （1）根据垂直于同一条直线的两直线平行即可求解； （2）根据等边三角形的性质可求出的值，根据，可求出的值，再根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵是等边三角形，边长为6， ∴，， 由（1）可知，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 8．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)如图，在中，垂直平分，分别交、于点、，平分，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可求得，根据等腰三角形的性质可求得，结合角平分线的定义和三角形内角和定理，即可求得答案． （2）根据角平分线的性质和有一个角为的直角三角形的特性，即可求得答案． 【详解】（1）∵垂直平分， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴ ． （2）∵平分，，， ∴． 在中，， ， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定及性质，牢记垂直平分线的性质、角平分线的定义和性质是解题的关键． 9．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中高新实验中学·期中)如图，在中，，，于点E，且． (1)求证：． (2)若线段，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质，平行线的性质、含的直角三角形的性质； （1）利用来证明，根据两条直线平行内错角相等及题干中的条件即可判断； （2）根据三角形内角和定理及平行线的性质，求出，进一步求出，然后利用全等的性质及等量代换进行求解． 【详解】（1）解：在中， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：在中， ，， ， ， ， 由（1）知， ． 10．(23-24八上·湖南长沙华益中学·期中)如图，中，为上一点，，于点，于点，、相交于点，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由三角形内角和定理得，则，根据，计算求解即可； （2）由（1）可知，则，由三角形内角和定理求得，则，证明，根据，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的长为2． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等角对等边，含的直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等角对等边是解题的关键． 11．(24-25八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)已知：如图，在中，，． (1)用直尺和圆规作出的垂直平分线，分别交、于点、(保留作图痕迹，不写作法)； (2)猜想与之间有何数量关系，并证明你的猜想； (3)在直线上找一点，使之和最小，若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，交于两点，连接两点的直线即是的垂直平分线； （2）连接，根据等腰三角形的性质可推出，由直线垂直平分，可得，推出，进而得到，推出，即可求解； （3）连接，，，根据直线垂直平分，可得，推出，当、、三点共线，即点与重合时，最小，最小值为，根据，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：，证明如下： 证明：连接， ，， ， 直线垂直平分， ， ， ， ， ； （3）解：如图，连接，，， 直线垂直平分， ， ， 当、、三点共线，即点与重合时，最小，最小值为， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 12．(24-25八上·湖南长沙明德教育集团·期中)问题背景：如图1，在和中，，当时，我们称 和互为“M三角形”，的边上的高叫做的“M高”，点A叫做“M中心”． (1)特例研究：在图2中，和互为“M三角形”， 是的“M高”．当时，写出与之间的数量关系，并给出证明． (2)猜想论证：在图1中，当为任意角时，猜想与之间的数量关系，并给出证明． (3)迁移应用：如图3，在四边形中，， ，四边形的内部是否存在点P，使得与互为“M三角形”，若存在，请给出证明，并求出的“M高”的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)存在，见解析， 【分析】（1）根据定义可得，，则 可证明，得到，再证明都是等腰直角三角形，得到，则； （2）过点A作于点F，由定义可得，，由三线合一定理可得，，则，据此证明，得到，则； （3）连接，作的垂直平分线交于点P，连接，证明，得到，，再证明为等边三角形，得到，，进一步证明为等边三角形，得到，，则，即可得到与互为“M三角形”过点P作于点H，则为的“M高”，在中，，则． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵和互为“M三角形”， ∴，， ∴， ∴， 又∵为的高，为等腰直角三角形， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 过点A作于点F， ∵和互为“M三角形”， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，作的垂直平分线交于点P，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵（线段垂直平分线的性质） ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ∴与互为“M三角形” 过点P作于点H，则为的“M高”， 在中，， ∴； ∴存在点P，使得与互为“M三角形”，此时的“M高”的长为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等，正确理解“M三角形”的定义是解题的关键. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称与等腰三角形 常考考点概览 考点01 轴对称图形的识别 考点02 画轴对称图形 专题03 轴对称与点的坐标 专题04 轴对称的性质综合 专题05 线段垂直平分线的性质与判定综合 专题06 等腰三角形的性质——三线合一 专题07 等腰三角形的性质——等边对等角 专题08 等腰三角形的性质与判定综合 专题09 等边三角形的性质与判定综合 专题10 含30°角的直角三角形 地 城 考点01 轴对称图形的识别 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，此次亚运会在规模、项目、覆盖面、商业价值等方面都创造了多个“历史之最”．以下运动图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．(24-25八上·湖南长沙一中教育集团·期中)剪纸窗花不仅是艺术品，更是文化的传承与创新．它们通过谐音、象征等手法，构成富于寓意的艺术画面．下面是某学校部分学生的作品，其中不是轴对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中梅溪湖中学·期中)下列汉字中，属于轴对称图形的是（    ） A．师 B．梅 C．中 D．学 4．(23-24八上·湖南长沙长郡教育集团·期中)我们生活在一个充满对称的世界中：许多建筑都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中有些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受!在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中，轴对称图形是（    ） A． B． C． D． 5．(23-24八上·湖南长沙一中教育集团·期中)杭州亚运会中有各种比赛项目，下列可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 6．(23-24八上·湖南长沙岳麓区湖南师大附中博才实验中学·期中)第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点02 画轴对称图形 一、解答题 1．(23-24八上·湖南长沙岳麓区湖南师大附中博才实验中学·期中)在平面直角坐标系中的位置如图所示，按下列要求解答： (1)画出关于轴对称的图形； (2)写出、、三个点的坐标． 2．(23-24八上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．    (1)画出关于x轴的对称图形，点的坐标为 ． (2)将沿x轴方向向左平移3个单位，向下平移2个单位后得到，直接写出顶点，，的坐标． 3．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为．    (1)直接写出的面积 ； (2)已知与关于y轴对称，请在坐标系中画出； (3)点与点关于x轴对称，求的值． 4．(23-24八上·湖南长沙明德教育集团·期中)如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作，使和关于轴对称； (2)写出点，，的坐标； (3)求的面积． 5．(24-25八上·湖南长沙明德教育集团·期中)如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中作出关于y轴的对称图形；并写出的坐标． (2)求的面积． 6．(24-25八上·湖南长沙宁乡玉潭街道城北初级中学·期中)在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)请直接写出点A、B的坐标； (2)请画出关于y轴的对称图形； (3)求的面积． 7．(24-25八上·湖南长沙长郡集团联考·期中)如图，在平面直角坐标系中；的三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出将向右平移7个单位得到的； (2)请画出与关于轴对称的，并写出的坐标； (3)在轴上找一点使得的面积为3，直接写出点的坐标． 地 城 考点03 轴对称与点的坐标 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙华益中学·期中)在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)若点与点关于y轴对称，则（    ） A．2 B． C．3 D． 3．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)圆周率是精确计算圆周长、圆面积、球体积的关键值．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若第一笔画上有一点，其坐标为，则经过第2025次变换后所得的点坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(23-24八上·湖南长沙一中教育集团·期中)点关于x轴对称的点是，则 ． 5．(24-25八上·湖南长沙长郡集团联考·期中)在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 ． 地 城 考点04 轴对称的性质综合 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙开福区湖南师大附中植基中学·期中)如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（　　）    A．   B．   C．   D．   二、解答题 2．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中高新实验中学·期中)如图，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)在图中作出关于y轴对称的图形； (2)若P为x轴上一点，画出点P，使得的值最小； (3)计算的面积． 3．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)在如图的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点），点的坐标为． (1)请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点）； (2)直接写出三点的坐标： ． (3)若在轴上有一点，使得的值最小，请画出点的位置． 4．(23-24八上·湖南长沙一中教育集团·期中)如图，已知    (1)作出关于轴对称的图形； (2)求以三点为顶点的三角形的面积； (3)在轴上求作一点，使最小． 5．(24-25八上·湖南长沙一中教育集团·期中)“2024全球领导者大会”于10月在上海黄浦区举行．大会围绕能源与双碳、绿色金融、可持续发展、科技与公益等前沿议题，推动全球合作、发展与共赢．我们规定，在平面直角坐标系中，对于点作如下“可持续发展”变换：若，则作它关于x轴的对称点；若，则作它关于y轴的对称点．点作第一次“可持续发展”变换得到点，再将点作第二次“可持续发展”变换得到点．若与重合，我们称点为“可持续发展点”；若与不重合，我们称点为“合作共赢点”． (1)将点作如上“可持续发展”变换，则点的坐标为_______，点的坐标为________，由此，点为“_______点”（填“可持续发展”或“合作共赢”）； (2)若点为第三象限中的一点，求证：必为“合作共赢点”，且； (3)若点为第三象限中的一点，且，，若t为实数，，当时，求出t的值和的坐标． 地 城 考点05 线段垂直平分线的性质与判定综合 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙明德教育集团·期中)如图，在中，的垂直平分线分别交、于点，，连接．若，的周长为24，则的周长为（    ）    A．16 B．18 C．20 D．22 2．(23-24八上·湖南长沙岳麓区湖南师大附中博才实验中学·期中)如图，中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接．若，，则长为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25八上·湖南长沙明德教育集团·期中)如图，中作的垂直平分线交于D，交于E，已知，若的周长为，则的周长是 ． 4．(23-24八上·湖南长沙长郡教育集团·期中)如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接．若，则的周长为 ． 5．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为 ． 地 城 考点06 等腰三角形的性质——三线合一 一、单选题 1．(24-25八上·湖南长沙一中教育集团·期中)“一亭幽绝费平章，峡口清风赠晚凉．前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄．饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳．此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔．”其中“一亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ） A． B． C． D．与的周长相等 二、填空题 2．(23-24八上·湖南长沙长沙县百熙实验中学·期中)如图，在中，，D为的中点，，点P为边上的动点，点E为边上的动点，则的最小值为 ． 3．(23-24八上·湖南长沙长郡教育集团·期中)如图，已知线段是等边的高，点在上，且，则 ． 4．(23-24八上·湖南长沙长郡教育集团·期中)如图，已知线段是等边的高，点在上，且，则 ． 三、解答题 5．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中高新实验中学·期中)如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． (3)若平分的周长，的周长为15，求的周长． 地 城 考点07 等腰三角形的性质——等边对等角 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中梅溪湖中学·期中)在中，，的垂直平分线交于D，连接，，的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．(24-25八上·湖南长沙宁乡六校联考·期中)如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，取的中点，连接，以点为圆心，适当长为半径作弧，与边相交于点和，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧交于点，作直线，交于点．若，且，则下列结论：①；②；③；④．正确的有（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 二、解答题 3．(23-24八上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期中)如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，，求的度数． 地 城 考点08 等腰三角形的性质与判定综合 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙一中教育集团·期中)若一个等腰三角形的腰长为2023，则它的底边长不可能是（    ） A．1 B．2000 C．4000 D．6000 2．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 3．(24-25八上·湖南长沙明德教育集团·期中)如图，在中，是的角平分线，则的长是（　 　）． A． B． C． D．无法确定 4．(23-24八上·湖南长沙长沙县百熙实验中学·期中)如图，中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．(23-24八上·湖南长沙华益中学·期中)如图，中，，，以下结论中不一定正确的是（    ）    A． B．是的角平分线 C．为的中点 D． 6．(23-24八上·湖南长沙长沙县百熙实验中学·期中)如图所示，在中，是的平分线，交于E，若，，则（   ）．    A．5 B．7 C．10 D．12 7．(23-24八上·湖南长沙长沙县百熙实验中学·期中)在平面直角坐标系中，若点，点，在坐标轴上找一点C，使得是等腰三角形，这样的点C可以找到的个数是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 8．(24-25八上·湖南长沙明德教育集团·期中)如图，在中，，是边上的中点，点分别是边上的动点，与相交于点，且．下列个结论：①图中共有对全等三角形；②；③；④．其中正确的结论有（　 　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 9．(24-25八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)如图，是等腰的角平分线，，，过点B作，且，连接交于点F，交于点P，点M是线段上的动点，点N是线段上的动点，连接，下列五个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 10．(24-25八上·湖南长沙宁乡六校联考·期中)若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为 ． 11．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)如图，已知，，，则 ． 12．(23-24八上·湖南长沙开福区湖南师大附中植基中学·期中)如图，关于，给出下列四组条件：①；②，；③，平分；④，是边上的中线．其中能判定是等腰三角形的条件有 ．（填序号）    13．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中高新实验中学·期中)如图，已知为等腰三角形，，的垂直平分线交于D．若的周长为，则的底边 ． 14．(23-24八上·湖南长沙长沙县百熙实验中学·期中)如图，一艘海轮位于灯塔的南偏东方向的处，它以每小时海里的速度向正北方向航行，小时后到达位于灯塔的北偏东的处，则处与灯塔的距离为 海里． 三、解答题 15．(24-25八上·湖南长沙浏阳·期中)如图，在中，平分交于点，过点作交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若平分的周长，的周长为，求的周长． 16．(23-24八上·湖南长沙长沙县百熙实验中学·期中)如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 17．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)如图，已知和，．，，与交于点P，点C在上．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 18．(24-25八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)如图所示，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数； (3)在（2）的条件下判断的形状，并证明． 19．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)已知点是平面直角坐标系中一点，且．点是平面内一动点，是以为斜边的等腰直角三角形（点A、B、C逆时针排列）． (1)直接写出点A的坐标：A ； (2)如图1，当点B位于x轴正半轴上时，求证： (3)如图2，点B在第二象限内运动，，，轴于点H，点G是的中点．现在给出两个结论：①为定值；②的大小为定值，其中有且只有一个是正确的，请找出正确的结论并加以证明． 20．(23-24八上·湖南长沙开福区湖南师大附中植基中学·期中)如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角，设点C的坐标为． (1)当时，则C点的坐标为（ ， ）． (2)动点B在运动的过程中，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出其值，若变，请说明理由． (3)当时，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使与全等？若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 21．(24-25八上·湖南长沙明德教育集团·期中)已知直线交轴于点，交轴于点，且满足． (1)求的值； (2)如图1，若点在第一象限，且于点，延长至点，使得，连，试判断的形状，并说明理由； (3)如图2，若点在上，点在的延长线上，为的中点且，是以为直角边的等腰直角三角形，求证：． 22．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中梅溪湖中学·期中)在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E．    (1)如图①，求证：； (2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，连接DO． ①求证：； ②当时，求的值． 23．(24-25八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)已知：在中，，． (1)如图1，是的中线． ①的面积是 ； ②已知：，交于点，，连接，求证：； (2)如图2，点为线段延长线上一点，过点作，过点作的垂线交于点，线段的延长线与线段的延长线交于点，是否存在点，使，若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 地 城 考点09 等边三角形的性质与判定综合 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)如图，为等边三角形，．若，则（　　）    A． B． C． D． 2．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)如图，是等边三角形，点是边上的一个点，点关于边，的对称点分别为，，连接，，则的大小为（   ） A． B． C． D．不能确定 3．(23-24八上·湖南长沙华益中学·期中)如图所示，在边长为2的等边三角形中，为的中点，为的中点，过点作交于，交于，是线段上一个动点，连接，，则的周长的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中梅溪湖中学·期中)如图，等边三角形与等边三角形，连接、，的延长线与交于点，连接，有以下四个结论：①；②平分；③；④；⑤．其中一定正确的结论是（    ）    A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 二、填空题 6．(24-25八上·湖南长沙一中教育集团·期中)公路边上的很多汽车警示标志形状都是等边三角形．我们知道等边三角形是轴对称图形，它有 条对称轴． 7．(24-25八上·湖南长沙明德教育集团·期中)如图，在等边中，是边上的高，为上一动点，若，为边上一点，则的最小值为 ． 8．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)如图，等边的三个顶点都在坐标轴上，，过点B作，交x轴于点D，则点D的坐标为 ．    三、解答题 9．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中高新实验中学·期中)如图，点O是等边内一点，．连接，． (1)求证：是等边三角形； (2)求的度数； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 10．(23-24八上·湖南长沙岳麓区湖南师大附中博才实验中学·期中)如图，在四边形中，，，，为上一点，连接，交于点，且．    (1)连接，求证：直线是线段的垂直平分线； (2)求证：是等边三角形； (3)若，，求的长． 11．(23-24八上·湖南长沙明德教育集团·期中)如图，点在的外部，点在边上，交于点，若，，．    (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 12．(24-25八上·湖南长沙一中教育集团·期中)如图，平分，为反向延长线上的一点，，． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，且，求的长． 13．(23-24八上·湖南长沙华益中学·期中)已知，如图，在中，延长至点，过点作平分，且． (1)求证：； (2)如图2，若，在上取点，上取点，使，连接，，，求证：是等边三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作，分别交，，于，，，连接交于点． ①求证：； ②若，，，求的长． 14．(24-25八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)平面直角坐标系中，如果一个点到两坐标轴距离相等，则该点称为“雅点”，例如、、、都称为“雅点”． (1)如图1，点，则线段的垂直平分线l上的第一象限的“雅点”D的坐标为 ． (2)若n为正整数，点是“雅点”，求的值； (3)如图2，和都是等边三角形，点M、O、F在一条直线上，点，连接交y轴于点K，连接交于点H，点Q为y轴上一点，连接，，与交于点P，当H为第四象限的“雅点”时，，求点Q的坐标． 地 城 考点10 含30°角的直角三角形 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙明德教育集团·期中)如图，中，，，且，则（    ） A．10 B．6 C．4 D．3 2．(24-25八上·湖南长沙一中教育集团·期中)如图是某公园的一滑梯侧面图，已知，滑梯架的高为，则滑梯长为（   ） A． B． C． D． 3．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中高新实验中学·期中)如图，．按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作圆弧，交射线于点F，连接；②以点F为圆心，长为半径作圆弧，交弧于点G；③连接、，作射线．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的个数有(   ) ①    ②垂直平分    ③        ④    ⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 4．(23-24八上·湖南长沙明德教育集团·期中)如图，在直角中，已知，边的垂直平分线交于点，交于点，且，，则的长为 ． 5．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中梅溪湖中学·期中)如图，已知，平分，，若，，则 ．    三、解答题 6．(23-24八上·湖南长沙一中教育集团·期中)如图，在等腰中，，点D、点E分别是边上一点，连接交于点F，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求． 7．(23-24八上·湖南长沙明德教育集团·期中)如图，等边三角形中，为边的中点，为的延长线上一点，过点作于点，并交于点，    (1)求证：； (2)若，，求的长． 8．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)如图，在中，垂直平分，分别交、于点、，平分，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 9．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中高新实验中学·期中)如图，在中，，，于点E，且． (1)求证：． (2)若线段，，求线段的长度． 10．(23-24八上·湖南长沙华益中学·期中)如图，中，为上一点，，于点，于点，、相交于点，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 11．(24-25八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)已知：如图，在中，，． (1)用直尺和圆规作出的垂直平分线，分别交、于点、(保留作图痕迹，不写作法)； (2)猜想与之间有何数量关系，并证明你的猜想； (3)在直线上找一点，使之和最小，若，求的最小值． 12．(24-25八上·湖南长沙明德教育集团·期中)问题背景：如图1，在和中，，当时，我们称 和互为“M三角形”，的边上的高叫做的“M高”，点A叫做“M中心”． (1)特例研究：在图2中，和互为“M三角形”， 是的“M高”．当时，写出与之间的数量关系，并给出证明． (2)猜想论证：在图1中，当为任意角时，猜想与之间的数量关系，并给出证明． (3)迁移应用：如图3，在四边形中，， ，四边形的内部是否存在点P，使得与互为“M三角形”，若存在，请给出证明，并求出的“M高”的长；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $