专题04 整式的乘法（期中真题汇编，长沙专用）八年级数学上学期人教版2024

专题04 整式的乘法 常考考点概览 考点01 幂的运算 考点02 整式的乘法及化简求值 专题03 求代数式的值与不含某项求字母的值 专题04 整式乘法的应用 专题05 利用乘法公式进行运算及化简求值 专题06 乘法公式的应用 地 城 考点01 幂的运算 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙一中教育集团·期中)下列计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24八上·湖南长沙华益中学·期中)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．(23-24八上·湖南长沙岳麓区湖南师大附中博才实验中学·期中)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·湖南长沙明德教育集团·期中)下列运算正确的是（　 　）． A． B． C． D． 5．(23-24八上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期中)计算的结果是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．(23-24八上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期中)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中高新实验中学·期中)若，则n等于 ． 9．(23-24八上·湖南长沙长沙县百熙实验中学·期中)已知，则 ． 10．(24-25八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)0．已知：，则 ． 11．(23-24八上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期中)1．已知，，则的值为 ． 12．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)已知，，则 ． 三、解答题 13．(24-25八上·湖南长沙宁乡玉潭街道城北初级中学·期中)计算： (1) (2) 13．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)计算：． 14．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系． 15．(23-24八上·湖南长沙一中教育集团·期中)阅读下列材料，并用材料中的知识解决后面的问题． 今年7月8日—9日，国际生态文明论坛在我国贵阳举办，论坛以“共谋人与自然和谐共生现代化——推进绿色低碳发展”为主题．我们知道，个相同的因数相乘记为．如，此时，我们将3叫做2关于8的“绿色发展数”，记为（即）．一般地，若（且，，为正整数），则叫做关于的“绿色发展数”，记为（即）． (1)计算以下列“绿色发展数”的值： ______，______，______． (2)观察（1）中、、三数及其计算结果，猜想与（且，，）之间的关系，并证明你的猜想． (3)如果我们将题目中的范围由“正整数”拓宽为“正数”，且（2）中的结论也仍然成立，已知6关于的“绿色发展数”为，216关于的“绿色发展数”为，且．用含的式子表示． 地 城 考点02 整式的乘法及化简求值 一、单选题 1．(24-25八上·湖南长沙一中教育集团·期中)下列式子计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(23-24八上·湖南长沙一中教育集团·期中)下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(23-24八上·湖南长沙长沙县百熙实验中学·期中)若，且，求 ． 三、解答题 4．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中梅溪湖中学·期中)计算 (1) (2) 5．(24-25八上·湖南长沙明德教育集团·期中)先化简，再求值：，其中． 6．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中高新实验中学·期中)先化简，再求值：，其中． 7．(23-24八上·湖南长沙岳麓区湖南师大附中博才实验中学·期中)先化简，再求值：，其中． 8．(23-24八上·湖南长沙长沙县百熙实验中学·期中)先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 地 城 考点03 求代数式的值与不含某项求字母的值 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙华益中学·期中)若的积中不含的一次项，那么与一定是（    ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．比大 2．(23-24八上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期中)若，则的值为（    ） A． B．6 C． D．1 二、填空题 3．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中高新实验中学·期中)已知，则代数式的值为 ． 4．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)若的积中不含的一次项，则 ． 地 城 考点04 整式乘法的应用 一、填空题 1．(23-24八上·湖南长沙一中教育集团·期中)如图，小平作了一幅长为40cm、宽为30cm的长方形画作，并在画作下方加了一个长为40cm、宽为xcm的长方形简介，则画作和简介所组成的大长方形面积为 cm．    二、解答题 2．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中高新实验中学·期中)长方形的长为a厘米，宽为b厘米，（a、b为正整数且，如果将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长方形面积记为，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为． (1)求与的差； (2)如果，求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积； (3)如果用一个面积为的长方形和两个面积为的长方形恰好能没有缝隙没有重叠地拼成一个正方形，求a，b的值． 3．(23-24八上·湖南长沙岳麓区湖南师大附中博才实验中学·期中)阅读以下材料： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如，所以和与和都是“幸福数对”. 解决如下问题： (1)请判断与是否是“幸福数对”？并说明理由： (2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，试说明，，，之间满足怎样的数量关系，并写出证明过程； (3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为．若这两个数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 地 城 考点05 利用乘法公式进行运算及化简求值 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙明德教育集团·期中)下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 二、解答题 3．(24-25八上·湖南长沙长郡集团联考·期中)计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．(23-24八上·湖南长沙长郡教育集团·期中)计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．(23-24八上·湖南长沙明德教育集团·期中)先化简，再求值：，其中． 6．(23-24八上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期中)先化简，再求值：，其中． 7．(23-24八上·湖南长沙华益中学·期中)先化简，再求值：，其中，． 8．(23-24八上·湖南长沙一中教育集团·期中)先化简，再求值． (1)，其中． (2)，其中，． 9．(24-25八上·湖南长沙长郡集团联考·期中)化简求值：求代数式的值，其中． 地 城 考点06 乘法公式的应用 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中梅溪湖中学·期中)一块边长为a米的正方形花园，改建后为长方形．新花园的长比原来增2米，宽比原来减2米，则改建后长方形花园面积与原来正方形花园面积相比（    ） A．保持不变 B．增大了2平方米 C．减少了2平方米 D．减少了4平方米 2．(23-24八上·湖南长沙华益中学·期中)整式为某完全平方式展开后的结果，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、解答题 3．(23-24八上·湖南长沙长郡教育集团·期中)阅读材料，解决后面的问题： 若，求的值． 解：， ， 即：，，， 解得：，，． (1)若，求的值； (2)已知等腰的两边长，，满足，求该的周长； (3)已知正整数，，满足不等式，求的值． 4．(23-24八上·湖南长沙岳麓区湖南师大附中博才实验中学·期中)如图，某校有一块长米，宽米的长方形地块，后勤部门计划将阴影部分进行绿化，在中间正方形空白处修建一座孔子雕像． (1)计算绿化地块的面积； (2)当，时，绿化地块的面积是多少平方米？ 5．(23-24八上·湖南长沙芙蓉区湖南师大附中芙蓉中学·期中)阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． (1)填空： ①_____； ②_____； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 6．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到数学中常用到的一个公式：请解答下列问题： (1)观察图2，写出图2中所表示的等式 ； (2)已知上述等式中的三个字母，，可取任意数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值； (3)如图3，将边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两正方形的边长满足，，求阴影部分的面积． 7．(24-25八上·湖南长沙长郡集团联考·期中)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为，的小长方形若干个． (1)用两个这样的小长方形和两个正方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式； (2)用四个相同的小长方形和一个小正方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式，，之间的等量关系式； (3)根据上面的解题思路与方法，解决下面问题： ①若，，求； ②若，，求． 8．(23-24八上·湖南长沙明德教育集团·期中)完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即：，又因为，所以 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)如图，是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．      9．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)在课后服务课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． 【发现】 （1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ； 【应用】 （2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 10．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； 与； 与； 与 (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； (3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的乘法 常考考点概览 考点01 幂的运算 考点02 整式的乘法及化简求值 专题03 求代数式的值与不含某项求字母的值 专题04 整式乘法的应用 专题05 利用乘法公式进行运算及化简求值 专题06 乘法公式的应用 地 城 考点01 幂的运算 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙一中教育集团·期中)下列计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可，熟记相关运算法则是解题的关键． 【详解】． 不是同类项，不能合并，故本选项不合题意； ． ，故本选项不合题意； ． ，故本选项符合题意； ． ，故本选项不合题意； 故选：． 2．(23-24八上·湖南长沙华益中学·期中)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，利用合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方的运算法则对各选项进行计算即可判断． 【详解】解：A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故符合题意； D．，故不符合题意； 故选：C． 3．(23-24八上·湖南长沙岳麓区湖南师大附中博才实验中学·期中)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项．根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A． 4．(24-25八上·湖南长沙明德教育集团·期中)下列运算正确的是（　 　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方对各选项判断作答即可． 【详解】解：A、，故不符合要求； B、，故不符合要求； C、，故不符合要求； D、，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方．熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方是解题的关键． 5．(23-24八上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期中)计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方，将原式进行正确的变形是解题的关键．利用积的乘方法则将原式变形后计算即可． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 6．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键根据运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A．，故原计算正确，符合题意； B．，故原计算不正确，不符合题意； C．与不是同类项，不能合并，故原计算不正确，不符合题意； D．，故原计算不正确，不符合题意； 故选：A． 7．(23-24八上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期中)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，单项式的乘除法，合并同类项，根据运算法则逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题 8．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中高新实验中学·期中)若，则n等于 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【详解】解：， ， ， 解得：． 故答案为：4． 9．(23-24八上·湖南长沙长沙县百熙实验中学·期中)已知，则 ． 【答案】24 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加把变为，再代入计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：24． 10．(24-25八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)0．已知：，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：3． 11．(23-24八上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期中)1．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法法则是解题的关键．根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查幂的运算．根据同底数幂除法的逆运算，将转化为，然后将，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题 13．(24-25八上·湖南长沙宁乡玉潭街道城北初级中学·期中)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可； （2）根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）． 13．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用，积的乘方的逆运算，零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式 ． 14．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， 又， ∴， ∴． 15．(23-24八上·湖南长沙一中教育集团·期中)阅读下列材料，并用材料中的知识解决后面的问题． 今年7月8日—9日，国际生态文明论坛在我国贵阳举办，论坛以“共谋人与自然和谐共生现代化——推进绿色低碳发展”为主题．我们知道，个相同的因数相乘记为．如，此时，我们将3叫做2关于8的“绿色发展数”，记为（即）．一般地，若（且，，为正整数），则叫做关于的“绿色发展数”，记为（即）． (1)计算以下列“绿色发展数”的值： ______，______，______． (2)观察（1）中、、三数及其计算结果，猜想与（且，，）之间的关系，并证明你的猜想． (3)如果我们将题目中的范围由“正整数”拓宽为“正数”，且（2）中的结论也仍然成立，已知6关于的“绿色发展数”为，216关于的“绿色发展数”为，且．用含的式子表示． 【答案】(1)1，3，4 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查新定义运算，涉及对“绿色发展数”定义的理解、同底数幂的乘法运算法则和非负数和为零的条件等知识，读懂题意，弄清新定义，按要求计算是解决问题的关键． （1）根据“绿色发展数”定义直接求解即可得到答案； （2）由（1）中的计算结果，结合“绿色发展数”定义，由同底数幂的乘法运算法则计算即可得证； （3）根据非负数和为零的条件，结合（2）中结论和“绿色发展数”，由同底数幂的乘法运算证明即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， 由“绿色发展数”定义可知，，，， 故答案为：1，3，4； （2）解：． 证明如下： 由（1）中，，则， 设，， 则， ∵，， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：∵6关于的“绿色发展数”为，216关于的“绿色发展数”为， ∴，， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 地 城 考点02 整式的乘法及化简求值 一、单选题 1．(24-25八上·湖南长沙一中教育集团·期中)下列式子计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，积的乘方以及幂的乘方，单项式除以单项式，解题的关键是掌握幂的有关运算法则．根据同底数幂的乘法，积的乘方以及幂的乘方，单项式除以单项式，逐个求解即可． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原选项错误，不符合题意． 故选：C． 2．(23-24八上·湖南长沙一中教育集团·期中)下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，掌握相关运算法则是解题的关键．利用单项式乘以多项式法则判断选项A、B；利用单项式除以单项式法则判断选项C；利用幂的乘方法则判断选项D即可． 【详解】解：A．，计算正确，但不符合题意； B． ，原计算错误，符合题意； C． ，计算正确，但不符合题意； D． ，计算正确，但不符合题意； 故选：B． 二、填空题 3．(23-24八上·湖南长沙长沙县百熙实验中学·期中)若，且，求 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 先对原式进行计算，再代入即可求得答案． 【详解】解： ，， ． 故答案为：20． 三、解答题 4．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中梅溪湖中学·期中)计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式运算法则与乘方运算是解题关键． （1）根据单项式乘以单项式，单项式除以单项式进行计算即可求解； （2）根据多项式乘以单项式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 5．(24-25八上·湖南长沙明德教育集团·期中)先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值．熟练掌握整式的化简求值是解题的关键． 先计算单项式乘多项式，然后合并同类项可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 将代入得，原式． 6．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中高新实验中学·期中)先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简，首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 7．(23-24八上·湖南长沙岳麓区湖南师大附中博才实验中学·期中)先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】此题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的乘法运算和合并同类项法则是解题的关键． 利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】原式， ， 当时， 原式， ， ． 8．(23-24八上·湖南长沙长沙县百熙实验中学·期中)先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)，6 (2)， 【分析】本题考查了单项式与单项式的乘法，多形式与多项式的乘法－化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据单项式与单项式的乘法法则化简，再把代入计算； （2）先根据多形式与多项式的乘法法则化简，再把代入计算． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式； （2）解： ， 当时，原式． 地 城 考点03 求代数式的值与不含某项求字母的值 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙华益中学·期中)若的积中不含的一次项，那么与一定是（    ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．比大 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键． 由题意知，，且，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∵的积中不含的一次项， ∴，即， 故选：C． 2．(23-24八上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期中)若，则的值为（    ） A． B．6 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了整式乘法，根据多项式乘多项式展开，即可的到结果． 【详解】解： ， ， 故选：A． 二、填空题 3．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中高新实验中学·期中)已知，则代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，求代数式的值，先把展开，利用已知代数式的值整体代入计算即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 4．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)若的积中不含的一次项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则，据此先得到展开式，结合“不含的一次项”，得，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 因为的展开式中不含的一次项， 所以， 则， 故答案为：． 地 城 考点04 整式乘法的应用 一、填空题 1．(23-24八上·湖南长沙一中教育集团·期中)如图，小平作了一幅长为40cm、宽为30cm的长方形画作，并在画作下方加了一个长为40cm、宽为xcm的长方形简介，则画作和简介所组成的大长方形面积为 cm．    【答案】/ 【分析】本题考查的是列代数式，单项式乘以多项式的运算，本题由长方形的面积公式直接列式计算即可． 【详解】解：画作和简介所组成的大长方形面积为， 故答案为： 二、解答题 2．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中高新实验中学·期中)长方形的长为a厘米，宽为b厘米，（a、b为正整数且，如果将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长方形面积记为，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为． (1)求与的差； (2)如果，求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积； (3)如果用一个面积为的长方形和两个面积为的长方形恰好能没有缝隙没有重叠地拼成一个正方形，求a，b的值． 【答案】(1) (2)50平方厘米 (3)a，b的值分别为7和4.5 【分析】（1）分别求出的值，从而求解； （2）由，求得，然后求出将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积，最后整体代入求值即可； （3）由题意，根据拼接图形的边长之间的等量关系，列方程组求解，根据问题的实际意义作出取舍即可． 【详解】（1）由题意得： ， ， ∴ ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积为： ， ∴将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积为50平方厘米． （3）由题意可得方程组： ①      解得， ②   解得：故该组方程组的解不符合题意； ∴a，b的值分别为7和4.5． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式与图形面积的问题，整式的加减运算，代数式求值，二元一次方程组的应用．掌握相关运算法则，正确的列出代数式和方程组，是解题的关键． 3．(23-24八上·湖南长沙岳麓区湖南师大附中博才实验中学·期中)阅读以下材料： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如，所以和与和都是“幸福数对”. 解决如下问题： (1)请判断与是否是“幸福数对”？并说明理由： (2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，试说明，，，之间满足怎样的数量关系，并写出证明过程； (3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为．若这两个数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 【答案】(1)与是“幸福数对”，理由见解析 (2)；证明见解析 (3)和 【分析】本题考查了多项式乘以多项式和新定义“幸福数对”，根据多项式乘以多项式进行计算即可求解． （1）根据定义即可得到答案； （2）根据定义得：，化简得； （3）根据定义列等式，化简解方程可得的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴与是“幸福数对” （2）解： 理由如下，依题意，， ， ， ，， ∴． 即 （3）解：由（2）可得 即 ∴ 解得：， 则 ， ； ， ∴这两个两位数分别为：和． 地 城 考点05 利用乘法公式进行运算及化简求值 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙明德教育集团·期中)下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键：． 【详解】解：A、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； B、，能用平方差公式进行计算，符合题意； C、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； D、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； 故选B． 2．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项、完全平方公式、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：A. ，故此选项错误，不符合题意； B. ，故此选项错误，不符合题意； C. ，故此选项错误，不符合题意； D. ，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 二、解答题 3．(24-25八上·湖南长沙长郡集团联考·期中)计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，主要利用了积的乘方和幂的乘方，单项式的乘法，单项式的除法运算法则，多项式乘以多项式以及完全平方公式，运算量比较大，计算时要仔细，理清指数的变化． （1）原式先计算幂的乘方，再计算单项式的乘除法即可； （2）原式根据多项式除以单项式法则进行计算即可得到答案； （3）原式根据多项式乘以多项式法则以及完全平方公式将括号再合并即可； （4）原式逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．(23-24八上·湖南长沙长郡教育集团·期中)计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算单项式相除； （2）利用积的乘方逆运算计算即可； （3）利用多项式乘多项式，再合并同类项； （4）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，以及平方差公式、完全平方公式的运用，熟记公式是解题的关键． 5．(23-24八上·湖南长沙明德教育集团·期中)先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式和单项式乘以多项式的乘法进行计算，然后合并同类项，得到化简结果，再把字母的值代入化简结果计算即可．熟练完全平方公式和单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 当时， 原式． 6．(23-24八上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期中)先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子，进行计算即可解答． 【详解】解： 当时，原式 7．(23-24八上·湖南长沙华益中学·期中)先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，完全平方公式．熟练掌握平方差公式，完全平方公式是解题的关键． 利用平方差公式，完全平方公式计算，然后合并同类项可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解：由题意知， ， 将，，代入原式． 8．(23-24八上·湖南长沙一中教育集团·期中)先化简，再求值． (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解答本题的关键． （1）利用乘法分配律将三个括号展开，再合并同类项得到最简结果，最后将代入原式，得到最终结果． （2）利用完全平方和公式、平方差公式化简，然后合并同类项得到最简结果，最后将，代入原式，得到最终结果． 【详解】（1）解： 当时， 原式 （2） 当，时， 原式 9．(24-25八上·湖南长沙长郡集团联考·期中)化简求值：求代数式的值，其中． 【答案】，25 【分析】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．先化简题目中的式子，再利用整体思想建立与已知式子之间的关系即可解答本题． 【详解】解： ， ， ， 原式 ． 地 城 考点06 乘法公式的应用 一、单选题 1．(23-24八上·湖南长沙长沙县湖南师大附中梅溪湖中学·期中)一块边长为a米的正方形花园，改建后为长方形．新花园的长比原来增2米，宽比原来减2米，则改建后长方形花园面积与原来正方形花园面积相比（    ） A．保持不变 B．增大了2平方米 C．减少了2平方米 D．减少了4平方米 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的应用．根据题意确定改建后长方形花园的长和宽即可求解． 【详解】解：正方形花园的面积为：平方米； 改建后长方形花园的长为米，宽为米， ∴改建后长方形花园面积为： 平方米； ∴改建后长方形花园面积比原来正方形花园面积减少了4平方米 故选：D 2．(23-24八上·湖南长沙华益中学·期中)整式为某完全平方式展开后的结果，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握是解题的关键． 根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵整式为某完全平方式展开后的结果， ∴由题意知，， 故选：B． 二、解答题 3．(23-24八上·湖南长沙长郡教育集团·期中)阅读材料，解决后面的问题： 若，求的值． 解：， ， 即：，，， 解得：，，． (1)若，求的值； (2)已知等腰的两边长，，满足，求该的周长； (3)已知正整数，，满足不等式，求的值． 【答案】(1) (2)当是腰，是底时，的周长；当是腰，是底时，的周长 (3) 【分析】（1） ，据此即可求解； （2）将配凑成，分类讨论当是腰，是底时和当是腰，是底时，两种情况即可求解； （3）由题意可得，结合，，是正整数可得；分类讨论当时、当时、当时三种情况即可． 【详解】（1）解：， ． ，， 解得：，． ； （2）解：， ， ，即，． ，是等腰的两边长， 当是腰，是底时，的周长； 当是腰，是底时，的周长． （3）解：， ， ， ，，为正整数，所以，即， 或1或，即或5或3， 当时，或1或，或2.5或1.5且，，为正整数， ，，， ； 当时，，即，与题意不符，舍去； 当时，，即，与题意不符，舍去． 综上所述，． 【点睛】本题考查了配方法的应用．熟记完全平方公式的形式是解题关键． 4．(23-24八上·湖南长沙岳麓区湖南师大附中博才实验中学·期中)如图，某校有一块长米，宽米的长方形地块，后勤部门计划将阴影部分进行绿化，在中间正方形空白处修建一座孔子雕像． (1)计算绿化地块的面积； (2)当，时，绿化地块的面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是列代数式，求代数式的值，整式的乘法与完全平方公式的实际应用． （1）由长方形的面积减去正方形的面积，再列式计算即可； （2）把，代入（1）中的代数式计算即可． 【详解】（1）解：绿化面积 ． ∴绿化的面积为； （2）当，时， 绿化的面积． ∴当，时，绿化的面积是． 5．(23-24八上·湖南长沙芙蓉区湖南师大附中芙蓉中学·期中)阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． (1)填空： ①_____； ②_____； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)①；② (2)； (3)． 【分析】本题主要是考查新定义运算问题及完全平方公式． （1）按照定义及积的乘方计算即可； （2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出a和b的值，再代入要求得式子求解即可； （3）按照定义计算及的值，再利用配方法得出的值；由于，4个一组，剩下两项，单独计算这两项的和，其余每相邻四项的和均为0，从而可得答案． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：①；②； （2）解：∵， 又是的共轭复数， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， 有2019个加数，， ∴， ∴． 6．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到数学中常用到的一个公式：请解答下列问题： (1)观察图2，写出图2中所表示的等式 ； (2)已知上述等式中的三个字母，，可取任意数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值； (3)如图3，将边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两正方形的边长满足，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积． （1）由图形面积很容易得出； （2）直接套用（1）中结论即可得解； （3）由图形可发现，再将边长代入，然后利用完全平方公式变形即可得解． 【详解】（1）解：由图形可得等式：， 故答案为：． （2）解：∵，，，且， ∴ ， ∴． （3）解： ， ∵，， ∴． 7．(24-25八上·湖南长沙长郡集团联考·期中)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为，的小长方形若干个． (1)用两个这样的小长方形和两个正方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式； (2)用四个相同的小长方形和一个小正方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式，，之间的等量关系式； (3)根据上面的解题思路与方法，解决下面问题： ①若，，求； ②若，，求． 【答案】(1) (2) (3)①33，②40 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式，掌握完全平方公式的定义是关键． （1）图1中由两个长与宽分别为、的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为，的正方形的面积可得； （2）图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （3）①利用代入求值即可， ②利用代入求值即可． 【详解】（1）解：图1中，由图可知，， 由题意得，， 即； （2）解：图2中，由图可知， 由题图可知，， 即， 故答案为：； （3）解：①，， ， ②，， ． 8．(23-24八上·湖南长沙明德教育集团·期中)完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即：，又因为，所以 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)如图，是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．      【答案】(1) (2)16 (3)阴影部分的面积为6 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景： （1）根据完全平方公式得出，整体代入求值即可； （2）根据完全平方公式将转化为，再整体代入求值即可； （3）设，，可得，，求出即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴； （2）∵ ∴； （3）设，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由完全平方公式可得，， ∴， ∴， ∴， 答：阴影部分的面积为6． 9．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)在课后服务课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． 【发现】 （1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ； 【应用】 （2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 【答案】（1）；（2）①；②这个长方形的面积为． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应用完全平方公式进行变形计算． （1）由图形得出完全平方公式即可； （2）①根据完全平方公式计算出的值即可； ②令，，则，，根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1）由图2可知，大正方形的边长为，即大正方形的面积为， 因大正方形由1个边长为和1个边长为的正方形及2个长为、宽为的长方形构成， 由此可得：． 故答案为：； （2）①由可得：， 将，代入 得：， 解得：； ②令，，则，， 整体代入可得： ， ∴， 故这个长方形的面积为． 10．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期中)我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； 与； 与； 与 (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； (3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值． 【答案】(1)； (2)它们的“对消值”为； (3)代数式的最小值是． 【分析】此题考查了求代数式值的能力， ()运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； ()先运用题目中的定义求得，的值，再代入求解； ()先求得，再将原式进行配方变形进行求解；解题的关键是能准确运用题目的新定义进行求解． 【详解】（1）∵， , ， ∴组多项式不是互为“对消多项式”，组多项式是互为“对消多项式”， 故答案为：； （2），， ∵与互为“对消多项式”， ，， ，， ∴它们的“对消值”为； （3），， ， ∵与互为“对消多项式”且“对消值”为， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴代数式的最小值是． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $