重难点培优04 圆锥曲线中焦半径、焦点弦秒杀公式（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优04 圆锥曲线中焦半径、焦点弦秒杀公式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 椭圆的焦半径、焦点弦公式（★★★★★） 3 题型二 双曲线的焦半径、焦点弦公式（★★★★★） 5 题型三 抛物线的焦半径、焦点弦公式（★★★★★） 5 03 实战检测・分层突破验成效 6 检测Ⅰ组 重难知识巩固 6 检测Ⅱ组 创新能力提升 8 一、椭圆的焦半径和焦点弦公式 【焦半径形式1】椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径和可按下面的公式计算： （1）；（2）（记忆：左加右减） 【焦半径形式2】椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设，则椭圆的焦半径，若延长交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦. 二、双曲线的焦半径和焦点弦公式 【焦半径形式1】双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径和可按下面的公式计算： （1）；（2）（记忆：左加右减） 【焦半径形式2】双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负） 三、抛物线的焦半径和焦点弦公式 1、设点在抛物线上，、，是抛物线的焦点弦，则抛物线的坐标版焦半径、焦点弦公式如下表： 标准方程 图形 焦半径公式 焦点弦公式 2、直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，设α为AB的倾斜角 （1）弦长AB＝ （2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为：（通径）2p. （3），， ＋为定值. 题型一 椭圆的焦半径、焦点弦公式 1．已知椭圆：的右焦点为，点，为第一象限内椭圆上的两个点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D．2 2．已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为，y轴右侧的两点A，B在椭圆上，且直线AB与圆O：相切，若椭圆的焦距为12，的周长为15，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）已知椭圆：（）的长轴顶点分别为，，左、右焦点分别为，，斜率为正的直线过点，交椭圆的上半部分于点．若椭圆上存在点，使得且，则椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，且，若第一象限的点、在上，，，，则直线的斜率为 . 6．已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则 ． 7．已知椭圆的左右焦点分别为，，若过点及的直线交椭圆于A，B两点，求． 8．为椭圆上的点，且点与左、右焦点的连线互相垂直，求点的坐标． 题型二 双曲线的焦半径、焦点弦公式 1．已知双曲线的左焦点为，过点的直线交双曲线的同一支于两点，若，则 . 2．过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则 . 3．已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是 4．过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于、两点，求弦长． 5．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点为F，且P是双曲线上的一点，求的最小值. 题型三 抛物线的焦半径、焦点弦公式 1．已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于，两点，当直线的斜率为时，，则（   ） A． B． C． D．4 2．已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 3．（2025·安徽马鞍山·二模）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过焦点且与交于，两点，若直线的斜率为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A．5 B．9 C．8 D．10 5．设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 6．已知过抛物线的焦点的直线交于不同的两点，，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过且与交于两点，若直线的斜率为，则（   ） A．5 B． C． D． 8．已知抛物线C：的焦点为F，且C的准线与x轴的交点为M．若直线l与C交于D，E两点，且，，则的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·贵州·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则p=（   ）. A．2 B． C．4 D． 2．（2024·广东佛山·模拟预测）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．设倾斜角为α的直线l经过抛物线C：的焦点F，与抛物线C交于A、B两点，设A在x轴上方，点B在x轴下方．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．双曲线的一条渐近线方程为，、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到的距离最小值为，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河北邢台·一模）倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为 . 9．已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，则满足（其中为坐标原点）的点的个数为 ． 10．已知是双曲线.左，右焦点，若上存在一点，使得成立，其中是坐标原点，则的离心率的取值范围是 . 11．已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为 . 12．过双曲线的右焦点作倾斜角为直线，交双曲线于两点，求弦长． 13．已知点F和直线l是离心率为e的双曲线C的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为p．过点F的弦AB与曲线C的焦点所在的轴的夹角为，则有． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点， 则的最小值为 （    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知双曲线上的点到焦点的最小距离为，且与直线无交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东泰安·模拟预测）过，倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知△ABC是椭圆的内接三角形，F是椭圆的上焦点，且原点O是△ABC的重心．求A，B，C三点到F距离之和为 ； 6．设，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且满足（是坐标原点），则直线的斜率为 . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优04 圆锥曲线中焦半径、焦点弦秒杀公式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 椭圆的焦半径、焦点弦公式（★★★★★） 3 题型二 双曲线的焦半径、焦点弦公式（★★★★★） 10 题型三 抛物线的焦半径、焦点弦公式（★★★★★） 13 03 实战检测・分层突破验成效 20 检测Ⅰ组 重难知识巩固 20 检测Ⅱ组 创新能力提升 29 一、椭圆的焦半径和焦点弦公式 【焦半径形式1】椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径和可按下面的公式计算： （1）；（2）（记忆：左加右减） 【焦半径形式2】椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设，则椭圆的焦半径，若延长交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦. 二、双曲线的焦半径和焦点弦公式 【焦半径形式1】双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径和可按下面的公式计算： （1）；（2）（记忆：左加右减） 【焦半径形式2】双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负） 三、抛物线的焦半径和焦点弦公式 1、设点在抛物线上，、，是抛物线的焦点弦，则抛物线的坐标版焦半径、焦点弦公式如下表： 标准方程 图形 焦半径公式 焦点弦公式 2、直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，设α为AB的倾斜角 （1）弦长AB＝ （2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为：（通径）2p. （3），， ＋为定值. 题型一 椭圆的焦半径、焦点弦公式 1．已知椭圆：的右焦点为，点，为第一象限内椭圆上的两个点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】设点，用椭圆的离心率e，半焦距c及a表示出，再由探求出的关系即可作答. 【详解】设点，右焦点为，椭圆的离心率为，， ，同理， 如图，过P，Q分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N， 因，则，即，， 于是得，又，则，即， 因此得，即，整理得，而，则， 所以椭圆的离心率为. 故选：C 2．已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明焦半径公式，然后根据内切圆的性质求得，进一步得，从而，由得离心率，利用求解即可. 【详解】先证明焦半径公式，对于椭圆方程：， 由椭圆上任意点及左、右焦点、， 得 ； 同理，； 根据椭圆方程知，，即， 故椭圆两个焦半径为，， 如图,设的内切圆与三边切于点， 由圆的性质可知， 则， 又，所以，所以，又， 则，由得，所以，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：D 3．在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为，y轴右侧的两点A，B在椭圆上，且直线AB与圆O：相切，若椭圆的焦距为12，的周长为15，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明椭圆的焦半径公式，记与圆相切于点，，，，即可推出，从而得到的周长为，即可求出、，从而求出离心率. 【详解】首先证明椭圆（）上任意一点到左、右两焦点、的距离，（焦半径公式）； 证明：因为、， 所以 ； 同理可得； 根据椭圆方程知，，即， 故椭圆两个焦半径为，； 记与圆相切于点，，，， 则，又， 所以，则，， 所以，同理可得，故的周长为． 所以，则，又焦距，所以， 所以离心率. 故选：D 4．（多选题）已知椭圆：（）的长轴顶点分别为，，左、右焦点分别为，，斜率为正的直线过点，交椭圆的上半部分于点．若椭圆上存在点，使得且，则椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】如图，由椭圆的对称性可知，根据相似三角形的性质和焦点弦的性质可得，，对化简计算即可求解. 【详解】如图，延长交椭圆于点．由椭圆的对称性，可知．    因为，所以． 设直线的倾斜角为．由焦点弦的推导公式，得，， 所以，即， 所以．因为直线的斜率为正， 所以，所以， 解得． 故选：ABC． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，且，若第一象限的点、在上，，，，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】设点、，求得椭圆的离心率，利用椭圆的焦半径公式可求得的值，再利用弦长公式可求得直线的斜率. 【详解】椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，且， 所以，， 由椭圆的几何性质可知，，椭圆的离心率为， 设点、，则，， 则 ， 同理可得， 所以，，解得， 设直线的斜率为，由弦长公式可得， 解得， 因为点、都在第一象限，则，故. 故答案为：. 6．已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则 ． 【答案】3 【分析】解法一：由已知条件得到直线的方程，联立直线和椭圆方程求得点横坐标，再由相似性质可得结果；解法二：由椭圆的焦半径公式表示出，化简可得结果；解法三：由焦比定理代入化简可得结果. 【详解】解法一：由题意知，，，所以，即，故直线为， 联立直线与椭圆方程得消去整理得，解得或， 又，所以，，由相似的性质可知，． 解法二：如图所示，设直线的倾斜角为，结合知，．    由题意知，，则．因为斜率，所以，所以． 解法三：由题意知，直线的斜率，设， 由焦比定理知，即，解得，即，所以． 故答案为：3. 7．已知椭圆的左右焦点分别为，，若过点及的直线交椭圆于A，B两点，求． 【答案】 【分析】由椭圆的焦点弦长公式可得，写出直线AB的方程，联立椭圆方程，即可由韦达定理得出，即可求. 【详解】由题意，，， 则直线AB的方程为，即， 令，则，， 直线方程与椭圆方程联立， 得：， 所以． 【点睛】（1）从椭圆的标准方程看出焦点的位置，合理选择椭圆的焦点弦长公式． （2）一般弦长公式对椭圆的焦点弦长仍然适用，但是计算繁琐，直接利用椭圆的焦点弦长公式就更为简捷． 8．为椭圆上的点，且点与左、右焦点的连线互相垂直，求点的坐标． 【答案】． 【分析】设出P点坐标，根据椭圆焦半径公式，结合可列出方程，即可求得答案. 【详解】由于为椭圆上的点，椭圆离心率为， 设，故；， 而，由题意知，则, 得，得， 从而点的坐标为． 题型二 双曲线的焦半径、焦点弦公式 1．已知双曲线的左焦点为，过点的直线交双曲线的同一支于两点，若，则 . 【答案】2 【分析】利用焦半径公式可证，从而可得结论. 【详解】设，则，由焦半径公式， ， 所以， 从而，即. 故答案为：. 2．过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则 . 【答案】2 【分析】设，利用焦半径公式可得，进而计算可求得. 【详解】设，因为，所以点必在双曲线右支上， 由焦半径公式，，解得，所以， 从而，双曲线的渐近线的斜率为，因为， 所以点也在双曲线的右支上.如图，由图可知，， 所以. 3．已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是 【答案】 【分析】先计算双曲线的标准方程，再由焦半径公式计算即可. 【详解】由题意可知， 代入双曲线方程有， 又的面积为，即， 所以双曲线方程为：， 设， 则， 同理， 因为，则， 故答案为：. 4．过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于、两点，求弦长． 【答案】8 【分析】利用双曲线的焦点弦长公式，根据已知条件直接得出弦长． 【详解】由双曲线得，又 所以． 5．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点为F，且P是双曲线上的一点，求的最小值. 【答案】 【分析】设，利用点在双曲线上和两点间的距离公式可得，再根据的范围可得答案. 【详解】设，则有，， ， 当P在双曲线右支时，因为，所以， 所以的最小值为； 当P在双曲线左支时，因为，所以， 因此，的最小值为， 综上所述：的最小值为；    题型三 抛物线的焦半径、焦点弦公式 1．已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于，两点，当直线的斜率为时，，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】写出直线方程与抛物线方程联立结合韦达定理可得：，利用焦点弦长公式求解即可. 【详解】由题意可得直线，与抛物线方程联立， 得. 设，，则，所以，故. 故选：A 2．已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】C 【分析】解法一：利用抛物线的焦点弦长公式. 解法二：设出点后，求出直线的方程，与抛物线方程联立，再利用抛物线的焦点弦长公式可求得线段的长 【详解】解法一：抛物线的焦点弦长公式，可得. 解法二：设点、，抛物线的焦点为， 由于直线过点，且该直线的倾斜角为，斜率为1， 则直线的方程为， 联立方程，消去并整理得，， 由韦达定理可得，由抛物线的焦点弦长公式可得 故选：C. 3．（2025·安徽马鞍山·二模）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过焦点且与交于，两点，若直线的斜率为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据给定条件，作出几何图形，结合几何意义及抛物线的定义列式求解. 【详解】抛物线的焦点，准线，过作准线的垂线，垂足为，作轴于， 由直线的斜率为，得，而， 则，设点，令，， 于是，解得，同理， 因此 ， 当为钝角时，同理求得，所以. 故选：C 4．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A．5 B．9 C．8 D．10 【答案】B 【分析】利用抛物线的焦点弦性质可得，利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】由抛物线焦点弦性质可得，则， 所以，令，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为9. 故选：B. 5．设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】方法一设出直线方程，联立方程组并利用韦达定理得到，，再利用弦长公式表示出弦长，进而求出最小值，方法二利用二级结论得到，再对条件合理变形，再利用基本不等式求解最小值，方法三利用抛物线的性质得到抛物线的焦点弦最短时为通径，直接求解最小值即可. 【详解】方法一：由已知得，直线的斜率不为0， 如图，设，， 设直线的方程为， 联立方程组，得到，且易得， 则由韦达定理得，， 由弦长公式得， 故当时，取最小值，且该值为2，故C正确. 故选：C． 方法二：由二级结论得，易得， 而 ，当且仅当时等号成立，故C正确. 故选：C． 方法三：易得抛物线的焦点弦最短时为通径，从而，故C正确. 故选：C． 6．已知过抛物线的焦点的直线交于不同的两点，，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】法一：讨论当轴时的情况，当直线的斜率存在时设出直线方程，与抛物线方程联立，得根与系数的关系，根据求直线的斜率，写出直线的方程. 法二：讨论当轴时的情况，当直线的斜率存在时设出直线方程，与抛物线方程联立，得根与系数的关系，根据，得.由抛物线的定义得，，进而结合韦达定理求直线的斜率，写出直线的方程. 法三：设直线的倾斜角为，利用弦长与的关系式可求得，可求斜率，进而可求得直线方程. 【详解】由题意知，当轴时，易知，故，不符合题意. 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，（点拨：当时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意）， 代入，得.恒成立， 设，，由根与系数的关系可得. ，， 则， 所以， 所以，解得， 所以直线的方程为或. 故选：A. 法二：由题意知，当轴时，易知， 故，不符合题意. 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为， （点拨：当时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意） 代入，得.恒成立， 设，，由根与系数的关系可得. 由，得，即. 由抛物线的定义得，， 所以， 所以，解得， 所以直线的方程为或. 故选：A. 法三：设直线的倾斜角为，由，得， 即，所以，所以，所以， 又直线过点，所以直线的方程为或. 故选：A. 7．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过且与交于两点，若直线的斜率为，则（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用斜率已知，即角的正切值已知，结合抛物线的几何性质，来解直角三角形求一条焦半径，再利用抛物线的两焦半径的倒数和为定值，从而去求另一条焦半径，最后求得弦长. 【详解】   如图作垂直于准线，垂足为，可知设， 直线的斜率为得，， 则，由勾股定理得：， 即，化简得：， 解得或， 当直线斜率存在时，设为，与抛物线联立消元得： ，设交点，则， 而， 当直线斜率不存在时，， 综上，， 由得，此时. 由得，此时. 故选：D. 8．已知抛物线C：的焦点为F，且C的准线与x轴的交点为M．若直线l与C交于D，E两点，且，，则的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】根据题意，设l的倾斜角为，根据焦半径公式可推焦比公式，解出倾斜角，再回代可得，再利用求解即可. 【详解】由得直线l过焦点F，且． 由对称性可设点D在第一象限，则l的倾斜角为． 过点D，E作准线的垂线，垂足分别为H，I，过点D，E作x轴的垂线，垂足分别为G，K， 则，解得；，解得． 故由得，解得，所以． 又，解得， 所以． 故选：D. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·贵州·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则p=（   ）. A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据抛物线定义有，结合已知即可求参数的值. 【详解】设， 由抛物线定义知：，而的中点横坐标为4，即， 所以，即. 故选：A. 2．（2024·广东佛山·模拟预测）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由抛物线的定义可知，再由抛物线的性质可得即可求解. 【详解】如图所示，抛物线及准线如图所示，过点作垂直准线于点， 过焦点作垂直于于点，由题意可知， 根据抛物线的定义 在中，，又， 所以， 解得. 故选：C. 3．设倾斜角为α的直线l经过抛物线C：的焦点F，与抛物线C交于A、B两点，设A在x轴上方，点B在x轴下方．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，在直角三角形中求出倾斜角为的余弦值. 【详解】过，分别作准线的垂线交准线于，，过作于，则， 由抛物线的性质可得，，， 因为，∴， 所以，即. 故选：A． 4．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线，结合韦达定理及抛物线焦半径公式可得解. 【详解】 由已知抛物线焦点到准线的距离为， 即， 则抛物线方程为，， 所以直线方程为，即， 设直线与抛物线交点，， 联立直线与抛物线， 得， 则，， 又由抛物线可知，， 所以， 故选：A. 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可 【详解】    如图所示，设双曲线实轴长为，则， 所以， 又M在第一象限，即，故， 因为，过M作MD⊥轴于D，， 由条件故， 即，故， 解之得（负值舍去）. 故选：A 6．双曲线的一条渐近线方程为，、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到的距离最小值为，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出双曲线左支上的点到的距离最小值，可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出该双曲线的方程. 【详解】双曲线左支上一点为，则，且， 则 ，则， 由已知可得，解得，因此，双曲线方程为. 故选：B. 7．（2024·河北邢台·一模）倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用焦半径公式将所求弦长用三角函数表示，再利用三角函数性质求出取值范围即可. 【详解】 首先，我们来证明抛物线中的焦半径公式， 如图，对于一个抛物线，倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点．作准线的垂线，过作， 则， 解得，同理可得， 如图，不妨设在第一象限，由焦半径公式得，， 则， 而，可得，故，故A正确， 故选：A 8．已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用焦半径公式把比值表示为的式子，然后由得出范围． 【详解】设，，且得：. 故答案为：. 9．已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，则满足（其中为坐标原点）的点的个数为 ． 【答案】4 【分析】设点，由焦半径公式表示出、，即可得到，再由得到方程，解得即可判断. 【详解】设点，则．由焦半径公式得， 故． ∵，∴，即． 又∵，解得，∴满足条件的点有4个． 故答案为： 10．已知是双曲线.左，右焦点，若上存在一点，使得成立，其中是坐标原点，则的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】不妨设点在双曲线的右支上，设，则，先求出，，由条件可得，再根据，根据建立不等式从而可得答案. 【详解】不妨设点在双曲线的右支上，设，则，则 则 同理可得 由，可得 ，又 所以，即，即 所以，即，即，即 所以，即 故答案为： 11．已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，所以存在点使等价于由可求的最小值，求得的范围，从而得到的取值范围. 【详解】 设，则.显然当靠近右顶点时，， 所以存在点使等价于， 在中由余弦定理得， 即，解得 ， 同理可得，所以， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. 由得，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求离心率范围关键是建立的不等式，此时将问题转化为，从而只需求的最小值，求最小值的方法是结合焦半径性质使用基本不等式求解. 12．过双曲线的右焦点作倾斜角为直线，交双曲线于两点，求弦长． 【答案】8 【分析】利用双曲线的焦点弦长公式，根据已知条件直接得出弦长． 【详解】由双曲线得，又 所以． 13．已知点F和直线l是离心率为e的双曲线C的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为p．过点F的弦AB与曲线C的焦点所在的轴的夹角为，则有． 【答案】答案见解析 【分析】结合双曲线的定义，通过讨论焦点F内分、外分弦AB两种情况，即可证明． 【详解】设点A，B，F在准线上的射影分别为，，H，与曲线C的焦点所在的轴交于点H．过点F作HF的垂线交直线于点M，交直线于点N．由双曲线的定义得，，． （1）当焦点F内分弦AB时，如图， ，， 因此，， 所以焦半径，焦半径， 所以． （2）当焦点外分弦时，如图， ， ， 所以，， 焦半径，焦半径， 所以． 综合（1）（2）知，． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点， 则的最小值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出抛物线的方程为，设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系求出的值，再根据抛物线的定义知，从而求出的最小值即可. 【详解】 因为抛物线的焦点到准线的距离为2，故， 所以抛物线的方程为，焦点坐标为， 设直线的方程为：，不妨设， 联立方程，整理得，则， 故，又， 则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故选：A. 2．已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据得，，再换元利用函数的单调性求解. 【详解】解：由双曲线的第二定义可知，， 右支上的点，满足， 由，解得， 在右支上，可得，可得，即，则， 令，，可得 而在，单调递减，，，， 故选：B 3．已知双曲线上的点到焦点的最小距离为，且与直线无交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，求出点到双曲线焦点距离的最小值为，再利用直线与双曲线无公共点可得出，可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围. 【详解】设双曲线上一点，设点双曲线的右焦点为， 若取最小值，则点在双曲线的右支上，则， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 联立可得， 因为与直线无交点，则， 即，因为，解得. 故选：B. 4．（2025·山东泰安·模拟预测）过，倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，即可得到，再由乘“1”法及基本不等式求出最小值，从而求出点坐标，再计算可得. 【详解】抛物线的焦点为（恰为），准线方程为， 依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 由，消去得，所以，. 所以，， ∴， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 又，所以，则，所以， 即或， 当时，，又，解得； 当时，，又，解得； 综上可得. 故选：A. 5．已知△ABC是椭圆的内接三角形，F是椭圆的上焦点，且原点O是△ABC的重心．求A，B，C三点到F距离之和为 ； 【答案】9 【分析】由题意可得出|AF|=a-ey1，|BF|=a-ey2，|CF|=a-ey3，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y1+y2+y3），因为△ABC的重心在原点O，所以，代入即可得出答案. 【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）， 对于椭圆，， 则，因为A（x1，y1）在椭圆上， 所以， 所以， ， 则|AF|=a-ey1，同理|BF|=a-ey2，|CF|=a-ey3，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y1+y2+y3）， ∵△ABC的重心在原点O，∴，又a=3，∴|AF|+|BF|+|CF|=9． 故答案为：. 6．设，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且满足（是坐标原点），则直线的斜率为 . 【答案】或 【分析】利用双曲线的第二定义求出焦半径的表达式，再根据，得，再由列等式求解. 【详解】如图，设双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线的右支上， 连接，过点作右准线的垂线，记， 则由双曲线的第二定义知，，其中. 即，整理得，. 由双曲线，得， 所以，，离心率， 由题设直线的倾斜角为，由，知， ， 所以，或，‘ 解得或， 把代入，可求得或. 故直线的斜率为或. 故答案为：或. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $