1.1.2 空间向量的数量积运算（6个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量的数量积运算核心知识点，先系统梳理夹角、投影、数量积的定义及运算律，再通过求数量积、模长、夹角、投影、最值与范围、综合应用六个题型，构建从基础概念到几何应用的学习支架。 资料以典型例题和分层练习为亮点，结合正四面体、平行六面体等实例，引导学生用数学眼光观察空间向量关系，用数学思维推理运算，培养数学语言表达能力。课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1.1.2 空间向量的数量积运算 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角 记法 范围 通常规定：，当________时， 2．空间向量投影 （1）向量在向量方向上的投影向量如图，已知两个非零向量、，在空间任取一点，作，，过点作直线的垂线，垂足为点，称向量为向量在向量方向上的投影向量，则．    （2）向量在向量方向上的投影数量________称为投影向量的数量，简称为向量在向量方向上的投影数量．结合空间向量数量积的定义可知，向量在向量方向上的投影数量为． 3．空间向量的数量积 （1）定义______为与的数量积． 特别地，，，． （2）对于两个非零向量，，由得． （3）空间向量的数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 ______， 交换律 分配律 ______ 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 求空间向量的数量积 基础知识 核心知识 空间向量数量积定义 数量积运算结果是实数不是向量 其中均为非零向量 数量积满足交换律分配律 不满足结合律 方法技巧 优先寻找向量的模长与夹角代入定义式计算 基底形式可展开多项式再分别计算各项数量积 几何体中注意识别向量夹角夹角起点必须重合 垂直向量直接判定数量积等于0 坐标形式向量直接套用坐标公式计算 典型例题 【例题 1】（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 【例题2】（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 【巩固练习2】（25-26高二上·江苏南通·期末）在平行六面体中，，则__________. 【巩固练习3】（25-26高二上·安徽亳州·期末）在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【题型2】 由空间向量数量积求模长 基础知识 核心知识 向量模长公式 是求模的核心转化公式 坐标形式 模长为非负实数 方法技巧 求向量模优先平方转化为数量积运算 遇到向量加减形式的模长先平方展开 展开时注意数量积交叉项不要遗漏 几何体中向量模长对应线段长度 平方完成后再开方得到最终模长 典型例题 【例题1】（25-26高二上·广西贵港·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二上·湖南长沙·期末）三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）在平行六面体中，长度均为2，两两夹角均为，则对角线的长度为______； 【巩固练习2】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图在平行六面体中，，，，则的长是___________．    【巩固练习3】（24-25高一下·吉林松原·期末）郑国渠是秦王嬴政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝.如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点分别在堤坝斜面与地面上，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，若，二面角的大小为，则（    ） A．3 B． C． D．6 【题型3】 由空间向量数量积求夹角 基础知识 核心知识 夹角公式 向量夹角范围 时 时 时 方法技巧 先算出数量积与两个向量的模后代入公式 区分向量夹角与几何体里面线段夹角 几何体中向量必须平移至同起点再判断夹角 算出余弦值之后反求角度 注意异面直线夹角范围是和向量夹角有区别 典型例题 【例题1】（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高二上·贵州毕节·期末）如图所示，平面与平面相互垂直，，，，，.向量与夹角的余弦值为______.    【巩固练习3】（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知在棱长均相等的正四棱锥中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【题型4】 求投影或投影向量 基础知识 核心知识 在方向上的投影数量 投影向量等于投影数量乘以方向上的单位向量 投影数量可正可负可为零 投影向量是向量同时具备大小与方向 方法技巧 分清投影数量（实数）和投影向量（向量） 直接套用数量积表达式简化计算 为零向量时投影不存在 坐标形式可直接代入坐标公式计算 注意投影正负由向量夹角余弦符号决定 典型例题 【例题1】（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高二上·宁夏银川·阶段检测）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【题型5】 求数量积的最值与范围 基础知识 核心知识 数量积变量常为夹角或者动态向量 向量模固定时数量积随夹角余弦变化 动态向量问题常引入参数建立函数表达式 利用函数值域或者三角函数值域求解范围 方法技巧 把数量积整理成单变量函数形式 动态点问题优先建立空间直角坐标系写坐标 转化为二次函数或者三角函数求最值 留意题干给出的向量约束条件 检验端点对应的几何状态是否存在 典型例题 【例题1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 【例题2】（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）在正方体中，，P是棱的中点，E，F是矩形内的任意两点（包括边界），则的最小值是__________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【巩固练习2】（25-26高二上·广东茂名·期中）已知是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的最小值是________ 【巩固练习3】（25-26高二上·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6】 空间向量数量积的综合应用 基础知识 核心知识 数量积可以证明线线垂直求解线段长度求异面直线夹角 向量垂直判定 空间几何问题可转化向量运算避开复杂几何证明 综合题常结合几何体中点等分点等条件 方法技巧 根据题意选择基底法或者空间坐标法 证明垂直优先计算数量积是否等于0 求线段长度转化为向量模长计算 求解角时看清所求为异面直线角还是向量夹角 计算完成后对照几何图形验证结果合理性 典型例题 【例题1】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 【例题2】（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）（多选）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．异面直线与所成的角为 D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·辽宁锦州·期末）（多选）平行六面体的底面是正方形，，，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点在平面内 C． D．直线与所成角的余弦值为 【巩固练习2】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）（多选）如图，点，分别是棱长为1的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 【巩固练习3】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）（多选）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏苏州·期中）线段在平面内，，且，则两点间的距离为（   ） A．5 B． C． D． 2．（25-26高一下·河北承德·期末）在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且 ，．若，则（   ） A．3 B． C． D．7 5．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 6．（25-26高二上·湖南·期中）如图，在空间四面体中，已知，，则异面直线与所成角是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高二上·广西钦州·阶段检测）在正四棱台中，，则（    ） A．和是相等向量 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影数量为2 三、填空题 8．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知是两两垂直的单位向量，则________________． 9．（25-26高二下·广东·期末）如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 10．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）如图，已知线段在平面内，线段，线段 ，线段于点.如果，，则的长为 ____. 11．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________． 12．（25-26高二上·山东菏泽·期末）在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且，则的长为__________. 13．（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）在正三棱锥中，，，D为棱AB的中点，则正三棱锥的体积为______，______，______. 14．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知O为正方形ABCD的中心，分别为的中点，若将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为____________. 15．（25-26高二上·上海·期中）体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是___________． 16．（2026高三·全国·专题练习）在正方体中，，点E，F在线段上，且，点是正方体表面上一动点，点P，Q是正方体表面上两动点，且，则的最小值为_________． 四、解答题 17．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 18．（25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． (1)试用，，表示向量，并求向量的长度； (2)求； (3)求异面直线与所成角的余弦值． $1.1.2 空间向量的数量积运算 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角 记法 范围 通常规定：，当________时， 2．空间向量投影 （1）向量在向量方向上的投影向量如图，已知两个非零向量、，在空间任取一点，作，，过点作直线的垂线，垂足为点，称向量为向量在向量方向上的投影向量，则．    （2）向量在向量方向上的投影数量________称为投影向量的数量，简称为向量在向量方向上的投影数量．结合空间向量数量积的定义可知，向量在向量方向上的投影数量为． 3．空间向量的数量积 （1）定义______为与的数量积． 特别地，，，． （2）对于两个非零向量，，由得． （3）空间向量的数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 ______， 交换律 分配律 ______ 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 求空间向量的数量积 基础知识 核心知识 空间向量数量积定义 数量积运算结果是实数不是向量 其中均为非零向量 数量积满足交换律分配律 不满足结合律 方法技巧 优先寻找向量的模长与夹角代入定义式计算 基底形式可展开多项式再分别计算各项数量积 几何体中注意识别向量夹角夹角起点必须重合 垂直向量直接判定数量积等于0 坐标形式向量直接套用坐标公式计算 典型例题 【例题 1】（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 【答案】 【详解】因为O为底面的中心，所以， ， ， 【例题2】（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 【答案】 【详解】因为，所以 . 【巩固练习2】（25-26高二上·江苏南通·期末）在平行六面体中，，则__________. 【答案】 【分析】设，则，再根据向量运算求解即可. 【详解】设，则， 所以 因为， 所以 故答案为： 【巩固练习3】（25-26高二上·安徽亳州·期末）在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据几何体特征以及二面角定义，利用向量数量积的运算律计算可得结果. 【详解】设的中点为，连接，如下图所示： 因为且，所以， 又因为，二面角的大小为，所以； 因此 . 故选：B 【题型2】 由空间向量数量积求模长 基础知识 核心知识 向量模长公式 是求模的核心转化公式 坐标形式 模长为非负实数 方法技巧 求向量模优先平方转化为数量积运算 遇到向量加减形式的模长先平方展开 展开时注意数量积交叉项不要遗漏 几何体中向量模长对应线段长度 平方完成后再开方得到最终模长 典型例题 【例题1】（25-26高二上·广西贵港·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算及数量积运算求解． 【详解】由题意可得， 以顶点为端点的三条棱长均为6，, ,得 ， ， 则： . 故选：C 【例题2】（25-26高二上·湖南长沙·期末）三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，平方后求解即可． 【详解】点是的重心，以为起点，则 ， ，， 故选：D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）在平行六面体中，长度均为2，两两夹角均为，则对角线的长度为______； 【答案】 【分析】首先利用向量表示，平方后利用数量积运算公式，即可求解. 【详解】， 则， ， 所以. 故答案为： 【巩固练习2】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图在平行六面体中，，，，则的长是___________．    【答案】 【分析】根据空间向量基本定理把用表示出来，再利用向量数量积公式得到的长. 【详解】取，，， 已知，，， ， ， ， ， ， ，即. 故答案为： 【巩固练习3】（24-25高一下·吉林松原·期末）郑国渠是秦王嬴政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝.如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点分别在堤坝斜面与地面上，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，若，二面角的大小为，则（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据向量加法的三角形法则得到，再利用向量模长平方的性质将展开，结合向量数量积公式计算，最后求出. 【详解】由题意可知：，，， 因为， 则 ， 所以． 故选：D. 【题型3】 由空间向量数量积求夹角 基础知识 核心知识 夹角公式 向量夹角范围 时 时 时 方法技巧 先算出数量积与两个向量的模后代入公式 区分向量夹角与几何体里面线段夹角 几何体中向量必须平移至同起点再判断夹角 算出余弦值之后反求角度 注意异面直线夹角范围是和向量夹角有区别 典型例题 【例题1】（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 【例题2】（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的数量积运算和夹角余弦公式计算即可. 【详解】由图可得，， 设正四面体的棱长为，则 , 结合题意可得. 因为两条异面直线的夹角的范围是， 故直线与夹角的余弦值为. 故选：D. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的夹角余弦公式计算求解. 【详解】设的棱长为2，分别是的中点， 则，夹角为，所以， 则， 又为边长为2的等边三角形，， 故选:C． 【巩固练习2】（24-25高二上·贵州毕节·期末）如图所示，平面与平面相互垂直，，，，，.向量与夹角的余弦值为______.    【答案】 【分析】根据垂直关系可得平面，，根据空间向量数量积求得，，根据夹角公式即可得结果. 【详解】因为平面平面，， 且平面平面，平面，可得平面， 又因为平面，则， 即，，， 则，，且，，， 因为， 则， 即， 又因为， 可得， 所以向量与夹角的余弦值为. 故答案为：. 【巩固练习3】（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知在棱长均相等的正四棱锥中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】 【分析】根据题意可得，求得，利用向量法可求得异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设，因为四边形为正方形，所以， 所以，所以， ， 又， 又异面直线与所成角为锐角或直角，所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【题型4】 求投影或投影向量 基础知识 核心知识 在方向上的投影数量 投影向量等于投影数量乘以方向上的单位向量 投影数量可正可负可为零 投影向量是向量同时具备大小与方向 方法技巧 分清投影数量（实数）和投影向量（向量） 直接套用数量积表达式简化计算 为零向量时投影不存在 坐标形式可直接代入坐标公式计算 注意投影正负由向量夹角余弦符号决定 典型例题 【例题1】（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出在上的投影向量，设，求出投影向量的长度，结合投影向量与的关系可得答案. 【详解】过点分别作垂直，垂足分别为， 因为平面，平面，所以， 所以在上的投影向量为，又，所以在上的投影向量为， 因为，所以， 设，则，所以， 又，点为棱上靠近点的三等分点，所以， 所以，所以. 故选：D    【例题2】（25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的概念，结合长方体的结构，可得答案. 【详解】如图，连接，取的中点，连接.易得， 则所求的投影向量为在上的投影向量，易得， 则，所以在上的投影向量为. 故选：C. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点， 所以在平面上的投影向量为. 故选：A. 【巩固练习2】（23-24高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【详解】，，， ，， ，，. 故选：C. 【巩固练习3】（23-24高二上·宁夏银川·阶段检测）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解. 【详解】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选：A 【题型5】 求数量积的最值与范围 基础知识 核心知识 数量积变量常为夹角或者动态向量 向量模固定时数量积随夹角余弦变化 动态向量问题常引入参数建立函数表达式 利用函数值域或者三角函数值域求解范围 方法技巧 把数量积整理成单变量函数形式 动态点问题优先建立空间直角坐标系写坐标 转化为二次函数或者三角函数求最值 留意题干给出的向量约束条件 检验端点对应的几何状态是否存在 典型例题 【例题1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】 如图所示，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，即， 可得，即， 所以， 则， 根据二次函数性质可知当时取得最小值，此时最小值为. 所以的最小值为. 【例题2】（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）在正方体中，，P是棱的中点，E，F是矩形内的任意两点（包括边界），则的最小值是__________. 【答案】 【分析】设正方体的中心为，连接，设，连接，由已知线面关系可证得平面，从而可得，，根据空间向量的数量积计算，从而可得其最小值. 【详解】设正方体的中心为，连接，设，连接，    因为正方体中，所以平面， 因为平面， ， 又平面，所以平面， 因为P是棱的中点，正方体的中心为， 所以，则四边形为平行四边形，则， 故平面，由于平面， 则，， 所以， 因为，，所以， 因为，所以|，所以， 因为E，F是矩形内的任意两点，所以，当且仅当E，F为或的两端点时，等号成立， 则，即的最小值是. 故答案为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，并求出的最小值，得到答案. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 则，，两式平方后相减可得 ，即， 其中，故， 故当取得最小值时，取得最小值， 当位于矩形的中心时，取得最小值，最小值为等边的中线长，即， 故. 故选：B 【巩固练习2】（25-26高二上·广东茂名·期中）已知是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的最小值是________ 【答案】/ 【分析】方法一：利用极化恒等式把转化为，再利用正方体性质，先确定，再确定最小值，最大值，从而可求得最小值； 方法二：利用空间向量的坐标运算，先研究关于三元函数最小值，再求剩下变量构造成两点间距离的最大值，最后确保它们能同时取到最值的条件是三点共面即可. 【详解】法一： 根据正方体的性质，可不妨设在下底面的棱上动点，又设中点为， 则 当与中点重合时，取到最小值， 当为底面对角线的顶点时，取到最大值， 所以当为底面中心，为底面对角线的顶点时, 取到最小值； 法二、如图建立空间直角坐标系， 设，，，其中，，. 则，. 则 ， 当在正方体同一面上时，则当，，时，取得最小值， ， 即当为正方体一面的对角线，为对角线中点时，取得最小值； 当、、不在正方体同一面上时，由对称性，不妨设，，不同时为0， 此时 ； 因为，，，则， 所以， 综上，的最小值是. 【巩固练习3】（25-26高二上·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，由空间向量的线性运算和数量积运算计算， 再由正方体的性质求得的范围即可求解. 【详解】因为球是棱长为的正方体的内切球，是球的直径， 所以，，， 因为 ， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以当为正方体顶点时，有最大值为； 当为内切球与正方体的切点时，有最小值为， 即，，所以， 故选：B. 【题型6】 空间向量数量积的综合应用 基础知识 核心知识 数量积可以证明线线垂直求解线段长度求异面直线夹角 向量垂直判定 空间几何问题可转化向量运算避开复杂几何证明 综合题常结合几何体中点等分点等条件 方法技巧 根据题意选择基底法或者空间坐标法 证明垂直优先计算数量积是否等于0 求线段长度转化为向量模长计算 求解角时看清所求为异面直线角还是向量夹角 计算完成后对照几何图形验证结果合理性 典型例题 【例题1】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，根据空间向量的线性运算可得，，进而验证即可判断；对于BCD，根据空间向量的数量积的定义及运算律求解判断即可. 【详解】对于A，由题意，四边形为平行四边形，则为的中点， 因， ， 则 ， 则，即，故A正确； 对于B，由A知，， 则 ，即得，故B正确； 对于C，由A知，，， 则 ， 则， 即与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，由A项知，，， 则 ，故D正确. 【例题2】（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）（多选）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．异面直线与所成的角为 D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量线性运算判断A；结合A可得，再根据数量积的运算律判断B；根据，则为异面直线与所成的角，即可判断C；计算，即可判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为， 所以 ， 所以，即，故B错误； 对于C：因为，，所以， 所以为异面直线与所成的角，即异面直线与所成的角为，故C错误； 对于D：因为，， 所以， 所以，即，故D正确. 故选：AD 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·辽宁锦州·期末）（多选）平行六面体的底面是正方形，，，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点在平面内 C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】由平方可判断A；利用空间向量共面的基本定理可判断B选项；求出，利用空间向量数量积的运算性质可判断C选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，如下图所示：    因为， 所以 ， ，故A正确； 对于B选项，由题意可知、分别为正方形、的中心， 所以，同理可得， 所以， 所以 ， 所以， 所以、、共面，故点在平面内，B对； 对于C选项， ，故，C错； 对于D选项， ， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为，D对. 故选：ABD. 【巩固练习2】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）（多选）如图，点，分别是棱长为1的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 【答案】AC 【分析】根据题意，利用空间向量线性运算，可判断A正确；利用空间向量数量积的运算性质与运算，可判断B错误，C正确；根据投影的定义及计算公式，可判断D错误. 【详解】对于A：由，可得， 则，所以A正确； 对于B，由 ，所以，所以B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D，向量在方向上的投影数量为，所以D错误； 故选：AC. 【巩固练习3】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）（多选）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，由数量积定义可判断选项正误；对于B，由题可得，然后由数量积运算律可判断选项正误；对于C，由题可得，然后由向量模长公式可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，由题：，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，得，由，得 ，所以， 则 ．故C正确； 对于D，，所以 ，故．故D错误. 故选：ABC 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏苏州·期中）线段在平面内，，且，则两点间的距离为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，，即得，又，再由，利用数量积的运算即可求解. 【详解】由，，，得，， 得到，又所以， ， ，∴. 2．（25-26高一下·河北承德·期末）在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选取基底向量将表示为向量的线性组合，再通过对该向量求平方，利用已知向量的数量积即可求解. 【详解】设， 由题意得，， ，， 因为为中点，所以， ， ， 所以.    3．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】由题意知，为等边三角形，所以. 所以 . 4．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且 ，．若，则（   ） A．3 B． C． D．7 【答案】B 【分析】先根据条件可得，然后采用先平方再开方的方法结合空间向量的数量积运算求解出结果. 【详解】由图可知，且； 所以 . 所以. 故选：B. 5．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 【答案】B 【分析】由平面可得，再结合空间向量的线性运算、数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】由平面，平面，得， 由题可知， . 故选：B 6．（25-26高二上·湖南·期中）如图，在空间四面体中，已知，，则异面直线与所成角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的加法运算可得，两边平方并化简可得，从而可得异面直线与所成角的大小. 【详解】由空间向量得，两边平方得， 整理得，所以，则，故异面直线与所成角为． 故选：C. 二、多选题 7．（25-26高二上·广西钦州·阶段检测）在正四棱台中，，则（    ） A．和是相等向量 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影数量为2 【答案】BCD 【分析】根据相等向量、空间向量垂直、投影向量、投影数量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】如图，和是相反向量，A错误. 根据正四棱台的性质可知，则，B正确. 设上底面在下底面的射影为， 延长交于点，连接. 根据正四棱台的性质可知， 平面， 平面平面，， 向量在向量上的投影向量为. ， 则向量在向量上的投影向量为，C正确. 向量在向量上的投影数量为，D正确. 故选：BCD    三、填空题 8．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知是两两垂直的单位向量，则________________． 【答案】3 【分析】根据向量模的运算公式，结合向量数量积的运算律运算求解即可 【详解】解：因为是两两垂直的单位向量， 所以， 所以 故答案为：3． 9．（25-26高二下·广东·期末）如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 【答案】 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得， 所以， 即. 10．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）如图，已知线段在平面内，线段，线段 ，线段于点.如果，，则的长为 ____. 【答案】 【详解】由，得，由，得，由， 得 ， 所以的长为. 11．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________． 【答案】 【分析】先得到，两边平方，从而得到模长 【详解】， ， 所以. 12．（25-26高二上·山东菏泽·期末）在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且，则的长为__________. 【答案】 【分析】利用空间向量数量积的运算性质可求得的长. 【详解】如下图所示： 由空间向量数量积的定义可得，， 同理可得， 所以 ， 故. 故答案为：. 13．（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）在正三棱锥中，，，D为棱AB的中点，则正三棱锥的体积为______，______，______. 【答案】 / 0 / 【分析】根据棱锥的体积公式以及数量积的运算律即可求解. 【详解】过点作垂直于平面，连接， 由正弦定理得，所以， 则正三棱锥的体积为： ， ， . 故答案为：；； 14．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知O为正方形ABCD的中心，分别为的中点，若将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为____________. 【答案】 【分析】应用向量夹角求法及数量积的运算律求. 【详解】翻折后如图所示，易知，， 结合已知有，， ， ， 易知，，设正方形边长为2， 所以，， 所以的值为 故答案为： 15．（25-26高二上·上海·期中）体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是___________． 【答案】 【分析】记该正四面体为，由题意得出球是该正四面体的内切球，球心也是外接球的球心，在高上，由体积求得正四面体的棱长，并求出内切球半径，最大时，是球的直径，由数量积的运算得出取最大值时，只要最大即可得． 【详解】记该正四面体为，如图，由题意球是该正四面体的内切球，    显然在其高上，是底面正的中心，设， 则，， ，得到， 因为是正四面体，则是内切球球心也是其外接球球心， 设内切球半径为，即，又， 由，得，解得， 当最大时，是球的直径， ， 因为点在正四面体的表面上运动，当是正四面体的顶点时， 取得最大值，最大值为， 所以的最大值是． 故答案为：． 16．（2026高三·全国·专题练习）在正方体中，，点E，F在线段上，且，点是正方体表面上一动点，点P，Q是正方体表面上两动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，由已知可得点在球心为半径为2的球面上，由向量的知识可知，求出的最小值解答即可. 【详解】如图， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，由， 则， 即， 也即， 由此可知点都是在球心为，半径为2的球面上， 由于，故是球的直径，为中点， ， 故要求的最小值，只需要求出的最小值， 而在正方体的表面上，设点在平面内的射影为， 则当在处时， 此时，即的最小值为. 四、解答题 17．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算法则计算求解； （2）先利用已知条件求出相关向量数量积，运用向量加减法运算求出，再通过向量数量积运算求解． 【详解】（1），． ． 点为的中点， ． （2）， ， ， ． 18．（25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． (1)试用，，表示向量，并求向量的长度； (2)求； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)，长度为； (2)； (3). 【分析】（1）根据平行六面体的性质，结合已知条件，运用向量加法表示向量，再结合已知条件求出向量的模； （2）利用向量数量积的运算规则计算求解； （3）先求出向量数量积，再分别求出向量的模，最后利用向量夹角余弦公式求解． 【详解】（1）由平行六面体的性质可知， 是的中点， ， ， ， ， ． （2） ． （3） ，， ， 又， ， ， 异面直线与所成角的余弦值为． $