专题02 整式的乘除（4知识&15题型&2易错）（期中知识清单）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题02 整式的乘除（4知识&15题型&2易错） 【清单01】幂运算 1．幂运算：幂是乘方运算的结果，表示m个a相乘，其中a叫做幂的底数，m叫做幂的指数． 2．运算规则： （1）同底数的幂相乘，底数不变，指数相加：． （2）同底数的幂相除，底数不变，指数相减：． （3）幂的乘方，底数不变，指数相乘：． （4）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：． （5）任何一个非零数的零次方都是1：． 【清单02】整式的乘法 单项式×单项式：系数相乘，字母相乘． 单项式×整式：乘法分配律． 整式×整式：乘法分配律． 【清单03】 整式的除法 单项式÷单项式：系数相除，字母相除． 整式÷单项式：除法性质． 【清单04】 乘法公式 1．平方差公式：； 语言描述：两数之和与两数之差的乘积，等于它们的平方差。 2．完全平方公式： 即：； 语言描述：两数之和（之差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们乘积的2倍． 【题型一】幂的乘法运算 【例1-1】（24-25七年级上·上海·期中）下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25七年级上·上海松江·期中）计算： ． 【例1-3】（24-25七年级上·上海·期中）已知：，，则 【例1-4】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 【例1-5】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）比较大小： ．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【例1-6】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【例1-7】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【变式1-4】（24-25七年级上·上海·期中）计算：（结果用幂的形式表示）． 【变式1-5】（24-25七年级上·上海·期中）已知，求的值． 【变式1-6】（22-23七年级上·上海宝山·期中）计算 【题型二】单项式乘单项式 【例2-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【例2-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【变式2-1】（23-24七年级上·上海·期中）计算： ． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【变式2-3】（23-24七年级上·上海长宁·期中）计算： 【题型三】单项式乘整式 【例3-1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【例3-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【变式3-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【变式3-3】（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算：． 【题型四】整式乘整式 【例4-1】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 【例4-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【例4-3】（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算：__________． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【变式4-4】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【题型五】平方差与完全平方公式 【例5-1】（24-25七年级上·上海·期中）下列各式不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【例5-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【例5-3】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【变式5-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【变式5-2】（24-25七年级上·上海·期中）已知，那么 ． 【变式5-3】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【题型六】同底数幂的除法 【例6-1】（24-25七年级上·上海·期中）下列计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【例6-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： （用幂的形式表示结果）． 【例6-3】（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知，，那么的值为 ． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）若，，则 ． 【变式6-3】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【题型七】单项式除以单项式 【例7-1】（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【例7-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【变式7-1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【变式7-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【题型八】整式除以单项式 【例8-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【例8-2】（24-25七年级上·上海松江·期中）计算： 【变式8-1】（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 【变式8-2】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： 【题型九】整式的混合运算 【例9-1】（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： 【例9-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【变式9-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【变式9-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【变式9-3】（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【题型十】不含某项求字母的值 【例10-1】（24-25七年级上·上海·期中）已知代数式的积中不含x的一次项，则 ． 【例10-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）如果关于x的两个多项式与相乘展开后的结果不含有一次项，且二次项系数是1，求a和b的值． 【变式10-1】（24-25七年级上·上海·期中）已知整式中无x的一次项，求 ． 【变式10-2】（24-25七年级上·上海·期中）将关于x的两个整式与相乘，积中不出现一次项， ． 【变式10-3】（24-25七年级上·上海宝山·期中）一个关于x的二次三项式，将它与一个关于的二项式相乘，得到一个关于的整式，其中不出现一次项，且三次项系数为1，求、的值． 【题型十一】求完全平方式中的字母系数 【例11-1】（24-25七年级上·上海·期中）若关于x的整式是某个整式的平方，则m的值是 ． 【例11-2】（24-25七年级上·上海·期中）已知是完全平方式，那么的值为 ． 【例11-3】（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知二项式A和单项式B满足，那么 ． 【变式11-1】（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果关于的整式是某个整式的平方，那么的值是 ． 【变式11-2】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若关于的整式是某个关于的整式的平方，则 ． 【变式11-3】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）已知是一个完全平方式，则k的值为 ． 【题型十二】对完全平方公式变形求值 【例12】（24-25七年级上·上海·期中）已知，则 ． 【变式12-1】（24-25七年级上·上海·期中）若a，b为有理数且满足，，则S的最小值为 ． 【变式12-2】（24-25七年级上·上海·期中）应用完全平方公式解决下列问题： (1)已知，，求和的值； (2)已知，求和的值． 【题型十三】规律探究 【例13-1】（24-25七年级上·上海·期中）将大小相等的圆点按如图规律摆放，则第个图形共有圆点 个． 【例13-2】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 根据上述规律，展开式的系数和是 ． 【变式13-1】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）我国古代数学中“杨辉三角”非常有名．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排序）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数：第四行的四个数恰好对应展开式中的系数等等，利用上述的规律计算： ．（结果用幂的形式表示） 【变式13-2】（23-24七年级上·上海青浦·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出下表，此表揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律，如：，它的系数分别为1，2，1．若展开得，那么的值为 ． 【变式13-3】（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：； ； ． (1)填空：_____；_____． (2)计算（需写出计算过程）： ； ． 【题型十四】整式乘法与图形面积 【例14-1】（24-25七年级上·上海·期中）如图， 已知正方形的边长为a， 长方形的边长为， 边长为b． 则以D为圆心，为半径的弧与所围成的阴影部分的面积是 ．（用含有a、b和的代数式表示） 【例14-2】（24-25七年级上·上海·期中）如图：一套房子的客厅和房间分别是边长为a米和b米的正方形，厨房和卫生间分别是正方形和长方形． (1)求厨房和卫生间的面积（用含的代数式表示）； (2)当时，求卫生间的面积． 【变式14-1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图，在长方形中，放入个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为，宽为，且．用、的代数式表示阴影部分的面积为 ． 【变式14-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 【变式14-3】（23-24七年级上·上海长宁·期中）已知正方形与正方形，，（）．根据下列条件平移正方形，解决下列问题． (1)如图，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (2)若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (3)如图2，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (4)若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在的延长线上，连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． 【题型十五】乘法公式在几何图形中的应用 【例15-1】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）我们可以通过拼图、推演得到了整式的乘法法则和公式，通过逆向思考得到了多项式因式分解的方法．如图，将边长为的正方形剪去一个边长为的正方形，再将剩余图形沿虚线剪开，拼成一个长方形，依据这一过程可得到的公式是（   ） A． B． C． D． 【例15-2】（24-25七年级上·上海·期中）有两个正方形、，将放在的内部得图，将、并列放置后得图，如果图和图中阴影部分的面积分别为和，则正方形、的面积之和是 ． 【例15-3】（24-25七年级上·上海·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． (1)情境一：如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，直接写出由此可以得到的乘法公式； (2)情境二：如图3，乙同学用4块A木片、1块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形， ①请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示）：_________． ②直接写出所用C木片的数量：_________块． (3)情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片，2块A，4块B，7块C拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，至少需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【变式15-1】（24-25七年级上·上海·期中）（1）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出之间的等量关系：_______ （2）若，则_______． （3）如图3，正方形的边长为，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 【变式15-2】（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，则， ， 所以 解决问题 (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为，长方形的面积是5，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）． 【变式15-3】（24-25七年级上·上海闵行·期中）现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如下图摆放，A、D、E三点在一条直线上， (1)如图①，，，这两个正方形的面积之和是______．（用m、n的代数式表示） (2)如图②，如果大正方形和小正方形的面积之和是5，图中阴影部分的面积为2，求是多少？ (3)如图③，大正方形和小正方形的面积之和是25，的长度等于7，图中阴影部分的面积是_________． (4)如图④，正方形和正方形的边长分别为，如果，，求图中阴影部分面积之和是多少？ 【变式15-4】（24-25七年级上·上海松江·期中）现有、、三种不同型号的卡片若干张（如图（1）），其中型卡片是边长为的正方形．型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．我们可以选取一些卡片，无重叠、无缝隙地拼成不同形状的长方形 (1)用型卡片1张，型卡片2张，型卡片1张可以拼成一个正方形如图（2），该正方形的边长为______，试根据该图形写出一个表示、数量关系的等式：______． (2)现有型卡片2张，型卡片2张，型卡片2张，从这6张卡片中去掉2张．用余下的4张卡片，拼出一个长方形，请画出大致的拼图，并写出拼成的长方形的边长（请给出所有可能的方案）． (3)如果要拼一个长为、宽为的长方形，设需要型卡片张，型卡片张，型卡片张，那么______． 【变式15-5】（24-25七年级上·上海虹口·期中）如图3，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为的正方形卡片； 2号卡片：边长为的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为、的长方形卡片，其中． (1)填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_____． (2)填空：小明同学想用张1号卡片，张2号卡片，张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_____． (3)现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 【题型一】 整式乘法漏乘致错 1．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算：__________． 2．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【题型二】乘法公式运用错误 3．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算： 5．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 6．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 7．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 8．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算：（结果保留幂的形式）． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘除（4知识&15题型&2易错） 【清单01】幂运算 1．幂运算：幂是乘方运算的结果，表示m个a相乘，其中a叫做幂的底数，m叫做幂的指数． 2．运算规则： （1）同底数的幂相乘，底数不变，指数相加：． （2）同底数的幂相除，底数不变，指数相减：． （3）幂的乘方，底数不变，指数相乘：． （4）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：． （5）任何一个非零数的零次方都是1：． 【清单02】整式的乘法 单项式×单项式：系数相乘，字母相乘． 单项式×整式：乘法分配律． 整式×整式：乘法分配律． 【清单03】 整式的除法 单项式÷单项式：系数相除，字母相除． 整式÷单项式：除法性质． 【清单04】 乘法公式 1．平方差公式：； 语言描述：两数之和与两数之差的乘积，等于它们的平方差。 2．完全平方公式： 即：； 语言描述：两数之和（之差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们乘积的2倍． 【题型一】幂的乘法运算 【例1-1】（24-25七年级上·上海·期中）下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．∵，原式不正确； B．，原式不正确； C．∵，原式不正确； D．∵，正确． 故选,：D． 【例1-2】（24-25七年级上·上海松江·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 【例1-3】（24-25七年级上·上海·期中）已知：，，则 【答案】 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 【例1-4】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【详解】解： ； 故答案为：． 【例1-5】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）比较大小： ．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【答案】 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【例1-6】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【例1-7】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：B． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解： ； 故答案为： 【变式1-4】（24-25七年级上·上海·期中）计算：（结果用幂的形式表示）． 【详解】解： 【变式1-5】（24-25七年级上·上海·期中）已知，求的值． 【详解】解： ∴ 解得． 【变式1-6】（22-23七年级上·上海宝山·期中）计算 【详解】解：， ， ， 【题型二】单项式乘单项式 【例2-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 【例2-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式2-1】（23-24七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 【变式2-3】（23-24七年级上·上海长宁·期中）计算： 【答案】 【详解】解： 【题型三】单项式乘整式 【例3-1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 【例3-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 【详解】解∶ ． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算：． 【详解】解： ． 【题型四】整式乘整式 【例4-1】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 【例4-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【详解】解： ． 【例4-3】（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 【详解】解： ． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算：__________． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【详解】解：原式 ． 【变式4-4】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【详解】解： ． 【题型五】平方差与完全平方公式 【例5-1】（24-25七年级上·上海·期中）下列各式不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，满足a相同，与相反，可用平方差公式，结果为； B、可调整为满足y相同，与相反，可用平方差公式，结果为； C、可调整为满足相同，与相反，可用平方差公式，结果为； D、可调整为，两括号为同一二项式的相反数，结果为完全平方的负数，无法用平方差公式． 故选：D． 【例5-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 【例5-3】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【详解】解：， ， ， ， ． 【变式5-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级上·上海·期中）已知，那么 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ，， 且， 解得，， ． 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【题型六】同底数幂的除法 【例6-1】（24-25七年级上·上海·期中）下列计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A. ，原计算错误，故此选项不符合题意；     B. ，原计算错误，故此选项不符合题意； C. ，原计算正确，故此选项符合题意；         D. ，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【例6-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： （用幂的形式表示结果）． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 【例6-3】（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知，，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）若，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【变式6-3】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【详解】解： ． 【题型七】单项式除以单项式 【例7-1】（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 【例7-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【详解】解： ． 【变式7-1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 【变式7-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型八】整式除以单项式 【例8-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 【例8-2】（24-25七年级上·上海松江·期中）计算： 【详解】 ． 【变式8-1】（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 【详解】解：原式 ． 【变式8-2】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： 【详解】解： 【题型九】整式的混合运算 【例9-1】（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： 【详解】解：原式 ． 【例9-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【详解】解： ． 【变式9-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【详解】解：原式 ． 【变式9-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【详解】解： ． 【变式9-3】（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【详解】解：， ， ， ， ． 【题型十】不含某项求字母的值 【例10-1】（24-25七年级上·上海·期中）已知代数式的积中不含x的一次项，则 ． 【答案】 【详解】解： ， ∵该代数式的积中不含x的一次项， ∴，解得， 故答案为：． 【例10-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）如果关于x的两个多项式与相乘展开后的结果不含有一次项，且二次项系数是1，求a和b的值． 【详解】解：∵ ， ∵乘积不含有一次项，且二次项系数是1，， ∴， ∴． 【变式10-1】（24-25七年级上·上海·期中）已知整式中无x的一次项，求 ． 【答案】3 【详解】解： ， ∵整式中无x的一次项， ∴， 解得：． 故答案为：3． 【变式10-2】（24-25七年级上·上海·期中）将关于x的两个整式与相乘，积中不出现一次项， ． 【答案】 【详解】解： ∵积中不出现一次项， ∴ 解得： 故答案为：． 【变式10-3】（24-25七年级上·上海宝山·期中）一个关于x的二次三项式，将它与一个关于的二项式相乘，得到一个关于的整式，其中不出现一次项，且三次项系数为1，求、的值． 【详解】解： ∵不出现一次项，且三次项系数为1， ∴， 解得： 【题型十一】求完全平方式中的字母系数 【例11-1】（24-25七年级上·上海·期中）若关于x的整式是某个整式的平方，则m的值是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：， 即， 所以， 故答案为：． 【例11-2】（24-25七年级上·上海·期中）已知是完全平方式，那么的值为 ． 【答案】1或 【详解】解：由， ∴，解得或， 故答案为：1或 【例11-3】（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知二项式A和单项式B满足，那么 ． 【答案】， 【详解】解：∵A是二项式， ∴是一个二项式的完全平方， ∴可以写成一个二项式的完全平方， ∴，． 故答案为：，． 【变式11-1】（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果关于的整式是某个整式的平方，那么的值是 ． 【答案】或 【详解】解：∵是某个整式的平方， ∴， ∴， ∴或； 故答案为：或． 【变式11-2】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若关于的整式是某个关于的整式的平方，则 ． 【答案】或 【详解】解：∵关于的整式是某个关于的整式的平方，， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【变式11-3】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）已知是一个完全平方式，则k的值为 ． 【答案】或 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【题型十二】对完全平方公式变形求值 【例12】（24-25七年级上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】4050 【详解】解：∵ ∴ ∴ ． 故答案为：． 【变式12-1】（24-25七年级上·上海·期中）若a，b为有理数且满足，，则S的最小值为 ． 【答案】6 【详解】解：由题得， ， ∵，， ∴，（当且仅当，时取等号）， 经验证：，满足， 综上，的最小值为6． 故答案为：6． 【变式12-2】（24-25七年级上·上海·期中）应用完全平方公式解决下列问题： (1)已知，，求和的值； (2)已知，求和的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 【题型十三】规律探究 【例13-1】（24-25七年级上·上海·期中）将大小相等的圆点按如图规律摆放，则第个图形共有圆点 个． 【答案】 【详解】解：第1个图形有个圆点， 第2个图形有个圆点， 第3个图形有个圆点， 第4个图形有个圆点， ……， 以此类推，可知第个图形共有圆点：个， 故答案为：． 【例13-2】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 根据上述规律，展开式的系数和是 ． 【答案】 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， …… 当时，展开式的项系数和为， 故答案为：． 【变式13-1】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）我国古代数学中“杨辉三角”非常有名．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排序）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数：第四行的四个数恰好对应展开式中的系数等等，利用上述的规律计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【详解】解：根据题意得：； 令上式中，得： ． 故答案为：． 【变式13-2】（23-24七年级上·上海青浦·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出下表，此表揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律，如：，它的系数分别为1，2，1．若展开得，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵ 令， ∴， 即； 故答案为：； 【变式13-3】（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：； ； ． (1)填空：_____；_____． (2)计算（需写出计算过程）： ； ． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，． （2）解：① ； ② ． 【题型十四】整式乘法与图形面积 【例14-1】（24-25七年级上·上海·期中）如图， 已知正方形的边长为a， 长方形的边长为， 边长为b． 则以D为圆心，为半径的弧与所围成的阴影部分的面积是 ．（用含有a、b和的代数式表示） 【答案】 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 【例14-2】（24-25七年级上·上海·期中）如图：一套房子的客厅和房间分别是边长为a米和b米的正方形，厨房和卫生间分别是正方形和长方形． (1)求厨房和卫生间的面积（用含的代数式表示）； (2)当时，求卫生间的面积． 【详解】（1）解：根据题意，厨房和卫生间分别是正方形和长方形且边长相等， 卫生间和厨房的面积为： （2）解：当时， 原式平方米． 【变式14-1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图，在长方形中，放入个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为，宽为，且．用、的代数式表示阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图， 由图形得：，， ． 故答案为：． 【变式14-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 【详解】（1）解：图2的 面 积 可 表 示 为 或 ， 图2中所表示的数学等式为； （2），， ，， ， ． 【变式14-3】（23-24七年级上·上海长宁·期中）已知正方形与正方形，，（）．根据下列条件平移正方形，解决下列问题． (1)如图，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (2)若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (3)如图2，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (4)若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在的延长线上，连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． 【详解】（1）解：如图（）， ， 故答案为：； （2）解：延长与交于，如图（）， ∴ ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：延长与交于，延长与交于，如图（）所示， ∵， ∴，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：； （4）解：延长与交于，延长与交于，如图（）， ∴，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：． 【题型十五】乘法公式在几何图形中的应用 【例15-1】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）我们可以通过拼图、推演得到了整式的乘法法则和公式，通过逆向思考得到了多项式因式分解的方法．如图，将边长为的正方形剪去一个边长为的正方形，再将剩余图形沿虚线剪开，拼成一个长方形，依据这一过程可得到的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：左边一幅图剩下的图形面积为， 右边一幅图的面积为， ∵左边一幅图剩下的图形面积与右边一幅图的面积相等， ∴， 故选：D． 【例15-2】（24-25七年级上·上海·期中）有两个正方形、，将放在的内部得图，将、并列放置后得图，如果图和图中阴影部分的面积分别为和，则正方形、的面积之和是 ． 【答案】 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 依题得：， 得， 即， ， ，， ， ． 即正方形、的面积之和是． 故答案为：． 【例15-3】（24-25七年级上·上海·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． (1)情境一：如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，直接写出由此可以得到的乘法公式； (2)情境二：如图3，乙同学用4块A木片、1块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形， ①请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示）：_________． ②直接写出所用C木片的数量：_________块． (3)情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片，2块A，4块B，7块C拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，至少需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【详解】（1）解：如图，设等腰梯形的高为，   ， ， 图中阴影部分的面积： ， 图中阴影部分的面积：， ， ， 故可得到的乘法公式为：； （2）解：设乙同学用4块A木片、1块B木片和m块C木片拼成了一个正方形，则该正方形的面积为， 当时，， 所拼正方形的边长为，所用木片的数量为4， 故答案为：①；②4； （3）解：赞同丁同学的说法；去掉个以后， ， 该情况下所拼长方形的长为，宽为， 长方形如图： 【变式15-1】（24-25七年级上·上海·期中）（1）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出之间的等量关系：_______ （2）若，则_______． （3）如图3，正方形的边长为，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 【详解】解：（1）由图形知，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为， 大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 将代入得：， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵正方形的边长为x， ∴， ∴， 设， ∴， ∴ ， ∴图中阴影部分的面积为． 【变式15-2】（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，则， ， 所以 解决问题 (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为，长方形的面积是5，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）． 【详解】（1）解：设，， 则 ，， ∴； （2）解：设，， 则， ∵， ∴， 即， ∴； （3）解：根据题意可知，，， ∵长方形的面积是5， ∴， 设，， 则，， ∴， ∵四边形和都是正方形， ∴阴影部分的面积为： ． 【变式15-3】（24-25七年级上·上海闵行·期中）现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如下图摆放，A、D、E三点在一条直线上， (1)如图①，，，这两个正方形的面积之和是______．（用m、n的代数式表示） (2)如图②，如果大正方形和小正方形的面积之和是5，图中阴影部分的面积为2，求是多少？ (3)如图③，大正方形和小正方形的面积之和是25，的长度等于7，图中阴影部分的面积是_________． (4)如图④，正方形和正方形的边长分别为，如果，，求图中阴影部分面积之和是多少？ 【详解】（1）解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，，根据题意得： ， 解得：， ∴这两个正方形的面积之和是： ． （2）解：∵大正方形和小正方形的面积之和是5，图中阴影部分的面积为2， ∴根据解析（1）可得：， 解得：， ∴． （3）解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据题意得： ， ∴， ∴阴影部分的面积之和为：． （4）解：∵，， ∴ ， ∴阴影部分的面积为： ． 【变式15-4】（24-25七年级上·上海松江·期中）现有、、三种不同型号的卡片若干张（如图（1）），其中型卡片是边长为的正方形．型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．我们可以选取一些卡片，无重叠、无缝隙地拼成不同形状的长方形 (1)用型卡片1张，型卡片2张，型卡片1张可以拼成一个正方形如图（2），该正方形的边长为______，试根据该图形写出一个表示、数量关系的等式：______． (2)现有型卡片2张，型卡片2张，型卡片2张，从这6张卡片中去掉2张．用余下的4张卡片，拼出一个长方形，请画出大致的拼图，并写出拼成的长方形的边长（请给出所有可能的方案）． (3)如果要拼一个长为、宽为的长方形，设需要型卡片张，型卡片张，型卡片张，那么______． 【详解】（1）解：由题意得，该正方形的边长为，则该正方形的面积为， ∵该正方形是由型卡片1张，型卡片2张，型卡片1张拼成的， ∴该正方形的面积为， ∴， 故答案为：；； （2）解：当2张A，2张B时，此时长方形的长和宽分别为或 当2张B，2张C时，此时长方形的长和宽分别为或 当1张A    ，2张B，1张C时，此时长方形的长和宽分别为； 综上所述，长方形的长和宽分别为或或或或； （3）解：， ∴需要A卡片2张，B卡片5张，C卡片2张， ∴， ∴． 【变式15-5】（24-25七年级上·上海虹口·期中）如图3，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为的正方形卡片； 2号卡片：边长为的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为、的长方形卡片，其中． (1)填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_____． (2)填空：小明同学想用张1号卡片，张2号卡片，张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_____． (3)现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 【详解】（1）解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为， 所以需要1号卡片20张，2号卡片21张，3号卡片43张， 即，，， ， 故答案为：84； （3）解：可以拼成边长为的正方形， 答：拼成最大面积的正方形边长为． （4）解：设长方形的长为，则宽为． 由题意：， ， ， ，即2号卡片的边长为． 【题型一】 整式乘法漏乘致错 1．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算：__________． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【详解】解： ． 【题型二】乘法公式运用错误 3．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算： 【答案】1 【详解】解； ． 5．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ； 6．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】． 【详解】解：， ， ， ， ． 7．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【详解】解： ． 8．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算：（结果保留幂的形式）． 【答案】 【详解】解：原式 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $