专题04 因式分解及求值7大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题04 因式分解及求值 目录 典例详解 类型一、由因式分解的结果求参数 类型二、提取多项式的公因式 类型三、提公因式法和公式法的综合 类型四、因式分解后再求值 类型五、十字相乘法 类型六、分组分解法 类型七、新定义问题 压轴专练 类型一、由因式分解的结果求参数 【例1】若分解因式：，则的值为 ． 【例2】已知，则的值为 ． 【变式1-1】多项式的一个因式为，则m的值为 ． 【变式1-2】已知可以因式分解为，求的值． 【变式1-3】完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，求a的值． (2)若二次三项式可分解为，求b、c的值． 类型二、提取多项式的公因式 【例3】分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【例4】已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 【变式2-1】若多项式可以因式分解成，则的值是 ． 【变式2-2】数学）因式分解 ． 【变式2-3】分解因式：． 类型三、提公因式法和公式法的综合 【例5】已知，则的值为 ． 【例6】已知，则 ． 【变式3-1】利用因式分解计算： (1)． (2)． 【变式3-2】对于题目“因式分解：”，佳佳的解答过程如下，请认真阅读并完如图成相应的任务． 佳佳的解法：     ①     ②     ③ 任务： (1)佳佳的解答是从第_____步开始出错的（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【变式3-3】小米在学习了因式分解之后，尝试着对多项式进行因式分解： ． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 (1)小米从第一步到第二步因式分解运用的方法是___________法，第二步到第三步因式分解运用的方法是___________法，请你按照上述方法分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 类型四、因式分解后再求值 【例7】若实数满足，则代数式的值为 ． 【例8】如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ． 【变式4-1】已知，则代数式的值为 ． 【变式4-2】若，则代数式的值为 ． 【变式4-3】当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 类型五、十字相乘法 【例9】若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【例10】多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”分解因式的公式． 示例：分解因式． 尝试分解因式： (1)________； (2)________； (3)________． 【变式5-1】甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】阅读理解：用十字相乘法”分解因式：． 第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或； 第二步：如图，画“”号，将1、2写在“”号左边，将、3或1、写在“”号的右边，共有如图的四种情形： 第三步：验算交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数； ①系数为； ②的系数为； ③的系数为； ④的系数为． 显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式： ． 【变式5-3】【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故有即可将形如的多项式因式分解成（p，q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：______． 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是______． 【拓展应用】 （3）分解因式：． 类型六、分组分解法 【例11】若，，则的值为 ． 【例12】阅读材料：要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)分解因式：______． 【变式6-1】将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 【变式6-2】将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：（）． (1)分解因式：； (2)若，都是正整数且满足，求的值； (3)若，为实数且满足，整式，求整式的最小值。 【变式6-3】《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力． 因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法—拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式转化为已学过的知识进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式 解：添加两项 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 类型七、新定义问题 【例13】将个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义上述式子叫做阶行列式．若，则的值是 ． 【例14】我们定义：一个整数能表示成(a，b是整数)的形式，则称这个整数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成(a，b是整数)的形式：___________； （2）若可配方成(m，n为常数)，则___________； 【探究问题】 （3）已知，则___________； （4）已知(x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的k的值． 【变式7-1】定义：若一个正整数能表示成两个相邻偶数，的平方差，即，且的算术平方根是一个正整数，则称正整数是“双方数”．例如：，，36就是一个“双方数”．若将“双方数”从小到大排列，第100个“双方数”为 ． 【变式7-2】定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 【变式7-3】定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为，的“和积数”． (1)若，，则，的“和积数”_____； (2)若，，求，的“和积数”； (3)已知，且，的“和积数”，若，求的值（用含的式子表示）． 1．已知，且，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．4048 2．对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 3．已知实数，满足，，则 ． 4．观察对话并填空． 上述对话告诉我们：在因式分解时， ．正确的结果应是 ． 5．阅读解答题 阅读材料：若，求a,b的值． 解：由题意得，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值． (2)已知的三边长都是正整数，且满足，求最大边的值． (3)若已知，则____________． 6．（1）先因式分解，再计算求值：，其中． （2）已知，求代数式的值． 7．某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 8．在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解：（1）；（2）． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，，求的值． 9．阅读以下材料，回答问题： 材料：因式分解：， 解：将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式，上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你根据“整体思想”的方法因式分解：． 10．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为、宽为的全等小长方形，且．（以上长度单位：） (1)用含，的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和； (2)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________； (3)若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，求的值． 11．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成（，为整数）的形式： ； (2)若可配方成（，为常数），则 ； (3)求代数式的最小值，并求出，的值； (4)已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出一个符合条件的k的值． 12．定义：对于任意四个有理数，，，，定义一种新运算：． (1)求的值； (2)若，则______； (3)若有理数，满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点，，，分别在边，，，上，连接，交于点，且，将长方形分割成四个小长方形．若，，，，在①的条件下，请直接写出由线段，，，围成的图形的面积． 13 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 因式分解及求值 目录 典例详解 类型一、由因式分解的结果求参数 类型二、提取多项式的公因式 类型三、提公因式法和公式法的综合 类型四、因式分解后再求值 类型五、十字相乘法 类型六、分组分解法 类型七、新定义问题 压轴专练 类型一、由因式分解的结果求参数 【例1】若分解因式：，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：， 而， ， 故答案为：． 【例2】已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为： 【点睛】本题考查的是整式的乘法，多项式的恒等，因式分解的应用，掌握以上知识是解题的关键． 【变式1-1】多项式的一个因式为，则m的值为 ． 【答案】11 【详解】解：设分解后的另一个因式为， 根据题意得：， 可得，， 解得：，， 故答案为：． 【变式1-2】已知可以因式分解为，求的值． 【答案】 【详解】解：因为可以因式分解为， 所以， 所以， 所以， 所以． 【变式1-3】完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，求a的值． (2)若二次三项式可分解为，求b、c的值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， 解得． 类型二、提取多项式的公因式 【例3】分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 故选：B． 【例4】已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 【答案】 【详解】解： ． ∵可因式分解成， ∴， ∴． 【变式2-1】若多项式可以因式分解成，则的值是 ． 【答案】3或 【详解】解：∵可以因式分解成， ∴ ， 故，或，， 则或． 故答案为：3或． 【变式2-2】数学）因式分解 ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 【变式2-3】分解因式：． 【答案】． 【详解】解：原式 ． 类型三、提公因式法和公式法的综合 【例5】已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【例6】已知，则 ． 【答案】48 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 【变式3-1】利用因式分解计算： (1)． (2)． 【答案】(1)50 (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式3-2】对于题目“因式分解：”，佳佳的解答过程如下，请认真阅读并完如图成相应的任务． 佳佳的解法：     ①     ②     ③ 任务： (1)佳佳的解答是从第_____步开始出错的（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【详解】（1）解：佳佳在第②步因式分解时合并同类项出错． 故答案为：②． （2）解：正确的解答过程如下： 【变式3-3】小米在学习了因式分解之后，尝试着对多项式进行因式分解： ． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 (1)小米从第一步到第二步因式分解运用的方法是___________法，第二步到第三步因式分解运用的方法是___________法，请你按照上述方法分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)完全平方公式和提公因式，提公因式， (2)直角三角形，见解析 【详解】（1）解：完全平方公式和提公因式，提公因式 ． （2）为直角三角形．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 即是直角三角形． 类型四、因式分解后再求值 【例7】若实数满足，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2024 【例8】如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ． 【答案】84 【详解】解：大长方形的周长为12，面积为7 ，， ，， ， 故答案为：． 【变式4-1】已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解： ， ，， ， 当，时，原式， 故答案为：． 【变式4-2】若，则代数式的值为 ． 【答案】0 【详解】解： ∵， 将代入，得 原式 故答案为：0． 【变式4-3】当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式； （2）解：， 当，时， 原式 ． 类型五、十字相乘法 【例9】若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：根据“十字相乘法”得， ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ∴的值一共有6个， 故选：C． 【例10】多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”分解因式的公式． 示例：分解因式． 尝试分解因式： (1)________； (2)________； (3)________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：． 【变式5-1】甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ∵甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式5-2】阅读理解：用十字相乘法”分解因式：． 第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或； 第二步：如图，画“”号，将1、2写在“”号左边，将、3或1、写在“”号的右边，共有如图的四种情形： 第三步：验算交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数； ①系数为； ②的系数为； ③的系数为； ④的系数为． 显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式： ． 【答案】 【详解】解：根据题意，得 系数为， 故， 故答案为：． 【变式5-3】【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故有即可将形如的多项式因式分解成（p，q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：______． 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是______． 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【答案】（1）（2）8或或4（3） 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴整数的值可能为：或或或， ∴整数m的值可能是8或或4， 故答案为：8或或4； （3） ． 类型六、分组分解法 【例11】若，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴ 即 ∴ 故答案为：． 【例12】阅读材料：要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)分解因式：______． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ． （2），， ． （3） ． 故答案为：． 【变式6-1】将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 因为，， 所以原式． 【变式6-2】将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：（）． (1)分解因式：； (2)若，都是正整数且满足，求的值； (3)若，为实数且满足，整式，求整式的最小值。 【答案】(1) (2)或 (3)的最小值是 【详解】（1）解： （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ ，都是正整数 ，且、都是整数， 或 或 或 解得或其他两种不符合，为正整数，舍去 故：或； （3）由得代入 ， ∵， ∴， ∴的最小值是． 【变式6-3】《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力． 因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法—拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式转化为已学过的知识进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式 解：添加两项 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型七、新定义问题 【例13】将个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义上述式子叫做阶行列式．若，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得 故答案为：． 【例14】我们定义：一个整数能表示成(a，b是整数)的形式，则称这个整数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成(a，b是整数)的形式：___________； （2）若可配方成(m，n为常数)，则___________； 【探究问题】 （3）已知，则___________； （4）已知(x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的k的值． 【答案】（1），（2），（3），（4） 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）； ∴，， ∴； 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：； （4）当时，为“完美数”，理由如下： ， 当时，，则，为完美数． 【变式7-1】定义：若一个正整数能表示成两个相邻偶数，的平方差，即，且的算术平方根是一个正整数，则称正整数是“双方数”．例如：，，36就是一个“双方数”．若将“双方数”从小到大排列，第100个“双方数”为 ． 【答案】158404 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∵的算术平方根是一个正整数， 是一个完全平方数， 是奇数， 只能是奇数的平方，从小到大依次是， 那么 “双方数”从小到大依次为， 第100个“双方数”为158404， 故答案为：158404． 【变式7-2】定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 【答案】(1)是“双一次可分解式”，理由见解析 (2)是“双一次可分解式”，理由见解析 (3) 【详解】（1）， 是“双一次可分解式”； （2）， 是“双一次可分解式”； （3）根据常数项，设另一个因式为，则， ，， 解得：， 则． 【变式7-3】定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为，的“和积数”． (1)若，，则，的“和积数”_____； (2)若，，求，的“和积数”； (3)已知，且，的“和积数”，若，求的值（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)c的值为或 (3) 【详解】（1）解：由题意得：， ∴的“和积数”c为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ∵，，， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， 综上所述，c的值为或； （3）解：由题意得：， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．已知，且，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．4048 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 整理，得， 则， 即， ∵， ∴， 即， 由，得， ∴， ∴． 故选：A． 2．对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 【答案】B 【详解】解： ， 无论为奇数或偶数，与必为一奇一偶，其乘积为偶数， 故． 该式恒为8的倍数，因此对任意整数，原式必被8整除． 故选：B． 3．已知实数，满足，，则 ． 【答案】 【详解】， ， 即， ，， ，， 又，且， ，， 解得，， ， ， 得， 故答案为：． 4．观察对话并填空． 上述对话告诉我们：在因式分解时， ．正确的结果应是 ． 【答案】 必须进行到每一个因式都不能分解为止 【详解】解： ， ∴上述对话告诉我们：在因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止， 正确的结果应是 故答案为：必须进行到每一个因式都不能分解为止；． 5．阅读解答题 阅读材料：若，求a,b的值． 解：由题意得，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值． (2)已知的三边长都是正整数，且满足，求最大边的值． (3)若已知，则____________． 【答案】(1) (2)； (3)7． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴； （2）∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∵三角形两边之和＞第三边 ∴ ∴ 又∵z是正整数， ∴的最大边z的值为4，5，6， ∴最大边的值为； （3） ∵，即， 代入得：， 整理得：， ∴，且，即， ∴， 则． 故答案为7． 6．（1）先因式分解，再计算求值：，其中． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1），30；（2）7 【详解】（1）解： 当时，原式 （2） ∵ ∴ 将代入，原式 7．某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图① 由答图①知． （2）解：如图②． 由答图②可知． 8．在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解：（1）；（2）． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 已知，把值代入上式： ． 9．阅读以下材料，回答问题： 材料：因式分解：， 解：将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式，上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你根据“整体思想”的方法因式分解：． 【答案】 【详解】解：令， 原式 ， 将“”还原，得： 原式． 10．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为、宽为的全等小长方形，且．（以上长度单位：） (1)用含，的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和； (2)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________； (3)若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：图中一条竖直裁剪线长为，一条水平裁剪线长为， ∴所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：； （2）解：大长方形的面积由长乘宽可得，由九个小图形之和可得， ∴ 即可以因式分解为：， 故答案为：； （3）解：依题意得，，， ， ， ． 11．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成（，为整数）的形式： ； (2)若可配方成（，为常数），则 ； (3)求代数式的最小值，并求出，的值； (4)已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出一个符合条件的k的值． 【答案】(1) (2) (3)最小值是，， (4) 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解： 故答案为：； （3）解： ； ∵，， 当，时，代数式的最小值为 （4）解：， ， ， ∵x，y是整数， ∴也是整数， ∵S为“完美数”， ∴的值可以为0， ∴． 12．定义：对于任意四个有理数，，，，定义一种新运算：． (1)求的值； (2)若，则______； (3)若有理数，满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点，，，分别在边，，，上，连接，交于点，且，将长方形分割成四个小长方形．若，，，，在①的条件下，请直接写出由线段，，，围成的图形的面积． 【答案】(1) (2) (3)①2；② 【详解】（1）解：； （2）解： ； ∵， ∴ ∴； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知：，，，围成的图形的面积 ， 将，代入可得，． 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$