5.1 认识方程 讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

认识方程 学习目标 1. 理解方程的概念，能区分方程与代数式、等式与不等式。 2. 理解一元一次方程的概念，能识别一元一次方程。 3. 能根据简单的实际问题情境列出方程。 4. 理解方程的解的概念，会检验一个数是不是方程的解。 5. 初步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，感受数学的应用价值。 知识点讲解 一、方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。 · 关键点： · 必须是等式（含有等号“=”）。 · 等式中必须含有未知数（如 ( x, y, z ) 等字母表示）。 例如：( x + 5 = 8 )，( 3y - 2 = 7 )，( 2x + 3y = 10 ) 都是方程。 而 ( 3 + 5 = 8 )（不含未知数），( 2a - 1 )（不是等式）都不是方程。 二、一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 · 关键点： · 一元：只含有一个未知数。 · 一次：未知数的最高次数是1。 · 整式方程：等号两边的代数式都是整式（分母中不含未知数，根号下不含未知数等）。 一元一次方程的一般形式为：( ax + b = 0 )（其中 ( a )、( b ) 是常数，且）。 例如：( 2x - 3 = 5 )，是一元一次方程。 而（未知数次数是2），( x + y = 3 )（含有两个未知数），（不是整式方程）都不是一元一次方程。 三、列方程解决实际问题的步骤 1. 审题：理解题意，找出题目中的已知量和未知量。 2. 设未知数：选择一个适当的未知量用字母（如 ( x )）表示。 3. 找等量关系：分析题目中的数量关系，找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。这是列方程的关键。 4. 列方程：根据找出的等量关系，用含未知数的代数式表示相关的量，列出方程。 四、方程的解 使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 例如：对于方程 ( x + 3 = 5 )，当 ( x = 2 ) 时，左边 ( = 2 + 3 = 5 )，右边 ( = 5 )，左边 = 右边，所以 ( x = 2 ) 是方程 ( x + 3 = 5 ) 的解。 检验一个数是不是方程的解的步骤： 1. 将这个数代入方程的左边，计算出左边的值。 2. 将这个数代入方程的右边，计算出右边的值。 3. 比较左右两边的值： · 如果左边 = 右边，则这个数是方程的解。 · 如果左边 ≠ 右边，则这个数不是方程的解。 例题解析 例1判断下列各式是不是方程，如果是，指出是不是一元一次方程；如果不是，说明理由。 （1）( 3x - 1 = 5 ) （2）( 2 + 3 = 5 ) （3） （4） （5）( x - 2y = 3 ) （6）( 3m - 2 ) 例2根据下列条件列出方程： （1）( x ) 的 2 倍与 5 的和等于 13。 （2）某数的 3 倍比它本身大 10，设这个数为 ( x )。 （3）一个数与它的的差是 6，设这个数为 ( y )。 （4）长方形的周长是 24 cm，长比宽多 2 cm，设宽为 ( x ) cm。 例3检验下列各数是不是方程 ( 4x - 3 = 2x + 3 ) 的解： （1）( x = 3 ) （2）( x = -3 ) 例4根据题意，设未知数并列出方程（不必求解）： 某校七年级学生参加社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果改租同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满。原计划租用45座客车多少辆？ 解： 设原计划租用45座客车 ( x ) 辆。 根据题意，学生的总人数是固定的。 按原计划，租用45座客车 ( x ) 辆，有15人没有座位，则学生总人数可表示为 ( 45x + 15 )。 改租60座客车，数量同样是 ( x ) 辆，但多出一辆，即实际租用了 ( (x - 1) ) 辆，且刚好坐满，则学生总人数也可表示为 ( 60(x - 1) )。 因此，可列出方程： ( 45x + 15 = 60(x - 1) ) 巩固练习 一、选择题 1. 下列各式中，是方程的是（ ） A. ( 3 + 5 = 8 ) B. ( 2x - 1 ) C. ( x + 2 > 0 ) D. ( 4y = 7 ) 2. 下列方程中，属于一元一次方程的是（ ） A. B. ( x + 2y = 1 ) C. ( x - 1 = 0 ) D. 3. 方程 ( 3x - 5 = 7 ) 的解是（ ） A. ( x = 1 ) B. ( x = 2 ) C. ( x = 3 ) D. ( x = 4 ) 4. 根据“( x ) 的与 2 的和等于 5”可列方程为（ ） A. B. ( 3x + 2 = 5 ) C. D. 5. 若关于 ( x ) 的方程 ( (k - 1)x + 3 = 0 ) 是一元一次方程，则 ( k ) 的取值范围是（ ） A. B. C. ( k = 1 ) D. ( k ) 为任意实数 二、填空题 1. 含有_________的_________叫做方程。 2. 方程 ( 2x - 6 = 0 ) 中，未知数是_________，未知数的系数是_________，常数项是_________。 3. 写出一个解为 ( x = -2 ) 的一元一次方程：_________。（答案不唯一） 4. “( a ) 的 3 倍与 4 的差不小于 10”，用方程（或不等式，此处按方程思路设，实际为不等式，这里修正为“等于10”）表示为：_________。 5. 检验 ( x = 4 ) 是否为方程 ( 3x - 2 = 10 ) 的解：左边 = _________，右边 = _________，所以 ( x = 4 ) _________（填“是”或“不是”）该方程的解。 三、解答题 1. 根据下列条件列出方程： （1）( x ) 的 5 倍减去 2 等于 13。 （2）比 ( y ) 的一半大 3 的数是 7。 （3）一个数与 8 的和的 2 倍等于 36，设这个数为 ( m )。 2. 检验下列各数是不是方程 ( 2x + 1 = 7 - x ) 的解： （1）( x = 2 ) （2）( x = -2 ) 3. 设未知数，列出方程（不必求解）： 某商店准备购进甲、乙两种商品。已知购进甲商品 3 件和乙商品 2 件，共需 120 元；购进甲商品 2 件和乙商品 3 件，共需 130 元。求甲商品每件多少元？（设甲商品每件 ( x ) 元） 4. 某校组织学生参加植树活动，原计划植树 120 棵，实际参加植树的学生人数增加了一倍，每人植树棵数比原计划少了 1 棵，结果刚好完成了原计划的植树任务。原计划参加植树的学生有多少人？（设原计划参加植树的学生有 ( x ) 人） 学科网（北京）股份有限公司 $ 认识方程 学习目标 1. 理解方程的概念，能区分方程与代数式、等式与不等式。 2. 理解一元一次方程的概念，能识别一元一次方程。 3. 能根据简单的实际问题情境列出方程。 4. 理解方程的解的概念，会检验一个数是不是方程的解。 5. 初步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，感受数学的应用价值。 知识点讲解 一、方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。 · 关键点： · 必须是等式（含有等号“=”）。 · 等式中必须含有未知数（如 ( x, y, z ) 等字母表示）。 例如：( x + 5 = 8 )，( 3y - 2 = 7 )，( 2x + 3y = 10 ) 都是方程。 而 ( 3 + 5 = 8 )（不含未知数），( 2a - 1 )（不是等式）都不是方程。 二、一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 · 关键点： · 一元：只含有一个未知数。 · 一次：未知数的最高次数是1。 · 整式方程：等号两边的代数式都是整式（分母中不含未知数，根号下不含未知数等）。 一元一次方程的一般形式为：( ax + b = 0 )（其中 ( a )、( b ) 是常数，且）。 例如：( 2x - 3 = 5 )，是一元一次方程。 而（未知数次数是2），( x + y = 3 )（含有两个未知数），（不是整式方程）都不是一元一次方程。 三、列方程解决实际问题的步骤 1. 审题：理解题意，找出题目中的已知量和未知量。 2. 设未知数：选择一个适当的未知量用字母（如 ( x )）表示。 3. 找等量关系：分析题目中的数量关系，找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。这是列方程的关键。 4. 列方程：根据找出的等量关系，用含未知数的代数式表示相关的量，列出方程。 四、方程的解 使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 例如：对于方程 ( x + 3 = 5 )，当 ( x = 2 ) 时，左边 ( = 2 + 3 = 5 )，右边 ( = 5 )，左边 = 右边，所以 ( x = 2 ) 是方程 ( x + 3 = 5 ) 的解。 检验一个数是不是方程的解的步骤： 1. 将这个数代入方程的左边，计算出左边的值。 2. 将这个数代入方程的右边，计算出右边的值。 3. 比较左右两边的值： · 如果左边 = 右边，则这个数是方程的解。 · 如果左边 ≠ 右边，则这个数不是方程的解。 例题解析 例1判断下列各式是不是方程，如果是，指出是不是一元一次方程；如果不是，说明理由。 （1）( 3x - 1 = 5 ) （2）( 2 + 3 = 5 ) （3） （4） （5）( x - 2y = 3 ) （6）( 3m - 2 ) 解： （1）是方程。它只含有一个未知数 ( x )，且未知数的次数是1，等号两边都是整式，所以是一元一次方程。 （2）不是方程。因为它是一个等式，但不含有未知数。 （3）是方程。但未知数 ( x ) 的最高次数是2，所以不是一元一次方程。 （4）是方程。但等号左边的不是整式，所以不是一元一次方程。 （5）是方程。但它含有两个未知数 ( x ) 和 ( y )，所以不是一元一次方程。 （6）不是方程。因为它不是一个等式，只是一个代数式。 例2根据下列条件列出方程： （1）( x ) 的 2 倍与 5 的和等于 13。 （2）某数的 3 倍比它本身大 10，设这个数为 ( x )。 （3）一个数与它的的差是 6，设这个数为 ( y )。 （4）长方形的周长是 24 cm，长比宽多 2 cm，设宽为 ( x ) cm。 解： （1）( x ) 的 2 倍表示为 ( 2x )，与 5 的和表示为 ( 2x + 5 )，根据题意可列方程： ( 2x + 5 = 13 ) （2）某数的 3 倍表示为 ( 3x )，比它本身大 10 即 ( 3x - x = 10 )，根据题意可列方程： ( 3x - x = 10 ) （或化简为 ( 2x = 10 )） （3）一个数为 ( y )，它的为，它们的差是 6，根据题意可列方程： （4）宽为 ( x ) cm，长比宽多 2 cm，则长为 ( (x + 2) ) cm。长方形周长 = 2×(长 + 宽)，根据题意可列方程： ( 2[x + (x + 2)] = 24 ) 例3检验下列各数是不是方程 ( 4x - 3 = 2x + 3 ) 的解： （1）( x = 3 ) （2）( x = -3 ) 解： （1）把 ( x = 3 ) 代入方程的左边和右边： 左边 = ( 4×3 - 3 ) = ( 12 - 3 ) = ( 9 ) 右边 = ( 2×3 + 3 ) = ( 6 + 3 ) = ( 9 ) 因为左边 = 右边，所以 ( x = 3 ) 是方程 ( 4x - 3 = 2x + 3 ) 的解。 （2）把 ( x = -3 ) 代入方程的左边和右边： 左边 = ( 4×(-3) - 3 ) = ( -12 - 3 ) = ( -15 ) 右边 = ( 2×(-3) + 3 ) = ( -6 + 3 ) = ( -3 ) 因为左边 ≠ 右边，所以 ( x = -3 ) 不是方程 ( 4x - 3 = 2x + 3 ) 的解。 例4根据题意，设未知数并列出方程（不必求解）： 某校七年级学生参加社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果改租同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满。原计划租用45座客车多少辆？ 解： 设原计划租用45座客车 ( x ) 辆。 根据题意，学生的总人数是固定的。 按原计划，租用45座客车 ( x ) 辆，有15人没有座位，则学生总人数可表示为 ( 45x + 15 )。 改租60座客车，数量同样是 ( x ) 辆，但多出一辆，即实际租用了 ( (x - 1) ) 辆，且刚好坐满，则学生总人数也可表示为 ( 60(x - 1) )。 因此，可列出方程： ( 45x + 15 = 60(x - 1) ) 巩固练习 一、选择题 1. 下列各式中，是方程的是（ ） A. ( 3 + 5 = 8 ) B. ( 2x - 1 ) C. ( x + 2 > 0 ) D. ( 4y = 7 ) 2. 下列方程中，属于一元一次方程的是（ ） A. B. ( x + 2y = 1 ) C. ( x - 1 = 0 ) D. 3. 方程 ( 3x - 5 = 7 ) 的解是（ ） A. ( x = 1 ) B. ( x = 2 ) C. ( x = 3 ) D. ( x = 4 ) 4. 根据“( x ) 的与 2 的和等于 5”可列方程为（ ） A. B. ( 3x + 2 = 5 ) C. D. 5. 若关于 ( x ) 的方程 ( (k - 1)x + 3 = 0 ) 是一元一次方程，则 ( k ) 的取值范围是（ ） A. B. C. ( k = 1 ) D. ( k ) 为任意实数 二、填空题 1. 含有_________的_________叫做方程。 2. 方程 ( 2x - 6 = 0 ) 中，未知数是_________，未知数的系数是_________，常数项是_________。 3. 写出一个解为 ( x = -2 ) 的一元一次方程：_________。（答案不唯一） 4. “( a ) 的 3 倍与 4 的差不小于 10”，用方程（或不等式，此处按方程思路设，实际为不等式，这里修正为“等于10”）表示为：_________。 5. 检验 ( x = 4 ) 是否为方程 ( 3x - 2 = 10 ) 的解：左边 = _________，右边 = _________，所以 ( x = 4 ) _________（填“是”或“不是”）该方程的解。 三、解答题 1. 根据下列条件列出方程： （1）( x ) 的 5 倍减去 2 等于 13。 （2）比 ( y ) 的一半大 3 的数是 7。 （3）一个数与 8 的和的 2 倍等于 36，设这个数为 ( m )。 2. 检验下列各数是不是方程 ( 2x + 1 = 7 - x ) 的解： （1）( x = 2 ) （2）( x = -2 ) 3. 设未知数，列出方程（不必求解）： 某商店准备购进甲、乙两种商品。已知购进甲商品 3 件和乙商品 2 件，共需 120 元；购进甲商品 2 件和乙商品 3 件，共需 130 元。求甲商品每件多少元？（设甲商品每件 ( x ) 元） 4. 某校组织学生参加植树活动，原计划植树 120 棵，实际参加植树的学生人数增加了一倍，每人植树棵数比原计划少了 1 棵，结果刚好完成了原计划的植树任务。原计划参加植树的学生有多少人？（设原计划参加植树的学生有 ( x ) 人） 巩固练习答案 一、选择题 1. D 解析：方程是含有未知数的等式。A是等式不含未知数；B是代数式；C是不等式；D是含有未知数y的等式，所以是方程。 2. C 解析：一元一次方程需满足只含一个未知数，未知数次数为1，整式方程。A是二次方程；B含两个未知数；C符合；D不是整式方程。 3. D 解析：解方程 ( 3x - 5 = 7 ) 3x = 7 + 5 3x = 12 x = 4。 4. A 解析：x的是，与2的和是，等于5，即。 5. B 解析：一元一次方程要求未知数系数不为0，所以，即。 二、填空题 1. 未知数，等式 解析：这是方程的定义。 2. x，2，-6 解析：方程 ( 2x - 6 = 0 ) 可化为 ( 2x + (-6) = 0 )，未知数是x，x的系数是2，常数项是-6。 3. ( x + 2 = 0 )（答案不唯一） 解析：只要满足是一元一次方程且解为x=-2即可，如 ( 2x + 4 = 0 )，( x - (-2) = 0 ) 等。 4. ( 3a - 4 = 10 ) 解析：a的3倍是3a，与4的差是3a - 4，等于10，即 ( 3a - 4 = 10 )。 5. 10，10，是 解析：左边 = 3×4 - 2 = 12 - 2 = 10，右边 = 10，左边=右边，所以是解。 三、解答题 1. 解： （1）x的5倍是5x，减去2是5x - 2，等于13，方程为：( 5x - 2 = 13 ) （2）y的一半是，比它大3是，是7，方程为： （3）一个数与8的和是(m + 8)，和的2倍是2(m + 8)，等于36，方程为：( 2(m + 8) = 36 ) 2. 解： （1）把 ( x = 2 ) 代入方程左边和右边： 左边 = 2×2 + 1 = 4 + 1 = 5 右边 = 7 - 2 = 5 因为左边 = 右边，所以 ( x = 2 ) 是方程的解。 （2）把 ( x = -2 ) 代入方程左边和右边： 左边 = 2×(-2) + 1 = -4 + 1 = -3 右边 = 7 - (-2) = 7 + 2 = 9 因为左边 ≠ 右边，所以 ( x = -2 ) 不是方程的解。 3. 解：设甲商品每件 ( x ) 元。 因为购进甲商品3件和乙商品2件共需120元，所以3件甲商品花费3x元，那么2件乙商品花费 ( (120 - 3x) ) 元，因此每件乙商品的价格为元。 又因为购进甲商品2件和乙商品3件共需130元，可列方程： 4. 解：设原计划参加植树的学生有 ( x ) 人。 原计划每人植树棵数为棵。 实际参加植树的学生人数为 ( 2x ) 人。 实际每人植树棵数比原计划少1棵，即为棵。 根据实际植树总棵数等于原计划的120棵，可列方程： 学科网（北京）股份有限公司 $