5.1认识方程 同步课堂讲义2025-2026学年北师大版（2024）七年级数学上册

5.1认识方程 讲解目录 【知识点1】方程的解 1 【知识点2】一元一次方程的定义 2 【知识点3】方程的定义 2 【题型1】判断一元一次方程 3 【题型2】检验方程的解 3 【题型3】利用方程的解的定义求待定字母的值 4 【题型4】整体思想在方程的解中的应用 4 【题型5】识别方程 5 【题型6】列实际问题中的一元一次方程 5 【题型7】利用一元一次方程的定义求字母的值 6 【题型8】列数学问题中的一元一次方程 7 知识讲解 【知识点1】方程的解 （1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． （2）规律方法总结： 无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 1.（2024春•郸城县月考）如果x=3，则下列等式中不正确的是（　　） A．x+2=3+2 B． C．x-1=3+1 D．-x=-3 2.（2022秋•思明区校级期中）已知整式A，B是关于x的多项式，整式A，B值随x的取值不同而不同．表是当x取不同值时对应的整式A，B的值，则关于x的方程A=B+2的解为（　　） x -5 -1 1 10 A 4 2 -2 0 B 4 4 -4 0 A．-5 B．-1 C．1 D．10 【知识点2】一元一次方程的定义 （1）一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． （2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值） 这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法． 1.（2024秋•城关区校级期末）下列方程中是一元一次方程的是（　　） A．3x+2y=9 B．5x-7=x C．x-3= D．y2-6y+5=0 2.（2024秋•江都区期末）下列方程是一元一次方程的是（　　） A．x+2y=0 B．x2-4x=3 C． D． 【知识点3】方程的定义 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式----方程． 在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如x+3=8，在x=5时等号成立． 1.（2024春•安溪县期末）下列各式中，是方程的是（　　） A．7-4=3 B．7x-4 C．x-1＞3 D．7x-4=3 2.（2023秋•绥棱县期末）下列式子不是方程的是（　　） A．2x=0 B．2x+3y=0 C．5x+7 D．3（2x-2）=12 3.（2022秋•郏县期末）下列各式中是方程的是（　　） A．2x-3 B．2+4=6 C．x-2＞1 D．2x-1=3 题型专练 【题型1】判断一元一次方程 【典型例题】下列方程中是一元一次方程的是(　　) A.＋1＝2 B.x＋y＝2 C.2x－1＝x D.x2－5＝0 【举一反三1】下列方程是一元一次方程的是(　　) A.x－y＝3 B.x－6＝2x C.x3＝1 D.x＝3y 【举一反三2】下列各式中，是一元一次方程的是(　　) A.6x－y=0 B.3+x=5(x－4) C.3+x=5x2 D.x－=7 【举一反三3】下列方程中，是一元一次方程的是(　　) A.x+y=1 B.x2－x=1 C.x+1=3x D.=3 【举一反三4】下列方程是一元一次方程的是(　　) A.x－y＝3 B.x－6＝2x C.x3＝1 D.x＝3y 【举一反三5】已知方程mx2+nx+p=0. 当m、n、p分别为何值时，此方程为一元一次方程？ 【举一反三6】下列式子哪些是方程，哪些是一元一次方程？ （1）3x－5=5x+4； （2）； （3）－3x+1.8=3y； （4）3a+9﹥15； （5）2x+1； （6）2m+15=3. 【题型2】检验方程的解 【典型例题】下列各数中，是方程3x+1=－5的解的是(　　) A.0 B.2 C.－3 D.－2 【举一反三1】下列说法中，正确的是( ) A.x＝－1是方程4x＋3＝0的解 B.m＝－1是方程9m＋4m＝13的解 C.x＝1是方程3x－2＝3的解 D.x＝0是方程0.5(x＋3)＝1.5的解 【举一反三2】下列方程中解为x=2的是(　　) A.3x+(10－x)=20 B.4(x+0.5)+x=7 C.x=－x+3 D.(x+14)=(x+20) 【举一反三3】已知方程2x－1=9(x=3，x=5)，检验括号里面的哪一个数是方程的解：            . 【举一反三4】x=2       方程x2－4x+4=0的解.(填“是”或“不是”) 【举一反三5】判断下列括号内的数是否是对应方程的解. （1）2x－5=3(x=4)； （2）3x+4=－6(x=－3). 【题型3】利用方程的解的定义求待定字母的值 【典型例题】若关于x的方程(m+1)x=n－3有无数解，则m，n需要满足的条件是(　　) A.m≠－1，n≠3 B.m≠－1，n=3 C.m=－1，n≠3 D.m=－1，n=3 【举一反三1】已知3是关于x的方程3x－a=2的解，则a的值为(　　) A.－5 B.5 C.7 D.－7 【举一反三2】如果方程ax|a+1|＋3＝0是关于x的一元一次方程，则a的值为________. 【举一反三3】已知关于x的方程2x＋a－5＝0的解是x＝2，则a的值为____. 【举一反三4】x=2是方程ax－4=0的解，检验x=3是不是方程2ax－5=－4a的解. 【举一反三5】若方程(|m|－2)x2－(m＋2)x－6＝0是关于x的一元一次方程. （1）求m的值； （2）判断x＝3，x＝－，x＝是否是方程的解. 【题型4】整体思想在方程的解中的应用 【典型例题】下列结论： ①若关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解是x=1，则a+b=0； ②若b=2a，则关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解为x=－； ③若a+b=1，且a≠0，则x=1一定是方程ax+b=1的解. 其中正确的结论是(　　) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【举一反三1】若x=1是关于x的一元一次方程ax－b－2=0(a≠0)的一个解，则a－b的值等于(　　) A.2 B.1 C.0 D.3 【举一反三2】若k是方程2x+1=3的解，则6k+3的值是(　　) A.9 B.－9 C.15 D.－3 【举一反三3】若a、b互为相反数，则关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解是(　　) A.x=1 B.x=－1 C.x=1或x=－1 D.不能确定 【举一反三4】若x=1是关于x的一元一次方程ax－b－2=0(a≠0)的一个解，则a－b的值等于(　　) A.2 B.1 C.0 D.3 【题型5】识别方程 【典型例题】x与y的平方和的2倍等于5，可列出方程为(　　) A.x2+2y2=5 B.2(x+y)2=5 C.2(x2+y2)=5 D.(x+2y)2=5 【举一反三1】下列等式中，方程的个数为(　　) ①2+6=8；②x=0；③y2－2y；④x－4=8；⑤x>3. A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三2】x的2倍与y的3倍的差等于5，可列方程为            . 【举一反三3】判断下列各式是不是方程，不是的说明为什么. （1）4×5=3×7－1； （2）2x+5y=8； （3）9－4x＞0； （4）x－13=12； （5）2y+5. 【题型6】列实际问题中的一元一次方程 【典型例题】甲、乙两班共有98人，若从甲班调3人到乙班，那么两班人数正好相等.设甲班原有人数是x人，可列出方程(　　) A.98+x=x－3 B.98－x=x－3 C.(98－x)+3=x D.(98－x)+3=x－3 【举一反三1】某车间原计划13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成任务，而且还多生产60件，设原计划每小时生产x个零件，则所列方程为(　　) A.13x=12(x+10)+60 B.12(x+10)=13x+60 C.13x－12x+60×12=10 D.12(x+60)－13x=10 【举一反三2】今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，6年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍.设今年儿子的年龄为x岁，则下列式子正确的是(　　) A.4x－6＝3(x－6) B.4x+6＝3(x+6) C.3x+6＝4(x+6) D.3x－6＝4(x－6) 【举一反三3】某学校七年级一班部分同学计划一起租车秋游，租车费人均15元；后来又有4名同学加入，总租车费不变，结果人均少花3元，设原来有x名学生，可列方程为                  . 【举一反三4】栖树一群鸦，鸦数不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树.请你仔细数，鸦树各几何？在这一问题中，若设树有x棵，通过分析题意，鸦的只数不变，则可列方程：            . 【举一反三5】刘老师利用假期带领部分优秀同学到外地参观，每张车票原价是150元.甲车主说：“乘我的车可以打8折优惠.”；乙车主说：“乘我的车学生打9折，老师不买票.”刘老师心里计算了一下，觉得不论坐谁的车，车费都一样，请问：刘老师一共带了多少名学生？请列出方程. 【题型7】利用一元一次方程的定义求字母的值 【典型例题】已知方程3x|m|+1=0是关于x的一元一次方程，则m的值是(　　) A.－1 B.1 C.±1 D.0和1 【举一反三1】若关于x的方程(a－1)x+1=0是一元一次方程，则(　　) A.a≠0 B.a≠1 C.a为任意有理数 D.以上都不对 【举一反三2】已知关于x的方程ax2+2xb－2－4=0是一元一次方程，则a+b的值为(　　) A.2 B.－4 C.6 D.3 【举一反三3】若关于x的方程(k－2)x|k－1|+5=0是一元一次方程，那么k=            . 【举一反三4】若(1－m)x|m|+2=0是关于x的一元一次方程，则m的值为            . 【举一反三5】已知方程(m－3)+4=m－2是关于x的一元一次方程. 求：（1）m的值； （2）写出这个一元一次方程. 【题型8】列数学问题中的一元一次方程 【典型例题】已知某数x，若比它的2倍大1的数的相反数是7，求x.可列出的方程为(　　) A.－2x+1=7 B.－2x+1=7 C.2x－1=7 D.－(2x+1)=7 【举一反三1】“一个数比它的相反数大－4”，若设这数是x，则可列出关于x的方程为(　　) A.x=－x+4 B.x=－x+(－4) C.x=－x－(－4) D.x－(－x)=4 【举一反三2】列等式表示“x的5倍与10的和等于－20”，下列方程正确的是(　　) A.5x＋10＝－20 B.5x－20＝10 C.5(x＋10)＝－20 D.x＋15＝－20 【举一反三3】y的20%与y的差比y的3倍少5，列方程为      . 【举一反三4】若单项式3acx+2与－7a是同类项，则可以得到关于x的方程为            . 【举一反三5】根据下列条件列出方程，并指出方程的未知数. （1）甲数的2倍与4的差为12； （2）某数与10的和比这个数的3倍大2； （3）m的20%与8的差的一半等于16. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1认识方程 讲解目录 【知识点1】方程的解 1 【知识点2】一元一次方程的定义 2 【知识点3】方程的定义 3 【题型1】判断一元一次方程 4 【题型2】检验方程的解 6 【题型3】利用方程的解的定义求待定字母的值 8 【题型4】整体思想在方程的解中的应用 9 【题型5】识别方程 10 【题型6】列实际问题中的一元一次方程 11 【题型7】利用一元一次方程的定义求字母的值 12 【题型8】列数学问题中的一元一次方程 13 知识讲解 【知识点1】方程的解 （1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． （2）规律方法总结： 无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 1.（2024春•郸城县月考）如果x=3，则下列等式中不正确的是（　　） A．x+2=3+2 B． C．x-1=3+1 D．-x=-3 【答案】C 【分析】把x=3分别代入每个方程进行判断即可． 【解答】解：当x=3时，方程x+2=3+2的左边=3+2=5=右边，故A正确，不符合题意； 当x=3时，方程的左边==右边，故B正确，不符合题意； 当x=3时，方程x-1=3+1的左边=2≠右边，故C错误，符合题意； 当x=3时，方程-x=-3的左边=-3=右边，故D正确，不符合题意． 故答案为：C． 2.（2022秋•思明区校级期中）已知整式A，B是关于x的多项式，整式A，B值随x的取值不同而不同．表是当x取不同值时对应的整式A，B的值，则关于x的方程A=B+2的解为（　　） x -5 -1 1 10 A 4 2 -2 0 B 4 4 -4 0 A．-5 B．-1 C．1 D．10 【答案】C 【分析】由表格中的数据可知A=B+2成立时，A=-2，B=-4，可知x的值． 【解答】解：由表格中的数据可知A=B+2成立时，A=-2，B=-4，这时x=1， 故选：C． 【知识点2】一元一次方程的定义 （1）一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． （2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值） 这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法． 1.（2024秋•城关区校级期末）下列方程中是一元一次方程的是（　　） A．3x+2y=9 B．5x-7=x C．x-3= D．y2-6y+5=0 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可． 【解答】A．是二元一次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； B．是一元一次方程，故本选项符合题意； C．是分式方程，不是整式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； D．是一元二次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 2.（2024秋•江都区期末）下列方程是一元一次方程的是（　　） A．x+2y=0 B．x2-4x=3 C． D． 【答案】C 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，由此判断即可． 【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、是一元一次方程，故此选项符合题意； D、分母含有未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 【知识点3】方程的定义 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式----方程． 在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如x+3=8，在x=5时等号成立． 1.（2024春•安溪县期末）下列各式中，是方程的是（　　） A．7-4=3 B．7x-4 C．x-1＞3 D．7x-4=3 【答案】D 【分析】根据方程的定义解答即可． 【解答】解：A、7-4=3中不含有未知数，不是是方程，不符合题意； B、7x-4不是等式所以不是方程，不符合题意； C、x-1＞3不是等式所以不是方程，不符合题意； D、7x-4=3是含有未知数的等式，是方程，符合题意． 故选：D． 2.（2023秋•绥棱县期末）下列式子不是方程的是（　　） A．2x=0 B．2x+3y=0 C．5x+7 D．3（2x-2）=12 【答案】C 【分析】方程就是含有未知数的等式，依据定义即可判断． 【解答】解：A、符合方程的定义，故本选项不符合题意； B、符合方程的定义，故本选项不符合题意； C、不是方程，故本选项符合题意； D、符合方程的定义，故本选项不符合题意； 故选：C． 3.（2022秋•郏县期末）下列各式中是方程的是（　　） A．2x-3 B．2+4=6 C．x-2＞1 D．2x-1=3 【答案】D 【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式叫方程可得答案． 【解答】解：A．2x-3含有未知数，但不是等式，所以不是方程，故不符合题意； B．2+4=6不含有未知数，且不是等式，所以不是方程，故不符合题意； C．x-2＞1不是等式，所以不是方程，故不符合题意； D．2x-1=3符合方程的定义，故符合题意． 故选：D． 题型专练 【题型1】判断一元一次方程 【典型例题】下列方程中是一元一次方程的是(　　) A.＋1＝2 B.x＋y＝2 C.2x－1＝x D.x2－5＝0 【答案】C 【解析】对于A，不是整式，此方程不是一元一次方程； 对于B，x＋y＝2含有2个未知数，此方程不是一元一次方程； 对于C，2x－1＝x符合一元一次方程的定义，此方程是一元一次方程； 对于D，x2－5＝0未知数的次数是2，此方程不是一元一次方程. 故选：C. 【举一反三1】下列方程是一元一次方程的是(　　) A.x－y＝3 B.x－6＝2x C.x3＝1 D.x＝3y 【答案】B 【解析】A项，含有两个未知数，故不是一元一次方程； B项，符合一元一次方程的定义； C项，未知数的次数是3而不是1，不是一元一次方程； D项，含有两个未知数，故不是一元一次方程. 故选：B. 【举一反三2】下列各式中，是一元一次方程的是(　　) A.6x－y=0 B.3+x=5(x－4) C.3+x=5x2 D.x－=7 【答案】B 【解析】A.含有2个未知数，不是一元一次方程，选项错误； B.正确； C.最高次数是2次，不是一元一次方程，选项错误； D.不是整式方程，不是一元一次方程，选项错误. 故选：B. 【举一反三3】下列方程中，是一元一次方程的是(　　) A.x+y=1 B.x2－x=1 C.x+1=3x D.=3 【答案】C 【解析】A.含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项错误； B.未知数的次数是2，故本选项错误； C.符合一元一次方程的定义，故本选项正确； D.不是整式方程，故本选项错误. 故选：C. 【举一反三4】下列方程是一元一次方程的是(　　) A.x－y＝3 B.x－6＝2x C.x3＝1 D.x＝3y 【答案】B 【解析】A项，含有两个未知数，故不是一元一次方程； B项，符合一元一次方程的定义； C项，未知数的次数是3而不是1，不是一元一次方程； D项，含有两个未知数，故不是一元一次方程. 故选：B. 【举一反三5】已知方程mx2+nx+p=0. 当m、n、p分别为何值时，此方程为一元一次方程？ 【答案】解：因为方程mx2+nx+p=0为一元一次方程，所以m=0，n≠0，p可以为任意常数. 【举一反三6】下列式子哪些是方程，哪些是一元一次方程？ （1）3x－5=5x+4； （2）； （3）－3x+1.8=3y； （4）3a+9﹥15； （5）2x+1； （6）2m+15=3. 【答案】解：（1）（2）（3）（6）是方程，其中（1）（6）是一元一次方程. 【题型2】检验方程的解 【典型例题】下列各数中，是方程3x+1=－5的解的是(　　) A.0 B.2 C.－3 D.－2 【答案】D 【解析】当x=－2时，3x+1=3×(－2)+1=－5，所以x=－2是方程3x+1=－5的解. 故选：D. 【举一反三1】下列说法中，正确的是( ) A.x＝－1是方程4x＋3＝0的解 B.m＝－1是方程9m＋4m＝13的解 C.x＝1是方程3x－2＝3的解 D.x＝0是方程0.5(x＋3)＝1.5的解 【答案】D 【解析】A.当x=－1时，左边=－1≠0，故本选项错误； B.当x=－1时，左边=－13≠13，故本选项错误； C.当x=1时，左边=1≠3，故本选项错误； D.当x=0时，左边=0.5×3=1.5，故本选项正确. 故选：D. 【举一反三2】下列方程中解为x=2的是(　　) A.3x+(10－x)=20 B.4(x+0.5)+x=7 C.x=－x+3 D.(x+14)=(x+20) 【答案】C 【解析】A.将x=2代入方程左边=6+8=14≠右边，x=2不是方程的解，故此选项错误； B.将x=2代入方程左边=4×2.5+2=12≠右边，x=2不是方程的解，故此选项错误； C.将x=2代入方程，左边=2，右边=－1+3=2，左边=右边，x=2是方程的解，故此选项正确； D.将x=2代入方程左边=×16=，右边=×22=，左边≠右边，x=2不是方程的解，故此选项错误. 故选：C. 【举一反三3】已知方程2x－1=9(x=3，x=5)，检验括号里面的哪一个数是方程的解：            . 【答案】x=5 【解析】由x=3得2×3－1=5≠9，所以x=3不是方程2x－1=9的解； 由x=5得2×5－1=9，所以x=5是方程2x－1=9的解. 【举一反三4】x=2       方程x2－4x+4=0的解.(填“是”或“不是”) 【答案】是 【解析】把x=2代入方程x2－4x+4=0，左边=4－4×2+4=0，所以x=2是方程的解. 【举一反三5】判断下列括号内的数是否是对应方程的解. （1）2x－5=3(x=4)； （2）3x+4=－6(x=－3). 【答案】解：（1）当x=4时，2×4－5=3，所以x=4是方程的解. （2）当x=－3时，3×(－3)+4=－5≠－6，所以x=－3不是方程的解. 【题型3】利用方程的解的定义求待定字母的值 【典型例题】若关于x的方程(m+1)x=n－3有无数解，则m，n需要满足的条件是(　　) A.m≠－1，n≠3 B.m≠－1，n=3 C.m=－1，n≠3 D.m=－1，n=3 【答案】D 【解析】因为关于x的方程(m+1)x=n－3有无数解，所以m+1=0，n－3=0，所以m=－1，n=3. 故选：D. 【举一反三1】已知3是关于x的方程3x－a=2的解，则a的值为(　　) A.－5 B.5 C.7 D.－7 【答案】C 【解析】将x=3代入方程3x－a=2得9－a=2，解得a=7. 故选：C. 【举一反三2】如果方程ax|a+1|＋3＝0是关于x的一元一次方程，则a的值为________. 【答案】－2 【解析】因为方程ax|a+1|＋3＝0是关于x的一元一次方程，所以|a＋1|＝1且a≠0，解得a＝－2. 【举一反三3】已知关于x的方程2x＋a－5＝0的解是x＝2，则a的值为____. 【答案】1 【解析】将x=2代入方程得4＋a－5=0，解得a=1. 【举一反三4】x=2是方程ax－4=0的解，检验x=3是不是方程2ax－5=－4a的解. 【答案】解：把x=2代入方程ax－4=0得，2a－4=0，解得a=2， 把a=2代入方程2ax－5=－4a得，4x－5=－8，解得x=－. 所以x=3不是方程2ax－5=－4a的解. 【举一反三5】若方程(|m|－2)x2－(m＋2)x－6＝0是关于x的一元一次方程. （1）求m的值； （2）判断x＝3，x＝－，x＝是否是方程的解. 【答案】解：（1）根据题意得|m|－2＝0且－(m＋2)≠0， 解得m＝2. （2）由（1）知m＝2，则原方程是－4x－6＝0， 因为－4×3－6＝－18， －4×()－6＝0，－4×－6＝－， 即x＝－是方程的解，x＝3和x＝不是. 【题型4】整体思想在方程的解中的应用 【典型例题】下列结论： ①若关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解是x=1，则a+b=0； ②若b=2a，则关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解为x=－； ③若a+b=1，且a≠0，则x=1一定是方程ax+b=1的解. 其中正确的结论是(　　) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【答案】C 【解析】①把x=1代入方程得a+b=0，故结论正确； ②方程ax+b=0(a≠0)，由b=2a，得ax+2a =0，则x=－2，故结论错误； ③把x=1代入方程ax+b=1一定有a+b=1成立，则x=1是方程的解，故结论正确. 故选：C. 【举一反三1】若x=1是关于x的一元一次方程ax－b－2=0(a≠0)的一个解，则a－b的值等于(　　) A.2 B.1 C.0 D.3 【答案】A 【解析】把x=1代入方程得a－b－2=0，则a－b=2. 故选：A. 【举一反三2】若k是方程2x+1=3的解，则6k+3的值是(　　) A.9 B.－9 C.15 D.－3 【答案】A 【解析】由题意得2k+1=3，两边同乘3得6k+3=9. 故选：A. 【举一反三3】若a、b互为相反数，则关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解是(　　) A.x=1 B.x=－1 C.x=1或x=－1 D.不能确定 【答案】A 【解析】因为a、b互为相反数，所以a+b=0， 在关于x的方程ax+b=0(a≠0)中，当x=1时，ax+b=a+b=0，则方程的解是x=1. 故选：A. 【举一反三4】若x=1是关于x的一元一次方程ax－b－2=0(a≠0)的一个解，则a－b的值等于(　　) A.2 B.1 C.0 D.3 【答案】A 【解析】把x=1代入方程得a－b－2=0，则a－b=2. 故选：A. 【题型5】识别方程 【典型例题】x与y的平方和的2倍等于5，可列出方程为(　　) A.x2+2y2=5 B.2(x+y)2=5 C.2(x2+y2)=5 D.(x+2y)2=5 【答案】C 【解析】由题意，得2(x2+y2)=5. 故选：C. 【举一反三1】下列等式中，方程的个数为(　　) ①2+6=8；②x=0；③y2－2y；④x－4=8；⑤x>3. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】①2+6=8，不含有未知数，故不是方程； ②x=0，符合方程的定义，故是方程； ③y2－2y，不是等式，故不是方程； ④x－4=8，符合方程的定义，故是方程； ⑤x>3是不等式，故不是方程； 所以②、④是方程. 故选：B. 【举一反三2】x的2倍与y的3倍的差等于5，可列方程为            . 【答案】2x－3y=5 【解析】由题意，得2x－3y=5. 【举一反三3】判断下列各式是不是方程，不是的说明为什么. （1）4×5=3×7－1； （2）2x+5y=8； （3）9－4x＞0； （4）x－13=12； （5）2y+5. 【答案】解：（1）不是，因为不含有未知数； （2）是方程； （3）不是，因为不是等式； （4）是方程； （5）不是，因为不是等式. 【题型6】列实际问题中的一元一次方程 【典型例题】甲、乙两班共有98人，若从甲班调3人到乙班，那么两班人数正好相等.设甲班原有人数是x人，可列出方程(　　) A.98+x=x－3 B.98－x=x－3 C.(98－x)+3=x D.(98－x)+3=x－3 【答案】D 【解析】设甲班原有人数是x人，(98－x)+3=x－3. 故选：D. 【举一反三1】某车间原计划13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成任务，而且还多生产60件，设原计划每小时生产x个零件，则所列方程为(　　) A.13x=12(x+10)+60 B.12(x+10)=13x+60 C.13x－12x+60×12=10 D.12(x+60)－13x=10 【答案】B 【解析】设原计划每小时生产x个零件，则实际每小时生产(x+10)个零件. 根据等量关系列方程得：12(x+10)=13x+60. 故选：B. 【举一反三2】今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，6年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍.设今年儿子的年龄为x岁，则下列式子正确的是(　　) A.4x－6＝3(x－6) B.4x+6＝3(x+6) C.3x+6＝4(x+6) D.3x－6＝4(x－6) 【答案】D 【解析】根据题意，可以列出相应的方程，3x－6＝4(x－6). 故选：D. 【举一反三3】某学校七年级一班部分同学计划一起租车秋游，租车费人均15元；后来又有4名同学加入，总租车费不变，结果人均少花3元，设原来有x名学生，可列方程为                  . 【答案】(15－3)(x＋4)＝15x 【解析】原来有x名学生，租车费人均15元，总租车费为15x元，后又增加4人，为（x+4）人，人均少花3元，为（15－3）元，总租车费不变，可列方程(15－3)(x＋4)＝15x. 【举一反三4】栖树一群鸦，鸦数不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树.请你仔细数，鸦树各几何？在这一问题中，若设树有x棵，通过分析题意，鸦的只数不变，则可列方程：            . 【答案】3x+5=5(x－1) 【解析】设树有x棵，根据题意得3x+5=5(x－1). 【举一反三5】刘老师利用假期带领部分优秀同学到外地参观，每张车票原价是150元.甲车主说：“乘我的车可以打8折优惠.”；乙车主说：“乘我的车学生打9折，老师不买票.”刘老师心里计算了一下，觉得不论坐谁的车，车费都一样，请问：刘老师一共带了多少名学生？请列出方程. 【答案】解：设刘老师一共带了x名学生，根据题意，得150×0.8(x+1)=150×0.9x. 【题型7】利用一元一次方程的定义求字母的值 【典型例题】已知方程3x|m|+1=0是关于x的一元一次方程，则m的值是(　　) A.－1 B.1 C.±1 D.0和1 【答案】C 【解析】因为方程3x|m|+1=0是关于x的一元一次方程，所以|m|=1，解得m=±1. 故选：C. 【举一反三1】若关于x的方程(a－1)x+1=0是一元一次方程，则(　　) A.a≠0 B.a≠1 C.a为任意有理数 D.以上都不对 【答案】B 【解析】由关于x的方程(a－1)x+1=0是一元一次方程，得a－1≠0，解得a≠1. 故选：B. 【举一反三2】已知关于x的方程ax2+2xb－2－4=0是一元一次方程，则a+b的值为(　　) A.2 B.－4 C.6 D.3 【答案】D 【解析】因为关于x的方程ax2+2xb－2－4=0是一元一次方程，所以a=0，b－2=1. 解得a=0，b=3，所以a+b=3. 故选：D. 【举一反三3】若关于x的方程(k－2)x|k－1|+5=0是一元一次方程，那么k=            . 【答案】0 【解析】由关于x的方程(k－2)x|k－1|+5=0是一元一次方程，得|k－1|=1且k－2≠0，解得k=0. 【举一反三4】若(1－m)x|m|+2=0是关于x的一元一次方程，则m的值为            . 【答案】－1 【解析】由(1－m)x|m|+2=0是关于x的一元一次方程，得|m|=1，且1－m≠0，解得m=－1. 【举一反三5】已知方程(m－3)+4=m－2是关于x的一元一次方程. 求：（1）m的值； （2）写出这个一元一次方程. 【答案】解：（1）由方程(m－3)+4=m－2是关于x的一元一次方程， 得－2=1，m－3≠0，解得m=－3. （2）当m=－3时，方程为－6x+4=－5. 【题型8】列数学问题中的一元一次方程 【典型例题】已知某数x，若比它的2倍大1的数的相反数是7，求x.可列出的方程为(　　) A.－2x+1=7 B.－2x+1=7 C.2x－1=7 D.－(2x+1)=7 【答案】D 【解析】由题意得－(2x+1)=7. 故选：D. 【举一反三1】“一个数比它的相反数大－4”，若设这数是x，则可列出关于x的方程为(　　) A.x=－x+4 B.x=－x+(－4) C.x=－x－(－4) D.x－(－x)=4 【答案】B 【解析】设这数是x，则这个数的相反数是－x，所以列出的方程为x=－x+(－4). 故选：B. 【举一反三2】列等式表示“x的5倍与10的和等于－20”，下列方程正确的是(　　) A.5x＋10＝－20 B.5x－20＝10 C.5(x＋10)＝－20 D.x＋15＝－20 【答案】A 【举一反三3】y的20%与y的差比y的3倍少5，列方程为      . 【答案】20%y－y=3y－5 【举一反三4】若单项式3acx+2与－7a是同类项，则可以得到关于x的方程为            . 【答案】x+2=2x－1 【解析】因为单项式3acx+2与－7a是同类项，所以x+2=2x－1. 【举一反三5】根据下列条件列出方程，并指出方程的未知数. （1）甲数的2倍与4的差为12； （2）某数与10的和比这个数的3倍大2； （3）m的20%与8的差的一半等于16. 【答案】解：（1）设甲数为x，由题意得2x－4=12，其中x是未知数. （2）设这个数为x，由题意得x+10=3x+2，其中x是未知数. （3）由题意得(20%m－8)=16，其中m是未知数. 学科网（北京）股份有限公司 $$