4.3 多边形和圆的初步认识 讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

4.3 多边形和圆的初步认识 学习目标 1. 理解多边形的定义，能说出多边形的边、顶点、内角、对角线等概念； 2. 掌握多边形对角线数量的计算公式，并能运用公式解决实际问题； 3. 理解正多边形的定义，能判断一个多边形是否为正多边形； 4. 理解圆的定义，能说出圆的圆心、半径、直径、弧、扇形、圆心角等概念； 5. 能区分优弧、劣弧和半圆，会根据圆心角的度数判断弧的类型。 知识点讲解 一、多边形 1. 多边形的定义 在平面内，由不在同一条直线上的若干条线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。 2. 多边形的基本元素 · 边：组成多边形的线段叫做多边形的边（n边形有n条边）； · 顶点：相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点（n边形有n个顶点）； · 内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角（n边形有n个内角）； · 对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 3. 多边形对角线数量的计算公式 对于n边形（n≥3，n为整数），从一个顶点出发可以引（n-3）条对角线；n个顶点共可引n(n-3)条对角线，但每条对角线被重复计算了2次，因此n边形的对角线总条数为： 4. 正多边形 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。例如：正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）等。 二、圆 1. 圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。这个定点叫做圆心，定长叫做半径。 2. 圆的基本元素 · 圆心：圆的中心，通常用字母O表示； · 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，通常用字母r表示； · 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，通常用字母d表示，且直径与半径的关系为：； · 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，用符号“⌒”表示。按长度分为： · 劣弧：小于半圆的弧（所对圆心角小于180°）； · 优弧：大于半圆的弧（所对圆心角大于180°）； · 半圆：等于半圆的弧（所对圆心角等于180°，既不是优弧也不是劣弧）； · 扇形：由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形； · 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，圆心角的度数等于它所对弧的度数。 例题解析 例1：多边形的基本元素辨析 一个多边形有7条边，它有多少个顶点？多少个内角？ 例2：多边形对角线数量计算 求七边形的对角线总条数。 例3：正多边形的判断 下列说法正确的是（ ） A. 各边相等的四边形是正四边形 B. 各角相等的三角形是正三角形 C. 正多边形的各边相等，但各角可以不相等 D. 正多边形的各角相等，但各边可以不相等 例4：圆的基本概念与弧的类型判断 在一个圆中，已知圆心角∠AOB=120°，∠COD=240°。 （1）求该圆的半径r与直径d的关系； （2）判断∠AOB和∠COD所对的弧分别是什么类型的弧。 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确答案） 1. 下列图形中，是多边形的是（ ） A. 线段 B. 圆 C. 五边形 D. 角 2. 一个多边形的边数为n，则从一个顶点出发可以引的对角线条数是（ ） A. n B. n-1 C. n-2 D. n-3 3. 下列关于正多边形的说法，错误的是（ ） A. 正多边形的各边长度相等 B. 正多边形的各内角大小相等 C. 正三角形是边数最少的正多边形 D. 长方形是正四边形 4. 在圆中，下列说法正确的是（ ） A. 半径是直径的2倍 B. 半圆是优弧 C. 圆心角的顶点在圆上 D. 扇形由两条半径和一段弧组成 5. 一个多边形的对角线总条数为9，这个多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题 1. 十边形有______个顶点，______个内角。 2. 计算：八边形的对角线总条数是______。 3. 正多边形的各边______，各角______（填“相等”或“不相等”）。 4. 一个圆的半径为5cm，则它的直径为______cm；若直径为16cm，则半径为______cm。 5. 在一个圆中，圆心角为90°时，所对的弧是______弧；圆心角为200°时，所对的弧是______弧。 三、解答题 1. 求十五边形的对角线总条数。 2. 一个多边形的对角线总条数为35，求这个多边形的边数。 3. 判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）各角相等的三角形是正三角形； （2）各边相等的四边形一定是正四边形。 4. 在一个圆中，有三个圆心角，分别为80°、180°、220°。 （1）分别写出它们所对弧的类型； （2）若圆的周长固定，哪条弧最长？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 多边形和圆的初步认识 学习目标 1. 理解多边形的定义，能说出多边形的边、顶点、内角、对角线等概念； 2. 掌握多边形对角线数量的计算公式，并能运用公式解决实际问题； 3. 理解正多边形的定义，能判断一个多边形是否为正多边形； 4. 理解圆的定义，能说出圆的圆心、半径、直径、弧、扇形、圆心角等概念； 5. 能区分优弧、劣弧和半圆，会根据圆心角的度数判断弧的类型。 知识点讲解 一、多边形 1. 多边形的定义 在平面内，由不在同一条直线上的若干条线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。 2. 多边形的基本元素 · 边：组成多边形的线段叫做多边形的边（n边形有n条边）； · 顶点：相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点（n边形有n个顶点）； · 内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角（n边形有n个内角）； · 对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 3. 多边形对角线数量的计算公式 对于n边形（n≥3，n为整数），从一个顶点出发可以引（n-3）条对角线；n个顶点共可引n(n-3)条对角线，但每条对角线被重复计算了2次，因此n边形的对角线总条数为： 4. 正多边形 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。例如：正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）等。 二、圆 1. 圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。这个定点叫做圆心，定长叫做半径。 2. 圆的基本元素 · 圆心：圆的中心，通常用字母O表示； · 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，通常用字母r表示； · 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，通常用字母d表示，且直径与半径的关系为：； · 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，用符号“⌒”表示。按长度分为： · 劣弧：小于半圆的弧（所对圆心角小于180°）； · 优弧：大于半圆的弧（所对圆心角大于180°）； · 半圆：等于半圆的弧（所对圆心角等于180°，既不是优弧也不是劣弧）； · 扇形：由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形； · 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，圆心角的度数等于它所对弧的度数。 例题解析 例1：多边形的基本元素辨析 一个多边形有7条边，它有多少个顶点？多少个内角？ 解析： 多边形的边数、顶点数、内角数相等，均等于多边形的边数n。 已知该多边形有7条边，即n=7，因此顶点数=7，内角数=7。 答案：7个顶点，7个内角。 例2：多边形对角线数量计算 求七边形的对角线总条数。 解析： 根据多边形对角线数量公式（n为边数，n≥3）， 当n=7时，代入公式得： 答案：14条。 例3：正多边形的判断 下列说法正确的是（ ） A. 各边相等的四边形是正四边形 B. 各角相等的三角形是正三角形 C. 正多边形的各边相等，但各角可以不相等 D. 正多边形的各角相等，但各边可以不相等 解析： · 选项A：各边相等的四边形不一定是正四边形（如菱形各边相等，但角不一定相等），故A错误； · 选项B：三角形具有稳定性，各角相等时，根据三角形内角和为180°，每个角为60°，此时各边也相等，是正三角形，故B正确； · 选项C、D：正多边形的定义是“各边相等且各角相等”，两者缺一不可，故C、D错误。 答案：B 例4：圆的基本概念与弧的类型判断 在一个圆中，已知圆心角∠AOB=120°，∠COD=240°。 （1）求该圆的半径r与直径d的关系； （2）判断∠AOB和∠COD所对的弧分别是什么类型的弧。 解析： （1）圆的直径d是半径r的2倍，即； （2）根据弧的类型定义： · 圆心角＜180°时，所对的弧为劣弧； · 圆心角＞180°时，所对的弧为优弧； · 圆心角=180°时，所对的弧为半圆。 ∠AOB=120°＜180°，故所对的弧是劣弧； ∠COD=240°＞180°，故所对的弧是优弧。 答案：（1）；（2）∠AOB对劣弧，∠COD对优弧。 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确答案） 1. 下列图形中，是多边形的是（ ） A. 线段 B. 圆 C. 五边形 D. 角 2. 一个多边形的边数为n，则从一个顶点出发可以引的对角线条数是（ ） A. n B. n-1 C. n-2 D. n-3 3. 下列关于正多边形的说法，错误的是（ ） A. 正多边形的各边长度相等 B. 正多边形的各内角大小相等 C. 正三角形是边数最少的正多边形 D. 长方形是正四边形 4. 在圆中，下列说法正确的是（ ） A. 半径是直径的2倍 B. 半圆是优弧 C. 圆心角的顶点在圆上 D. 扇形由两条半径和一段弧组成 5. 一个多边形的对角线总条数为9，这个多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题 1. 十边形有______个顶点，______个内角。 2. 计算：八边形的对角线总条数是______。 3. 正多边形的各边______，各角______（填“相等”或“不相等”）。 4. 一个圆的半径为5cm，则它的直径为______cm；若直径为16cm，则半径为______cm。 5. 在一个圆中，圆心角为90°时，所对的弧是______弧；圆心角为200°时，所对的弧是______弧。 三、解答题 1. 求十五边形的对角线总条数。 2. 一个多边形的对角线总条数为35，求这个多边形的边数。 3. 判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）各角相等的三角形是正三角形； （2）各边相等的四边形一定是正四边形。 4. 在一个圆中，有三个圆心角，分别为80°、180°、220°。 （1）分别写出它们所对弧的类型； （2）若圆的周长固定，哪条弧最长？为什么？ 巩固练习答案 一、选择题 1. C 解析：多边形是封闭图形，线段（A）、圆（B）、角（D）均不符合定义，五边形（C）是多边形。 2. D 解析：从n边形一个顶点出发，不能与自身及相邻两个顶点连对角线，故可引（n-3）条对角线。 3. D 解析：长方形各角相等但边不一定相等（邻边可能不等），不是正四边形，D错误。 4. D 解析：直径是半径的2倍（A错误）；半圆既不是优弧也不是劣弧（B错误）；圆心角顶点在圆心（C错误）；扇形由两条半径和一段弧组成（D正确）。 5. B 解析：设边数为n，由对角线公式，解得n=6（n=-3舍去）。 二、填空题 1. 10；10 解析：多边形边数=顶点数=内角数，十边形有10个顶点和10个内角。 2. 20 解析：代入公式。 3. 相等；相等 解析：正多边形定义：各边相等、各角相等。 4. 10；8 解析：直径d=2r，当r=5cm时，d=10cm；当d=16cm时，r=8cm。 5. 劣；优 解析：90°＜180°（劣弧）；200°＞180°（优弧）。 三、解答题 1. 解：十五边形边数n=15，代入对角线公式： 答：十五边形的对角线总条数为90。 2. 解：设多边形边数为n，由题意得： 两边同乘2： 整理： 解得：（n=-7舍去） 答：这个多边形的边数为10。 3. 解： （1）正确。三角形各角相等时，每个角=180°÷3=60°，此时各边相等，是正三角形。 （2）错误。例如菱形各边相等，但内角不一定相等（如内角为60°和120°），不是正四边形。 4. 解： （1）80°＜180°→劣弧；180°→半圆；220°＞180°→优弧。 （2）220°圆心角所对的弧最长。理由：圆周长固定时，弧长与圆心角成正比，220°最大，故弧长最长。 学科网（北京）股份有限公司 $