4.2 角 讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

角 学习目标 1. 理解角的概念，能正确表示一个角。 2. 认识度、分、秒，并能进行简单的换算。 3. 掌握角的比较方法，能进行角的和、差运算。 4. 理解角平分线的概念，并能运用其性质解决简单问题。 知识点讲解 一、角的概念 1. 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。 2. 动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。 二、角的表示方法 角通常有以下几种表示方法： 1. 用三个大写字母表示：如 ∠AOB，其中 O 是顶点，A、B 分别是角的两条边上的点，且顶点字母必须写在中间。 2. 用一个大写字母表示：当顶点处只有一个角时，可以用顶点字母表示，如 ∠O。 3. 用一个数字表示：如 ∠1，∠2。 4. 用一个希腊字母表示：如 ∠α，∠β，∠γ。 三、角的度量 1. 度量单位：角的度量单位是度、分、秒。 把一个周角平均分成 360 等份，每一份就是 1 度的角，记作 1°。 把 1°的角平均分成 60 等份，每一份叫做 1 分的角，记作 1′。 把 1′的角平均分成 60 等份，每一份叫做 1 秒的角，记作 1″。 2. 单位换算： 1° = 60′ 1′ = 60″ 1° = 3600″ 四、角的比较 1. 度量法：用量角器量出两个角的度数，根据度数的大小来比较角的大小。 2. 叠合法：把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，其中的一条边也重合，观察另一条边的位置关系，从而比较角的大小。 五、角的和与差 1. 角的和：如果一个角的度数是另外两个角的度数的和，那么这个角就是另外两个角的和。 例如：若 ∠AOB = ∠AOC + ∠COB，则称 ∠AOB 是 ∠AOC 与 ∠COB 的和。 2. 角的差：如果一个角的度数是另外两个角的度数的差，那么这个角就是另外两个角的差。 例如：若 ∠AOC = ∠AOB - ∠COB，则称 ∠AOC 是 ∠AOB 与 ∠COB 的差。 六、角的平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 若 OC 是 ∠AOB 的平分线，则 ∠AOC = ∠COB = ∠AOB，或 ∠AOB = 2∠AOC = 2∠COB。 七、角的分类 1. 锐角：大于 0° 且小于 90° 的角叫做锐角。 2. 直角：等于 90° 的角叫做直角。 3. 钝角：大于 90° 且小于 180° 的角叫做钝角。 4. 平角：等于 180° 的角叫做平角。 5. 周角：等于 360° 的角叫做周角。 例题解析 例题 1：将 3.75° 换算成度、分、秒的形式。 分析：度、分、秒的换算为 60 进制，即 1° = 60′，1′ = 60″。将小数部分乘以 60 可得到分，若分仍有小数部分，再将分的小数部分乘以 60 得到秒。 解答： 0.75° = 0.75 × 60′ 0.75 × 60′ = 45′ 所以 3.75° = 3°45′0″ 即 3°45′。 例题 2：已知 ∠α = 35°18′，∠β = 25°45′，求 ∠α + ∠β 的度数。 分析：角的加法，度与度相加，分与分相加，秒与秒相加（本题无秒）。如果分相加满 60，则要向度进 1。 解答： ∠α + ∠β = 35°18′ + 25°45′ 35° + 25° = 60° 18′ + 45′ = 63′ 63′ = 1°3′ 60° + 1°3′ = 61°3′ 所以 ∠α + ∠β = 61°3′。 例题 3：已知一个角的度数是它的补角的度数的 ，求这个角的度数。 分析：如果两个角的和是一个平角（180°），那么这两个角互为补角。设这个角的度数为 x，则它的补角的度数为 180° - x。根据题意可列出方程求解。 解答：设这个角的度数为 x。 依题意，得 x = 方程两边同时乘以 3：3x = 180° - x 移项：3x + x = 180° 4x = 180° x = 180° ÷ 4 x = 45° 所以这个角的度数是 45°。 巩固练习 一、选择题 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两条射线组成的图形叫做角 B. 角的大小与边的长短有关 C. 角的两边是两条射线 D. 用三个大写字母表示角时，顶点字母可以写在任意位置 2. 1 周角等于（ ） A. 90° B. 180° C. 270° D. 360° 3. 将 50°30′30″ 换算成度，结果是（ ） A. 50.5° B. 50.505° C. 50.51° D. 50.5083° 4. 已知 ∠A = 50°，则 ∠A 的余角的度数是（ ） A. 40° B. 50° C. 130° D. 140° 5. 下列各角中，是钝角的是（ ） A. 周角 B. 周角 C. 平角 D. 平角 二、填空题 1. 角是由有公共端点的两条__________组成的图形。 2. 1.25° = __________′。 3. 3600″ = __________°。 4. 已知 ∠1 = 70°，∠2 是 ∠1 的补角，则 ∠2 = __________°。 5. 若 OC 是 ∠AOB 的平分线，且 ∠AOB = 80°，则 ∠AOC = __________°。 三、解答题 1. 计算：12°36′56″ + 45°24′35″。 2. 计算：90° - 53°47′。 3. 一个角的度数比它的余角的度数大 20°，求这个角的度数。 4. 已知 ∠AOB = 120°，OC 是 ∠AOB 内部的一条射线，OD 平分 ∠AOC，OE 平分 ∠COB，求 ∠DOE 的度数。 巩固练习答案 一、选择题 1. 答案：C 解析：角是由有公共端点的两条射线组成，A 选项缺少“公共端点”；角的大小与边的长短无关，B 错误；用三个大写字母表示角时，顶点字母必须在中间，D 错误。所以正确答案是 C。 2. 答案：D 解析：周角的定义是等于 360° 的角。所以正确答案是 D。 3. 答案：D 解析： 30″ = 30 ÷ 60′ 30 ÷ 60′ = 0.5′ 30′ + 0.5′ = 30.5′ 30.5′ = 30.5 ÷ 60° 30.5 ÷ 60° ≈ 0.5083° 50° + 0.5083° ≈ 50.5083° 所以正确答案是 D。 4. 答案：A 解析：互为余角的两个角的和为 90°。 ∠A 的余角 = 90° - ∠A 90° - 50° = 40° 所以正确答案是 A。 5. 答案：C 解析： A. 周角 = × 360° = 90°（直角） B. 周角 = × 360° = 180°（平角） C. 平角 = × 180° = 120°（钝角） D. 平角 = × 180° = 60°（锐角） 所以正确答案是 C。 二、填空题 1. 答案：射线 解析：角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形。 2. 答案：75 解析： 1.25° = 1.25 × 60′ 1.25 × 60′ = 75′ 3. 答案：1 解析： 3600″ = 3600 ÷ 60′ 3600 ÷ 60′ = 60′ 60′ = 60 ÷ 60° 60 ÷ 60° = 1° 4. 答案：110 解析：互为补角的两个角的和为 180°。 ∠2 = 180° - ∠1 180° - 70° = 110° 5. 答案：40 解析：角平分线将角分成两个相等的角。 ∠AOC = ∠AOB × 80° = 40° 三、解答题 1. 答案：58°1′31″ 解析： 12°36′56″ + 45°24′35″ 秒：56″ + 35″ = 91″ 91″ = 1′31″ 分：36′ + 24′ = 60′ 60′ + 1′ = 61′ 61′ = 1°1′ 度：12° + 45° = 57° 57° + 1° = 58° 所以结果为 58°1′31″。 2. 答案：36°13′ 解析： 90° - 53°47′ 90° = 89°60′ 89°60′ - 53°47′ 89° - 53° = 36° 60′ - 47′ = 13′ 所以结果为 36°13′。 3. 答案：55° 解析：设这个角的度数为 x。 它的余角的度数为 90° - x。 根据题意可得： x - = 20° x - 90° + x = 20° 2x = 20° + 90° 2x = 110° x = 55° 所以这个角的度数是 55°。 4. 答案：60° 解析：因为 OD 平分 ∠AOC，所以 ∠DOC = ∠AOC。 因为 OE 平分 ∠COB，所以 ∠COE = ∠COB。 ∠DOE = ∠DOC + ∠COE ∠DOE = ∠AOC + ∠COB ∠DOE = (∠AOC + ∠COB) ∠AOC + ∠COB = ∠AOB = 120° ∠DOE = × 120° ∠DOE = 60°。 学科网（北京）股份有限公司 $ 角 学习目标 1. 理解角的概念，能正确表示一个角。 2. 认识度、分、秒，并能进行简单的换算。 3. 掌握角的比较方法，能进行角的和、差运算。 4. 理解角平分线的概念，并能运用其性质解决简单问题。 知识点讲解 一、角的概念 1. 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。 2. 动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。 二、角的表示方法 角通常有以下几种表示方法： 1. 用三个大写字母表示：如 ∠AOB，其中 O 是顶点，A、B 分别是角的两条边上的点，且顶点字母必须写在中间。 2. 用一个大写字母表示：当顶点处只有一个角时，可以用顶点字母表示，如 ∠O。 3. 用一个数字表示：如 ∠1，∠2。 4. 用一个希腊字母表示：如 ∠α，∠β，∠γ。 三、角的度量 1. 度量单位：角的度量单位是度、分、秒。 把一个周角平均分成 360 等份，每一份就是 1 度的角，记作 1°。 把 1°的角平均分成 60 等份，每一份叫做 1 分的角，记作 1′。 把 1′的角平均分成 60 等份，每一份叫做 1 秒的角，记作 1″。 2. 单位换算： 1° = 60′ 1′ = 60″ 1° = 3600″ 四、角的比较 1. 度量法：用量角器量出两个角的度数，根据度数的大小来比较角的大小。 2. 叠合法：把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，其中的一条边也重合，观察另一条边的位置关系，从而比较角的大小。 五、角的和与差 1. 角的和：如果一个角的度数是另外两个角的度数的和，那么这个角就是另外两个角的和。 例如：若 ∠AOB = ∠AOC + ∠COB，则称 ∠AOB 是 ∠AOC 与 ∠COB 的和。 2. 角的差：如果一个角的度数是另外两个角的度数的差，那么这个角就是另外两个角的差。 例如：若 ∠AOC = ∠AOB - ∠COB，则称 ∠AOC 是 ∠AOB 与 ∠COB 的差。 六、角的平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 若 OC 是 ∠AOB 的平分线，则 ∠AOC = ∠COB = ∠AOB，或 ∠AOB = 2∠AOC = 2∠COB。 七、角的分类 1. 锐角：大于 0° 且小于 90° 的角叫做锐角。 2. 直角：等于 90° 的角叫做直角。 3. 钝角：大于 90° 且小于 180° 的角叫做钝角。 4. 平角：等于 180° 的角叫做平角。 5. 周角：等于 360° 的角叫做周角。 例题解析 例题 1：将 3.75° 换算成度、分、秒的形式。 例题 2：已知 ∠α = 35°18′，∠β = 25°45′，求 ∠α + ∠β 的度数。 例题 3：已知一个角的度数是它的补角的度数的 ，求这个角的度数。 巩固练习 一、选择题 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两条射线组成的图形叫做角 B. 角的大小与边的长短有关 C. 角的两边是两条射线 D. 用三个大写字母表示角时，顶点字母可以写在任意位置 2. 1 周角等于（ ） A. 90° B. 180° C. 270° D. 360° 3. 将 50°30′30″ 换算成度，结果是（ ） A. 50.5° B. 50.505° C. 50.51° D. 50.5083° 4. 已知 ∠A = 50°，则 ∠A 的余角的度数是（ ） A. 40° B. 50° C. 130° D. 140° 5. 下列各角中，是钝角的是（ ） A. 周角 B. 周角 C. 平角 D. 平角 二、填空题 1. 角是由有公共端点的两条__________组成的图形。 2. 1.25° = __________′。 3. 3600″ = __________°。 4. 已知 ∠1 = 70°，∠2 是 ∠1 的补角，则 ∠2 = __________°。 5. 若 OC 是 ∠AOB 的平分线，且 ∠AOB = 80°，则 ∠AOC = __________°。 三、解答题 1. 计算：12°36′56″ + 45°24′35″。 2. 计算：90° - 53°47′。 3. 一个角的度数比它的余角的度数大 20°，求这个角的度数。 4. 已知 ∠AOB = 120°，OC 是 ∠AOB 内部的一条射线，OD 平分 ∠AOC，OE 平分 ∠COB，求 ∠DOE 的度数。 学科网（北京）股份有限公司 $