3.1 代数式 讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

3.1代数式 学习目标 1. 理解用字母表示数的意义，能说出字母所表示的数量关系。 2. 理解代数式的概念，能正确地列出代数式表示简单的数量关系。 3. 掌握代数式的书写规范，并能按规范书写代数式。 4. 理解代数式的值的概念，会求代数式的值。 5. 经历列代数式和求代数式的值的过程，体会数学的抽象性和简洁性，培养符号意识和运算能力。 知识点讲解 一、用字母表示数 1. 意义：用字母表示数，可以把数量关系简明地表示出来，也可以表示运算律和计算公式，为研究和解决问题带来方便。 · 例如：用 a 表示有理数，那么有理数的加法交换律可以表示为 a + b = b + a 。 · 例如：长方形的长为 a ，宽为 b ，则长方形的面积为 S = ab 。 2. 书写规范初步： · 字母与字母相乘时，乘号可以省略不写或用“·”表示。例如：可以写成 ab 或。 · 数字与字母相乘时，数字通常写在字母前面，乘号可以省略不写。例如：可以写成 3x 。 二、代数式 1. 概念：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。 · 单独的一个数或者一个字母也是代数式。 · 例如：5 ，x ，3a + 2b ，m - n ，，等都是代数式。 · 注意：代数式中不含有“= ”、“> ”、“< ”、“”、“”、“”等符号。 三、代数式的书写规范 为了使代数式的书写简洁、规范，便于理解和运算，需要遵循以下规则： 1. 数字与字母相乘：数字在前，字母在后，乘号省略。 · 例如：应写成 5a ，而不是 a5 或。 2. 字母与字母相乘：乘号省略，按字母表顺序书写（一般情况下）。 · 例如：应写成 ab 或 ba （通常写成 ab ）。 3. 带分数与字母相乘：应先把带分数化成假分数。 · 例如：应写成，而不是。 4. 数字与数字相乘：乘号不能省略，仍用“”表示或用“·”表示（但“·”容易与小数点混淆，建议用“”）。 · 例如：不能写成 23 。 5. 除法运算：一般写成分数形式。 · 例如：应写成，而不是。 6. 代数式后面有单位：如果代数式是和或差的形式，要把整个代数式用括号括起来，再写单位。 · 例如：(a + b) 米，而不是 a + b 米；3x 千克（积或商的形式不需要括号）。 7. 相同字母的积：一般写成乘方的形式。 · 例如：应写成，读作“a 的平方”或“a 的二次方”；应写成。 四、代数式的值 1. 概念：用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果，叫做代数式的值。 2. 求代数式的值的步骤： · 代入：用指定的字母数值代替代数式里的相应字母。（注意：如果字母的值是负数或分数，代入时通常要加括号。） · 计算：按照代数式中指明的运算顺序进行计算。 例题解析 例题1：用字母表示数 用含有字母的式子表示下列数量关系： (1) 比 x 的 2 倍大 3 的数； (2) a 的平方与 b 的差； (3) m 的倒数与 n 的和； (4) 一个长方形的长是 a 厘米，宽是长的，则这个长方形的宽是多少厘米？ 例题2：列代数式 设某数为 x ，用代数式表示： (1) 比某数的一半小 2 的数； (2) 某数的 3 倍与这个数的 2 倍的和； (3) 某数与它的倒数的积。 例题3：判断代数式书写是否规范，并改正 判断下列代数式的书写是否规范，若不规范，请改正。 (1) (2) (3) (4) 米 (5) 例题4：求代数式的值 当 a = 2 ， b = -1 时，求下列代数式的值： (1) 3a + 2b (2) （） 分 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确答案） 1. 下列各式中，是代数式的是（ ） A. 3x - 2 = 0 B. 5 > 3 C. D. 2. 用代数式表示“a 的 5 倍与 b 的和的平方”是（ ） A. B. C. D. 3. 下列代数式书写规范的是（ ） A. B. C. D. (a + b ) 千克 4. 当 x = -1 时，代数式 2x - 1 的值是（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 5. 一个两位数，十位数字是 a ，个位数字是 b ，则这个两位数可以表示为（ ） A. ab B. a + b C. 10a + b D. 10b + a 二、填空题 1. 苹果每千克 m 元，则买 3 千克苹果需付 ______ 元。 2. 小明今年 n 岁，爸爸的年龄比小明年龄的 3 倍还大 2 岁，爸爸今年 ______ 岁。 3. 代数式 2x - 3 的意义是 ______。 4. 若 a = 3 ，则代数式的值是 ______。 5. 每支钢笔 x 元，每本笔记本 y 元，买 2 支钢笔和 3 本笔记本共需 ______ 元。 三、解答题 1. 用代数式表示： (1) x 的与 y 的 2 倍的差； (2) a 、 b 两数的平方和减去它们乘积的 2 倍； (3) 比 m 的倒数小 5 的数。 2. 当 a = 4 ， b = -2 时，求下列代数式的值： (1) a - b (2) ab (3) 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1代数式 学习目标 1. 理解用字母表示数的意义，能说出字母所表示的数量关系。 2. 理解代数式的概念，能正确地列出代数式表示简单的数量关系。 3. 掌握代数式的书写规范，并能按规范书写代数式。 4. 理解代数式的值的概念，会求代数式的值。 5. 经历列代数式和求代数式的值的过程，体会数学的抽象性和简洁性，培养符号意识和运算能力。 知识点讲解 一、用字母表示数 1. 意义：用字母表示数，可以把数量关系简明地表示出来，也可以表示运算律和计算公式，为研究和解决问题带来方便。 · 例如：用 a 表示有理数，那么有理数的加法交换律可以表示为 a + b = b + a 。 · 例如：长方形的长为 a ，宽为 b ，则长方形的面积为 S = ab 。 2. 书写规范初步： · 字母与字母相乘时，乘号可以省略不写或用“·”表示。例如：可以写成 ab 或。 · 数字与字母相乘时，数字通常写在字母前面，乘号可以省略不写。例如：可以写成 3x 。 二、代数式 1. 概念：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。 · 单独的一个数或者一个字母也是代数式。 · 例如：5 ，x ，3a + 2b ，m - n ，，等都是代数式。 · 注意：代数式中不含有“= ”、“> ”、“< ”、“”、“”、“”等符号。 三、代数式的书写规范 为了使代数式的书写简洁、规范，便于理解和运算，需要遵循以下规则： 1. 数字与字母相乘：数字在前，字母在后，乘号省略。 · 例如：应写成 5a ，而不是 a5 或。 2. 字母与字母相乘：乘号省略，按字母表顺序书写（一般情况下）。 · 例如：应写成 ab 或 ba （通常写成 ab ）。 3. 带分数与字母相乘：应先把带分数化成假分数。 · 例如：应写成，而不是。 4. 数字与数字相乘：乘号不能省略，仍用“”表示或用“·”表示（但“·”容易与小数点混淆，建议用“”）。 · 例如：不能写成 23 。 5. 除法运算：一般写成分数形式。 · 例如：应写成，而不是。 6. 代数式后面有单位：如果代数式是和或差的形式，要把整个代数式用括号括起来，再写单位。 · 例如：(a + b) 米，而不是 a + b 米；3x 千克（积或商的形式不需要括号）。 7. 相同字母的积：一般写成乘方的形式。 · 例如：应写成，读作“a 的平方”或“a 的二次方”；应写成。 四、代数式的值 1. 概念：用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果，叫做代数式的值。 2. 求代数式的值的步骤： · 代入：用指定的字母数值代替代数式里的相应字母。（注意：如果字母的值是负数或分数，代入时通常要加括号。） · 计算：按照代数式中指明的运算顺序进行计算。 例题解析 例题1：用字母表示数 用含有字母的式子表示下列数量关系： (1) 比 x 的 2 倍大 3 的数； (2) a 的平方与 b 的差； (3) m 的倒数与 n 的和； (4) 一个长方形的长是 a 厘米，宽是长的，则这个长方形的宽是多少厘米？ 分析： (1) “x 的 2 倍”是 2x ，“比 2x 大 3”就是 2x + 3 。 (2) “a 的平方”是，“与 b 的差”就是。 (3) “m 的倒数”是，“与 n 的和”就是。 (4) 宽是长的，长是 a 厘米，所以宽是厘米。 解答： (1) 2x + 3 (2) (3) (4) 厘米 例题2：列代数式 设某数为 x ，用代数式表示： (1) 比某数的一半小 2 的数； (2) 某数的 3 倍与这个数的 2 倍的和； (3) 某数与它的倒数的积。 分析： (1) “某数的一半”是，“小 2”即减去 2，所以是。 (2) “某数的 3 倍”是 3x ，“这个数的 2 倍”是 2x ，“和”是相加，所以是 3x + 2x 。 (3) “某数”是 x ，“它的倒数”是（），“积”是相乘，所以是。 解答： (1) (2) (3) 例题3：判断代数式书写是否规范，并改正 判断下列代数式的书写是否规范，若不规范，请改正。 (1) (2) (3) (4) 米 分析：根据代数式书写规范逐条判断。 (1) 数字与字母相乘，数字应在前，乘号省略。 (2) 除法运算应写成分数形式。 (3) 带分数应化为假分数。 (4) 代数式为和的形式且后面有单位，需加括号。 (5) 书写规范。 解答： (1) 不规范，应改为 3a 。 (2) 不规范，应改为。 (3) 不规范，应改为。 (4) 不规范，应改为 (a + b) 米。 (5) 规范。 例题4：求代数式的值 当 a = 2 ， b = -1 时，求下列代数式的值： (1) 3a + 2b (2) （） 分析：求代数式的值，就是用给定的字母的值代替代数式中的相应字母，然后按照运算顺序进行计算。注意代入负数时要加括号。 解答： (1) 当 a = 2 ， b = -1 时， 3a + 2b 当 a = 2 ， b = -1 时， 当 a = 2 ， b = -1 时， ，所以代数式有意义。 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确答案） 1. 下列各式中，是代数式的是（ ） A. 3x - 2 = 0 B. 5 > 3 C. D. 2. 用代数式表示“a 的 5 倍与 b 的和的平方”是（ ） A. B. C. D. 3. 下列代数式书写规范的是（ ） A. B. C. D. (a + b ) 千克 4. 当 x = -1 时，代数式 2x - 1 的值是（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 5. 一个两位数，十位数字是 a ，个位数字是 b ，则这个两位数可以表示为（ ） A. ab B. a + b C. 10a + b D. 10b + a 二、填空题 1. 苹果每千克 m 元，则买 3 千克苹果需付 ______ 元。 2. 小明今年 n 岁，爸爸的年龄比小明年龄的 3 倍还大 2 岁，爸爸今年 ______ 岁。 3. 代数式 2x - 3 的意义是 ______。 4. 若 a = 3 ，则代数式的值是 ______。 5. 每支钢笔 x 元，每本笔记本 y 元，买 2 支钢笔和 3 本笔记本共需 ______ 元。 三、解答题 1. 用代数式表示： (1) x 的与 y 的 2 倍的差； (2) a 、 b 两数的平方和减去它们乘积的 2 倍； (3) 比 m 的倒数小 5 的数。 2. 当 a = 4 ， b = -2 时，求下列代数式的值： (1) a - b (2) ab (3) 巩固练习参考答案与解析 一、选择题 1. C 解析：代数式中不含等号、不等号。A是等式，B、D是不等式，C是代数式。 2. B 解析：“a 的 5 倍”是 5a ，“与 b 的和”是 5a + b ，“和的平方”是。 3. C 解析：A应写成 2x ；B应写成；D应写成 (a + b) 千克；C书写规范。 4. A 解析：当 x = -1 时，。 5. C 解析：十位数字 a 表示 a 个 10，个位数字 b 表示 b 个 1，所以这个两位数是 10a + b 。 二、填空题 1. 3m 解析：总价 = 单价 × 数量，即。 2. 3n + 2 解析：小明年龄的 3 倍是 3n ，还大 2 岁即加 2，所以是 3n + 2 。 3. x的2倍与3的差（或2x与3的差） 解析：答案不唯一，合理即可。 4. 4 解析：当 a = 3 时， 解析：2支钢笔需 2x 元，3本笔记本需 3y 元，共需 2x + 3y 元。 三、解答题 1. 解： （） 2. 解：当 a = 4 ， b = -2 时， (1) a - b = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6 (2) ab (3) 学科网（北京）股份有限公司 $