第三章 整式及其加减 1 代数式-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材七年级上册数学（北师大版2024）

第三章 整式及其加减 1代数式 第1课时字母表示数 要点提示 1.用字母表示数的运算律：如泉用a,b分别表示两个数，那么加法交换律可表示为a十b=b十a,乘法交换律可 表示为ab=ba 2.用字母表示一些图形的周长、面积、体积：如果用m,n分别表示长方形的长和宽，那么关方形的周长为2m十2m,面 积为n:如是用a,b,c分别表示长方体的长、宽、高，那么长方体的表面积为2ab+2bc+2ac,体积为abc, O1因基础 02提能力 知识点1用字母表示数 5.若m表示一个三位数，n表示一个一位数， 1.小红要购买珠子穿一条手链， 把m放到n的左边组成一个四位数，则这个 灰色珠子每个元，白色珠子 数可以表示为 () 每个b元，要穿成如图所示的 第1题围 A.mn B.10m+n C.100m+n D.1000m+n 手链，小红购买珠子需花费 6.“圆形方孔钱”是中国古代钱币的突出代表.如 A.(3a+4b)元 B.(4a+3b)元 图所示的一枚古钱币的正面是一个半径为x C.4(a十b)元 D.3(a十b)元 的圆，中间有一个边长为a的正方形孔，则这 2.(1)某校计划给每个年级配发n套劳动工 枚古钱币一面的面积为 具，则3个年级共需配发 套劳动 7.如下图，用火柴棍拼成一排由三角形组成的 工具 图形. (2)一个两位数，十位数字为a,个位数字为 2,则这个两位数为 知识点2用字母表示图形的周长、面积、体积 (1)如果图形中含有4个三角形，那么拼成 3.已知一个长方形的长为a,宽为b,则这个长 这个图形需要多少根火柴棍？如果图形中 方形的周长为 含有n个三角形，那么拼成这个图形需要多 A.a十bB.2ab C.ab D.2(a+b) 少根火柴棍？ (2)若图形中含有2025个三角形，并且每根 4.(教材变式)如图，直角三角尺中阴影部分的 火柴棍的长度为acm,则图形中所有火柴棍 面积可以表示为 的长度和为多少？ A.ab-πr B. 2 C.ab-2πr3 D. 9 -2r2 第4题围 第6题图 上册第三章 第2课时 代数式 要点提示 1.代数式的意义：像1十6，广，m,a-b)严等式子，它们部是用运算符号把教和字号连接而成的，这料的式子 叫作代数式。草独一个敲或一个字母也是代数式。 2.代数式的写法：(1)在代数式中，字母与数或字母与字号相乘时，通常把兼号写作“，”或省略不写，如3×写 作3a或3·a(但不能写作a3),(2)代数式中出现除法运算时，一：以分赵的形式表示，如st写作（≠0）， 3.代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果叫作代数式的懂 O1固基础念 。。。, 知识点3求代数式的值 6.当x=一1时，代数式3.x十1的值是() 知识点1代数式的定义及表示 A.-4 B.-2C.2 D.4 1.下列各式不是代数式的是 7.若x满足x3+3x-5=0,则代数式2x2+ A.S-πR B.0 6x-3的值为 () c D.m十n A.5 B.7 C.10 D.-13 2.下列代数式符合书写要求的是 8.按如图所示的运算程序，当输入的x的值为 81 一2时，输出的y的值为 () A.ab3 是 -x+5 C.a+4 D.a÷b 输出y 3.(2024广安}下列对代数式-3x的意义表述 第8题图 正确的是 () A.4 B.6 C.8 D.10 A.一3与x的和 B.-3与x的差 9.已知|x+3|+(y-2)=0,则x+y= C.-3与x的积 D.一3与x的商 知识点2列代数式 10.一块三角尺的形状和尺寸如 4.(2024一2025南阳新野期中)如图，下列四个 右图所示，两直角边的边长 选项中，不能表示图中阴影部分面积的是 均为a,圆孔的半径为r. (1)求阴影部分的面积S. A.(x十a)(x+b)-bx (2)当a=8cm,r=2cm时，求S的值（元 B.x(x+a)+ab 取3.14) C.a(x+b)+x2 D.x2+(a十b)x 第4题图 5.某同学参加了7.5km健康 跑项目，他从起点开始以平均xkm/min的 速度跑了l0min,此时他离健康跑终点的路 程为 km(用含x的代 数式表示). 叔学七年级B$版 O2提能力念 16.小莹家最近购置了一套商品房，下图所示 的是这套商品房的平面图（单位：m). 1.设某数为，则代数式m。表示( (1)这套房子的总面积用式子表示为 A.某数的3倍的平方减去5除以2 m2. B.某数平方的3倍与5的差的一半 (2)若x=5,y=9,房价为每平方米0.8万 C.某数的3倍减5的一半 元，则购买这套房子共需要多少万元？ D.某数与5的差的3倍除以2 12.如图，用6m长的铝合金做成一个长方形 的窗框.设长方形窗框的横条长度为xm, 则长方形窗框的面积为 ( A.(6-z)x m B.(6-3x)xm C.(6-3r)zm 第12题图 D.(6-z)x m ②O3拓思维 4。。4。。4 13.当x=-1时，2ax2-3bx+8的值为18，则 17.国庆假期期间，某电影热映，公司组织员工 12b十8a-4的值为 去观影，该电影在某影院的原票价为每人 14.如图所示的是一个运算程序.若开始输入 40元，当观影人数超过30时，影院给出如 x的值为625，则第2025次输出的结果为 下两种优惠方案： 方案一：付费200元购买团购优惠卡后，票 价为每人25元： 输入 方案二：5人免票，其余每人按原价的九折 优患. 第14题因 (1)当观影的总人数是x(x>30)时，用代 15.(教材变式)填写下表，并观察两个代数式 数式分别表示方案一和方案二的收费 值的变化情况。 情况. 3 -2-1 (2)当观影的总人数是46时，采用那种方 2x+1 案更省钱？请说明你的理由. -x2+ (1)随着x的值由小变大，两个代数式的值 如何变化？ (2)一x2+4的值有最大值吗？有最小 值吗？ 上册第三章 第3课时整式 要点提示 1.单项式：①像，号，09版等，率是教与辛号的来积，这样的代数式叫作率项文.单独一个或一个害号 3 也是单项式.(2)一个单项式中的敷害因教叫作这个单项式的熏敲，所有宇母的指熟和叫作达个单项式的谈数 2.多项式：(1)几个单项式的和叫作多项式，在多项式中，年个单项式叫作多项式的项，其中木會字母的项叫作 常戴项，(2)一个多项式中，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数， 3.整式：单顶式和多项式统称为整式 O1固基础 7.下列说法中，错误的是 A.m是单项式也是整式 知识点①单项式及有关概念 1.在式子x+y,0,-3x2,y, 中，单项 B.2(m一n)是多项式也是整式 C,整式一定是单项式 式共有 D.整式不一定是多项式 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 8.(教材变式)下列代数式中，哪些是单项式？ 2.(2024-2025乐平期中)单项式-3xy的 哪些是多项式？哪些是整式？ x十y十x 系数是 3 w++ 0, 知识点2多项式及有关概念 x2-2x ,m,-2.01×10°. 3,有下列式子：2a6,3y-2y,ab, 24, 整式：( x十坚，b一其中是多项式的有 一m2x …} A.2个B.3个 C.4个 D.5个 单项式：{ …}； 4.对于式子2ab一ab十3a,下列说法错误的 多项式：{ …. 是 A.它是一个多项式 9.已知关于x的整式(k|一3)x3十(k一3)· B.它的次数是3 x2-k. C.它是三次三项式 (1)若此整式为单项式，求的值. D.它的各项系数分别为2,1,3 (2)若此整式为二次多项式，求k的值. 5.多项式一ax一1的次数是m,项数是n,则 (3)若此整式为二项式，求的值， n-m= 知识点3整式的概念 6.(2024一2025抚州金溪期中)在代数式-7， y客 一中，整式有( A.3个 B.4个C.5个 D.6个 叔学七年级B$版 易错点忽略π是常数而导致判断错误 16.已知一组有规律的单项式：一x,3x2,-5x3, 10.下列结论正确的是 ?x,….根据这组单项式，回答下列问题： A单项式宁的累数是次数是4 (1)这组单项式的系数依次为多少？它们 的绝对值的规律是什么？ B.单项式m的次数是1，无系数 (2)这组单项式的次数的规律是什么？ C在， ,0中有2个整式 (3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个 π4x 单项式是什么吗？ D.多项式2x3+xy+3是三次三项式 02提能力 11.下列说法正确的是 A整式a的系数为0B营十不是整式 C.一1不是单项式D.x一1是一次二项式 12.下列说法正确的是 A.单项式3ab的次数是1 0+4▣ 03拓思维) B.3a-2a2b十2ab是三次三项式 17.定义：如果代数式a1x2+b1x+c1(a1≠0， C单项武的系数是2 a1,b1,c1为常数)与a2x2十b2x十c2(ag≠ D.-4a2b,3ab,5是多项式-4a2b+3ab- 0,a8,b2,c2为常数)，满足a1十a2=0,b1十 5的项 b2=0,c1十c2=0,那么称两个代数式互为 13.多项式3.xmy2+(m十2)x2y-1是关于 “相关式” x,y的四次三项式，则m的值为 (1)直接写出一x2十2x一4的“相关式” (2)若-x2-18mx-3与x2-2nx+n互 14.若多项式3x-(a十1)x3+(b-2)x2-2x 为“相关式”，求(mn)205+m十n的值. 十3不含x3项和x项，则ab(a十1)= 15.若关于x的多项式mr+4x-号与多项式 3.x+5x的次数相同，求式子3n一4的值. 上册第三章(2)4+6-(-2×7)=24 11.D12.-6,513.67 14.解：1)原式=-1计2-16×(-号）×号 =-1+2+4 =5. @源式=-号×（一25+3×9》-2.25 =-号×2-225 =-0.4-2.25 =-2.65. 8原式=-8-（仔÷；-1）×(-) =-8-(×音)×(-》 -8-(-)×(-》 =-8- 15.解：(1)-12 (②)因为1÷2X6口9=-6，所以1X号×6口9=-6，所以 3☐9=-6，所以“口”内的符号是“-”. (3)这个最小数是一20. 16.解：(101111(2)1 (3)22-21-20-29-28-23-2=(22-21-20-…- 2-22-2-1)+(2+2+2+22+2+10-1+(32+16+ 8+4十2+1)=64. 第2课时用计算器进行运算 1.D2.(3.5-4.5)×32+4-53.C4.D5.B6.D 7.78.99…9600…04 9.解：2才42音422444222 (1)发现的规律是6…6×6…57-4…422 个 a-10个5 个4和：个2 (2)666666×666667=444444222222. 本章小结 1.B2.B 3 3解：0)负有理数集合：-11，一9，方，一6,4，一4%… (2)非负整数集合：{0，十12，…}. （3)正有理数集合：{8.6，十12，… 4.C 5.解：(1)规定向东为正，则向西为负.由题意可知，学校为原 点，表示的数为0，小明家表示的数为0.5，小兵家表示的数 为2，小英家所表示的数为一3，数轴如图所示 小英求 小 (2)0.5-(-3)=3.5(km). 故小明家距小英家3.5km, 6.D7.B8.A9.D 10.解：0原式=16+（一8》-号×9-56=16+（一8）-1- 256=-249. 原式-1+948-6x名-1+8-1-1. 11.解：(1)-0.1十0.5-0.8十0-0.2-0.3十0.4=-0.5(m), 所以永库的水位未超过警戒线。 (2)[-1-(-0.5)]÷(-0.2+0.1)=5(h, 听以水库需或水5h. 12.C13.C 第三章整式及其加减 1代数式 第1课时字母表示数 1.A2.(1)3m(2)10a+23.D4.B5.B6.xr2-a1 7.解：(1)当图形中含有1个三角形时，需要1十2=3（根）火柴 棍：当图形中含有2个三角形时，需要1十2×2=5（根）火柴 视：当图形中含有3个三角形时，需要1十3×2=7（根）火柴 棍：当图形中含有4个三角形时，需要1十4×2=9（根）火柴 棍：当图形中含有个三角形时，需装1十列·2=(2m 十1)根火柴棍. (2)当图形中含有2025个三角形时，火柴提有1+2×2025 =4051(根)， 所以图形中所有火柴棍的长度和为4051acm 第2课时代数式 1.A2.C3.C4.D5.(7.5-10x)6.B7.B8.B 9.-1 10.解：(1)因为两直角边的边长均为a,圆孔的半径为r, 所以s=4- (2)当a=8cm,r=2cm时， s-号×8-314×2=19.44cm. 11.B12.C13.3614.1 15解：填表如下： -3 -2-1 0 2 3 2x+1 7 44 -x2+4…-5 0 -54… (1)2x十1的值随若x的增大而增大：一x2+4的值在x一0 时最大，当x<0时，代数式的值随x的增大而增大，当x> 0时，代数式的值随x的增大而减小. (2)一x2十4的值有最大值，没有最小值 16.解：(1)(xy十6x十6y) (2)当x=5,y=9时，xy+6x+6y=5×9+6×5+6×9= 129(m2),129×0.8=103.2万元). 答：购买这套房子共需要103.2万元 17.解：(1)方案一收费(25x十200)元， 方案二收费40×90%(z一5)=(36z-180)元. (2)方案一更省钱.理由如下： 当x=46时，25z十200=25×46十200=1350（元）， 36x-180=36×46-180=1476(元). 因为13501476，所以方案一更省钱。 第3课时整式 1A2-号3B4D5-16B7C 8解蜜式（产，y,空产，0m,一2nXi,…小 m方 单项式：4红y,”2,0,m,-2.01×10… 多项式：之十y+: 3一，… 9.解：1)因为关于x的整式为单项式，所以|1一3=0且泰一3 =0,解得是=3. (2)因为关于x的整式为二次多项式，所以k1一3=0且一 3≠0，解得k=一3. 上册参考答案 173 (3)因为关于x的整式为二项式，所以有两种情况： ①1k|-3=0且一3≠0，解得k=-3:②k=0. 综上所述，k的值是-3或0. 10.D11.D12.B13.214.0 15.解：由题意，分以下两种情况讨论： ①当m=0时，多项式m+2-号=-是次数 是2， 所以刀=2，则3m一4=3×2一4=2： ②当n≠0时，多项式十-之的次数是4 所以n■4，则3m一4=3×4一4■8. 综上，式子3m一4的值为2或8. 16.解：(1)这组单项式的系数依次为一1,3，一5,7，…， (一1)”(2m一1)，它们的绝对值是从1开始的连续奇数，即 第n个系数的绝对值是2m一1(？为正整数)， (2)这组单项式的次数是从1开始的连续自然数， (3)第n个单项式是(-1)”(2n一1)x". 17.解：(1x2-2x+4. 2整式的加减 第1课时合并同类项 1.D2.A3.C4.D 5.解：根据题意，得m=0,n=一1. 原式=(2m2+2m2)十（一3mn十3mn)+(6n2+n2)=4m 十7n2. 当m=0,=一1时， 原式=4×02十7×(-1)2=7. 6.C7.-3(x-y)8.1 9.解：(1)由题意，得2a一1=1，解得4=1 (2)因为x2y-2nxy1=0,且a=1,所以(m-2m)xy=0. 因为x≠0，y≠0，所以m一2m=0, 所以(m一2m一1)2%+=(0-1)+1=(-1)2一1. 10.解：同意小明的观，点.理由：因为7a3-6ab十3a2b十3a*+ 6a3b-3a2b-10a8+2024=(7a°+3a3-10a8)+(-6a36 十6ab)十(3ab一3a6)+2024=2024,与a,b的值无关 所以小明的观点正确. 第2课时去括号 1.B2.C3.C4.4x2-4y9 5.解：原式=3xy-(6xy-6xy十2x3y) =3x°y-2x =x'y. 把x=-1,y=2025代人，得原式=（-1)×2025=2025. 6.44y 7.解：(1)<<> (2)因为b-c<0,a十b<0,c-4>0, 所以原式=c一b十（一4一b)一(c一4） =c-b-a一b-c十a =-2b. 8.解：(1)(3x2+6x+8)-(6x十5x2十2)=3x2十6x+8-6x -5x2-2=-2x2+6. (2)设“☐”是a,则原式=(ax3十6x十8)一(6x十5x2十2)■ ax2十6x+8-6x-5x”-2=(a-5)x2+6. 因为标准答案是常数， 所以a-5=0,解得a=5, 即原题中的“☐”是5. 第3课时整式的加减 1.B2.B 3.解：(1)原式=6x十4y-(x十2y一x十y) 174 数学七年级BS版 =6x+4y-x-2y+x-y =6x+y. (2)原式=-a+2ab-b2-2ab十4a2+362-3ab =3a2-3ah+262. 4.B5.-16.47.A 8.解：(1)②括号前是“一”，去指号时没有变号 (2)原式=15x2y十4xy2-4xy2-12xy =3xy. 当x=一2，y=3时，原式=3×(-2)3×3=36， 9.B10.-99a-1811.200-15x 12.解：(1)由题意可知，A-x2+2x一5=3x2-4x+7, 所以A=3x-4x+7十x2-2x十5=4x2-6x十12. (2)因为x是最大的负整数， 所以x=一1，所以A=4x2-6x十12=4×(-1)2一6X (一1)+12=22. 13.解：(1)6ab十2a-14 (2)由题意，得ab=1, 所以原式=6十2a-14=0, 所以a=4,所以名= (3)6a6+2a-14=(6b+2)a-14 因为无论字母：取何值，整式的值恒为一个常数，所以66 十2=0，解得6=-1 3 14.解：(1)3a-b (2)①(x-2)⊕4x=3(x一2)-4x=一x-6.当x=4时， (x一2)④4x=一4一6=-10. ②(m十n)⊕(-5m+7m)=3(m十n)一（一5m十7n)=3 十3n十5m-7n=8m-4n=4(2n-m).当2N-n=-2时， (m+n)⊕(-5m+7n)=4×(-2)=-8, 3探索与表达规律 1.C2.B3.14.C5.(2m+2)6.D7.12 8.D9.42410.(n+1)°-1=m(m+2) 11.解：(1)917 (2)4n+1 (3)第2025个图案中涂色小正方形的个数为4×2025十1= 8100+1=8101 12.解：(1)①十字框框出的5个数，上面的数比中间的数小12 下面的数比中间的数大12，左边的数比中间的数小2，右边 的数比中间的效大2。 ②5个数的和为20十30十32+34十44=160,160=32×5， 期十字框框出的5个数的和恰好为中间的数的5倍. (2)这5个数还有这种规律 (3)十字框框出的5个数的和为(a-12)十(a一2)十a十(a +2)+(a+12)=5a ☆问题解决策略：归纳 1.A2.2+1-2220-220 3.解：(1)填表如下： 层酸 1 3 、4 56 该层的总点致 1 612 18 2430 所有层的总点数 1 7 1937 6191 (2)6(n一1) (3)没有，理由：由题意，得6(n一1)=100， 因为100不能被6整除，所以n不是整数，所以没有一层的 总点数为100. 4.B 5解：a)1 1 十1