专题3.3导数与函数极值与最值讲义-2026届高三数学一轮复习

专题3.3 导数与函数极值与最值 目录 考点1 导数与函数的极值 0 题型1 求已知函数的极值 1 题型2 根据函数的极值求参 2 题型3 根据函数的极值点求参 3 题型4 函数的两极值点关系 4 题型5 函数图像与极值关系 4 考点2 导数与函数的最值 5 题型6 求已知函数的最值 6 题型7 根据函数的最值求参 7 题型8 函数单调性、极值与最值综合 8 考点1 导数与函数的极值 1、极值与极值点概念： 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 2、求可导函数极值的一般步骤 ⑴确定函数定义域 ⑵求导数； ⑶求方程的根； ⑷检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值 【注意】①使无意义的点也要讨论.即可先求出的根和使无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断. ②极大值点可以看成是函数单调递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值.极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值. 题型1 求已知函数的极值 【高考真题】 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【模拟真题】 1．（2025·广东·模拟预测）函数的极小值为 ． 2．（25-26高三上·重庆·开学考试）若函数 满足 ，且 ，则 的极大值是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数在处的切线与直线垂直，则的极小值为 ． 题型2 根据函数的极值求参 【高考真题】 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 2．（2025·上海·高考真题）已知． (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【模拟真题】 1．（2025·河北邢台·三模）已知函数的定义域为，为的导函数，且，，则的极大值为 .若恰有2个整数解，则实数的取值范围为 . 2．（2025·江苏镇江·模拟预测）若函数在上有极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·一模）已知为常数，函数存在极大值，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数既有极大值又有极小值，且在区间上单调，则的取值范围是 . 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型3 根据函数的极值点求参 【高考真题】 1．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； 2．（2021·全国乙卷·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则 【模拟真题】 1．（2025·重庆·三模）已知函数的一个极小值点为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海崇明·二模）已知，若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 3．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）若函数在区间上至少有2024个极值点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4 函数的两极值点关系 【高考真题】 1．（2022·全国乙卷·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 【模拟真题】 1．（2025·广东肇庆·二模）已知函数有两个极值点，则（    ） A．或 B． C．存在实数，使得 D． 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数有且只有两个极值点，记极值点为，则（    ） A． B．随的增大而减小 C．随的减小而减小 D．随的增大而增大 3．（2025·四川巴中·模拟预测）已知有两个极值点，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型5 函数图像与极值关系 【模拟真题】 1．（24-25高三下·重庆·开学考试）已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（   ） A．在处取最大值 B．是的极大值点 C．没有极小值点 D．可能不是导函数的极大值点 2．（2025·广东·一模）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 3．（2025·海南海口·模拟预测）是定义在区间上的函数，其导函数的图象如图所示，则在区间内（   ） A．函数有三个极值点 B．函数的单调增区间为 C．函数的最大值可能为 D．函数的最小值可能为 考点2 导数与函数的最值 1、求函数在上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴ 求函数在内的极值； ⑵ 将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 2、“最值”与“极值”的区别和联系 （1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性． （2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一； （3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 （4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 题型6 求已知函数的最值 【高考真题】 1．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）函数的最小值为 . 2．（2022·全国乙卷·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的最大值； 【模拟真题】 1．（2025·河南驻马店·模拟预测）函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北黄冈·三模）已知函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示．已知这两个函数图象恰有一个公共点，则下列说法正确的是（   ）    A．函数的最大值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 4．（2025·湖南湘潭·一模）函数 的值域为 ． 题型7 根据函数的最值求参 【高考真题】 1．（2022·全国甲卷·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 2．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数和有相同的最小值． (1)求a； 【模拟真题】 1．（2025·新疆·三模）已知函数，若在区间上有最大值，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·二模）已知，函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江宁波·三模）已知函数，其中，5为的极小值点.若在内有最大值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川自贡·三模）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏宿迁·二模）若函数有最大值，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型8 函数单调性、极值与最值综合 【高考真题】 1．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（   ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【模拟真题】 1．（2025·北京·模拟预测）已知函数，则（   ） A．函数没有零点 B．函数有最小值 C．在上单调递增 D．存在，对任意，有 2．（25-26高三上·山西·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．当时，只有极大值，无极小值 B．若函数在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．当时，函数在区间内取到最大值，则实数的取值范围为（-3，-1） D．不存在实数，使得函数在区间（-1，1）内既有最大值又有最小值 3．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知，则（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值 B．若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 4．（2025·全国·模拟预测）已知函数，则（    ） A．若是的极小值点，则在上单调递减 B．若存在极值点，且（其中），则 C．若，过点作函数的切线最多有2条 D．若在上的最大值为，则的最小值为2 5．（2025·福建·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．对任意的实数，，函数恒有两个极值点 B．设，为的极值点，则 C．当时，若在上有最大值，则 D．若，则 6．（2025·四川·三模）已知是函数的极大值点，则（   ） A．函数的极小值为0 B．若，则 C．若，则有3个相异的零点 D．若（其中），则 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 导数与函数极值与最值 目录 考点1 导数与函数的极值 0 题型1 求已知函数的极值 1 题型2 根据函数的极值求参 3 题型3 根据函数的极值点求参 10 题型4 函数的两极值点关系 13 题型5 函数图像与极值关系 19 考点2 导数与函数的最值 21 题型6 求已知函数的最值 21 题型7 根据函数的最值求参 25 题型8 函数单调性、极值与最值综合 31 考点1 导数与函数的极值 1、极值与极值点概念： 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 2、求可导函数极值的一般步骤 ⑴确定函数定义域 ⑵求导数； ⑶求方程的根； ⑷检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值 【注意】①使无意义的点也要讨论.即可先求出的根和使无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断. ②极大值点可以看成是函数单调递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值.极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值. 题型1 求已知函数的极值 【高考真题】 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； 【答案】(1)极小值为，无极大值. 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 【模拟真题】 1．（2025·广东·模拟预测）函数的极小值为 ． 【答案】3 【分析】先求导，再根据导数正负判断单调性确定极值即可． 【详解】易得， 故当时，，单调递减； 时，，单调递增． 故的极小值为． 故答案为：3． 2．（25-26高三上·重庆·开学考试）若函数 满足 ，且 ，则 的极大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意构造函数，结合可得，求出C，进而求出的解析式，结合导数与极值的关系，即可求得答案. 【详解】函数 满足 ，故令， 则，故， 由得，故， 则可得，故， 故，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故的极大值为， 故选：B 3．（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数在处的切线与直线垂直，则的极小值为 ． 【答案】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出，再求出极小值. 【详解】函数，求导得，依题意，，解得， 令，解得，则当时，；当时，， 所以的极小值为. 故答案为： 题型2 根据函数的极值求参 【高考真题】 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 【答案】 (3). 【分析】 (3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围. 【详解】（3）由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令， 则， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为， 令，则， 函数在定义域内单调递增，， 据此可得恒成立， 则， 由一次函数与对数函数的性质可得，当时， ， 且注意到， 根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调减， 当时，，单调递增， 所以. 令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以 ， 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数得取值范围是. 2．（2025·上海·高考真题）已知． (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】 (2)且. 【分析】 （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】 （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 【模拟真题】 1．（2025·河北邢台·三模）已知函数的定义域为，为的导函数，且，，则的极大值为 .若恰有2个整数解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据求导法则逆向求出，即可根据单调性求出极值，结合单调性可得即可求出. 【详解】由，，可得， 即，故，为常数， 又，解得，故，， 则， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值； 由可得，， 因为，且在上单调递减，所以， 所以要使恰有2个整数解，则整数解为2，3， 所以，即，化简得， 故实数的取值范围为. 故答案为：； 2．（2025·江苏镇江·模拟预测）若函数在上有极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数在某区间有极值等同于其导数在该区间有变号零点，之后分离参数结合二次函数的性质可得. 【详解】， 因为函数在上有极值，说明其导数在内有变号零点， 即方程在内有解，且解两侧导数符号不同， 令，则在有解，且不能是重根. 分离参数可得， 令，则， 所以，所以， 当时，，仅在处， 故在上单调递减，无极值. 所以的取值范围是. 故选：C. 3．（2025·四川成都·一模）已知为常数，函数存在极大值，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定定义域，根据存在极大值，确定其导函数存在零点且零点处由正变负，对其二次求导通过的正负确定的单调性从而确定的取值范围进而可解不等式. 【详解】因为存在，所以要求，故函数的定义域为， 因为函数存在极大值，所以其导数需存在零点，且零点处由正变负， 求导得：， 令，即.二阶导数， 当时，在定义域上恒成立，所以在上单调递增， 此时函数可能存在极小值或无极值，不存在极大值，不符合题意； 当时，时，即，时，即； 故在区间上单调递减，在区间上单调递增；故的极小值为， 若函数存在极大值，则，故，所以， 又因为，所以，故化简为，所以. 故选：D 4．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数既有极大值又有极小值，且在区间上单调，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题可得既有极大值又有极小值，求导确定导函数的根列不等式组即可得的取值范围，再根据函数的单调性确定函数在区间上单调递减或在区间上单调递增时，列不等关系即可求得的取值范围. 【详解】由题意得，且既有极大值又有极小值， 故有两个不相等的实数根， 即，解得或. 设， 若在区间上单调递减，则需满足，解得. 若在区间上单调递增，则或 解得无解或. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，并得到恒成立，再令，求出，分，和三种情况进行分析，得到时，满足0是的极小值点，求出的取值范围. 【详解】， 因为是函数的极小值点，所以恒成立， 令，则， ， 当时，，即在附近单调递增， 又，所以当时，在附近， 当时，在附近，满足0是的极小值点； 当时，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以单调递增，此时无极小值点； 当时，，即在附近单调递减，又， 所以当时，在附近， 当时，在附近， 此时0是的极大值点，不符合题意． 综上所述：的取值范围为． 故选：D 题型3 根据函数的极值点求参 【高考真题】 1．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； 【答案】（1）； 【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数； 【详解】（1）由，， 又是函数的极值点，所以，解得； 2．（2021·全国乙卷·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项. 【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 3．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则 【答案】 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 【模拟真题】 1．（2025·重庆·三模）已知函数的一个极小值点为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据绝对值的性质将函数写成分段函数的形式，再对其求导，结合极小值点的性质来确定实数的取值范围. 【详解】已知，根据绝对值的性质， 当时，，此时； 当时，，此时. 所以. 对分段函数求导， 当时，，对其求导，可得； 当时，，对其求导可得. 因为是函数的一个极小值点，所以在左侧附近，在右侧附近. 当时，，令，即，解得； 当时，，令，即，解得. 要使是极小值点，则需满足，解这个不等式，得. 所以实数的取值范围是. 故选：A. 2．（2025·上海崇明·二模）已知，若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析分段函数的单调性，由题意得到对应结论，然后建立不等式组，求得实数a的取值范围. 【详解】∵二次函数开口向下，是极大值， 一次函数，当时，函数是单调函数，没有极值点， 要想函数有两个极值点，则这两个极值点为和， 又∵函数在上单调递减，∴在上递增. ∴，∴. 故答案为： 3．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得在内有两个不等实根，求解即可. 【详解】由题意，由，可得 函数有两个极值点，即方程在内有两个不等实根， 即函数与在上有两个交点， 因，，， 所以，解得. 故选：A. 4．（2025高三·全国·专题练习）若函数在区间上至少有2024个极值点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据极值点的概念，结合正弦函数型图象特征，构造不等式计算即可. 【详解】由，得，即，． 所以第2024个极值点为，令，得． 故选：C． 题型4 函数的两极值点关系 【高考真题】 1．（2022·全国乙卷·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点 因为，所以方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时，，即图象在上方 当时，，即图象在下方 ，图象显然不符合题意，所以． 令，则， 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 则有，解得，则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为． [方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 =0的两个根为 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则， 若，则在上单调递增，此时若， 则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数 且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解； 法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法． 【模拟真题】 1．（2025·广东肇庆·二模）已知函数有两个极值点，则（    ） A．或 B． C．存在实数，使得 D． 【答案】BD 【分析】A，B选项，两个极值点问题，转化为导函数两个异号零点问题；通过复合函数换元，将导函数转化为对勾函数或二次函数，利用对勾函数和二次函数的图象与性质快速的求解； C选项，解法1：先利用整体代入法，消，再利用单调性证明；解法2：利用为极小值点，通过证明； D选项，利用消元，转化为，利用单调性证明； 【详解】易知， 令，则. 令，则.设， 由对勾函数的图象可知： 当时，与的图象有两个交点， 因为，故不成立，故A错误； 设，则①， 设为①式的两根，则，即②， ③. 由③式可知，所以，则， 故B正确； 解法1：由②式可知， 令， 则， 则在上单调递减，所以， 故，所以不存在实数使得，故C错误； 解法2：，，， 可得为区间的极小值点，则必有，故C错误； 由③式可知，所以， 要证 ， 仅需证明成立. 令，则. 则在上单调递增，所以， 故，故D正确. 故选：BD. 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数有且只有两个极值点，记极值点为，则（    ） A． B．随的增大而减小 C．随的减小而减小 D．随的增大而增大 【答案】BD 【分析】先把函数有且只有两个极值点转化为有且只有两不等实根，进而得出有两个根，再构造函数应用导函数得出函数的单调性进而分别判断各个选项. 【详解】由函数有且只有两个极值点，得导函数有且只有两个不同零点，函数的定义域为， 令，可得，因为函数有两个零点，即有两个根， 设，此时直线与函数的图象有两个交点，可得， 当时，，单调递增；当时，单调递减，所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值， 当时，；当时，， 因为直线与函数的图象有两个交点，所以，故A错误； 因为函数有两个零点，此时，当增大趋近于时，随之增大，趋近于1，而随之减小，也趋近于1， 则减小，所以随的增大而减小，故B正确； 当增大趋近于时，；当减小趋近于0时，，所以，所以不随的减小而减小，故C错误； 因为，所以①，不妨令，则②，联立①②，解得， 所以，不妨设，函数定义域为，可得，不妨设， 函数定义域为，可得，在，函数定义域为，可得， 所以函数在上单调递减，此时，即函数在上单调递减，此时，即， 所以函数在上单调递减，则随着的增大而减小， 知随着的增大而减小，所以随着的增大而增大，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数，根据导函数的单调性结合各个选项分别计算判断. 3．（2025·四川巴中·模拟预测）已知有两个极值点，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先求，则有两个不同的根，再将分离参数得到，可以找到相应的两个函数和，则这两个函数的图象有两个不同的交点，这两个交点的横坐标，再利用的增减性求出的最大值，利用图象得到的取值范围及的范围，再将代入中，得到的双变量的等式，通过换元，设，由得到，得到，从而得到，构造函数，利用的单调性求出的最大值，即得到的取值范围，再利用在上是增函数，得到的最大值，从而得到的取值范围. 【详解】，，有两个极值点，有两个不同的根，变形为， 设，，则两个函数和有两个不同的交点，，，解得，在上是增函数；解得，在上是减函数；在处取得最大值，的最大值为.当时，；当时，；当时，恒成立；当时，.两个函数和有两个不同的交点，；在直角坐标系中画出和的图象，    结合图象可知，这两个函数图象的交点的横坐标就是，又，则 ，，，，设，，，，，，，设，，设，，，，在上是减函数，， ，在上是减函数，，，在上是增函数； ，时取最大值，且的最大值为，综上可知. 故选：D 题型5 函数图像与极值关系 【模拟真题】 1．（24-25高三下·重庆·开学考试）已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（   ） A．在处取最大值 B．是的极大值点 C．没有极小值点 D．可能不是导函数的极大值点 【答案】ACD 【分析】根据的图象，先分析出的正负性，即可得的单调性，从而可判断A，B，C，再由和时，，而不一定等于0，可判断D. 【详解】当时，， 函数单调递增， 同理可得：当时，，函数单调递减， 所以为函数的极大值， 当时，，函数单调递减， 当时，函数单调递减， 所以函数在上单调递减， 从而在处取最大值，且没有极小值点，故A,C正确，B错误； 又和时，， ，而在时等于0，所以不一定等于0， 当时，是导函数的极大值点， 当时，不是导函数的极大值点，所以D正确. 故选：ACD. 2．（2025·广东·一模）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 【答案】C 【分析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的极值以及函数的单调性，推出结果． 【详解】解：由导函数的图象可知：导函数在，导函数的符号为正，函数单调递增，A正确； 时，，函数单调递增，，，函数单调递减， 所以是的极大值点，B正确； 在区间上单调递减，D正确； 当时，函数单调递增，可能，所以C不正确； 故选：C． 3．（2025·海南海口·模拟预测）是定义在区间上的函数，其导函数的图象如图所示，则在区间内（   ） A．函数有三个极值点 B．函数的单调增区间为 C．函数的最大值可能为 D．函数的最小值可能为 【答案】BC 【分析】利用导数图象分析函数的单调性，结合极值与最值与导数的关系逐项判断即可. 【详解】对于AB选项，由图象可知，当或时，，当时，. 所以，函数的减区间为、，增区间为， 所以，函数只有两个极值点，A错， 函数的单调增区间为，B对； 对于CD选项，函数的最大值可能为，C对， 因为函数在上单调递减，则，故函数的最小值不可能为，D错. 故选：BC. 考点2 导数与函数的最值 1、求函数在上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴ 求函数在内的极值； ⑵ 将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 2、“最值”与“极值”的区别和联系 （1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性． （2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一； （3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 （4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 题型6 求已知函数的最值 【高考真题】 1．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）函数的最小值为 . 【答案】1 【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值. 【详解】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 2．（2022·全国乙卷·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值. 【详解】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D 3．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的最大值； 【答案】(1) 【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； 【详解】（1）当时，，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以； 【模拟真题】 1．（2025·河南驻马店·模拟预测）函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数判断函数的单调性，进而可求得最大值. 【详解】，， ，，即， 在上单调递增，. 故选：D. 2．（2025·湖北黄冈·三模）已知函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由解析式可分析得到的一个周期为，则只需考虑在上的值域即可，利用导函数求得其最值即可. 【详解】由题的一个周期为，故只需考虑在上的值域， ， 当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此的极小值为，极大值为， 又易知，所以函数在上的值域为， 结合函数的最小正周期为，所以函数的值域为 所以的最小值为， 故选：B 3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示．已知这两个函数图象恰有一个公共点，则下列说法正确的是（   ）    A．函数的最大值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 【答案】C 【分析】AB选项，先判断出虚线部分为，实线部分为，求导得到在上单调递增，AB错误；再求导得到的单调性，得到C正确，D错误． 【详解】AB选项，由题意可知，两个函数图象都在轴上方，任何一个为导函数， 则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，实线部分为， 故恒成立， 故在上单调递增，则AB显然错误； 对于CD，， 由图象可知时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，也为最大值，且，C正确，D错误． 故选：C 4．（2025·湖南湘潭·一模）函数 的值域为 ． 【答案】 【分析】换元，化简得，再换元得， 令，利用得出的最大值与最小值，进而得到的值域 【详解】 令，则， 由于是奇函数且周期为，只需考虑 （值域对称）. 令，，则，（时，） 变为 令 对求导得： ， 令，得或， 当时，， 当时，， 当时， 的最大值是， 的最大值为 由于是奇函数， 故最小值为， 值域为 故答案为： 题型7 根据函数的最值求参 【高考真题】 1．（2022·全国甲卷·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出． 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 2．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数和有相同的最小值． (1)求a； 【答案】(1) 【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论. 【详解】（1）的定义域为，而， 若，则，此时无最小值，故. 的定义域为，而. 当时，，故在上为减函数， 当时，，故在上为增函数， 故. 当时，，故在上为减函数， 当时，，故在上为增函数， 故. 因为和有相同的最小值， 故，整理得到，其中， 设，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上，. 【模拟真题】 1．（2025·新疆·三模）已知函数，若在区间上有最大值，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论取绝对值，得出函数的解析式，然后分别求导，判断在每个分段区间上的单调性即可得出答案. 【详解】当时，， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以在处取得极大值， 若在区间上有最大值，只需即可，解得； 当时，， ，显然此时，单调递减，不存在有最大值的开区间； 当时，， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以在处取得极小值， 此时也不存在最大值的开区间， 故选：D. 2．（2025·湖北·二模）已知，函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数和，求导，结合零点存在性定理可得为方程的两个实数根，所以，，．进而建立间的等量关系，化简，构造函数，求导即可求解.或者将不等式变形为，作出函数，，的大致图象，根据图象可得为方程的两个根，即可根据解法一求解. 【详解】由题意得的定义域为．设， 则，令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 又当时，，当时，， 所以在内有两个零点，设为， 则当时，，当时，． 设， 由，得当时，， 当时，，则为方程的两个实数根， 所以，，． 又，，所以，， 所以， 即，则，所以． 易知，，故， 设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故的最小值为． 解法二 由，，， 得． 在同一平面直角坐标系中作出函数，，的大致图象， 数形结合可知，若， 则与，的图象的两个交点重合， 如图，设这两个交点分别为，则为方程的两个实数根， 所以，，． 易知为方程的两个实数根，所以，， 以下同解法一． 故选：C. 3．（2025·浙江宁波·三模）已知函数，其中，5为的极小值点.若在内有最大值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导得，结合研究的区间单调性，进而确定极值点，再由区间存在最大值得，即可求范围. 【详解】由题设， 由，所以， 当或时，，即在、上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以极小值点为，极大值点为， 而， 且， 所以，只需，即， 所以. 故选：D 4．（2025·四川自贡·三模）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导，分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】由， 则， 令，得或， 当，即时，， 函数在上单调递增，此时在上没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，则在没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又， ， 要使在有最大值， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 5．（2025·江苏宿迁·二模）若函数有最大值，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求出函数在上的极大值，根据函数有最大值可得出关于实数的不等式组，即可得出实数的最大值. 【详解】当时，，则， 当时，，此时，函数单调递增， 当时，，此时，函数单调递减， 则函数在处取得极大值，且极大值为， 因为函数函数有最大值，则，解得， 因此，实数的最大值为. 故选：. 题型8 函数单调性、极值与最值综合 【高考真题】 1．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（   ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值 【答案】B 【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合与已知条件矛盾；D选项由集合的定义找到矛盾. 【详解】对于A选项：时，， 当时，， 任意的，恒成立， 若时偶函数，此时矛盾，故A选项错误； 对于B选项：若函数图像如下： 当时，，时，，当，， ∴存在在处取最大值，故B选项正确； 对于C选项：在时，若函数严格递增，则集合的取值不会是， 而是全体定义域，故C选项错误； 对于D选项：若存在在处取到极小值，则在在左侧存在，，与集合定义矛盾，故D选项错误. 故选：B 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 【模拟真题】 1．（2025·北京·模拟预测）已知函数，则（   ） A．函数没有零点 B．函数有最小值 C．在上单调递增 D．存在，对任意，有 【答案】B 【分析】根据判断A；利用导数判断函数单调性、求出函数最小值可判断BC；根据函数没有最大值判断D. 【详解】因为函数，， 所以函数至少有一个零点，A错误； 所以， 令，可得， 时，在上递减； 时，在上递增； 故在R上不单调递增，C错误； 所以时，有最小值，B正确； 因为的增长速度大于的增长速度，所以时，， 故不存在，对任意，有，D错误. 故选：B. 2．（25-26高三上·山西·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．当时，只有极大值，无极小值 B．若函数在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．当时，函数在区间内取到最大值，则实数的取值范围为（-3，-1） D．不存在实数，使得函数在区间（-1，1）内既有最大值又有最小值 【答案】BD 【分析】利用导数研究函数的单调性，判断极值和最值，进而分析各选项，即得答案. 【详解】对于A：当时，，， 当时，，当时，，当时，， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，A错误； 对于B：， 当时，恒成立（当且仅当时取等号），单调递增无极值； 当时，时，，单调递增；时，，单调递减； 时，，单调递增，所以当时，取得极小值； 当时，时，，单调递增；时，，单调递减； 当时，，单调递增；所以当时，取得极大值；B正确； 对于C：当时，，， 当时，，当时，，当时，， 所以当时取得极大值，因为为开区间，且 所以若函数在区间取得最大值，则，解得，C错误； 对于D：由B分析可知，时，函数在无最值； 当时，若函数在内既有最大值又有最小值，则， 即，不等式组无解； 当时，若函数在内既有最大值又有最小值，则， 即，不等式组无解； 综上，不存在实数，使得函数在内既有最大值又有最小值.D正确. 故选：BD. 3．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知，则（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值 B．若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 【答案】ABD 【分析】先求导，按、、三种情况讨论的单调性，再逐一判断即可. 【详解】由题意得， 若，即时，得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，得或；得， 在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，，则在上单调递增； A选项，当时，在处取极大值，在处取极小值，故A正确； B选项，若在处取到极大值，则，故B正确； C选项，当时，在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取极大值，在处取极小值， 又，则， 又在区间内取到最大值，则且， 即，故C错误； D选项，若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 当时，，故，故这样的不存在； 若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 则，故，故这样的不存在； 若，则在区间内既无最大值又无最小值； 综上可知，不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值，故D正确. 故选：ABD 4．（2025·全国·模拟预测）已知函数，则（    ） A．若是的极小值点，则在上单调递减 B．若存在极值点，且（其中），则 C．若，过点作函数的切线最多有2条 D．若在上的最大值为，则的最小值为2 【答案】BD 【分析】对函数求导，分析导数的变号零点即可得到A选项；确定极值点，根据，因式分解即可得到B选项；求导写出切线方程，代入点化简求导即可得到C；根据最大值的定义，求出边界值，即可得到D. 【详解】由题，因为是的极小值点， 所以,则或， 当时，，则函数无极值点； 当时，得或， 则函数在上单调递增，故A错误； 若存在极值点，则，又（其中）， 所以，所以， 所以，故B正确； 若，设切点为，则切线方程为, 因为过点，所以， 即，令，则， 所以，而， 所以有三个零点，即切线最多有条，故C错误； 若在上的最大值为， 则， ，因为， 所以 所以，故D正确. 故选：BD. 5．（2025·福建·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．对任意的实数，，函数恒有两个极值点 B．设，为的极值点，则 C．当时，若在上有最大值，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】对于A，利用导函数有两个变号零点即可判断；对于B，利用A项结论写出韦达定理，化简所求式求其值域即可判断；对于C，在时，讨论函数的单调性和变化趋势，由推得进行判断；对于D，化简计算得到，即可求出的值 【详解】因函数的定义域为，求导得. 对于A，由，知函数恒有两个变号零点，故函数恒有两个极值点，故A正确； 对于B，由A分析，，， 则，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，当时，， 当或时，，当时，， 故在和上单调递增，在上单调递减， 则，1分别是的极大值点和极小值点，因在上有最大值， 且，故有，故C错误； 对于D， ，则有，解得，故D正确. 故选：AD. 6．（2025·四川·三模）已知是函数的极大值点，则（   ） A．函数的极小值为0 B．若，则 C．若，则有3个相异的零点 D．若（其中），则 【答案】ACD 【分析】根据题意，求得，得到，求得，得出函数的单调性与极值（点），可判定A正确；当时，得到，结合函数的单调性，可判定B错误；作出函数的图象，结合图象，可得判定C正确；根据题意，转化为证明，构造，利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】对于A中，由函数，可得， 因为是的极大值点，所以，解得， 所以，可得， 当时，，单调递增；当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以函数的极大值点为，极小值点为0，所以A正确； 对于B中，当时，，则， 因为在区间上单调递减，所以，所以B错误； 对于C中，由，且当时，，当时，， 可得的图象，如图所示， 当时，有3个相异零点，所以C正确； 对于D中，因为，要证，只需证明， 由在上单调递增，需证明， 即当时，证明， 构造函数（其中）， 则， 当时，，则在上单调递增， 所以，即当时，， 所以，所以，所以D正确． 故选：ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $