专题2.4指数与指数函数讲义-2026届高三数学一轮复习

专题2.4 指数与指数函数 目录 考点1 指数与指数幂的运算 0 题型1 根式的化简求值 1 题型2 指数幂的化简求值 2 考点2 指数函数的概念 2 题型3 指数函数的定义域与解析式 3 题型4 指数函数的值域 3 题型5 指数函数恒过定点 4 题型6 复合指数函数的图像问题 4 题型7 比较指数幂的大小 6 考点3 指数函数的性质综合 7 题型8 指数函数的单调性与单调区间 7 题型9 指数函数的最值 8 题型10 指数函数的奇偶性 9 题型11 指数函数的综合性质 9 题型12 根据指数函数综合性质解不等式 10 题型13 指数函数综合大题 11 考点1 指数与指数幂的运算 (1)根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. (3)指数的概念： 指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂； ②零指数幂； ③负整数指数幂，； ④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 题型1 根式的化简求值 1．（2025高三·全国·专题练习）与都等于a．( ) 2．（24-25高三上·山东潍坊·期末）计算： 3．（2025高三·全国·专题练习）化简：． 题型2 指数幂的化简求值 1．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知，则 . 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，则 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）（1）求值：； （2）已知，求的值； （3）求值：； （4）求值：. 考点2 指数函数的概念 (1)指数函数概念 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. (2)图像与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过点 单调性 是上的增函数 是上的减函数 函数值的变化 当值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0. 当值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0； 当值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大. 题型3 指数函数的定义域与解析式 1．（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）设是的二次函数，，且，求函数和的解析式． 3．（25-26高三上·全国·单元测试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型4 指数函数的值域 【高考真题】 1．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ； 【模拟真题】 1．（25-26高三上·重庆·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·四川广安·开学考试）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域． 题型5 指数函数恒过定点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（，）的图象经过点，那么这个函数的图象也必定经过点（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）对，且，的图象过定点A，则点A的坐标为 ． 3．（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 题型6 复合指数函数的图像问题 【高考真题】 1．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【模拟真题】 1．（2025·河南·三模）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   3．（25-26高三上·云南·阶段练习）函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 题型7 比较指数幂的大小 【高考真题】 1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2020·全国II卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【模拟真题】 1．（2025·贵州·模拟预测）设正数x，y，z满足，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·模拟预测）已知，则（　　） A．不可能是最小值 B．不可能是最小值 C．不可能是最大值 D．不可能是最大值 考点3 指数函数的性质综合 题型8 指数函数的单调性与单调区间 【高考真题】 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【模拟真题】 1．（2025·广东广州·模拟预测）若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上为单调函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河北衡水·阶段练习）函数且是上的单调递减函数，则的取值范围是 . 题型9 指数函数的最值 1．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知函数的最大值为2025，则的值为（   ） A． B．-1 C．1 D．或-1 2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A．-4 B．0 C．32 D．60 3．（2025·北京大兴·三模）已知函数.若的最小值为，则的一个取值为 ；的最大值为 ． 题型10 指数函数的奇偶性 【高考真题】 1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【模拟真题】 1．（25-26高三上·山西·阶段练习）已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．1 B．3 C． D． 2．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）若函数（k为常数）在定义域上为奇函数，则 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是奇函数，且当时，，若，则 ． 题型11 指数函数的综合性质 1．（25-26高三上·山西·阶段练习）已知函数的定义域为，其图象关于直线对称且，当时，，则下列说法不正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．函数在上单调递增 C．函数的图象关于直线对称 D． 2．（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数，则（　　） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为上的减函数 D．无最值 3．（2025·福建三明·模拟预测）随着人工智能的爆火，其已被广泛地用来实现语义分析、计算推理、问答对话、代码编写等任务，其实现指令的背后主要靠大语言模型算法，其中函数：是算法中被广泛使用的一种激活函数．激活函数的一个重要作用是执行数据的归一化，将输入数据映射到某个范围内，再往下传递，这样做的好处是可以限制数据的扩张，防止数据过大导致的溢出风险．函数是函数的改进版，，那么下列说法正确的是（    ） A．函数可以将所有输入值映射到范围内 B．函数和函数图象的对称中心相同 C．复合模型函数有偶数个零点 D．函数和函数的图象仅有一个公共点 4．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．在区间上单调递减 C． D． 题型12 根据指数函数综合性质解不等式 1．（2025高三上·四川·学业考试）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河北保定·阶段练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）设，若满足恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型13 指数函数综合大题 1．（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数. (1)若为奇函数，求； (2)求. 2．（25-26高三上·福建莆田·开学考试）已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数、的解析式； (2)设，，对于，都有，使得，求实数的取值范围． 3．（2025·辽宁沈阳·一模）已知函数是定义域为的奇函数，. (1)求的值； (2)用定义法证明的单调性； (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 指数与指数函数 目录 考点1 指数与指数幂的运算 0 题型1 根式的化简求值 1 题型2 指数幂的化简求值 2 考点2 指数函数的概念 4 题型3 指数函数的定义域与解析式 5 题型4 指数函数的值域 6 题型5 指数函数恒过定点 8 题型6 复合指数函数的图像问题 9 题型7 比较指数幂的大小 12 考点3 指数函数的性质综合 16 题型8 指数函数的单调性与单调区间 16 题型9 指数函数的最值 18 题型10 指数函数的奇偶性 20 题型11 指数函数的综合性质 22 题型12 根据指数函数综合性质解不等式 25 题型13 指数函数综合大题 28 考点1 指数与指数幂的运算 (1)根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. (3)指数的概念： 指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂； ②零指数幂； ③负整数指数幂，； ④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 题型1 根式的化简求值 1．（2025高三·全国·专题练习）与都等于a．( ) 【答案】错误 【分析】根据为奇数或偶数和的正负进行分析，即可判断. 【详解】对于， 当为偶数时，若，则，若，则， 当为奇数时，若，则， 对于， 当为偶数时，要使有意义，则，此时， 当为奇数时，若，则. 故答案为：错误. 2．（24-25高三上·山东潍坊·期末）计算： 【答案】 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，准确化简，即可求解； 【详解】由指数幂的运算法则得：原式. 故答案为：. 3．（2025高三·全国·专题练习）化简：． 【答案】 【分析】将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得. 【详解】 ． 题型2 指数幂的化简求值 1．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【分析】利用完全平方公式和立方和公式对已知条件变形化简计算求解即可. 【详解】因为， 所以，即， 因为，所以， 因为， 所以. 故答案为：. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意结合平方关系可得，，代入即可得结果. 【详解】因为，两边同时平方得，即， 对两边同时平方得，即， 所以． 故答案为：. 3．（2025高三·全国·专题练习）（1）求值：； （2）已知，求的值； （3）求值：； （4）求值：. 【答案】（1）32；（2）；（3）73；（4） 【分析】（1）（3）（4）根据指数的运算即可求出答案，（2）通过，及即可求结果. 【详解】（1）原式； （2）由， ∵，∴，， ∴. 故. （3） . （4） . 考点2 指数函数的概念 (1)指数函数概念 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. (2)图像与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过点 单调性 是上的增函数 是上的减函数 函数值的变化 当值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0. 当值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0； 当值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大. 题型3 指数函数的定义域与解析式 1．（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出各选项中函数的定义域，可得出合适的选项． 【详解】对于A选项，函数的定义域为； 对于B选项，由，得，故函数的定义域为； 对于C选项，函数的定义域为； 对于D选项，函数的定义域为． 故选：B． 2．（2025高三·全国·专题练习）设是的二次函数，，且，求函数和的解析式． 【答案】，． 【分析】设，根据，得到，比较系数，得到方程组，求出答案. 【详解】设，则． 由得：， 即， 即，这是关于的恒等式， 比较系数得，解得， 所以，． 3．（25-26高三上·全国·单元测试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义域及指数函数定义域计算求解. 【详解】由题意得，即得，解得． 故选：A. 题型4 指数函数的值域 【高考真题】 1．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ； 【答案】 【分析】分段讨论的范围即可. 【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知， 当 时, . 综上: 的值域为 . 故答案为：. 【模拟真题】 1．（25-26高三上·重庆·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出，继而结合指数函数的单调性，即可求得答案. 【详解】令，则，当时取等号， 又为R上的单调递增函数，故，即， 故函数的值域为， 故选：D 2．（25-26高三上·四川广安·开学考试）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数单调性得到值域. 【详解】，又在R上单调递减， 故，又，故值域为. 故选：A 3．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【分析】令且，则，结合分式型函数的单调性求函数值域. 【详解】令且，则在、上均单调递增， 在上，，在上，， 所以原函数的值域为. 题型5 指数函数恒过定点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（，）的图象经过点，那么这个函数的图象也必定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点代入函数表达式得出的值，从而得出函数解析式，依次代入各选项坐标计算求解. 【详解】已知函数（，）的图象经过点， ，解得， ∴， 依次代入各选项坐标： 当时，，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：C. 2．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）对，且，的图象过定点A，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据，求函数图象经过的定点的坐标. 【详解】因为时，为定值． 故点A的坐标为． 故答案为： 3．（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】易知，且函数为偶函数，再由指数函数图象性质可求出的值即可. 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 易知当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：B 题型6 复合指数函数的图像问题 【高考真题】 1．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 【模拟真题】 1．（2025·河南·三模）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域可判排除D，根据图象对称性排除C，根据时函数值的符号排除A，故可得正确的选项. 【详解】的定义域为，排除D； 因为，所以为偶函数， 图象关于y轴对称，排除C； 当时，，排除A． 故选：B. 2．（2025高三·全国·专题练习）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据函数图象的奇偶性和特殊位置的函数值排除、求解即可． 【详解】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称， 且，∴函数为奇函数，故C错误； 又∵，故D错误； 当时，，故B错误,A正确. 故选：A． 3．（25-26高三上·云南·阶段练习）函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义，求得为奇函数，其图象关于原点对称，且当时，，当时，，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可得排除A、D项； 当时，可得，所以，此时； 当时，可得，所以，此时， 所以选项B符合函数的图象的形状. 故选：B. 题型7 比较指数幂的大小 【高考真题】 1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 3．（2020·全国II卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果. 【详解】由得：， 令， 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数， ， ，，，则A正确，B错误； 与的大小不确定，故CD无法确定. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 4．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项. 【详解】∵，∴， 当时，定义域上严格单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误. 故选：D 【模拟真题】 1．（2025·贵州·模拟预测）设正数x，y，z满足，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】因为均为正数，所以可通过比较它们两两之间的商与1的大小来判断这它们的大小关系. 【详解】由，得，，，所以，． 当，即时，因为，所以，，所以，所以选项A正确． 当，即时，，所以选项C正确． 当，即时，因为，所以，，所以，所以选项D正确． 故选：ACD. 2．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A，利用为减函数，在上为增函数即可比较幂的大小判断A，对于B，利用在上为增函数，可得，化简即可判断B；对于C，构造函数，判断其单调性，得出时，排除C项，或者通过举反例说明排除C项；对于D，利用C项分析时所构造函数的极值推得，即，同理得即可判断D. 【详解】对于A，因，为减函数，在上为增函数，故，故A正确； 对于B，因，则在上为增函数，又故， 因，则，故得，即B正确； 对于C，法一：设，由可得， 当时，，当时，，故在上递减，在 上递增，所以当时， ，即，可得，故C错误； 法二：举反例：取，则，故C错误； 对于D，由C，当时，可得， 因，则，可得，同理可得，故，即D正确. 故选：ABD. 3．（2025·安徽·模拟预测）已知，则（　　） A．不可能是最小值 B．不可能是最小值 C．不可能是最大值 D．不可能是最大值 【答案】B 【分析】由题意可得，两边取对数，利用函数的图象，数形结合可得结论. 【详解】，同理可得，. 令， 则 ， 在同一直角坐标系中分别作出， 的大致图象如图所示， 观察可知，可能出现，. 故选：B. 考点3 指数函数的性质综合 题型8 指数函数的单调性与单调区间 【高考真题】 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 2．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 【模拟真题】 1．（2025·广东广州·模拟预测）若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数复合函数的区间单调性，结合二次函数的性质有，即可得. 【详解】令，又在R上单调递减， 所以要使在区间单调递增， 则在区间单调递减， 所以由的开口向上且对称轴为得，解得. 故选：D 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上为单调函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过题干可知分段函数要整体递增，根据每段需分别递增，且分段点处也要满足条件列式即可. 【详解】当时，函数单调递增，又在上为单调函数，则在上单调递增， 当时，，解得， 又要保证端点处满足题干，，解得， 即a的取值范围为． 故选：. 3．（25-26高三上·河北衡水·阶段练习）函数且是上的单调递减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据指数函数、一次的性质及单调递减函数的定义，列出不等式组求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 题型9 指数函数的最值 1．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知函数的最大值为2025，则的值为（   ） A． B．-1 C．1 D．或-1 【答案】A 【分析】根据复合函数单调性结合指数函数的单调性得出的最小值为，最后应用二次函数最值求参数. 【详解】令， 因为单调递减，又因为函数的最大值为2025， 则的最小值为， 所以，且当时，，即得， 解得或，所以. 故选：A 2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A．-4 B．0 C．32 D．60 【答案】B 【分析】先求出A，再利用换元法将化为，结合二次函数性质即可求得答案. 【详解】令，解得，故函数的定义域是， 令，由于，故， 则即为函数， 而， 当时，取最大值， 即函数的最大值是0， 故选：B 3．（2025·北京大兴·三模）已知函数.若的最小值为，则的一个取值为 ；的最大值为 ． 【答案】 2（答案不唯一，即可） 4 【分析】分别研究和时函数的最小值情况，确保两个区间内的最小值都不小于，且是整体的最小值，结合两段函数的性质，求解的取值. 【详解】由题意知，原函数中为最小值， ①当时，令，则，函数变为， 求导得，令，则， i）当，即时，最小值在处， 此时，因为的最小值为， 所以有，可得； ii）当，即时，在上单调递增， 最小值. ②当时，，最小值在处， 此时，因为的最小值为， 所以有，可得； 综上所述， . 故答案为：2（答案不唯一，即可）；4 题型10 指数函数的奇偶性 【高考真题】 1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 2．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【详解】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 【模拟真题】 1．（25-26高三上·山西·阶段练习）已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据，代入化简得到，解出后得到函数解析式，最后再代入计算即可. 【详解】由题意得，函数且的定义域为． 因为是奇函数，所以，即． 得，即，所以． 解得或（舍去），所以． 所以． 故选：C． 2．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由奇偶性求得函数解析式，然后分类讨论解不等式可得. 【详解】是定义在上的奇函数，且当时，， 所以， 时，， 时，，解得， 时，，解得， 故答案为：. 3．（2025高三·全国·专题练习）若函数（k为常数）在定义域上为奇函数，则 ． 【答案】 【分析】由奇函数的性质得到恒成立，即可求. 【详解】由题设，即恒成立，所以，经验证满足题设. 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是奇函数，且当时，，若，则 ． 【答案】1 【分析】由对数运算性质及奇函数得，结合已知解析式求参数值. 【详解】因为是奇函数，所以，即， 因为时，，所以，解得. 故答案为：1 题型11 指数函数的综合性质 1．（25-26高三上·山西·阶段练习）已知函数的定义域为，其图象关于直线对称且，当时，，则下列说法不正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．函数在上单调递增 C．函数的图象关于直线对称 D． 【答案】D 【分析】由可得函数的周期性，再根据函数的对称性得到函数的奇偶性可判断AC；对于B，根据函数在的函数解析式结合函数的周期性，即可判断函数在上的单调性；最后根据周期性与奇偶性求出即可判断D. 【详解】对于A，因为函数的定义域为，其函数图象关于直线对称， 所以，又，所以， 所以，即，即该函数为偶函数，故A正确； 对于B，因为，所以， 即，所以函数是以为一个周期的函数， 当时，，因为当时，， 易得此时函数在上单调递增，因是函数的一个周期， 故函数在上也单调递增，故B正确； 对于C，因为函数的图象关于直线对称， 所以，又函数是偶函数，所以， 则，而， 故，即函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，， 又时，， 故，故D错误. 故选：D. 2．（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数，则（　　） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为上的减函数 D．无最值 【答案】ABD 【分析】利用指数函数的性质及函数的单调性、奇偶性一一判定选项即可. 【详解】对于A项，由可知，所以，即其定义域为，A正确； 对于B项，，显然， 所以为奇函数，B正确； 对于C项，由A项结论可知显然错误； 对于D项，由指数函数的性质知：当时， ，所以， 则，故D正确； 故选：ABD 3．（2025·福建三明·模拟预测）随着人工智能的爆火，其已被广泛地用来实现语义分析、计算推理、问答对话、代码编写等任务，其实现指令的背后主要靠大语言模型算法，其中函数：是算法中被广泛使用的一种激活函数．激活函数的一个重要作用是执行数据的归一化，将输入数据映射到某个范围内，再往下传递，这样做的好处是可以限制数据的扩张，防止数据过大导致的溢出风险．函数是函数的改进版，，那么下列说法正确的是（    ） A．函数可以将所有输入值映射到范围内 B．函数和函数图象的对称中心相同 C．复合模型函数有偶数个零点 D．函数和函数的图象仅有一个公共点 【答案】D 【分析】通过举反例可以判断A错误；分别求得函数和函数的对称中心即可判断B；判断得到是奇函数结合即可判断C；求方程,由方程解的个数可判断D. 【详解】对于A，，所以函数不能将所有输入值映射到范围内，故A错误； 对于B，函数和函数的定义域均为，即 图象的对称中心为； ，所以函数是奇函数，图象的对称中心是，故B错误； 对于C，的定义域为, ， ∴是奇函数，零点关于原点对称. 而,函数有奇数个零点. 对于D，令则即， 解得，∴.故D正确. 故选：D. 4．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．在区间上单调递减 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据已知得、，进而得，利用对称性判断在区间上的单调性，再由区间解析式判断单调性，结合对称性比较大小，最后由周期性求函数值. 【详解】由为奇函数，则，即， 由，则，故， 所以，故，A对； 由，知图象关于对称， 由，知图象关于点对称，且， 当时，，即在上单调递增， 所以在、上单调递减，即在上单调递减， 若，则，结合周期性知， 所以在区间上单调递减，B对； 由，C错； 由，则，， 所以，又， ，D对. 故选：ABD 题型12 根据指数函数综合性质解不等式 1．（2025高三上·四川·学业考试）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性，结合函数单调性的判定方法，求得为单调递增函数，再由不等式转化为，进而求得实数的取值范围. 【详解】由函数，可得其定义域为， 设，且， 则， 由指数函数为单调递增函数，所以， 又因为，所以， 即，所以函数为单调递增函数， 又由，即，所以， 即，解得，即实数的取值范围为. 故选：C. 2．（25-26高三上·河北保定·阶段练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得对称性，进而根据函数的单调性，即可得求解. 【详解】由，知的图象关于直线对称， 设，则， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增． 由，可得． ，整理得． 解得或． 故选：D． 3．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为 . 【答案】 【分析】由函数解析式可知，函数为奇函数，然后利用函数性质将不等式进行转化，最后解不等式即可. 【详解】已知函数,其定义域为,关于原点对称， 计算， 而， 所以，所以函数是上的奇函数， 对求导，根据求导公式得， ，所以在上单调递增， 由于是奇函数，可得， 等价于， 又因为在上单调递增，所以， 移项得，即， 解得， 因此，不等式的解集为. 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）设，若满足恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数得到性质，再将转化为，由函数的单调性解得. 【详解】由题意可列，得. 即关于点对称． 因为，所以是增函数，为减函数，为增函数， 故单调递增． 所以，， 即需满足，解得或. 故选：D． 题型13 指数函数综合大题 1．（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数. (1)若为奇函数，求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，由为奇函数，结合，即可求解； （2）根据指数幂的运算法则，求得，结合倒序相加法，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 可得， 因为为奇函数，则满足，解得， 当时，可得，其定义域为关于原点对称， 且，所以为奇函数，满足题意， 所以实数的值为. （2）解：由函数，可得， 所以， 设， 则 两式相加得 因为，所以，可得，所以. 2．（25-26高三上·福建莆田·开学考试）已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数、的解析式； (2)设，，对于，都有，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性得到，结合条件得到方程组，求出答案； （2）在R上的值域为在上的值域的子集，求出在R上的值域为，换元得到，在上的值域为，所以，故，解得. 【详解】（1）因为①，所以， 是偶函数，是奇函数，故， 故②， 故①+②得，则， （2）对于，都有，使得， 则在R上的值域为在上的值域的子集， 其中， 因为，，， 所以在R上的值域为， ， 令，显然在上单调递增， 所以， 故， 当时，取得最小值，最小值为， 故在上的值域为， 所以，故，解得. 3．（2025·辽宁沈阳·一模）已知函数是定义域为的奇函数，. (1)求的值； (2)用定义法证明的单调性； (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用奇函数性质得，进而解得即可. （2）利用定义法得到函数的单调性即可. （3）利用奇函数性质得，再由单调性得，即，最后利用均值不等式求解参数范围即可. 【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数， 所以，得， 又，即，解得， 则，经检验符合题意. （2）由已知得，则， 任取，且令，则 ，得到， 故，则是减函数. （3）由题意得在时恒成立， 因为是单调递减的奇函数， 所以，即在时恒成立， 得到，且令，即恒成立， 又，当且仅当时等号成立， 得到，得到，即. 学科网（北京）股份有限公司 $