11.3 1.两数和乘以这两数的差. 课件 2025--2026学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“两数和乘以这两数的差”，以多项式乘法法则为学习支架，通过“知识关联—公式推导—结构解析”的脉络，帮助学生理解平方差公式的来源与本质。 其亮点在于运用数形结合思想，借助图形面积直观验证公式，结合“针对训练”“试一试”等环节培养学生几何直观与推理能力。设置街心花园面积计算等实际问题，渗透模型意识，助力学生用数学语言表达现实问题，教师可通过系统例题与检测提升教学效率。

第11章 整式的乘除 11.3　乘法公式 1. 两数和乘以这两数的差 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 1.如何进行多项式与多项式相乘的运算？ ② 再把所得的积相加. ① 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项； 2.进行多项式与多项式相乘的运算时，要注意什么? ① 不能漏乘:即单项式要乘遍多项式的每一项； ② 去括号时:注意符号的确定； ③ 结果:注意要化简. 【探究】两数和与这两数差的乘法公式 【做一做】 探究与应用 用多项式的乘法法则计算:(a+b)(a－b). (a+b)(a－b)=__________________. 这两个特殊的多项式相乘，得到的结果特别简洁: 这就是说，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称 为平方差公式. (a + b) (a－b)=a2 －b2. 利用这个公式，可以直接计算两数和乘以这两数的差. a2-ab+ab-b2=a2-b2 【探究】两数和与这两数差的乘法公式 探究与应用 平方差公式 (a+b)(a-b) = a2 - b2 相同为a 相反为b 适当交换 合理加括号 ①这里的两数可以是两个单项式,也可以是两个多项式等． ②公式变形 (b + a )( -b + a ) = a2 - b2 【探究】两数和与这两数差的乘法公式 【试一试】 探究与应用 观察图11.3.1，指出它包含哪些长方形和正方形，并用等式表示下图中图形面积的运算： (a+b)(a-b) a2 -b2 = 用图形面积解释公式， 这就是数形结合的思想. 【探究】两数和与这两数差的乘法公式 探究与应用 1.下列各式能否用平方差公式进行计算?为什么? (1)(a- b)(a+b); (2)(- b+a)(a- b); (3)(- a+b)(- a- b); (4)(- a- b)(- b+a). 【分析】这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数,右边为这两个数的平方差,即完全相同的项的平方减去符号相反的项的平方. 解：(1)(3)(4)能运用平方差公式，(2)不能应用公式. 针对训练 别着急 (authorId_208376095) - 指导学生认准公式的特征:这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数,右边为这两个数的平方差,即完全相同的项的平方减去符号相反的项的平方.教师指名学生口答(1)(3)(4)能运用平方差公式的理由,即回答出相同项是谁,相反项又是谁,并让学生叙述(2)不能应用公式的理由. 【探究】两数和与这两数差的乘法公式 探究与应用 (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (0.3x-1)(1+0.3x) (1+a)(-1+a) a b a2-b2 1 x -3 a 12-x2 (-3)2-a2 a 1 a2-12 0.3x 1 ( 0.3x)2-12 (a-b)(a+b) 2.填表： 【探究】两数和与这两数差的乘法公式 探究与应用 【应用】 例1 计算: (1)(a+3)(a-3); (2)(2a+3b)(2a-3b); (3)(1+2c)(1-2c); (4)(-2x-y)(2x-y). 解: (1) (a+3)(a-3)=a2-32=a2-9. (2)(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2. (3) (1+2c)(1-2c)=12-(2c)2=1-4c2. (4)(-2x-y)(2x-y)=(-y+2x)(-y-2x)=(-y)2-(2x)2=y2-4x2. 关键是识别完全相同项 和互为相反项 【探究】两数和与这两数差的乘法公式 探究与应用 【应用】 例2 计算：1 998 ×2 002. 解：1 998×2 002 =(2 000-2)×(2 000 + 2) =2 0002-22 =4 000 000 -4 =3 999 996. 【探究】两数和与这两数差的乘法公式 探究与应用 【应用】 例3 街心花园有一块边长为a m的正方形草坪（a＞2），经统一规划后，南北向增加2 m，东西向减少2 m.改造后得到一块长方形草坪.求这块长方形草坪的面积. 解: 答：这块长方形草坪的面积为(a2-4)m². 课堂小结 课堂小结与检测 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两数差的积，等于这两数的平方差 (a+b)(a－b)=a2－b2 紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用 符号表示 达标检测 课堂小结与检测 1.下列计算能运用平方差公式的是(　　) A．(m＋n)(－m－n) B．(2x＋3)(3x－2) C．(5a2－b2c)(bc2＋5a2) D. D 达标检测 课堂小结与检测 2.下列运算正确的是(　　) A．(a＋b)(b－a)＝a2－b2 B．(2m＋n)(2m－n)＝2m2－n2 C．(xm＋3)(xm－3)＝x2m－9 D．(x－1)(x＋1)＝(x－1)2 C 达标检测 课堂小结与检测 3.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1）(x+2)(x-2)=x2-2； （2）(-3a-2)(3a-2)=9a2-4. 不对 改正： (x+2)(x-2)=x2-4 不对 改正方法1： (-3a-2)(3a-2)=-[(3a+2)(3a-2)] =-(9a2-4) =-9a2+4; 改正方法2： (-3a-2)(3a-2)=(-2-3a)(-2+3a) =(-2)2-(3a)2 =4-9a2. 达标检测 课堂小结与检测 4.利用平方差公式计算： （1）(a+3b)(a- 3b)； （2）(3+2a)(－3+2a)； （3）(－2x2－y)(－2x2+y). 解：(1)原式=a2－(3b)2=a2－9b2； (3)原式=(-2x2 )2－y2 =4x4－y2； (2)原式=(2a+3)(2a-3)=(2a)2－32 =4a2－9； 达标检测 课堂小结与检测 5.运用平方差公式简便运算： (1)999×1001； (2)1.03×0.97； (3)40 ×39 . 解：(1)原式＝(1000－1)×(1000＋1) ＝10002－12＝999999； (2)原式＝(1＋0.03)×(1－0.03)＝12－0.032 ＝1－0.000 9＝0.999 1； (3)原式＝ ＝1 600－ ＝1 599 .　 $