4. 6 利用相似三角形测高 教学设计 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“利用相似三角形测高”核心知识点，通过校园旗杆测高情境导入，课前任务回顾相似三角形判定与性质，承接已学知识，为后续三角函数和数学建模奠定基础，构建知识支架。 以真实情境驱动探究，通过影子法、标杆法、镜面反射法三种测高方法的原理分析与动手实践，培养学生几何直观和推理能力，“议一议”环节比较误差来源发展批判性思维，小组合作测量提升应用意识，资料含完整教学流程与反思，助力教师高效教学，帮助学生体会数学与生活联系。

初中数学北师大版（2012）九年级上册 6 利用相似三角形测高 课标分析 根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求，本节内容属于"图形与几何"领域，重点培养学生运用相似三角形性质解决实际测量问题的能力，体现数学建模思想。课标要求通过实践活动（方法1阳光投影法、方法2标杆视线法、方法3镜面反射法）让学生理解相似三角形对应边成比例（）的原理，掌握三种典型测高模型的应用条件。强调在测量过程中发展几何直观和推理能力，通过"议一议"环节培养批判性思维，比较不同方法的误差来源（如阳光角度、标杆垂直度、镜面平整度等），符合课标提出的"问题解决"和"应用意识"培养要求，同时渗透"量感"核心素养的培育。 教材分析 本节课通过测量旗杆高度的实际问题，引导学生运用相似三角形的性质解决生活中的测高问题，涉及影子法、标杆法和镜子反射法三种基于相似三角形原理的测量方法。教学过程以小组合作、动手实践、交流研讨为主，注重探究与应用。该内容承接了相似三角形的判定与性质的学习，是知识的具体应用，也为后续学习锐角三角函数和实际建模打下基础。通过活动，学生能加深对相似三角形对应边成比例的理解，提升观察、测量、推理和解决问题的能力，体会数学与生活的联系，增强实践意识和合作意识，在真实情境中发展数学核心素养。 学情分析 九年级学生已掌握相似图形、相似三角形的判定与性质，以及比例的基本性质等知识，能够运用进行简单计算，具备一定的几何直观和推理能力，此阶段学生乐于动手实践，善于通过合作探究发现问题，但对实际问题转化为数学模型的过程仍需引导，本节课要求学生综合运用相似三角形的知识设计测高方案，通过分组测量活动提升实践能力与团队协作意识，帮助学生理解数学建模的基本过程，体会数形结合思想，增强应用意识，同时在交流研讨中发展逻辑表达能力和批判性思维，为后续学习三角函数和实际测量问题奠定基础。 教学目标 1. 理解相似三角形的性质及其在实际测量中的应用，掌握利用影子、标杆、镜子反射构建相似三角形的方法，通过分析测量原理提升逻辑推理和数学建模核心素养，发展几何直观与推理能力。 2. 能根据实际问题选择合适的测量方案，运用的关系计算旗杆高度，提高数据测量、处理与运算能力，增强应用意识和解决问题的能力。 3. 通过小组合作开展测量活动，体会数学与生活的联系，培养实践能力与合作意识，提升反思与评价能力，发展批判性思维和创新意识。 重点难点 重点：掌握利用相似三角形测高的三种方法，能根据测量数据求物体高度。 难点：理解每种测量方法的原理，分析各方法的优缺点及拓展其他测量方法。 课前任务 1.知识回顾： 上节课学习了相似三角形的判定及性质。请回答相似三角形有哪些判定方法？其对应边、对应角有什么关系？通过回顾加深对相似三角形知识的理解。 2.预习教材： 阅读教材“利用相似三角形测高”部分，了解利用阳光下影子、标杆、镜子反射测量旗杆高度的方法。记录测量步骤及依据，将不明白的地方标注在预习笔记上。 3.问题思考： 若想测量学校大树高度，结合预习内容，思考能用哪些方法？每种方法需测量哪些数据？尝试分析不同方法的可行性及优缺点。 课堂导入 同学们，在我们的校园里，高高矗立着旗杆。大家有没有想过，不用爬上旗杆，怎样才能知道它有多高呢？就像生活中，我们也常遇到类似问题，比如想知道大树、高楼的高度。今天，我们就一起探索解决这类问题的办法。其实，数学知识能帮我们巧妙达成目标，而相似三角形就像一把神奇的钥匙。接下来，让我们分组探讨，利用相似三角形的有关知识，来测量旗杆的高度，看看哪个小组的方法又快又好。 利用相似三角形测高 探究新知 （一）知识精讲 今天我们来学习利用相似三角形测量旗杆高度的三种方法。首先观察图，这是第一种方法：利用阳光下的影子。当太阳光线照射时，旗杆和同学都会在地面上形成影子。由于太阳光线可以看作是平行光线，所以旗杆和同学与各自的影子形成的两个三角形是相似的。设旗杆高度为，旗杆影长为，同学身高为，同学影长为，根据相似三角形的性质可得比例关系：，从而求出旗杆高度。 第二种方法是利用标杆，如图所示。当观测者、标杆顶端和旗杆顶端三点共线时，根据光的直线传播原理，可以构造出两个相似三角形。设旗杆高度为，标杆高度为，观测者到旗杆底部的距离为，到标杆底部的距离为，则有，因此旗杆高度。 第三种方法是利用镜子的反射原理。如图4-28所示，当观测者看到旗杆顶端在镜子中的像与标记重合时，根据光的反射定律和相似三角形原理，可以建立比例关系。设旗杆高度为，观测者眼睛高度为，旗杆到镜子的距离为，观测者到镜子的距离为，则有，因此旗杆高度。 （二）师生互动 教师提问：同学们，在第一种方法中，为什么我们可以认为旗杆和同学的影子形成的两个三角形是相似的？ 学生回答：因为太阳光线是平行光线，所以旗杆和同学与地面形成的夹角相等，且都是直角三角形，根据AA相似判定，这两个三角形相似。 教师追问：很好！那么在第三种方法中，为什么观测者到镜子的距离和旗杆到镜子的距离会影响测量结果？ 学生思考后回答：因为根据光的反射定律，入射角等于反射角，当观测者移动位置时，会改变光线入射的角度，从而影响相似三角形的比例关系。 （三）设计意图 通过三种具体测量方法的讲解和图示展示，帮助学生理解相似三角形在实际测量中的应用。培养学生的空间想象能力和数学建模能力，让学生体会数学知识与现实生活的紧密联系。通过师生互动的问题引导，激发学生的思考，加深对相似三角形性质的理解。整个探究过程注重培养学生的观察能力、分析能力和团队协作能力，体现数学学习的实践性和应用价值。 新知应用例1： 利用阳光下的影子测量旗杆高度。如图，一名同学直立于旗杆影子的顶端处，测量该同学的身高、该同学的影长以及同一时刻旗杆的影长。根据相似三角形的知识，你能出旗杆的高度吗？ 解答： 我们可以利用相似三角形的性质来解决这个问题。 设： · 同学的身高为 （单位：米）， · 同学的影长为 （单位：米）， · 旗杆的影长为 （单位：米）， · 旗杆的高度为 （单位：米，待求）。 由于太阳光线是平行光，在同一时刻，光线与地面的夹角相同，因此： · 同学和其影子构成一个直角三角形， · 旗杆和其影子也构成一个直角三角形， · 这两个三角形的对应角相等，所以它们相似。 根据相似三角形的性质：对应边成比例，有： 两边同时乘以 ，得： 因此，只要测出 、、，就可以计算出旗杆的高度 。 举例说明： 若某同学身高 ，影长 ，旗杆影长 ，则： 所以旗杆高度为 8 米。 总结 1.题目考查内容 ① 相似三角形的判定与性质； ② 利用实际情境建立数学模型，解决测量问题； ③ 比例式的应用。 2.题目求解要点 ① 理解“阳光下影子”形成的两个直角三角形相似的原因——光线平行导致对应角相等； ② 正确写出比例式 ； ③ 能代入测量数据进行计算，得出结果。 例2：利用标杆测量旗杆高度。如图，观测者调整位置，使自己的眼睛、标杆顶端、旗杆顶端恰好在一条直线上。测得观测者脚到标杆的距离、观测者脚到旗杆的距离、标杆高度和观测者眼睛离地面的高度。你能求出旗杆的高度吗？ 解答： 我们仍使用相似三角形的知识来求解。 设： · 观测者眼睛离地面的高度为 ， · 标杆高度为 ， · 观测者脚到标杆底端的水平距离为 ， · 观测者脚到旗杆底端的水平距离为 ， · 旗杆高度为 （待求）。 当眼睛、标杆顶端、旗杆顶端三点共线时，可以构造两个直角三角形： · 一个是“从眼睛看标杆顶端”的视线与标杆形成的三角形； · 另一个是“从眼睛看旗杆顶端”的视线与旗杆形成的三角形。 这两个三角形是相似三角形，因为它们有一个公共角（视线与地面夹角），且都是直角三角形。 考虑从眼睛出发向上到标杆顶端和旗杆顶端的部分： · 标杆高出眼睛的部分为 ， · 旗杆高出眼睛的部分为 。 根据相似三角形对应边成比例： 解这个方程： 举例说明： 若 ，则： 所以旗杆高度为 4 米。 总结 1.题目考查内容 ① 相似三角形的实际应用； ② 构造辅助线与数学建模能力； ③ 分段处理高度（视线以上部分）的思维方法。 2.题目求解要点 ① 明确“三点一线”形成两个相似直角三角形； ② 注意高度是从眼睛水平线开始计算的差值，即 和 ； ③ 正确列出比例式并代入数据求解。 板书设计 利用相似三角形测高 方法1：阳光下影子 测量：同学影长、旗杆影长 原理：相似三角形对应边成比例 方法2：利用标杆 测量：观测者到杆、标杆距离，标杆高 原理：相似三角形对应边成比例 教学反思 本节课围绕利用相似三角形测高展开，通过三种实际测量方法——阳光下影子、标杆法、镜子反射，引导学生运用相似三角形的性质解决现实问题，体现了“数学建模”与“应用意识”的核心素养。教学设计紧扣课标要求，注重动手实践与合作探究，学生在分组活动中积极参与，能够结合测量数据建立比例关系等进行计算，达成了知识与实践的融合。成功之处在于情境真实、操作性强，有效激发了学习兴趣；不足在于部分学生对视线与反射角的理解存在偏差，镜子反射法的操作精度控制较难，导致数据误差较大。此外，小组分工偶有不均，个别学生参与度不高。今后应加强操作前的示范与误差分析指导，优化合作机制，提升探究实效性。 学科网（北京）股份有限公司 $