4.7相似三角形的性质（第1课时）（教学设计）数学北师大版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比这一核心知识点，以建筑模型房情境导入，通过温故知新环节回顾相似比、三角形线段概念，搭建从旧知到新知的学习支架，梳理前后知识脉络。 资料特色在于以情境驱动探究，从模型房立柱抽象出对应高关系，类比推导中线、角平分线性质，延伸至n等分线拓展，体现数学眼光与思维。通过观察-猜想-证明-应用流程，结合中考真题分层练习，培养学生推理能力与几何直观，为教师提供丰富教学素材与实操建议。

4.7 相似三角形的性质 第1课时 教学设计 1.教学内容 本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第四章“图形的相似4.7 相似三角形的性质，内容包括：理解相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比的性质；能运用相似三角形的性质解决简单的几何问题. 2.内容解析 本节课在内容上起承前启后的作用，教材以实际模型房情境引入，通过问题探究 — 猜想证明 — 定理归纳 — 拓展应用的层层递进编排，聚焦相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比的核心定理，既渗透数形结合、转化思想与科学探究思维，又兼顾学生逻辑推理、图形分析与实际应用能力的培养，符合九年级学生认知规律，是完善相似三角形知识体系、提升几何素养的关键内容。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解并掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比. 1.教学目标 （1）理解相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比的性质，能运用相似三角形的性质解决简单的几何问题. （2）经历观察、猜想、验证等探究活动，体会从特殊到一般、类比与转化的数学思想，提高逻辑推理能力和几何直观能力. （3）在合作探究中培养严谨的科学态度和合作意识，感受几何图形的内在美与实际应用价值，增强学习兴趣和自信心. 2.目标解析 （1）学生要从逻辑推导和应用实践两个维度掌握知识与技能，理解性质需明确：能通过严谨证明（如构造小三角形并证明其相似），推导得出 “相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比” 的结论；同时清晰识别 “对应线段” 的本质； （2）学生能完整阐述 “观察 — 猜想 — 证明 — 应用” 的探究步骤；能说明如何通过 “类比对应高的推导方法” 得到对应角平分线、中线的性质；在证明和解题中呈现严密的逻辑链条（如先证小三角形相似，再推导线段比）；能通过图形直观识别相似三角形的对应关系，辅助解题； （3）学生在小组合作中积极参与讨论，能贡献推理思路或纠错建议；能举例说明相似三角形性质在生活中的应用（如建筑模型比例、地图比例尺）；在定理推导或解题成功后，表现出对几何学习的成就感与持续探究的意愿. 九年级学生已在前面课程中掌握相似三角形的定义与判定定理（如两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例判定三角形相似），能识别简单图形中的相似三角形，这是本节课探究相似三角形对应线段性质的重要前提. 1. 学生对 “相似三角形的性质” 认知仍停留在 “形状相同、大小成比例” 的表层，尚未深入到对应高、角平分线、中线等具体线段的比例关系，需通过情境引导实现知识迁移。 2. 部分学生可能难以快速将 CD、C'D 与 “相似三角形对应高” 建立关联；在证明 “对应角平分线的比等于相似比” 时，可能无法准确找到需证明相似的两个三角形，也容易忽略 “对应角相等”“相似比传递” 等关键推理步骤； 3. 学生能运用公式或定理解决直接套用条件的简单计算问题，但面对教材例 1 中 “SR⊥AD，通过相似三角形对应高的比求 DE” 这类需要转化线段关系的问题时，容易陷入 “找不到对应线段”“无法建立等式” 的困境，缺乏 “将复杂问题拆解为基础定理应用” 的转化意识. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：灵活运用相似三角形的性质进行推理证明和实际问题的解决. 1.温故知新 本节课将学习相似三角形的性质（1），先回答以下问题： (1) 相似比的定义？ 答：两个相似图形对应边的比. (2) 什么是三角形的高、中线、角平分线？ 答：①从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段. ②连接三角形一个顶点与对边的中点的线段 ③平分三角形一个内角，且顶点与对边交点间的线段 （3）如图，ΔABC，你能找出其中∠B的对应角吗？AB的对应边是哪一条边？ 答：∠B的对应角是∠,AB的对应边是. 通过以上问题，猜测一下：相似三角形具有什么性质？这些性质如何运用到实际问题中？让我们赶紧进入本节课的学习吧！ （设计意图：由学生回忆并回答，夯实方法基础，保障进阶学习） （教学建议：教师提问，利用问题串引导，深化思维深度，有利于学生启发学生并展开本节课的学习） 2.情景引入 生活中我们经常会看到 “按比例缩小或放大” 的物品，比如建筑模型、地图、玩具摆件等。现在我们研究一个和建筑相关的问题 ——图纸上是房梁△ABC，需按 1:2 的比例建造模型房的房梁△A'B'C'。 首先请大家仔细观察这幅图，思考第一个问题：图纸上的△ABC 和模型房的△A'B'C' 是什么关系呀？再聚焦咱们房梁的 “立柱”——CD 是原图△ABC 的立柱（高），C'D' 是模型△A'B'C' 的立柱（高），大家再想一想：这两个立柱所在的小三角形，也就是△ACD 和△A'C'D'，它们是不是也相似呢？如果相似，相似比是多少？ (设计意图：直接沿用“模型房房梁” 的情境，避免额外创设陌生情境导致的学习割裂，让学生快速关联教材已知信息，同时借助 “立柱” 这一直观的 “对应高”，将抽象的 “相似三角形对应线段” 转化为具体的生活物体，符合九年级学生 “从具体到抽象” 的认知特点.) 探究点1　相似三角形对应线段的性质探究 情境展示：小王依据图纸上的△ABC，以 1:2 的比例建造模型房的房梁△A'B'C'，CD 和 C'D' 分别是它们的立柱. 任务一：探究“对应高的比等于相似比” 1. △ACD与△A'C'D'相似吗？为什么？相似比是多少？ 答：由△ABC∽△A'B'C'可得∠A=∠A'，又∠ADC=∠A'D'C'=90° 故△ACD∽△A'C'D'（AA判定） ∵△ACD∽△A'C'D' ∴ ∴相似比是 2. 若CD=1.5cm，模型房的立柱C'D'有多高？ 答：已知CD=1.5cm，，解得C'D'=3cm. 3. CD 和 C'D'是△ABC和△A'B'C'的高，由以上结果可以发现相似三角形的高和相似比有什么关系？ 答：相似三角形对应高的比等于相似比 任务二：类比探究“对应中线、对应角平分线的比等于相似比” 4. 若CD、C'D'是△ABC与△A'B'C'的对应中线（AD=DB，A'D'=D'B'），结论是否仍成立？ 已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，CD、C'D'分别为AB、A'B'边上的中线 求证： 证明：由△ABC∽△A'B'C'可得∠A=∠A'，AC:A`C`=k，AB:A`B`=k 依据中线定义可得AD=AB，A'D'=A'B' ∵∠A=∠A'，AC:A`C`=k，AD:A`D`=k ∴△ACD∽△A'C'D' ∴则 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比，即 5. 若CD、C'D'是△ABC与△A'B'C'的对应角平分线（∠ACD=∠BCD，∠A'C'D'=∠B'C'D'）呢？结论是否成立？ 已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，CD、C'D'分别为AB、A'B'边上的角平分线 求证： 证明：∵ ，相似比为， ∴ ，，且 ∵ 是的角平分线，是的角平分线， ∴ ，（角平分线定义） 又∵ ∴ （等量的一半相等） ∴ （两角分别相等的两个三角形相似）。 ∵ ， ∴ 相似三角形对应角平分线的比等于相似比，即 6.知识小结 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 7. 即时训练 已知△ABC∽△DEF，相似比为3:4： （1）若△ABC中BC边上的高为6，则△DEF中EF边上的高为8； （2）若△DEF中AC边上的中线为8，则△ABC中对应中线的长为6； （3）若△ABC中∠B的角平分线长为9，则△DEF中对应角平分线的长为12。 （设计意图：以教材模型房房梁境为载体，引导学生从具体实例中抽象出相似三角形对应角平分线、中线的比等于相似比的定理，实现从情境感知到定理理解的知识建构，填补学生对相似三角形性质的认知空白） （教学建议：用不同颜色标注课件中△ABC 与△A'B'C' 的对应顶点、对应高，或制作可拆分的三角形模型，让学生直观触摸 “对应高” 的位置，解决 “对应关系混淆” 的学情问题） 探究点2　相似三角形中“对应分线段”的性质拓展 情境展示：探究一中我们证明了“对应角平分线（2等分线）的比等于相似比”，若将“2等分”改为“3等分”（AD、A'D'是∠BAC、∠B'A'C'的三等分线），结论是否仍成立？ 任务一：探究“对应角n等分线的比等于相似比”（以n=3为例） 1.已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，∠BAD=∠BAC，∠B'A'D'=∠B'A'C'，则的比值是多少？ 解： ∵△ABC∽△A'B'C'， ∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'；  ∵∠BAD=∠BAC，∠B'A'D'=∠B'A'C'， ∴∠BAD=∠B'A'D'；  在△ABD和△A'B'D'中 ∴△ABD∽△A'B'D'（AA判定） ∴（相似三角形对应边成比例） 结论：相似三角形对应角的n等分线的比等于相似比 任务二：探究“对应边n等分点连线的比等于相似比”（以n=3为例） 情境展示：若AE、A'E'不是中线（2等分点连线），而是BC、B'C'边上的3等分点连线（BE=BC，B'E'=B'C'），是否仍等于k？ 2. 已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，BE=BC，B'E'=B'C'，的比值是多少？ 解：∵△ABC∽△A'B'C'， ∴，∠B=∠B'； ∵BE=BC，B'E'=B'C' ∴； 在△ABE和△A'B'E'中， △ABE∽△A'B'E'（SAS判定） ∴ 相似三角形对应边的n等分点连线的比等于相似比（n≥2，且等分位置对应） 任务三：自主提问与拓展 3.你还能提出哪些问题？与同伴交流. ① 若AD、A'D'是∠BAC、∠B'A'C'的4等分线，则为多少？  ② 若BE=BC，B'E'=B'C'，则的比值是多少？ 4. 知识小结 相似三角形中，对应角的n等分线（n≥2）、对应边的n等分点连线（n≥2）的比都等于相似比 5.即时训练 （1）填空 已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为 ( ) ， 和 分别是 ∠BAC 和 ∠B′A′C′ 的四等分线. ①若 ，则 ； ② k. （2）判断并说明理由 下列说法是否正确？正确的在括号内打“√”，错误的打“×”并简要说明理由： ①“相似三角形任意两条角平分线的比都等于相似比。”（×） ②“如果两个三角形的某两边被同一条直线分成相同的比例，那么这两个三角形一定相似。”（×） （设计意图：在探究一对应高、中线、角平分线的比等于相似比的基础上，通过角的n等分线、边的n等分点连线等拓展情境，将对应线段从特殊线段延伸到一般分线段，引导学生认识到只要对应分法一致，相似比的不变性始终成立，深化对相似图形本质是形状相同、大小成比例的理解.） （教学建议：提供证明脚手架，如在证明对应边3等分点连线时，给出关键步骤提示：“先证，再找夹角∠B=∠B'”，降低推理门槛.） 例题导析 例1 如图，是的高，，点在边上，点在边上，，垂足为。当时，求的长。如果呢？    【分析】本题以“三角形中的平行线段与高的关系”为载体，考查相似三角形的判定及性质（对应高的比等于相似比）的应用。核心是通过平行线构造相似三角形，建立线段比例关系求解未知量． 【解答】∵ ，， ∴ ∴ ， ∴ （两角分别相等的两个三角形相似） ∴ （相似三角形对应高的比等于相似比）， 即 当时，得 解得 当时，得 解得 【点评】本题通过“平行→角相等→三角形相似”的链条，展现严谨的推理过程 1.已知，若与的相似比为，则与对应中线的比为（A） A. B. C. D. 2.如果两个相似三角形对应边之比为，那么它们的对应中线之比是（C） A. B. C. D. 3.已知，和是它们的对应中线，若，，则的长是（C） A. B. C. D. 4.若，相似比为，则对应高的比为（A） A. B. C. D. 5.若两个相似三角形某一对应高的长分别为6和9，则它们的相似比为（A） A．2∶3  B．3∶2  C．1∶2  D．2∶1 6.若△ABC∼△DEF，且相似比为2∶3，若△ABC的中线AM=4，则△DEF中对应的中线DN=6 7. 若△MNP∽△M'N'P'，它们的对应角平分线的比为3:1，则相似比为3:1，对应中线的比为3:1 8.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD． （1）求证：△ABC∽△BDC． （2）若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长． 【解答】（1）证明：如图，∵AD＝BD， ∴∠A＝∠DBA， ∵BD平分∠ABC交AC于点D， ∴∠CBD＝∠DBA， ∴∠A＝∠CBD， ∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△BDC． （2）解：如图，∵∠C＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD， ∴∠A+∠ABD+∠CBD＝3∠A＝90°， ∴∠A＝30°， ∵BC＝2， ∴AB＝4． 设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略. 题型一：直接应用“对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比” 1．（2025·陕西咸阳·阶段练习）已知，若和的面积之比为，则与的对应角的角平分线之比为（ A ） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，对应线段（如角平分线）之比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，面积比为．设相似比为k， ∴ ∴ ∴与的对应角的角平分线之比 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方，对应线段（如角平分线）之比等于相似比是解题的关键． 2．（2024·陕西榆林·期末）如图，，，分别是，的角平分线，若，则的值是（ C ） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的对应角的角平分线之比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵，，分别是，的角平分线，， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键 3．（2024·四川成都·阶段练习）若两个相似三角形的面积比是，则它们对应高之比为（ C ） A． B．3 C． D． 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由两个相似三角形面积之比为，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得它们的相似比，又由相似三角形对应高的比等于相似比，即可求得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴相似比为， ∴对应高之比为． 故选：C． 4．（2024·吉林·期末）已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是 ． 【分析】本题考查了相似三角形的性质，直接根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们对应的角平分线之比是， 故答案为：． 题型二： 结合“平行线构造相似三角形”求线段 5.（2025·贵州遵义·三模）如图，在中，分别是边上的点，，且相似比为，则（ B ） A． B． C． D． 【分析】根据相似比的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即B选项符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，了解相似比的定义是解题的关键 6．（2020·贵州黔东南·阶段练习）如图在中，点分别在上，若，，则的值为（ A ） A．9 B．8 C．7 D．6 【分析】根据已知证明，利用两边成比例及其夹角相等的两三角形相似证明可得结论． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定是关键． 7.（2024·广东佛山·阶段练习）小明用两根小木棍自制成一个如图所示的“X形”测量工具，与交于点O，，，．现将其放进一个锥形瓶，经测量，，则该锥形瓶底部的内径的长为9． 【分析】首先根据证明，根据相似三角形对应边成比例可得，根据可求的长度． 【详解】∵， ∴， 又 又 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质 8.（2025·宁夏·模拟预测）如图，，相交于点，，， ，是的中位线，且，则的长为2． 【分析】先依据三角形中位线定理求出的长度，再由判定与相似，最后根据相似三角形对应边成比例求出的长． 【详解】∵是的中位线 ∴ ∵ ∴ ∴ 即 解得 故答案为：2． 【点评】本题主要考查三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定及性质是解题的关键 题型三 综合证明类 9.（2024•青海模拟）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：∠DAC＝∠B； （2）若AD是△ABC的中线，AC＝4，求CD的长． 【分析】（1）由已知条件可证得△ABD∽△CAE，由相似三角形的性质可得∠DAC＝∠B； （2）由（1）得∠DAC＝∠B，结合∠BCA＝∠ACD，即有△ABC∽△DAC，从而得AC2＝BC•CD，再结合AD是△ABC的中线，从而可求解． 【解答】（1）证明：∵，∠BAD＝∠ECA， ∴△ABD∽△CAE， ∴∠DAC＝∠B； （2）解：由（1）得∠DAC＝∠B， ∵∠BCA＝∠ACD， ∴△ABC∽△DAC， ∴，即AC2＝BC•CD， ∵AD是△ABC的中线， ∴BC＝2DC， ∵AC＝4， ∴42＝2DC•DC， 解得：DC． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是证得△ABC∽△DAC． 10.（2024•静安区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，点E在BA延长线上，点F在AC边上，∠EDF＝∠B． 求证： （1）△BDE～△CFD； （2）DF2＝EF•CF． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB，由外角的性质可得∠DEB＝∠CDF，即可得结论； （2）由相似三角形的性质可得，可证△CDF∽△DEF，可得，即可求解． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠EDF＝∠B，∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC， ∴∠DEB＝∠CDF， ∴△BDE∽△CFD； （2）∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， 由（1）可知：△BDE∽△CFD， ∴， ∴， 又∵∠EDF＝∠B＝∠ACB， ∴△CDF∽△DEF， ∴， ∴DF2＝EF•CF． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 11.如图，在▱ABCD中，点E在边AB上，DE2＝AE•CD． （1）求证：AD•CD＝CE•DE； （2）当点E是边AB的中点时，分别延长DE、CB交于点F，求证：AB2＝2EF2． 【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质求解即可； （2）结合平行四边形的性质利用AAS证明△ADE≌△BFE，根据全等三角形的性质得出DE＝EF，等量代换即可得解． 【解答】证明：（1）在▱ABCD中，AB∥CD， ∴∠AED＝∠CDE， ∵DE2＝AE•CD， ∴， ∴△ADE∽△ECD， ∴， ∴AD•CD＝CE•DE； （2）如图， 在▱ABCD中，AB＝CD，AD∥BC， ∴∠A＝∠FBE，∠ADE＝∠F， ∵点E是边AB的中点， ∴AE＝BE， ∴△ADE≌△BFE（AAS）， ∴DE＝EF， ∵DE2＝AE•CD， ∴EF2AB•AB， ∴AB2＝2EF2． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟记相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键 12.（2024·浙江绍兴·阶段练习）如图，在菱形中，，．点是边的中点，延长、交于点，平分交于点． (1)求证：． (2)求菱形的面积． (3)求的长． 【分析】（1）连接交于点，由菱形的性质得，，则，而，所以； （2）由，得，由，，求得，则，所以； （3）设交于点，证明，则，证明得出，进而根据，得出即可求解． 【详解】（1）证明：连接交于点， 四边形是菱形， ，， ， 延长、交于点，平分交于点， ， ， ， ． （2）解：，， ， ， ， ， ， 菱形的面积为． （3）解：设交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与相似三角形的性质，正确地添加辅助线是解题的关键 设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力. 1.相似三角形的性质（1）：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比 2. 相似三角形中，对应角的n等分线（n≥2）、对应边的n等分点连线（n≥2）的比都等于相似比 设计意图：运用文字按顺序排列的方式清晰呈现，增强学习的主动性与连贯性. 1.必做题：随堂练习 2.探究性作业：习题4.11第3题. 4.7相似三角形的性质（1） （1）对应高的比 = 相似比 （2）对应角平分线的比 = 相似比 （3）对应中线的比 = 相似比 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $