4.6 利用相似三角形测高1（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（北师大版）

该教案聚焦“利用相似三角形测高”，通过泰勒斯测量金字塔的情景导入，衔接相似三角形判定与性质，结合阳光下影子标杆镜子反射等测量方法，构建从知识到实际应用的学习支架。 亮点在于历史情境激发好奇心与创新意识，多种测量方法及例题多解培养推理能力与模型意识，如影子测量分不同情况且提供三种解法。助力学生积累活动经验，提升用数学解决问题的能力，为教师提供丰富教学案例，落实核心素养。

4.6　利用相似三角形测高 1.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验；（重点） 2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.（难点） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情景导入 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度. 你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？ 二、合作探究 探究点一：利用阳光下的影子测量高度 【类型一】 影子在同一平面上时高度的测量 如图所示，身高为1.6m的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，正好站在旗杆影子的顶端处，已测得该同学在地面上的影长为2m，旗杆在地面上的影长为8m，那么旗杆的高度是多少呢？ 解析：同一时刻的太阳的光线应是平行的，人和旗杆都与地面垂直，因此可以通过相似三角形对应边成比例来求旗杆的高度. 解：如图，用DC表示人的身高，EC表示人的影长，AB表示旗杆的高度，BC表示旗杆的影长. 由题意知DC＝1.6m，EC＝2m，BC＝8m. ∵太阳光AC∥DE， ∴∠E＝∠ACB. 又∵∠B＝∠DCE＝90°，∴△ABC∽△DCE. ∴＝，即＝. 解得AB＝6.4（m）. 故旗杆的高度是6.4m. 方法总结：同一时刻，对于都垂直于地面的两个物体来说，它们的高度之比等于它们的影长之比，即物体的高度之比与其影长之比相同. 【类型二】 影子不在同一平面上时高度的测量 如图①，在离某建筑物CE4m处有一棵树AB，在某时刻，1.2m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2m，那么这棵树的高是多少？ 解：方法一：延长AD，与地面交于点M，如图②. 根据同一时刻，物体的影长和它的高度成正比， 所以＝＝. 因为CD＝2m，FG＝1.2m，GH＝2m，BC＝4m， 所以CM＝m，所以BM＝BC＋CM＝（m）. 所以＝，AB＝4.4（m）. 故这棵树的高是4.4m. 方法二：过点D作AB的垂线，交AB于点M，如图③. 由题意可知＝，而DM＝BC＝4m，AM＝AB－CD＝（AB－2）m，FG＝1.2m，GH＝2m， 所以＝，解得AB＝4.4（m）. 故这棵树的高是4.4m. 方法三：过点C作AD的平行线交AB于点P，如图④. 由题意可知＝，而BP＝AB－CD＝（AB－2）m，BC＝4m，FG＝1.2m，GH＝2m， 所以＝，解得AB＝4.4（m）. 故这棵树的高是4.4m. 方法总结：在图上补全影子或构造相似三角形是求出树高的关键.三种方法的解题依据实质上都是应用了相似三角形的性质，但其解题的简便性不同，显然方法二和方法三比方法一简单. 探究点二：利用标杆测量高度 如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度. 解析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，则可得△AEM∽△ACN. 解：过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面， 所以∠ABF＝∠EFD＝∠CDF＝90°， 所以AB∥EF∥CD，所以∠EMA＝∠CNA. 因为∠EAM＝∠CAN， 所以△AEM∽△ACN，所以＝. 因为AB＝1.6m，EF＝2m，BD＝27m，FD＝24m， 所以＝，所以CN＝3.6（m）， 所以CD＝3.6＋1.6＝5.2（m）. 故树的高度为5.2m. 　　方法总结：利用标杆测量物体的高度时，必须使观测者的眼睛、标杆顶端、建筑物顶端在同一条直线上. 探究点三：利用镜子的反射测量高度 为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，①在距离树AB底部15m的E处放下镜子；②该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m；③观察镜面，恰好看到树的顶端.你能帮助他计算出大树的大约高度吗？ 　　解析：借助物理学知识：入射角等于反射角，法线垂直于水平面（镜面），然后利用相似三角形的知识求解. 解：如图，∵∠1＝∠2， ∠DCE＝∠BAE＝90°， ∴△DCE∽△BAE. ∴＝，即＝， 解得BA＝18.75（m）. 因此，树高约为18.75m. 　　方法总结：利用镜子的反射测量物体的高度时，利用入射角等于反射角，等角的余角相等产生相似三角形，利用相似三角形的性质求树高. 三、板书设计 利用相似三角形测高 通过设计测量旗杆高度的方案，学会由实物图形抽象成几何图形的方法，体会实际问题转化成数学模型的转化思想，培养学生的观察、归纳、建模、应用能力，体验解决问题策略的多样性.在增强相互协作的同时，激发学习数学的兴趣. 学科网（北京）股份有限公司 $