精品解析：北京市北京十一实验中学2025-2026学年高三上学期9月阶段性诊断数学试题

北京十一实验中学高三年级阶段性诊断数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第一部分 客观题（共40分） 一、选择题：（共10小题，每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 集合,,则（　　） A. B. C. D. 2. ，则是（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第二或第四象限角 C. 第一或第三象限角 D. 第二或第三象限角 3. 已知，则（　　） A. B. C. D. 4. 已知函数（，且）的图象过定点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在R上的函数，集合，那么“”是“在上单调递减”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 定义在上的偶函数满足，且时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为，且成等比数列，设的面积为，若，则的形状为（ ）． A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 函数（）的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9. 1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣问题：在地球表面的什么地方，一根竖直的悬杆看上去最长.后人将其称为＂米勒问题＂，该问题是数学史上最早的极值问题之一.我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A，B两点的坐标分别为，点C的坐标为，当最大时，c＝（ ） A 2ab B. ab C. D. 10. “肝胆两相照，然诺安能忘．”（《承左虞燕京惠诗却寄却寄》，明•朱察卿）若两点关于点成中心对称，则称为一对“然诺点”，同时把和视为同一对“然诺点”．已知的图象上有两对“然诺点”，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第二部分 主观题（共110分） 二、填空题：（共8小题，每题5分，共40分） 11. 已知半径为扇形面积为6，则扇形的圆心角为______ . 12. 已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边经过点，则______． 13. 若，则________. 14. 若函数的部分图象如图所示，则函数的解析式______． 15. 在中，，，，则________，若D是AB的中点，则________. 16. 若函数的图象与直线有两个交点，则这两个交点横坐标的和为_______． 17. 在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为___________． 18. 若函数,下列关于函数的说法正确的序号有_______． ①是周期函数 ②在上有4个零点 ③在上是增函数 ④值域为 三、解答题：（共5小题，共70分） 19. 已知函数，曲线在点处的切线为，若时，有极值. （1）求的值； （2）求在上的最大值和最小值. 20. 已知函数，，且将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若函数是奇函数，求的值； （3）若，当时函数取得最大值，求的值． 21. 在中，． （1）求的值； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上高． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 22. 已知函数. （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （3）当时，讨论函数零点的个数. 23. 定义一类集合：对于集合，若都满足，则称为“单位有界集”；在集合中定义一种运算：若，，定义.现对单位有界集进行如下操作：第一步，从中任取两个元素、，将中除了、以外的元素构成的集合记为，令；第二步，若集合还是单位有界集，则继续任取两个元素，将中除了以外的元素构成的集合记为，令；依次类推…… （1）对于任意的单位有界集，判断是否仍然为单位有界集．若是，请证明；若不是，请举出反例； （2）证明：若，则； （3）当时，对集合进行步上述操作，当只有一个元素时停止，求所有满足条件的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十一实验中学高三年级阶段性诊断数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第一部分 客观题（共40分） 一、选择题：（共10小题，每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 集合,,则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解出集合的对数不等式，再利用交集运算即可. 【详解】由题可得：，所以，解得， 所以，所以. 故选：A. 2. ，则是（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第二或第四象限角 C. 第一或第三象限角 D. 第二或第三象限角 【答案】C 【解析】 【分析】求解指数不等式可得，进一步得到，则答案可求． 【详解】由， 得， ， 即， 是第一或第三象限的角． 故选：C． 3. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，即可求解. 【详解】因为，， ， 所以. 故选：A. 4. 已知函数（，且）的图象过定点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出函数的定点得到的值，再利用指数的运算法则计算即可. 【详解】函数（，且）的图象过定点， 所以为， ， 故选：C. 【点睛】本题考查函数过定点问题，属于简单题. 5. 已知定义在R上的函数，集合，那么“”是“在上单调递减”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设，结合函数单调性的定义、充分、必要条件的定义求解即可. 【详解】若，则，由， 任取，且， 由于，则， 而，则，所以在上单调递减，充分性成立； 若在上单调递减，取，满足在上单调递减， 也满足，而此时，必要性不成立. 则“”是“在上单调递减”的充分而不必要条件. 故选：A. 6. 定义在上的偶函数满足，且时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到函数的一个周期为4，再根据偶函数可得，利用对数的性质即可得答案． 【详解】定义在上的函数满足，所以函数的周期为4， 因为是定义在上的偶函数，∴， 所以. 因为， 所以 所以 所以. 故选：. 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为，且成等比数列，设的面积为，若，则的形状为（ ）． A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，由成等比数列，得到，结合余弦定理，求得，进而得到且，即可求解. 【详解】由，可得，解得， 因为，所以， 又因为成等比数列，可得． 由余弦定理得，所以， 因为，所以，解得，则，可得， 所以，所以为等边三角形． 故选：C. 8. 函数（）的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数在上的解析式即可求解. 【详解】由()知定义域关于原点对称，且， 所以函数为偶函数，根据图象的对称性排除D, 又时，， 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的奇偶性，同角三角函数的基本关系，正弦函数的图象，属于中档题. 9. 1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么地方，一根竖直的悬杆看上去最长.后人将其称为＂米勒问题＂，该问题是数学史上最早的极值问题之一.我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A，B两点的坐标分别为，点C的坐标为，当最大时，c＝（ ） A. 2ab B. ab C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得，再由差角正切公式得，应用基本不等式求分母的最小值，即可得最大，确定取值条件，即可得答案. 【详解】由题意，知是锐角，且，而， 所以，而， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，，此时最大， 故选：D 10. “肝胆两相照，然诺安能忘．”（《承左虞燕京惠诗却寄却寄》，明•朱察卿）若两点关于点成中心对称，则称为一对“然诺点”，同时把和视为同一对“然诺点”．已知的图象上有两对“然诺点”，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】当时，，其关于点对称的函数为，问题转化为与在上有两个交点，联立方程得到，再将问题转化为函数的图象与直线有两个交点，利用导数求出的单调区间，画出函数图象，结合图象求解即可. 【详解】当x＞1时，关于点对称的函数为， 由题知与在上有两个交点， 由，消得到， 又，得到，即， 令，，则的图象与直线有两个不同的交点， ，令，则 ， 所以在上递增，即在上递增， 因为，所以当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 当时，，， 所以的大致图象如图所示， 由图可知当时，的图象与直线有两个不同的交点， 因为，所以． 故选：C． 【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题 （1）先求函数关于点对称的函数； （2）将问题转化为函数与在上有两个交点； （3）最后再转化为函数的图象与直线有两个交点，通过图象即可求解. 第二部分 主观题（共110分） 二、填空题：（共8小题，每题5分，共40分） 11. 已知半径为的扇形面积为6，则扇形的圆心角为______ . 【答案】4 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式建立方程，求解圆心角即可. 【详解】设扇形的圆心角为，且半径为的扇形面积为6， 由扇形的面积公式得，解得，则扇形的圆心角为. 故答案为：4 12. 已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边经过点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，然后代入计算即可. 【详解】由三角函数的定义可得， 故答案为：. 13. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解. 【详解】由，得 . 故答案为： 14. 若函数的部分图象如图所示，则函数的解析式______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的图象，结合五点法作图方法求出解析式. 【详解】由图象知，，函数的周期，因此， 又，则，而，于是， 所以函数的解析式. 故答案为： 15. 在中，，，，则________，若D是AB的中点，则________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦定理即可求得AB的长，再次利用余弦定理即可求出，连接，在中，利用余弦定理即可求出CD的长． 【详解】根据题意，，所以． 又可得． 连接，可知，所以，． 【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形． 16. 若函数的图象与直线有两个交点，则这两个交点横坐标的和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的对称性求得正确答案. 【详解】当时，， 由解得， 所以两个交点横坐标的和为. 故答案为： 17. 在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，结合基本不等式，求得，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】因为，且， 即， 由正弦定理得，即， 又由余弦定理，可得， 因为，所以， 又因为且，可得， 所以，当且仅当时，等号成立，即 所以面积， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 18. 若函数,下列关于函数的说法正确的序号有_______． ①是周期函数 ②在上有4个零点 ③在上是增函数 ④的值域为 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据图象可知①错误;在同一坐标系下画出图象,找到在上的交点个数,即为在上的零点个数;通过分析在上的单调性,即可得③的正误;将通过倍角公式化为,由的范围,即可得的值域,进而得出结果. 【详解】解:因为图象是由图象将的图象去掉, 再将图象关于轴对称得到,如图所示: 由图象可知不是周期函数,因为是周期函数, 所以不是周期函数,故①错误; 的零点即为的根, 也即是图象交点的横坐标, 在同一坐标系下画出图象如下所示: 由图象可知在上有4个交点, 故在上有4个零点,故②正确; 因为,所以, 因为在上单调递增,在上单调递减, 所以在上单调递增,故③正确; 因为, 所以是偶函数,所以只需考虑时的值域即可, 当时,, 因为,所以, 即值域为,故④错误. 故答案为:②③ 三、解答题：（共5小题，共70分） 19. 已知函数，曲线在点处的切线为，若时，有极值. （1）求的值； （2）求在上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最小 ，最大13 【解析】 【详解】试题分析：（1）求导， 则 ， 则根据已知切线方程可得 ①，，②， 又若时，有极值，则 （，③， 由①②③联立方程组，；解出即得 ； （2）利用导数求出区间 内的极值与端点处函数值，然后进行大小比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值； 试题解析：（1）f′（x）=3x2+2ax+b， 则f（﹣1）=a﹣b+c﹣1，f′（﹣1）=﹣2a+b+3， 故切线方程是：y=（3﹣2a+b）x+（﹣a+c+2）， 而切线方程是：y=﹣5x+5， 故3﹣2a+b=﹣5，①， a﹣c﹣2=﹣5，②， 若时，y=f（x）有极值， 则f′（）=++b=0，③， 由①②③联立方程组，解得：； （2）由（1）f（x）=x3+2x2﹣4x+5， f′（x）=3x2+4x﹣4=（3x﹣2）（x+2）， 令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣2， 令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜， 故f（x）在[﹣3，﹣2）递增，在（﹣2，）递减，在（，2]递减， 由f（﹣3）=8，f（﹣2）=13，f（）=，f（2）=13， 故函数的最小值是f（）=， 最大值是f（2）=f（﹣2）=13． 20. 已知函数，，且将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若函数是奇函数，求的值； （3）若，当时函数取得最大值，求的值． 【答案】（1），． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）用二倍角公式、降幂公式及辅助角公式进行化简，再利用求解即可得到最小正周期；结合正弦函数的单调递增区间，用整体的思想求解即可； （2）先根据平移变换求出的表达式，在根据题意列出等式求解即可； （3）当时函数取得最大值，由此可得，代入化简；又，因此可求出，再求出，再根据两角和的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得，则其最小正周期， 令，解得， 则其单调递增区间为． 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位长度得到的图象，则， 若函数是奇函数，则,即 因为，所以时，． 【小问3详解】 由题知，则，从而，，因此， 因，且，所以， 因此，， 所以， 所以． 21. 在中，． （1）求的值； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】（1） （2）选①不存在；选②③，高为 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值； （2）对于条件①，利用余弦函数的单调性求出角的取值范围，结合三角形的内角和定理推出矛盾，可值条件①，不符合要求； 选择条件②，求出的值，利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面积公式结合等面积法可求出边上的高； 选择条件③；求出、的值，利用两角和的正弦公式可求出的值，利用正弦定理求出的值，进而可得边上的高为，求解即可； 【小问1详解】 由正弦定理，且， 得，即． 由，得．所以． 由，得，所以． 【小问2详解】 选择条件①：因， 且余弦函数上单调递减， 故，又因为，从而可得，与三角形的内角和定理矛盾， 故①不成立． 选择条件②：由，且，得． 由余弦定理，得， 解得或（舍）． 设边上的高为，则三角形面积， 所以． 选择条件③：由，且，得． 由，且，得． 所以． 由正弦定理，得，所以边上的高． 22. 已知函数. （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求实数取值范围； （3）当时，讨论函数零点的个数. 【答案】（1） （2） （3）有且仅有个零点 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围； （3）首先可得与是的两个零点，再利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可. 【小问1详解】 当时，， 所以，， 所以切线方程为：； 【小问2详解】 因为，所以， 由函数在上单调递增，则在上恒成立． 令，， 当时，，所以恒成立． 所以在上单调递增，所以，所以； 【小问3详解】 由，则，． 所以与是的两个零点． 因为，由（2）知，函数在上单调递增，，无零点． 当时，，，，无零点． 当时，，设，， 在上递增，又，， 存在唯一零点，使得． 当时，，在上递减； 当时，，在上递增， 又，，所以，函数在上有且仅有个零点． 综上，当时，函数有且仅有个零点． 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 23. 定义一类集合：对于集合，若都满足，则称为“单位有界集”；在集合中定义一种运算：若，，定义.现对单位有界集进行如下操作：第一步，从中任取两个元素、，将中除了、以外的元素构成的集合记为，令；第二步，若集合还是单位有界集，则继续任取两个元素，将中除了以外的元素构成的集合记为，令；依次类推…… （1）对于任意的单位有界集，判断是否仍然为单位有界集．若是，请证明；若不是，请举出反例； （2）证明：若，则； （3）当时，对集合进行步上述操作，当只有一个元素时停止，求所有满足条件的． 【答案】（1）是，证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用比差法证明即可， （2）结合定义计算，，由此证明结论； （3）结合（1）（2）的证明结论，先取求，再取求，，逐步求出. 【小问1详解】 是，证明如下： 从中任取两个元素、，，， 要证明是单位有界集，只需证明， 因为，其中， 所以，即； 因为，其中， 所以，即，所以仍然为单位有界集. 【小问2详解】 因为， ， 所以. 【小问3详解】 由（1）（2）知都为“单位有界集”，所定义的运算具有结合律， 又，即定义的运算具有交换律， 不妨先取， 因为，所以，所以， 再取，，所以， 类似的，，， 所以. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $