精品解析：黑龙江省大庆市第五十七中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

大庆市第五十七中学 2025-2026学年度上学期九年级第一次月考 数 学 试 题 一、选择题（共10小题，30分） 1. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质求参数范围，当时，反比例函数的图象在第二、四象限，得到求解即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：若反比例函数的图象分布在第二、四象限， 则， 解得， 故选：A． 2. 如图，点是反比例函数的图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象的对称性的知识点，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得的值． 【详解】解：设圆的半径是，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得： 阴影部分的面积等于圆的面积的， ∴， 解得：． ∵点是反比例与在第三象限的一个交点，． ∴且 ∴， ∴， 则反比例函数的解析式是：． 故选D． 3. 若点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，相恩局反比例函数判断出函数图象所在象限和性质，再根据各点的横坐标的特点进行判断即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】∵反比例函数， ∴反比例函数图象分别位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴点位于第二象限， ∴， ∵， ∴点在第四象限， ∴， ∴， 故选：B． 4. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设反比例函数解析式为，将代入，求得，当时，，结合函数图象，即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为，将代入 得，， 解得，， ∴， 当时，， ∴根据函数图象可得：当时，， 故选：D． 5. 已知一次函数和．当时，；当时，；当时，．根据以上信息，一次函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，求一次函数的解析式，根据题意，易得两条直线的交点的横坐标为，把代入，求出交点坐标，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：∵一次函数和，当时，；当时，， ∴两条直线的交点的横坐标为， 把代入，得：， 又∵时，； ∴，解得：； ∴； 故选B． 6. 函数中，自变量的取值范围是（　　） A. x≠0 B. x≠1 C. x>1 D. x≥1 【答案】B 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，根据这个条件就可以求出x的范围． 【详解】根据题意得：x-1≠0 解得x≠1， 故选B. 【点睛】考查自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键. 7. 如图，直线与轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，连接，易得，再利用分割法以及值的几何意义进行求解即可． 【详解】解：连接，设直线与轴交于点， ∵直线与轴平行， ∴， ∵直线与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点， ∴， ∴； 故选B． 8. 反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一次函数的图象和性质：①当，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．反比例函数中k的符号与图象：若，反比例函数图象在第一、三象限，若，反比例函数图象在第二、四象限，． 【详解】解：若，则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 若，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 只有C选项符合． 9. 物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图①所示．经测试，发现电流（单位：）随着电阻（单位：）的变化而变化，并结合数据描点、连线，画成如图②所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ） A. 最大电流是 B. 最大电流是 C. 最小电流是 D. 最小电流是 【答案】A 【解析】 【分析】可设，将点代入函数解析式，即可求得的值，再代入求的值，最后根据增减性判断最值． 【详解】解：由图象可知，符合反比例函数， 设函数解析式为， 将点代入得， 解得：， ∴该函数解析式为． 若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的最大电流是． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，解题关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出关系式． 10. 如图，的一边在轴上，反比例函数的图象过的顶点和对角线的中点，已知点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，反比例函数的图象与性质，先利用点是的中点求出点的坐标和反比例函数解析式，再由得到点的横坐标，代入反比例函数解析式求得点的坐标，再根据点是的中点求出点的坐标． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形，点是的中点， 点是的中点， 又 ， 将点代入得： 反比例函数的解析式是． 点的横坐标是， 当时，， 又点是的中点，， 故选：C． 二、填空题（共8小题，24分） 11. 若是反比例函数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，理解其定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义解题即可． 【详解】解：由题意知，， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝_____． 【答案】6． 【解析】 【分析】根据题意，想要求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所构成的矩形的面积即可，而矩形的面积为双曲线y＝的系数k，由此即可求解． 【详解】∵点A、B是双曲线y＝上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|＝4， ∴S1+S2＝4+4﹣1×2＝6． 故答案为6． 【点睛】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握根据反比例函数系数k的几何意义求出矩形的面积． 13. 把一块含60°角的三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边与x轴的夹角，若，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设反比例函数解析式为，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别为D，E，解，求出，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为，点A，C分别作轴，轴，垂足分别为D，E，如图， 在中，， ∴， ∴， 在中，∠， ∴∠， ∴， ∴， ∵∠ ∴ 在中，∠， ∴， ∴， ∴， 设，则 ∴， ∴ ∵A，C均在反比例函数图象上， ∴ 解得，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确表示出点A和点C的坐标是解答本题的关键． 14. 如图，已知直线y=x+4与双曲线y=（x＜0）相交于A、B两点，与x轴、y轴分别相交于D、C两点，若AB=2，则k=_____． 【答案】-3 【解析】 【详解】 设A(a， a+4)，B(c， c+4)，则 解得： x+4=，即x2+4x−k=0， ∵直线y=x+4与双曲线y=相交于A、B两点， ∴a+c=−4，ac=-k， ∴(c−a)2=(c+a)2−4ac=16+4k， ∵AB=， ∴由勾股定理得：(c−a)2+[c+4−(a+4)]2=()2， 2 (c−a)2=8， (c−a)2=4， ∴16+4k =4， 解得：k=−3， 故答案为−3. 点睛：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、根与系数的关系、勾股定理、图象上点的坐标特征等，题目具有一定的代表性，综合性强，有一定难度. 15. 已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，如表为几组实验数据，则蓄电池的电压________V． … 4 6 8 … … 9 6 4.5 … 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，设电流与电阻的函数关系式为，根据待定系数法求解即可，用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设电流与电阻的函数关系式为， 把，代入得， ， 故答案为：36． 16. 如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，以为边作菱形．与交于点M．若双曲线恰好经过C，M两点．则k的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出，，然后根据菱形的性质得出，，设点，则，根据点M在双曲线上，得出，求出，得出，根据，得出，求出k的值即可． 【详解】解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴M为的中点， 设点，则， ∵点M在双曲线上， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，中点坐标公式，两点间距离公式，熟练掌握中点坐标公式和两点间距离公式，是解题的关键． 17. 如图，点A、B在双曲线上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、，设的面积为，设的面积为，则___________（填“>，＜，或=”）． 【答案】= 【解析】 【分析】本题主要考查反比例系数的几何意义：在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为，所围成三角形的面积为． 【详解】解：根据反比例函数的性质，，所以． 18. 若反比例函数，当时，y随x增大而增大，则函数的图象不经过第______象限． 【答案】三 【解析】 【分析】由反比例函数的增减性可判断的符号，由此即可判断一次函数的图象所经过的象限． 【详解】∵反比例函数，当时，随增大而增大， ∴， ∴的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故答案为：三． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合．根据反比例函数的性质判断出其比例系数的符号是解题关键． 三、解答题（共7小题，66分） 19. 某药品研究所开发一种抗菌新药，经过多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度与服药时间之间的函数关系如图所示（当时，与成反比例）． （1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段与之间的函数表达式； （2）若该药品血液中药物浓度不低于，药效最好，求血液中药物浓度不低于的持续时间为多少小时？ 【答案】（1）血液中药物浓度上升阶段的函数表达式为，下降阶段的函数表达式为 （2）血液中药物浓度不低于的持续时间为 【解析】 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数在实际中的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键； （1）分别设出以及时函数的解析式，然后根据待定系数法，结合图中给出数据求解即可；  （2）令上述所得两个函数解析式中的，求出对应的x的值，然后作差即可得到结果． 【小问1详解】 解：当时，设函数的表达式为， 将代入得， 解得：， ∴直线的表达式为， 当时，设反比例函数的表达式为， 将代入得 解得：， ∴反比例函数的表达式是， 因此，血液中药物浓度上升阶段的函数表达式为，下降阶段的函数表达式为． 【小问2详解】 解：当时，由得， 当时，由得， ， 因此， 血液中药物浓度不低于的持续时间为． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）若将一次函数的图象向下平移6个单位长度后，与轴交于点，连接，，求的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 （2） 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，数形结合是解题的关键． （1）把点代入，求得，进而求得的坐标，然后根据待定系数法求得一次函数的解析式； （2）根据平移的规律求得平移后的直线解析式，进而求得的坐标，求得直线与轴的交点的坐标，然后根据求得即可； 【小问1详解】 解：将点坐标代入得，． 所以反比例函数的表达式为． 将点坐标代入得，． 所以点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ，解得． 所以一次函数的表达式为． 【小问2详解】 将一次函数的图象向下平移6个单位长度后， 所以直线的函数解析式为． 将代入得，． 所以点的坐标为． 令直线与轴的交点为． 将代入得，． 所以点的坐标为． 则． 所以，． 所以． 21. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． （1）求k，m的值； （2）已知点P为直线在第一象限上的一个动点，且点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，当时，求a的值； （3）观察图象，直接写出当时，a的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式， （1）将点坐标代入求出m，将坐标代入反比例函数解析式求出k值即可； （2）由（1）可知，反比例函数解析式为，设点P坐标为，则，列出关于a的方程解答即可； （3）数形结合得到时，a的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴． 【小问2详解】 由（1）可知，反比例函数解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或或（舍去）， ∴或， 【小问3详解】 由图象可知，当时，或． 23. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． （1）求k的值； （2）一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）； ①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”； ②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围． 【答案】（1） （2）①2个； ②如图，直线l：过时，，解得， 直线l：过时，，解得， 观察图象可知：“G区域点”的个数为3个时，a的取值范围是． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题等知识点， （1）把代入中可得k的值； （2）①将代入可得：直线解析式为，画图可得结论；②画图计算边界时a的值，即可得解； 熟练掌握整点的定义，并利用数形结合的思想是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ∴； ∴k的值为1； 【小问2详解】 解：①一次函数的图象过，， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， 画出图形，如图所示， 区域G内的整点有和共两个； 故存在2个“G区域点”； 故答案为：2； ②略 24. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将顺时针旋转至与轴重合，点的对应点为． ①连接，求线段的长； ②是平面直角坐标系内一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）①，②或或 【解析】 【分析】题目主要考查反比例函数的综合问题，旋转的性质，平行四边形的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）直接将点代入求解即可； （2）①过点作轴于点，根据题意得，然后再由旋转的性质确定，即可求解； ②由①得， ，设点，分三种情况分析：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ∴． ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 ①过点作轴于点，如图所示． ∵点， ∴，． ∴． 由旋转的性质，可知． ∴． 在中，． ②由①得， ∴，，， 设点， 当为对角线时，， 解得：， ∴； 当为对角线时，， 解得：， ∴； 当为对角线时，， 解得：， ∴； 综上可得：的坐标为或或． 25. 如图，在以O为原点的平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点在第一象限，四边形OABC是矩形，反比例函数的图象与AB相交于点D，与BC相交于点E，且． （1）求证：； （2）若四边形ODBE的面积是6，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形OABC是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把x=a代入得：， ∴， ∴，， ∴； （2）k=3 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后可得，则有，进而根据反比例函数的性质可求解； （2）根据，可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：=ab--==6， 解得：， ∴反比例函数解析式为=， ∴k=3． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合及矩形的性质，熟练掌握反比例函数与几何的综合及矩形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市第五十七中学 2025-2026学年度上学期九年级第一次月考 数 学 试 题 一、选择题（共10小题，30分） 1. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点是反比例函数的图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 若点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数和．当时，；当时，；当时，．根据以上信息，一次函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 函数中，自变量的取值范围是（　　） A. x≠0 B. x≠1 C. x>1 D. x≥1 7. 如图，直线与轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 8. 反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图①所示．经测试，发现电流（单位：）随着电阻（单位：）的变化而变化，并结合数据描点、连线，画成如图②所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ） A. 最大电流是 B. 最大电流是 C. 最小电流是 D. 最小电流是 10. 如图，的一边在轴上，反比例函数的图象过的顶点和对角线的中点，已知点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，24分） 11. 若是反比例函数，则的值为______． 12. 如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝_____． 13. 把一块含60°角的三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边与x轴的夹角，若，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为______． 14. 如图，已知直线y=x+4与双曲线y=（x＜0）相交于A、B两点，与x轴、y轴分别相交于D、C两点，若AB=2，则k=_____． 15. 已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，如表为几组实验数据，则蓄电池的电压________V． … 4 6 8 … … 9 6 4.5 … 16. 如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，以为边作菱形．与交于点M．若双曲线恰好经过C，M两点．则k的值为___________． 17. 如图，点A、B在双曲线上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、，设的面积为，设的面积为，则___________（填“>，＜，或=”）． 18. 若反比例函数，当时，y随x增大而增大，则函数的图象不经过第______象限． 三、解答题（共7小题，66分） 19. 某药品研究所开发一种抗菌新药，经过多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度与服药时间之间的函数关系如图所示（当时，与成反比例）． （1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段与之间的函数表达式； （2）若该药品血液中药物浓度不低于，药效最好，求血液中药物浓度不低于的持续时间为多少小时？ 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）若将一次函数的图象向下平移6个单位长度后，与轴交于点，连接，，求的面积． 21. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 22. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． （1）求k，m的值； （2）已知点P为直线在第一象限上的一个动点，且点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，当时，求a的值； （3）观察图象，直接写出当时，a的取值范围． 23. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． （1）求k的值； （2）一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）； ①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”； ②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将顺时针旋转至与轴重合，点的对应点为． ①连接，求线段的长； ②是平面直角坐标系内一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 25. 如图，在以O为原点的平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点在第一象限，四边形OABC是矩形，反比例函数的图象与AB相交于点D，与BC相交于点E，且． （1）求证：； （2）若四边形ODBE的面积是6，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $