专题09 共点力的平衡（11大考点）- 2025-2026学年高一上学期物理同步培优训练（人教版必修第一册）

专题09 共点力的平衡 11大高频考点概览 考点01 判断物体的受力个数（共4小题） 考点02 共点力的平衡问题及求解（共5小题） 考点03 利用平衡推论求解受力问题（共5小题） 考点04 整体法与隔离法处理物体的平衡问题（共5小题） 考点05 解析法求共点力的平衡（共5小题） 考点06 图解法解决动态平衡问题（共4小题） 考点07 相似三角形法解决动态平衡问题（共4小题） 考点08 辅助圆法解决动态平衡问题（共5小题） 考点09 受力平衡中的临界与极限问题（共4小题） 考点10 自锁问题（共3小题） 考点11 晾衣杆模型（共4小题） 地 城 考点01 判断物体的受力个数 1．如图所示，两小球A、B通过轻质细杆相连，斜靠在车厢里，两小球及车厢均处于静止状态，则下列说法不正确的是（　　） A．A球可能受到3个力的作用 B．A球可能受到4个力的作用 C．B球一定受到3个力的作用 D．B球一定受到4个力的作用 2．高血压的诱因之一是血管变细。为研究该问题，假设血液通过一定长度血管时受到的阻力与血液流速的平方成正比，即f＝kv2（其中k与血管粗细无关），为维持血液匀速流动，在这血管两端需要有一定的压强差。设血管内径为d时所需的压强差为Δp，若血管内径减为d′时，为了维持在相同时间内流过同样多的血液，压强差必须变为（　　） A． B． C． D． 3．（多选）如图所示，物体A静止在粗糙的水平地面上，一轻质细线跨过固定倾斜直杆顶端的光滑轻质定滑轮，细线一端连接静止于水平地面上的质量为mA的物体A，细线另一端与另外两根细线在O点形成“死结”，结点O下方细线悬挂物体B。现左端细线用与水平方向成30°角的斜向左上方的力F拉住，使结点右侧的细线与水平方向的夹角为30°。已知物体A与水平地面间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，定滑轮右侧细线与水平方向的夹角为45°，物体A、B保持静止状态，以下说法正确的是（　　） A．轻质细线对物体A的拉力大小为F B．.地面对物体A的摩擦力大小为 C．.物体B的质量为 D．.物体A对地面的压力大小为 4．重力为G的物体A，静止在倾角为θ的斜面B上，求： （1）对物体A受力分析，画出示意图 （2）求物体A的合力是多少；利用已知量G和θ，求出A受到的其他力的大小． 地 城 考点02 共点力的平衡问题及求解 5．如图所示，一个内表面光滑半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗的球半径为R，一根轻质杆的两端固定有A、B两个小球（可视为质点），质量分别是m1、m2，已知杆长为，杆静止时与水平面夹角为15°，则A、B两小球的质量之比是（　　） A．2：1 B． C． D． 6．如图所示，质量均为m的n（n＞3）个相同匀质圆柱体依次搁置在倾角为30°的光滑斜面上，斜面底端有一竖直光滑挡板挡住使圆柱体均处于静止状态，已知重力加速度为g，则下列说法中正确的是（　　） A．挡板对圆柱体1的弹力大小为 B．圆柱体1对斜面的压力大小为 C．圆柱体2对圆柱体1的压力大小为 D．若将挡板绕下端点缓慢逆时针转动60°，则转动过程中斜面对每个圆柱体的支持力均减小 7．（多选）如图所示，倾角为α＝30°的粗糙斜劈放置在水平面上，连接物体a、c的轻质细线绕过两个光滑小滑轮，其中a和滑轮1间的细线平行于斜面，滑轮1固定在斜劈上，滑轮2下吊物体b，c穿在水平横杆上，系统静止。物体a受到斜劈的摩擦力大小为Ff1，c受到横杆的摩擦力大小为Ff2，a，b，c三物体的质量均为m，a与斜面c与横杆之间的动摩擦因数μ，β＝60°，若将c向右缓慢移动，a物体仍处于静止状态，则在该过程中，以下说法正确的是（　　） A．Ff1和Ff2，都将变大 B．Ff1由沿斜面向上改为沿斜面向下，Ff2始终沿横杆向右 C．图中的β≤120° D．斜劈受到地面的摩擦力和横杆受到物体c的摩擦力都变大 8．（多选）如图所示，光滑的轻滑轮通过支架固定在天花板上，一足够长的细绳跨过滑轮，一端悬挂小球b，另一端与套在水平细杆上的小球a连接。在水平拉力F作用下小球a从图示虚线位置开始缓慢向右移动（细绳中张力大小视为不变）。已知小球b的质量是小球a的2倍，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，小球a与细杆间的动摩擦因数为．则下列说法正确的是（　　） A．当细绳与细杆的夹角为60°时，拉力F的大小为（2）mg B．支架对轻滑轮的作用力大小逐渐增大 C．拉力F的大小一直增大 D．拉力F的大小先减小后增大 9．如图所示，质量M＝2kg的木块套在水平杆上，并用轻绳与质量mkg的小球相连。今用跟水平方向成30°角的力F＝10N拉着小球并带动木块一起向右匀速运动，运动中M、m的相对位置保持不变，g＝10m/s2，求运动过程中轻绳与水平方向的夹角θ及木块M与水平杆间的动摩擦因数。 地 城 考点03 利用平衡推论求解受力问题 10．如图所示，A、B两轻质弹簧原长分别为l1和l2，劲度系数分别为k1和k2，竖直地悬挂在天花板上，两弹簧之间连接有一质量为m1的物体，最下端挂着质量为m2的另一物体，整个装置处于静止状态。现用一个平板把下面的物体缓慢向上托起，直到两个弹簧的总长度等于两弹簧原长之和，则（　　） A．此时A、B两弹簧均处于原长状态 B．此时A弹簧处于压缩状态，B弹簧处于拉伸状态 C．此过程m2上升的高度是 D．此过程m2上升的高度是 11．如图所示，光滑的圆轨道竖直固定在水平地面上，O为圆心，A为轨道上的一点，OA与水平面夹角为30°。小球在拉力F作用下始终静止在A点。当拉力方向水平向左时，拉力F的大小为10N。当将拉力F在竖直平面内顺时针转至沿圆轨道切线方向时，拉力F的大小为（　　） A．5N B． C．10N D． 12．（多选）A，B、C三物块分别为M、m和m0，作如图所示的联结，绳子不可伸长，且绳子和滑轮的质量、滑轮的摩擦均可不计，若B随A一起沿水平桌面做匀速运动．则可以断定（　　） A．物块A与桌面之间有摩擦力，大小为m0g B．物块A与B之间有摩擦力，大小为m0g C．桌面对A、B对A都有摩擦力，两者方向相同，合力为m0g D．桌面对A有摩擦力，B对A摩擦力为0 13．（多选）如图所示，定滑轮A固定在天花板上，轮轴及滑轮表面均光滑，水平地面上固定铰链B，B在A的正下方，轻质硬直杆一端连接B，另一端连接质量为m的小球C（视为质点），轻质细线跨过A，一端连接C，另一端与轻质弹簧相连。在弹簧的右端施加一个力F1（未知量），系统处于第一个静止状态，ABC成边长为d的正三角形，弹簧的长度为1.5l；撤去F1，在弹簧的右端施加力F2（未知量），使得A、C间的距离为0.5d，系统处于第二个静止状态，弹簧的长度为l，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（　　） A．两种状态下，杆对小球的弹力等大 B．F1＝1.5F2 C．弹簧的劲度系数为 D．当系统处在第二个静止状态时，弹簧的伸长量为0.5l 14．根据亚里士多德的论断：重的物体下落的比轻的物体快，那么，大的石头比小的石头下落的要快。伟大的意大利物理学家和天文学家伽利略利用两个捆绑小球的思想实验推翻了这一观点。 （1）将质量为M的球和质量为m的球绑在一起（M＞m），请利用反证法证明亚里士多德的观点是不成立的。 （2）如图1，两段等长轻质细线将质量分别为m、3m的小球a、b，悬挂于O点。现在两个小球上分别加上水平方向的外力，其中作用在a球上的力大小为F1、作用在b球上的力大小为F2，则当此装置平衡时： ①若出现了右所示的状态，b球刚好位于O点的正下方。则F1与F2的大小之比为 　 　　 。 ②若两小球质量均为m，F1：F2＝1：2，求作两小球平衡时的状态图。 ③若两小球质量均为m，F1＝F2，求作两小球平衡时的状态图。 （3）两个相同的小球A和B质量均为m，用长度相同的两根细线把A、B两球悬挂在水平天花板上的同一点O，并用长度相同的细线连接A、B两小球，然后，用一水平方向的力F作用在小球A上，此时三根细线均处于直线状态，且OB细线恰好处于竖直方向，如图2所示，如果不考虑小球的大小，两小球均处于静止状态，求： ①OB绳、OA绳中的拉力分别为多大？ ②作用力F为多大？ ③若改变力F的方向，但依然保持OB绳处于竖直方向，则F的最小值为多少，方向如何？ 地 城 考点04 整体法与隔离法处理物体的平衡问题 15．如图所示，墙角处用轻杆连接相同材质a、b两球，质量为m的a球靠在光滑墙壁上，质量为2m的b球置于粗糙水平地面上，与地面的动摩擦因数为μ，杆与竖直方向的夹角θ＝37°，此时系统恰好保持静止状态。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．动摩擦因数 B．杆对a球支持力大小为 C．若仅增加杆与竖直方向的夹角，则系统仍可保持静止 D．若交换a、b的位置但杆与竖直方向的夹角不变，则系统不能保持静止 16．（多选）如图所示，三个外观完全相同的匀质圆柱体A、B、C叠放后置于水平面上，两侧用挡板夹住，现在两侧挡板上施加水平方向的外力F，平衡时，三个圆柱体两两相切，忽略一切摩擦，已知B、C圆柱体的质量均为m，A圆柱体的质量为2m，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．B对A的支持力大小为mg B．B对地面的压力大小为2mg C．当B、C间的作用力为零时，Fmg D．若圆柱保持静止，则B、C间的作用力为Fmg 17．（多选）如图所示，质量为m的匀质细绳，一端系在天花板上的A点，另一端系在竖直墙壁上的B点，平衡后最低点为C点。现测得AC段绳长是CB段绳长的n倍，且绳子A端的切线与竖直方向的夹角为β，绳子B端的切线与墙壁的夹角为α（重力加速度为g）则（　　） A．绳子在C处弹力大小Fctanα B．绳子在A处的弹力大小FA C．绳子在B处的弹力大小FBcosα D．tanα：tanβ＝n：1 18．攀爬运动可以很好的锻炼儿童的四肢协调能力。如图所示，质量M＝300kg的攀爬装置放在地面上，装置上表面与水平面夹角为37°，假设装置上表面光滑，有一个质量为m＝28kg的小孩在攀爬过程中，用力拉住绳索保持平衡，绳索与竖直方向的夹角为45°，整个装置处于静止状态。（假设小孩可以看作质点，sin37°，cos37°，重力加速度g取10m/s2）求此状态下： （1）绳索对小孩的拉力大小和装置对小孩的支持力大小； （2）地面对装置的支持力和摩擦力的大小。 19．如图所示，倾角为θ＝53°的粗糙斜面体固定在水平地面上，质量为mA＝2kg的物块A静止在斜面上，斜面与A之间的动摩擦因数为μ＝0.5，与A相连接的绳子跨在固定于斜面顶端的小滑轮上的E点，绳子另一端固定在与滑轮等高的F点，且EF＝1m。再在绳上放置一个动滑轮，其下端的挂钩与物块B连接，物块B、C、D与弹簧1、2均拴接，弹簧1、2劲度系数均为k1＝k2＝96N/m，物块B、C、D质量均为m＝1kg，当绳子的张角α＝74°时整个系统处于平衡状态，而且A恰好不下滑。若弹簧、绳子、小滑轮的重力以及绳子与滑轮间的摩擦力均可忽略，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 （1）此时绳子的拉力T的大小； （2）对物块A施加一个沿斜面向下的拉力F，使其缓慢下滑一段距离至物块D对地的压力恰好减小至零，求 ①物块B上升的高度h； ②此时拉力F的大小。 地 城 考点05 解析法求共点力的平衡 20．如图甲是工人在高层安装空调时吊运室外机的场景，简化图如图乙所示。一名工人在高处控制绳子P，另一名工人站在水平地面上拉住另一根绳子Q。在吊运的过程中，地面上的工人在缓慢后退时缓慢放绳，室外机缓慢竖直上升，绳子Q与竖直方向的夹角近似不变，绳子质量忽略不计，则下列说法正确的是（ ） A．绳子P上的拉力不断变大 B．绳子Q上的拉力先变小后变大 C．地面对工人的支持力不断变大 D．绳子P、Q对室外机的拉力的合力不断变大 21．甲、乙两同学用如图所示的方法将带挂钩的重物抬起。不可伸长的轻绳两端分别固定于刚性直杆上的A、B两点，轻绳长度大于A、B两点间的距离。现将挂钩挂在轻绳上，乙站直后将杆的一端搭在肩上并保持不动，甲蹲下后将杆的另一端搭在肩上，此时物体刚要离开地面，然后甲缓慢站起至站直。若甲、乙站直后肩膀高度相同，不计挂钩与绳之间的摩擦。在甲缓慢站起至站直的过程中，下列说法正确的是（ ） A．轻绳的张力一直变大 B．轻绳的张力一直变小 C．轻绳对挂钩的作用力一直变小 D．轻绳对挂钩的作用力一直变大 22．如图所示，一玻璃清洁工人坐在简易的小木板BC上，通过楼顶的滑轮和轻质绳索OA在竖直平面内缓慢下降。在下降过程中，工人腿部与竖直玻璃墙的夹角β＝60°，且保持不变。玻璃墙对脚的作用力始终沿腿方向，小木板BC保持水平且与玻璃墙平行。某时刻轻绳OA与竖直玻璃墙的夹角α＝30°，连接小木板的两等长轻绳AB、AC的夹角θ＝120°，且与OA在同一倾斜平面内。已知工人及工具的总质量m＝80kg，小木板的质量可忽略不计，g＝10m/s2。假设工人姿势保持不变，下列说法正确的是（　　） A．此时，玻璃墙对脚的作用力大小为 B．此时，AB、AC绳上的张力大小均为400N C．从该时刻起，工人缓慢下降过程中，玻璃墙对脚的作用力逐渐减小 D．从该时刻起，工人缓慢下降过程中，OA绳上的张力逐渐减小 23．（多选）如图所示，轻杆AC和轻杆BC的一端用光滑铰链连接在C点，另一端用光滑铰链分别固定在竖直墙壁上，将一物块通过细线连接在C点并保持静止状态。若对C端施加一水平向右的作用力F，F由零开始逐渐增大的过程中（系统未损坏），则下列说法正确的是（　　） A．轻杆AC中的弹力逐渐增大 B．轻杆BC中的弹力逐渐增大 C．轻杆AC中的弹力先减小后增大 D．轻杆BC中的弹力先减小后增大 24．如图所示，倾角θ＝30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面顶端固定一轻质的定滑轮O，底端固定一垂直斜面的挡板。质量分别为2m、4m的物块甲、乙通过轻质弹簧连接在一起，物块甲静止在斜面底端紧靠挡板处。不可伸长的细绳跨过定滑轮一端与物块乙连接，另一端与套在水平固定的光滑直杆上的质量为m的物块丙连接。开始时物块丙静止在直杆上B点（细绳与直杆垂直），且恰好与直杆间的相互作用力为零；现对物块丙施加一水平向右的拉力F，使其缓慢移动，当移动到A点时，物块甲恰好对挡板无压力，此时细绳与水平直杆的夹角α＝37°，已知滑轮与水平直杆间的垂直距离为d，重力加速度大小为g，弹簧的轴线、物块乙与定滑轮之间的细绳共线且与斜面始终平行，不计滑轮大小，不计空气阻力和一切摩擦阻力，弹力始终未超过弹性限度，物块甲、乙、丙均可视为质点，sin37°＝0.6。求： （1）物块丙静止在直杆上B点时，甲对挡板的压力大小； （2）弹簧的劲度系数； （3）物块丙在A点时受到直杆的弹力及拉力F的大小。 地 城 考点06 图解法解决动态平衡问题 25．如图所示，底角为θ＝30°、上表面光滑、底面粗糙的等腰三角形底座abc放置在水平粗糙地面上，在b点固定一竖直杆Ob，在O点有一个轻质光滑小滑轮，Q为ab上的一点。轻质细线的一端与质量为m的小滑块P（可视为质点）相连，另一端绕过小滑轮，在拉力F的作用下，拉着小滑块P从a点缓缓上滑，此过程中底座一直保持静止，拉力F方向与竖直方向的夹角始终和OP绳与竖直方向的夹角相等。已知ab＝bc＝Ob，重力加速度为g，不计空气阻力。P从a滑到Q的过程中，下列说法正确的是（　　） A．P在a处时，细线的拉力大小为 B．地面对底座的摩擦力不断减小 C．底座对地面的压力先减小后增大 D．底座对P的弹力一直增大 26．工程师研究出一种可以用于人形机器人的合成肌肉，可模仿人体肌肉做出推、拉、弯曲和扭曲等动作。如图所示，用合成肌肉做成的“手臂”ced的d端固定一滑轮，c端固定于墙壁（c和e类似于人手臂的关节，由“手臂”合成肌肉控制），足够长细绳ab的a端固定于墙壁，另一端跨过定滑轮连接一重物。设cd与竖直墙壁ac夹角为θ，不计滑轮与细绳间的摩擦，且∠adb始终为钝角，下列说法正确的是（　　） A．若保持θ不变，减小cd长度，则细绳对滑轮的力始终沿dc方向 B．若保持cd长度不变，减小θ角度，细绳对滑轮的力始终沿de方向 C．若θ从90°逐渐变为零，cd长度不变，且保持ac＞cd，则细绳对滑轮的力先增大后减小 D．若保持ac、ad长度均不变，且ac等于ad，增大cd长度，则细绳对滑轮的力先减小后增大 27．（多选）如图所示，轻绳的一端与质量为m1的物块A连接，另一端跨过光滑定滑轮与轻绳b栓接于O点，与水平方向成θ角的力F作用在O点，质量为m2的物块B恰好与地面间没有作用力，已知θ＝60°，定滑轮右侧的轻绳a与竖直方向的夹角也为θ、重力加速度为g，当F从图中所示的状态开始顺时针缓慢转动90°的过程中，结点O、m1的位置始终保持不变，则下列说法正确的（　　） A．m2＝2m1 B．地面对物块B的支持力变大 C．力F先减小后变大 D．F的最小值为m1g 28．如图所示，质量为4m的半圆柱体P静止在水平地面上，其上有一质量为m的光滑圆柱Q，半径为R，此时竖直挡板MN恰好与P、Q相切，半圆柱体P的半径是圆柱Q的3倍。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求： （1）Q受到P的弹力以及Q受到挡板MN的弹力分别是多少？ （2）要使系统保持静止，求半圆柱体P与地面间动摩擦因数的最小值μmin。 地 城 考点07 相似三角形法解决动态平衡问题 29．如图所示，竖直固定放置的光滑大圆环，其最高点为P，最低点为Q。现有两个轻弹簧1、2的一端均栓接在大圆环P点，另一端分别栓接M、N两小球，两小球均处于平衡态。已知轻弹簧1、2上的弹力大小相同，轻弹簧1、2轴线方向与PQ连线的夹角分别30°、60°，则下列说法正确的是（　　） A．轻弹簧1处于压缩状态，轻弹簧2处于伸长状态 B．大圆环对两小球的弹力方向均指向圆心 C．M、N两小球的质量比为m1：m2＝1： D．大圆环对M、N两小球的弹力大小之比为FN1：FN2：1 30．（多选）一粗糙斜面静止在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。有三根细绳，其结点为O，其中一细绳跨过滑轮与斜面上的物块A相连，另一细绳下端悬挂B物块，现用一水平力F拉住第三根细绳，使O点与滑轮的连线跟竖直方向成60°角，系统处于静止状态。保持O点的位置不变，沿顺时针方向缓慢调整力F的方向直至竖直。已知系统中各物体始终保持静止，则在此过程中（　　） A．拉力F的大小可能与水平状态时的值相同 B．物块A所受细绳的拉力大小一定一直减小 C．地面对斜面的摩擦力大小一定一直增加 D．物块A所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增大 31．（多选）如图所示，在竖直平面内的固定光滑圆环上，套有一质量为m的小球，一轻绳通过光滑滑轮P连接小球A，绳的另一端用水平向左的力F拉绳，使小球缓慢上升一小段位移，图中O为圆心，OQ为半径，P为OQ的中点。在小球上升过程中，下列说法正确的是（　　） A．绳的拉力先减小后增大 B．设AP长度为L，ΔF表示F的变化量，ΔL表示L的变化量，则比值不变 C．环对小球的弹力方向是沿半径背离圆心，大小恒为2mg D．环对小球的弹力方向是沿半径背离圆心，大小恒为 32．如图所示，质量为M＝3kg的半圆柱体放在水平地面上，柱体上放置一个质量为m＝1kg、可视为质点的物块，物块和截面圆心的连线与水平面的夹角为30°。现对物块施加一水平向右的恒力F，物块和柱体保持相对静止一起向右做匀速直线运动。已知柱体与水平地面间的动摩擦因数为μ1＝0.4物块与柱体间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，，求： （1）水平恒力F的大小； （2）柱体对物块的支持力大小和摩擦力大小； （3）物块与柱体间动摩擦因数μ2的最小值（结果保留1位有效数字）。 地 城 考点08 辅助圆法解决动态平衡问题 33．如图所示，光滑圆柱A和半圆柱B紧靠着静置于水平地面上，二者半径均为R。A的质量为m，B的质量为，B与地面间的动摩擦因数为μ。现给A施加一拉力F，使A缓慢移动，运动过程中拉力F与圆心连线O1O2的夹角始终为60°保持不变，直至A恰好运动到B的最高点，整个过程中B保持静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．拉力F先增大后减小 B．A、B间弹力逐渐减小 C．A、B间弹力的最大值为mg D．动摩擦因数的最小值 34．新疆是我国最大的产棉区，在新疆超出70%棉田都是通过机械自动化采收，自动采棉机将棉花打包成圆柱形棉包，然后平稳将其放下。放下棉包的过程可以简化为如图所示模型，质量为m的棉包放在V形挡板上，两板间夹角为120°固定不变，V形挡板可绕P轴在竖直面内转动，使BP板由水平位置逆时针缓慢转动，忽略V形挡板对棉包的摩擦力，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．棉包对AP板的压力一直减小 B．棉包始终受到三个力的作用 C．在AP板转到水平前，BP板与AP板对棉包的作用力的合力不变 D．当BP板转过60°时，棉包对BP板的作用力大小为mg 35．（多选）如图所示，两轻绳OA、OB一端系于结点O，另一端分别系于竖直放置的圆环上，OA水平，与OB夹角为α＝120°，在O点悬挂一物体M，下列关于OA、OB绳拉力的大小F1、F2的分析中，说法正确的是（　　） A．若圆环和绳OB固定不动，绳OA顺时针缓慢转动60°的过程中，F1先减小后增大 B．若圆环和绳OA固定不动，绳OB逆时针缓慢转动30°的过程中，F2逐渐减小 C．若圆环固定，保持夹角α始终不变，将绳OA、OB同时顺时针缓慢转过90°的过程中，F1先增大后减小，F2逐渐减小 D．若A、B端固定在圆环上，当圆环在竖直面内缓慢沿逆时针方向旋转30°过程中，F2逐渐变大 36．（多选）如图所示，倾角为30°、质量M＝4kg的斜面体C置于粗糙水平地面上，小物块B放在粗糙斜面上，质量m＝3kg，连接B的轻绳与斜面平行，轻绳跨过光滑轻质小滑轮与质量为m＝1kg的物块A相连。开始时A静止在滑轮正下方，现对A施加一个拉力F使A缓慢移动，F与连接A的轻绳OA的夹角始终保持120°，直至轻绳OA水平。此过程中B、C始终保持静止状态。g取10m/s2，则（　　） A．开始时，B所受摩擦力大小为5N B．OA水平时，轻绳拉力为N C．OA水平时，地面对C的支持力为N D．A缓慢移动过程中，轻绳拉力的最大值为N 37．（多选）如图，在水平桌面上叠放着两个物块B和C，轻绳绕过光滑的定滑轮O′，一端与C相连，另一端悬挂重物A。用外力F缓慢拉结点O，F方向与OO′的夹角为α＝120°且保持不变，将OO′从竖直拉至水平，两物块始终保持静止，下列说法正确的是（　　） A．绳子OO′的拉力先增大后减小 B．C对B的摩擦力一直在增大 C．地面对桌子的摩擦力先减小后增大 D．桌面对B的摩擦力先增大后减小 地 城 考点09 受力平衡中的临界与极限问题 38．单手抓球的难易程度和手的大小、手指与球间的动摩擦因数有关。用以下简化模型进行受力分析：假设用两手指对称抓球，手指与球心在同一竖直面，手指接触点连线水平且相距为L，球半径为R，接触点与圆心的连线与水平夹角为θ，手指和球间的动摩擦因数为μ，球质量为m。已知重力加速度为g，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，忽略抓球引起的球变形。下列说法正确的是（　　） A．每个手指对球的摩擦力大小为 B．两手指间距L的取值范围为 C．每个手指手对球的压力最小值为 D．手对球的压力增大2倍时，摩擦力也增大2倍 39．（多选）如图所示，小球a、b质量均为m，用细线相连并悬挂于O点。现用一轻质弹簧给小球a施加一个拉力F，使整个装置处于静止状态，且Oa与竖直方向的夹角为30°，已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，则弹簧形变量可能为（　　） A． B． C． D． 40．如图所示，三条轻绳结于P点，物块A用绳悬挂在结点P上，PQ绳与竖直墙角度β＝37°，由P点通过定滑轮C连接物块B的绳与水平方向的夹角α＝53°，PC部分水平，整个装置处于静止状态。已知物块A的质量为mA＝4kg，物块B的质量mB＝8kg，物块B与地面间的动摩擦因数为μ＝0.45，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，所有绳及光滑滑轮的质量不计。cos53°＝0.6，sin53°＝0.8，重力加速度大小为g＝10m/s2。求： （1）PQ绳的拉力大小和PC绳的拉力大小； （2）地面对物块B的支持力大小和地面对物块B的摩擦力大小； （3）如果仅改变物块A的质量大小，保持其他条件不变，轻绳不会崩断，整个装置仍处于静止状态，求物块A质量的最大值。 41．我国古代《墨经》一书中记载了利用斜面提升重物的方法，这一方法在现代生活中仍然被广泛应用。如图所示，装载货箱时，常会在卡车尾处斜搭表面均匀的长直木板构成斜面，工人施加一定的推力可将货箱沿斜面推入车厢。 已知斜面倾角θ＝30°，货箱质量为m，货箱与斜面间的动摩擦因数μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。若工人对货箱施加沿斜面向上的推力使货箱静止在斜面上，求：人对货箱推力大小的范围。 地 城 考点10 自锁问题 42．如图所示，两个相同小物块A、B（可视为质点）静止放在粗糙水平面上，两物块与水平面间的动摩擦因数均为μ，两根等长轻杆一端分别通过光滑铰链连接在A、B上，另一端通过光滑铰链连接在O处，两杆夹角为α。A、B的重力大小均为G，已知物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）对O施加一个竖直向上的拉力F，要使两物块发生滑动，F应满足什么条件？ （2）若α＝60°，对O施加一个竖直向下的压力F，无论F多大均不能使A、B与水平面发生相对滑动，则物块与水平面间的动摩擦因数应满足什么条件？ 43．拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图）。设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。 （1）若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。 （2）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ．已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切tanθ0。 44．一般教室门上都安装一种暗锁，这种暗锁由外壳A、骨架B、弹簧C（劲度系数为k）、锁舌D（倾角θ＝30°）、锁槽E以及连杆、锁头等部件组成，如图甲所示。设锁舌D的侧面与外壳A和锁槽E之间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力Ffm由Ffm＝μFN（FN为正压力）求得。有一次放学后，当某同学准备关门时，无论用多大的力，也不能将门关上（这种现象称为自锁），此刻暗锁所处的状态的俯视图如图乙所示，P为锁舌D与锁槽E之间的接触点，弹簧由于被压缩而缩短了x。 （1）试问，自锁状态时D的下表面所受摩擦力的方向； （2）求此时（自锁时）锁舌D与锁槽E之间的正压力的大小； （3）无论用多大的力拉门，暗锁仍然能够保持自锁状态，则μ至少要多大？ 地 城 考点11 晾衣杆模型 45．如图所示，一不可伸长的轻绳两端固定在晾衣杆的A、B两点。衣服通过衣架的光滑挂钩挂在轻绳上，同时衣服受到水平向右的恒定风力F，平衡后将结点B缓慢上移，绳子中的拉力将（　　） A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．先变大后变小 D．保持不变 46．如图所示，四分之一圆柱体P放在水平地面上，右侧与一块固定的竖直挡板Q接触；球心O的正上方有一个大小可忽略的定滑轮A，一根轻绳跨过定滑轮，一端和置于圆柱体P上的小球（质量为m）连接，另一端系在固定竖直杆上的B点，一钩码（质量为m0）挂在AB间的轻绳上，整个装置处于静止状态。不计一切摩擦。若在钩码下方再加挂一个钩码，整个装置再次处于静止状态时小球依然处于圆柱体P上，则此时与先前整个装置处于静止状态时相比（　　） A．轻绳的张力减小 B．P对小球的弹力增大 C．P对Q的压力增大 D．P对地面的压力减小 47．（多选）如图所示，小球A通过小滑轮P用细线悬挂在空中，细线一端固定在M点，另一端跨过小滑轮O1连接一弹簧。弹簧下端与小球B连接，小球B置于粗糙水平面上的光滑半圆柱体上，两球均处于静止状态。已知B球质量为m，小滑轮O1用轻杆固定在半圆柱体圆心O2的正上方，O1B与竖直方向成30°角。O1B长度与半圆柱体半径相等，O1P与竖直方向成60°角，细线、滑轮、弹簧质量可忽略不计，弹簧始终在弹性限度内，则下列叙述正确的是（　　） A．A球质量为 B．杆对滑轮O1作用力大小为 C．地面对半圆柱体的摩擦力大小为0.5mg D．若将AB两小球的质量均加倍，PM与竖直方向夹角保持不变 48．（多选）如图所示，倾角为α的粗糙斜劈放在粗糙水平面上，物体a放斜面上，轻质细线一端固定在物体a上，另一端绕过光滑的滑轮2挂在C点，滑轮2下悬挂物体b，细线与竖直墙壁之间的夹角为θ，系统处于静止状态，点c可以沿墙壁向上或向右移动少许，移动过程中物体a和斜劈均静止，则下列说法正确的是（　　） A．点c向上移动，θ不变，物体b的位置不变 B．点c向右移动，θ变大，斜劈对物体a的摩擦力变大 C．点c向右移动，θ变大，地面对斜劈的摩擦力变大 D．点c向右移动，θ变大，地面对斜劈的支持力不变 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 共点力的平衡 11大高频考点概览 考点01 判断物体的受力个数（共4小题） 考点02 共点力的平衡问题及求解（共5小题） 考点03 利用平衡推论求解受力问题（共5小题） 考点04 整体法与隔离法处理物体的平衡问题（共5小题） 考点05 解析法求共点力的平衡（共5小题） 考点06 图解法解决动态平衡问题（共4小题） 考点07 相似三角形法解决动态平衡问题（共4小题） 考点08 辅助圆法解决动态平衡问题（共5小题） 考点09 受力平衡中的临界与极限问题（共4小题） 考点10 自锁问题（共3小题） 考点11 晾衣杆模型（共4小题） 地 城 考点01 判断物体的受力个数 1．如图所示，两小球A、B通过轻质细杆相连，斜靠在车厢里，两小球及车厢均处于静止状态，则下列说法不正确的是（　　） A．A球可能受到3个力的作用 B．A球可能受到4个力的作用 C．B球一定受到3个力的作用 D．B球一定受到4个力的作用 【答案】C 【解答】解：AB.A球受重力、杆的支持力、车厢的支持力的作用，而车厢的摩擦力可能有，也可能没有，所以A球既可能受到3个力的作用，也可能受到4个力的作用，故A、B正确； CD.B球一定受到重力、车厢的支持力、轻杆的弹力、车厢的摩擦力这4个力的作用，故C错误，D正确。 本题选不正确的，故选：C。 2．高血压的诱因之一是血管变细。为研究该问题，假设血液通过一定长度血管时受到的阻力与血液流速的平方成正比，即f＝kv2（其中k与血管粗细无关），为维持血液匀速流动，在这血管两端需要有一定的压强差。设血管内径为d时所需的压强差为Δp，若血管内径减为d′时，为了维持在相同时间内流过同样多的血液，压强差必须变为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据血液是匀速流动，说明受力平衡，即血压产生的压力等于阻力，则在正常情况下有： ΔpS＝F＝f＝kv2 …① 血管变细后有：Δp′S′＝kv′2…② 因为在相同时间内流过的血液量不变，则有： S⋅v⋅t＝S′v′t，即 S⋅v＝S′v′ 又因为 ， 所以 …③ ①②③式联立，计算得出：。 故BCD错误，A正确。 故选：A。 3．（多选）如图所示，物体A静止在粗糙的水平地面上，一轻质细线跨过固定倾斜直杆顶端的光滑轻质定滑轮，细线一端连接静止于水平地面上的质量为mA的物体A，细线另一端与另外两根细线在O点形成“死结”，结点O下方细线悬挂物体B。现左端细线用与水平方向成30°角的斜向左上方的力F拉住，使结点右侧的细线与水平方向的夹角为30°。已知物体A与水平地面间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，定滑轮右侧细线与水平方向的夹角为45°，物体A、B保持静止状态，以下说法正确的是（　　） A．轻质细线对物体A的拉力大小为F B．.地面对物体A的摩擦力大小为 C．.物体B的质量为 D．.物体A对地面的压力大小为 【答案】AC 【解答】解：AC.对结点O进行受力分析，受力情况如下图所示 根据平衡条件，有 水平方向满足Fcos30°＝Tcos30° 竖直方向Fsin30°+Tsin30°＝FT 其中FT＝mBg，联立以上各式解得 T＝F，定滑轮两边实际是同一根绳，故细线对物体A的拉力大小也等于F， FT＝F＝mBg，得mB，故AC正确； BD.对A进行受力分析，如图所示 根据平衡条件 水平方向：Tcos45°＝f 竖直方向：Tsin45°+FN＝mAg 解得摩擦力fF 支持力FN＝mAgF，A对地面的压力大小也等于FN的大小， 由于A与地面之间的摩擦力是静摩擦力，不能根据滑动摩擦力公式运算，故BD错误。 故选：AC。 4．重力为G的物体A，静止在倾角为θ的斜面B上，求： （1）对物体A受力分析，画出示意图 （2）求物体A的合力是多少；利用已知量G和θ，求出A受到的其他力的大小． 【答案】解：（1）如图，物体A受到3个力作用：重力G，支持力FN和静摩擦力f （2）物体A静止，则合力为零，可得： 支持力：FN＝Gcosθ 静摩擦力：f＝Gsinθ 答：（1）物体A受到3个力：重力G，支持力FN和静摩擦力f，画出示意图如图． （2）物体A的合力是零；支持力为Gcosθ和静摩擦力为Gsinθ． 地 城 考点02 共点力的平衡问题及求解 5．如图所示，一个内表面光滑半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗的球半径为R，一根轻质杆的两端固定有A、B两个小球（可视为质点），质量分别是m1、m2，已知杆长为，杆静止时与水平面夹角为15°，则A、B两小球的质量之比是（　　） A．2：1 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由几何关系可知OA、OB的夹角为90°，OB与水平方向的夹角为30°，OA与水平方向的夹角为60°，选取两小球和杆作为研究对象，受力分析如下图所示 由平衡条件得，F1在水平方向的分力F'和F2在水平方向的分力F''相等，即 F1cos60°＝F2cos30° 所以 在以小球1为研究对象，受力分析如下图所示 根据平衡条件得F与m1g的合力与F1等大反向，图中两个阴影三角形相似，则得 再以小球2为研究对象得 则得 解得 故B正确，ACD错误。 故选：B。 6．如图所示，质量均为m的n（n＞3）个相同匀质圆柱体依次搁置在倾角为30°的光滑斜面上，斜面底端有一竖直光滑挡板挡住使圆柱体均处于静止状态，已知重力加速度为g，则下列说法中正确的是（　　） A．挡板对圆柱体1的弹力大小为 B．圆柱体1对斜面的压力大小为 C．圆柱体2对圆柱体1的压力大小为 D．若将挡板绕下端点缓慢逆时针转动60°，则转动过程中斜面对每个圆柱体的支持力均减小 【答案】B 【解答】解：A、以整体为研究对象，受力情况如图所示： 挡板对圆柱体1的弹力大小为T＝nmgtan30°，故A错误； B、以圆柱体1为研究对象，受力如图，则： 沿斜面的方向：N′+mgsin30°＝N2cos30° 垂直于斜面的方向：N1＝N2sin30°+mgcos30° 所以N1．根据牛顿第三定律可得圆柱体1对斜面的压力大小为，故B正确； C、选取除1以外的所有圆柱体为研究对象，整体受到重力、斜面从支持力和圆柱体1的支持力，根据共点力平衡的条件可知，整体受到的1的支持力与整体的重力沿斜面方向的分力大小相等，方向相反，所以：N21＝（n﹣1）mgsin30°mg，根据牛顿第三定律可得，圆柱体2对圆柱体1的压力大小为mg，故C错误； D、若将挡板绕下端点缓慢逆时针转动60°，圆柱体2到圆柱体n受力情况不变，则转动过程中斜面对2到n圆柱体的支持力均不变，故D错误。 故选：B。 7．（多选）如图所示，倾角为α＝30°的粗糙斜劈放置在水平面上，连接物体a、c的轻质细线绕过两个光滑小滑轮，其中a和滑轮1间的细线平行于斜面，滑轮1固定在斜劈上，滑轮2下吊物体b，c穿在水平横杆上，系统静止。物体a受到斜劈的摩擦力大小为Ff1，c受到横杆的摩擦力大小为Ff2，a，b，c三物体的质量均为m，a与斜面c与横杆之间的动摩擦因数μ，β＝60°，若将c向右缓慢移动，a物体仍处于静止状态，则在该过程中，以下说法正确的是（　　） A．Ff1和Ff2，都将变大 B．Ff1由沿斜面向上改为沿斜面向下，Ff2始终沿横杆向右 C．图中的β≤120° D．斜劈受到地面的摩擦力和横杆受到物体c的摩擦力都变大 【答案】ACD 【解答】解：1．以滑轮2为研究的对象，受力如图1： 若将c向右移动少许，两个绳子之间的夹角β增大。由于b对滑轮的拉力不变，两个绳子之间的夹角变大，所以看到绳子的拉力F一定变大。 2．斜面的倾角为α，设物体a的质量为m，以a为研究的对象。 初状态：a的重力沿斜面向下的分力为mgsinα＝0.5mg，绳子拉力大小为F，则有：2Fcos30°＝mg，解得：F0.5mg，所以开始a受到的摩擦力方向沿斜面向下；当F逐渐增大时，Ff1也逐渐增大； 3．以c为研究的对象，受力如图2 则沿水平方向：FsinFf2＝0。 由于将c向右移动少许，细线的拉力将变大，β增大，所以Ff2＝Fsin一定增大。 4．以物体a与斜劈组成的整体为研究的对象，整体受到重力、地面的支持力、绳子对a的拉力、两根绳子对滑轮1的向下的压力以及地面的摩擦力的作用，其中是水平方向上系统受到的摩擦力与a受到的绳子在水平方向的分力是相等的，即：f′＝Fsin。 由于将c向右移动少许，细线对a的拉力F变大，所以地面对斜劈的摩擦力增大。 5．以b为研究对象，绳子拉力F； 当c打滑时，以c为研究对象，水平方向根据平衡条件可得：Fsinμ•（mg+Fcos），解得：β＝120°； 当a打滑时，F＝mgsinα+μmgcosα，解得β＝120°，所以图中的β≤120° 综上所述，可知B错误，ACD正确。 故选：ACD。 8．（多选）如图所示，光滑的轻滑轮通过支架固定在天花板上，一足够长的细绳跨过滑轮，一端悬挂小球b，另一端与套在水平细杆上的小球a连接。在水平拉力F作用下小球a从图示虚线位置开始缓慢向右移动（细绳中张力大小视为不变）。已知小球b的质量是小球a的2倍，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，小球a与细杆间的动摩擦因数为．则下列说法正确的是（　　） A．当细绳与细杆的夹角为60°时，拉力F的大小为（2）mg B．支架对轻滑轮的作用力大小逐渐增大 C．拉力F的大小一直增大 D．拉力F的大小先减小后增大 【答案】AC 【解答】解：A、当细绳与细杆的夹角为60°时，拉力F的大小为：F＝2mg（cosθ+μsinθ）﹣μmg＝2mg（cos60°sin60°）mg＝（2）mg，故A正确； B、向右缓慢拉动的过程中，两个绳子之间的夹角逐渐增大，绳子的拉力不变，所以绳子的合力减小，则绳子对滑轮的作用力逐渐减小，根据共点力平衡的条件可知，支架对轻滑轮的作用力大小逐渐减小，故B错误； CD、设a的质量为m，则b的质量为2m；以b为研究对象，竖直方向受力平衡，可得绳子拉力始终等于b的重力，即T＝2mg，保持不变； 以a为研究对象，受力如图所示， 设绳子与水平方向夹角为θ，支持力FN＝2mgsinθ﹣mg，向右缓慢拉动的过程中，θ角逐渐减小； 水平方向：F＝f+2mgcosθ＝2mgcosθ+μ（2mgsinθ﹣mg）＝2mg（cosθ+μsinθ）﹣μmg 由于：cosθ+μsinθ＝cosθsinθ（sin60°cosθ+cos60°sinθ） sin（60°+θ） 由于θ从90°开始逐渐减小，则（60°+θ）从150°逐渐减小时sin（60°+θ）逐渐增大； 当θ＜30°后，F＝f+2mgcosθ＝2mgcosθ+μ（mg﹣2mgsinθ）＝2mg（cosθ﹣μsinθ）+μmg 由于：cosθ﹣μsinθ＝cosθsinθ（cos60°cosθ﹣sin60°sinθ）cos（60°+θ） 当θ从30°逐渐减小的过程中，cos（60°+θ）逐渐增大，所以当θ从30°逐渐减小的过程中F仍然逐渐增大。 可知水平拉力一直增大；故C正确，D错误； 故选：AC。 9．如图所示，质量M＝2kg的木块套在水平杆上，并用轻绳与质量mkg的小球相连。今用跟水平方向成30°角的力F＝10N拉着小球并带动木块一起向右匀速运动，运动中M、m的相对位置保持不变，g＝10m/s2，求运动过程中轻绳与水平方向的夹角θ及木块M与水平杆间的动摩擦因数。 【答案】解：以M、m整体为研究对象。由平衡条件得 水平方向Fcos 30°﹣μN＝0 ① 竖直方向N+Fsin 30°﹣Mg﹣mg＝0 ② 由①②得μ 以m为研究对象，由平衡条件得 水平方向Fcos 30°﹣Tcos θ＝0③ 竖直方向Fsin 30°+Tsin θ﹣mg＝0④ 由③④得θ＝30°。 答：轻绳与水平方向的夹角为30°，木块M与水平杆间的动摩擦因数为。 地 城 考点03 利用平衡推论求解受力问题 10．如图所示，A、B两轻质弹簧原长分别为l1和l2，劲度系数分别为k1和k2，竖直地悬挂在天花板上，两弹簧之间连接有一质量为m1的物体，最下端挂着质量为m2的另一物体，整个装置处于静止状态。现用一个平板把下面的物体缓慢向上托起，直到两个弹簧的总长度等于两弹簧原长之和，则（　　） A．此时A、B两弹簧均处于原长状态 B．此时A弹簧处于压缩状态，B弹簧处于拉伸状态 C．此过程m2上升的高度是 D．此过程m2上升的高度是 【答案】D 【解答】解：AB、开始时，两弹簧都处于拉伸状态，现用一个平板把下面的物体缓慢向上托起，当两个弹簧的总长度等于两弹簧原长之和时，对m1的物体进行受力分析可知，若A、B两弹簧均处于原长状态，可得m1的物体不能平衡；同理，若A弹簧处于压缩状态，B弹簧处于拉伸状态可得m1的物体仍然不能平衡，所以可得此时A弹簧处于拉伸状态，B弹簧处于压缩状态且有两弹簧的形变量相同，故AB错误； CD、根据平衡条件可得，开始时A弹簧的伸长量为 B弹簧的伸长量为 开始时两弹簧均处于拉伸状态，最后两个弹簧的总长度等于两弹簧原长之和，所以此过程m2上升的高度即为开始时两弹簧的形变量之和，即为，故C错误，D正确。 故选：D。 11．如图所示，光滑的圆轨道竖直固定在水平地面上，O为圆心，A为轨道上的一点，OA与水平面夹角为30°。小球在拉力F作用下始终静止在A点。当拉力方向水平向左时，拉力F的大小为10N。当将拉力F在竖直平面内顺时针转至沿圆轨道切线方向时，拉力F的大小为（　　） A．5N B． C．10N D． 【答案】A 【解答】解：当拉力水平向左时，受到竖直向下的重力，沿OA向外的支持力，以及拉力F的作用，如图所示： 根据矢量三角形可得： 当拉力沿圆轨道切线方向时，受力如图所示： 根据矢量三角形可得： 故A正确，BCD错误。 故选：A。 12．（多选）A，B、C三物块分别为M、m和m0，作如图所示的联结，绳子不可伸长，且绳子和滑轮的质量、滑轮的摩擦均可不计，若B随A一起沿水平桌面做匀速运动．则可以断定（　　） A．物块A与桌面之间有摩擦力，大小为m0g B．物块A与B之间有摩擦力，大小为m0g C．桌面对A、B对A都有摩擦力，两者方向相同，合力为m0g D．桌面对A有摩擦力，B对A摩擦力为0 【答案】AD 【解答】解：A、因为AB一起沿水平桌面做匀速运动，所以整体受到水平向右的拉力和水平向左的摩擦力，因此M受到桌面对其向左的摩擦力等于绳子的拉力，因为拉力等于m0的重力，所以物体A与桌面间的摩擦力等于拉力，即m0g，故A正确； B、对m进行受力分析可得，m受重力、支持力，因m水平方向不受外力，故m不会受到M对m的摩擦力，故AB间没有摩擦力，故D正确，BC错误。 故选：AD。 13．（多选）如图所示，定滑轮A固定在天花板上，轮轴及滑轮表面均光滑，水平地面上固定铰链B，B在A的正下方，轻质硬直杆一端连接B，另一端连接质量为m的小球C（视为质点），轻质细线跨过A，一端连接C，另一端与轻质弹簧相连。在弹簧的右端施加一个力F1（未知量），系统处于第一个静止状态，ABC成边长为d的正三角形，弹簧的长度为1.5l；撤去F1，在弹簧的右端施加力F2（未知量），使得A、C间的距离为0.5d，系统处于第二个静止状态，弹簧的长度为l，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（　　） A．两种状态下，杆对小球的弹力等大 B．F1＝1.5F2 C．弹簧的劲度系数为 D．当系统处在第二个静止状态时，弹簧的伸长量为0.5l 【答案】AD 【解答】解：对小球C受力分析，受到重力，杆对小球C的支持力，绳子的拉力，如图所示 由数学知识可知，矢量三角形与三角形ABC相似，所以 两次静止状态下，小球C的重力mg和三角形的边长AB都不变，所以上式中比值不变，两次静止状态下，BC边长度不变，AC边长度变为原来的一半，则N1＝N2＝mg，F1＝2F2＝mg 设弹簧原长为l0，劲度系数为k，则 k（1.5l﹣l0）＝2k（l﹣l0）＝mg 解得k，l0 当系统处在第二个静止状态时，弹簧的伸长量为Δx＝l﹣l0＝0.5l 故BC错误，AD正确； 故选：AD。 14．根据亚里士多德的论断：重的物体下落的比轻的物体快，那么，大的石头比小的石头下落的要快。伟大的意大利物理学家和天文学家伽利略利用两个捆绑小球的思想实验推翻了这一观点。 （1）将质量为M的球和质量为m的球绑在一起（M＞m），请利用反证法证明亚里士多德的观点是不成立的。 （2）如图1，两段等长轻质细线将质量分别为m、3m的小球a、b，悬挂于O点。现在两个小球上分别加上水平方向的外力，其中作用在a球上的力大小为F1、作用在b球上的力大小为F2，则当此装置平衡时： ①若出现了右所示的状态，b球刚好位于O点的正下方。则F1与F2的大小之比为 　7：3　 。 ②若两小球质量均为m，F1：F2＝1：2，求作两小球平衡时的状态图。 ③若两小球质量均为m，F1＝F2，求作两小球平衡时的状态图。 （3）两个相同的小球A和B质量均为m，用长度相同的两根细线把A、B两球悬挂在水平天花板上的同一点O，并用长度相同的细线连接A、B两小球，然后，用一水平方向的力F作用在小球A上，此时三根细线均处于直线状态，且OB细线恰好处于竖直方向，如图2所示，如果不考虑小球的大小，两小球均处于静止状态，求： ①OB绳、OA绳中的拉力分别为多大？ ②作用力F为多大？ ③若改变力F的方向，但依然保持OB绳处于竖直方向，则F的最小值为多少，方向如何？ 【答案】（1）假设亚里士多德观点正确，设 M 单独下落速度为 x，m 单独下落速度为 y，则 x＞y 因为M+m＞M，所以此时下落速度大于 x，又因为小球下落速度比大球慢，所以会拖累大球速度，导致下落速度小于 x，这与下落速度大于 x 相矛盾，假设不成立。 所以亚里士多德结论错误。 （2）①7：3；②；③。 （3）①OB绳中的拉力为mg、OA绳中的拉力为2mg； ②作用力F为； ③F的最小值为mg，方向：与竖直方向成30°角斜向右上。 【解答】解：（1）假设亚里士多德观点正确，设 M 单独下落速度为 x，m 单独下落速度为 y，则 x＞y 因为M+m＞M，所以此时下落速度大于 x，又因为小球下落速度比大球慢，所以会拖累大球速度，导致下落速度小于 x，这与下落速度大于 x 相矛盾，假设不成立。 所以亚里士多德结论错误。 （ 2 ） ①a受到F1水平向右的力，b受到F2的水平向左的力，以整体为研究对象，分析受力如图： 设Oa绳与竖直方向的夹角为α，则由平衡条件得：tanα 以b球为研究对象，受力如图。设ab绳与竖直方向的夹角为β， 则由平衡条件得：tanβ 由几何关系得到：α＝β 联立解得：； ②设每个球的质量为m，oa与ab和竖直方向的夹角分别为α、β。 以两个小球组成的整体为研究对象，分析受力情况，根据平衡条件可知，oa绳的方向不可能沿竖直方向，否则整体的合力不为零，不能保持平衡。 故F1：F2＝1：2 平衡图像如下图所示 ③以两个小球组成的整体为研究对象，分析受力情况，根据平跟条件物体oa绳子水平方向受力平衡，绳子是竖直方向，否则整体的合力不为零，不能保持平衡。 故F1＝F2平衡图像如图所示 （3）①因OB绳处于竖直方向，小球B处于平衡状态，所以AB绳上的拉力为零。 OB绳对小球B的拉力TOB＝mg，对小球A受力分析，如图所示 小球A在重力mg、水平拉力F和OA绳的拉力FOA三力作用下平衡，根据平衡知识， 知OA绳对小球A的拉力TOA2mg； ②作用力F＝mgtan60°mg； ③若保持OB绳处于竖直方向，小球B处于平衡状态，则AB绳上的拉力仍为零，则由矢量图形知F与竖直方向成30°角斜向右上时 拉力F最小，最小拉力为Fmin＝mgsin60°mg。 答：（1）假设亚里士多德观点正确，设 M 单独下落速度为 x，m 单独下落速度为 y，则 x＞y 因为M+m＞M，所以此时下落速度大于 x，又因为小球下落速度比大球慢，所以会拖累大球速度，导致下落速度小于 x，这与下落速度大于 x 相矛盾，假设不成立。 所以亚里士多德结论错误。 （2）①7：3；②；③。 （3）①OB绳中的拉力为mg、OA绳中的拉力为2mg； ②作用力F为； ③F的最小值为mg，方向：与竖直方向成30°角斜向右上。 地 城 考点04 整体法与隔离法处理物体的平衡问题 15．如图所示，墙角处用轻杆连接相同材质a、b两球，质量为m的a球靠在光滑墙壁上，质量为2m的b球置于粗糙水平地面上，与地面的动摩擦因数为μ，杆与竖直方向的夹角θ＝37°，此时系统恰好保持静止状态。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．动摩擦因数 B．杆对a球支持力大小为 C．若仅增加杆与竖直方向的夹角，则系统仍可保持静止 D．若交换a、b的位置但杆与竖直方向的夹角不变，则系统不能保持静止 【答案】D 【解答】解：AB、对小球a受力分析，如图所示： 根据平衡条件得：，N＝mgtanθ 对整体分析，根据平衡条件得：FN＝（m+2m）g 据摩擦力公式fm＝μ•FN＝N 解得：，故AB错误； CD、若仅增加杆与竖直方向的夹角θ，根据N＝mgtanθ可知墙壁对小球a的弹力N增大，此时N＞fm，水平方向受力不平衡，b球将向右移动； 若交换a、b的位置但杆与竖直方向的夹角不变，假定系统仍然静止，在水平方向N＝2mgtanθ＞fm，b球将向右滑动，系统不会平衡，故C错误，D正确。 故选：D。 16．（多选）如图所示，三个外观完全相同的匀质圆柱体A、B、C叠放后置于水平面上，两侧用挡板夹住，现在两侧挡板上施加水平方向的外力F，平衡时，三个圆柱体两两相切，忽略一切摩擦，已知B、C圆柱体的质量均为m，A圆柱体的质量为2m，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．B对A的支持力大小为mg B．B对地面的压力大小为2mg C．当B、C间的作用力为零时，Fmg D．若圆柱保持静止，则B、C间的作用力为Fmg 【答案】BD 【解答】解：A、对A受力分析，如图所示。 根据平衡条件可得2F1cos30°＝2mg，解得B对A的支持力大小为F1mg，故A错误； B、对ABC整体，竖直方向根据平衡条件可知，地面对整体的支持力为FN＝2mg+mg+mg＝4mg，根据对称性可知，地面对B的支持力大小为2mg，根据牛顿第三定律可知，B对地面的压力大小为2mg，故B正确； C、当B、C间的作用力恰为零时，A对B的压力的水平分力应恰好等于F，则有F1cos60°＝F，解得：Fmg，故C错误； D、若圆柱保持静止，对B，水平方向根据平衡条件得F＝F2+F1cos60°，可得B、C间的作用力为F2＝Fmg，故D正确。 故选：BD。 17．（多选）如图所示，质量为m的匀质细绳，一端系在天花板上的A点，另一端系在竖直墙壁上的B点，平衡后最低点为C点。现测得AC段绳长是CB段绳长的n倍，且绳子A端的切线与竖直方向的夹角为β，绳子B端的切线与墙壁的夹角为α（重力加速度为g）则（　　） A．绳子在C处弹力大小Fctanα B．绳子在A处的弹力大小FA C．绳子在B处的弹力大小FBcosα D．tanα：tanβ＝n：1 【答案】BD 【解答】解：AC、对CB段绳受力分析，受到重力G1mg、墙壁的拉力FB、AC段绳子对其向左的拉力FC，如图1所示。 根据平衡条件得 竖直方向有 FBcosα＝G1 水平方向有 FBsinα＝FC 联立解得FC，FB，故AC错误； B、对AC段绳子受力分析，受重力G2mg、BC段绳子对其向右的拉力FC′，天花板对其的拉力FA，如图2所示。 根据平衡条件有 FAcosβmg，FAsinβ＝FC′ 又根据牛顿第三定律有 FC′＝FC 联立解得FA，故B正确； D、根据力的合成法可得tanα，tanβ，G2＝nG1，则tanα：tanβ＝n：1，故D正确。 故选：BD。 18．攀爬运动可以很好的锻炼儿童的四肢协调能力。如图所示，质量M＝300kg的攀爬装置放在地面上，装置上表面与水平面夹角为37°，假设装置上表面光滑，有一个质量为m＝28kg的小孩在攀爬过程中，用力拉住绳索保持平衡，绳索与竖直方向的夹角为45°，整个装置处于静止状态。（假设小孩可以看作质点，sin37°，cos37°，重力加速度g取10m/s2）求此状态下： （1）绳索对小孩的拉力大小和装置对小孩的支持力大小； （2）地面对装置的支持力和摩擦力的大小。 【答案】（1）绳索对小孩的拉力大小为120N，装置对小孩的支持力大小为200N； （2）地面对装置的支持力为3160N，摩擦力的大小为120N。 【解答】解：（1）小孩受到重力、支持力N和绳索的拉力F，如图1所示。 水平方向根据平衡条件可得 Nsin37°＝Fsin45° 竖直方向根据平衡条件可得 Ncos37°+Fcos45°＝mg 联立解得 F＝120N，N＝200N （2）以整体为研究对象，整体受到重力、地面的支持力和摩擦力、绳索的拉力，如图2所示。 水平方向根据平衡条件可得 f＝Fsin45° 竖直方向根据平衡条件可得 Fcos45°+N′＝Mg+mg 解得 N′＝3160N，f＝120N 答：（1）绳索对小孩的拉力大小为120N，装置对小孩的支持力大小为200N； （2）地面对装置的支持力为3160N，摩擦力的大小为120N。 19．如图所示，倾角为θ＝53°的粗糙斜面体固定在水平地面上，质量为mA＝2kg的物块A静止在斜面上，斜面与A之间的动摩擦因数为μ＝0.5，与A相连接的绳子跨在固定于斜面顶端的小滑轮上的E点，绳子另一端固定在与滑轮等高的F点，且EF＝1m。再在绳上放置一个动滑轮，其下端的挂钩与物块B连接，物块B、C、D与弹簧1、2均拴接，弹簧1、2劲度系数均为k1＝k2＝96N/m，物块B、C、D质量均为m＝1kg，当绳子的张角α＝74°时整个系统处于平衡状态，而且A恰好不下滑。若弹簧、绳子、小滑轮的重力以及绳子与滑轮间的摩擦力均可忽略，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 （1）此时绳子的拉力T的大小； （2）对物块A施加一个沿斜面向下的拉力F，使其缓慢下滑一段距离至物块D对地的压力恰好减小至零，求 ①物块B上升的高度h； ②此时拉力F的大小。 【答案】（1）此时绳子的拉力T的大小是10N； （2）①物块B上升的高度h是m； ②此时拉力F的大小是15N。 【解答】解：（1）物体A受力如图所示 由平衡条件得T+f＝mAgsinθ，FN＝mAgcosθ 摩擦力大小f＝μFN 代入数据解得T＝10N （2）①对B，由于， 则BC物体间的弹簧处于伸长状态，设其伸长量为x1， 对B，由平衡条件得 代入数据解得 由于BC间弹簧的弹力大小为F1＝k1x1＝96N＝6N＜mg＝1×10N＝10N 故CD间的弹簧处于压缩状态，设其压缩量为x2，对C物体，由平衡条件得k1x1+k2x2＝mg 代入数据解得 当物体D对地面的压力刚好为零时，设CD间弹簧的伸长量为x2'， 根据平衡条件则有k2x2'＝mg，代入数据解得 设此时BC间的弹簧的伸长量为x1'，对物体C，由平衡条件得2mg＝k1x1' 代入数据解得 物体B移动的距离为L＝x1′﹣x1+x2+x2′，代入数据解得Lm ②设开始时B物体到滑轮顶端的竖直高度为h1， 根据几何三角形可得，代入数据解得 当物块体D对地面的压力刚好为零时，此时B物体到滑轮顶端的竖直高度h2＝h1﹣Lmmm 设此时左侧绳子与竖直方向的夹角为β，拉力大小为T′，则有tanβ，则β＝53° 对B物体，由平衡条件得2T′cosβ＝3mg，代入数据解得T′＝25N 对物体A，由平衡条件得F+mAgsinθ＝f+T'，代入数据解得F＝15N 答：（1）此时绳子的拉力T的大小是10N； （2）①物块B上升的高度h是m； ②此时拉力F的大小是15N。 地 城 考点05 解析法求共点力的平衡 20．如图甲是工人在高层安装空调时吊运室外机的场景，简化图如图乙所示。一名工人在高处控制绳子P，另一名工人站在水平地面上拉住另一根绳子Q。在吊运的过程中，地面上的工人在缓慢后退时缓慢放绳，室外机缓慢竖直上升，绳子Q与竖直方向的夹角近似不变，绳子质量忽略不计，则下列说法正确的是（ ） A．绳子P上的拉力不断变大 B．绳子Q上的拉力先变小后变大 C．地面对工人的支持力不断变大 D．绳子P、Q对室外机的拉力的合力不断变大 【答案】A 【解答】解：AB、对室外机分析受力，分别受P、Q拉力F1、F2和自身重力mg而平衡，外机受力如图所示。 将这三个力构成矢量三角形，如图所示。 由图可知，地面上的工人在缓慢后退时缓慢放绳过程中，β不变，α逐渐增大，F1、F2均增大，故A正确，B错误； C、β不变，绳子Q的拉力增大，则Q的拉力在竖直方向的分力增大，对地面工人，由平衡条件易得地面对工人的支持力不断变小，故C错误； D、因室外机受到P、Q拉力F1、F2和自身重力mg而平衡，所以由平衡条件可知，绳子P、Q对室外机的拉力的合力与室外机的重力始终等大反向，则绳子P、Q对室外机的拉力的合力不变，故D错误。 故选：A。 21．甲、乙两同学用如图所示的方法将带挂钩的重物抬起。不可伸长的轻绳两端分别固定于刚性直杆上的A、B两点，轻绳长度大于A、B两点间的距离。现将挂钩挂在轻绳上，乙站直后将杆的一端搭在肩上并保持不动，甲蹲下后将杆的另一端搭在肩上，此时物体刚要离开地面，然后甲缓慢站起至站直。若甲、乙站直后肩膀高度相同，不计挂钩与绳之间的摩擦。在甲缓慢站起至站直的过程中，下列说法正确的是（ ） A．轻绳的张力一直变大 B．轻绳的张力一直变小 C．轻绳对挂钩的作用力一直变小 D．轻绳对挂钩的作用力一直变大 【答案】A 【解答】解：AB、对节点受力分析，如图所示： 不计挂钩与绳之间的摩擦，则挂钩可视为“活结”，则挂钩两侧绳上的拉力大小相等； 设带挂钩的重物质量为m，挂钩两侧轻绳的夹角为θ，轻绳上的拉力为F，甲缓慢站起至站直的过程，可视为动态平衡，由共点力的平衡可得 则当甲缓慢站起至站直的过程中，轻绳间的夹角θ变大，变小，轻绳的张力变大；甲、乙站直后肩膀高度相同，当甲站直时，杆水平，轻绳间夹角最大，轻绳的张力最大。所以轻绳的张力大小一直变大，故A正确，B错误； CD．轻绳对挂钩的作用力与重物的重力平衡，始终与重物的重力大小相等。轻绳对挂钩的作用力一直不变。故CD错误。 故选：A。 22．如图所示，一玻璃清洁工人坐在简易的小木板BC上，通过楼顶的滑轮和轻质绳索OA在竖直平面内缓慢下降。在下降过程中，工人腿部与竖直玻璃墙的夹角β＝60°，且保持不变。玻璃墙对脚的作用力始终沿腿方向，小木板BC保持水平且与玻璃墙平行。某时刻轻绳OA与竖直玻璃墙的夹角α＝30°，连接小木板的两等长轻绳AB、AC的夹角θ＝120°，且与OA在同一倾斜平面内。已知工人及工具的总质量m＝80kg，小木板的质量可忽略不计，g＝10m/s2。假设工人姿势保持不变，下列说法正确的是（　　） A．此时，玻璃墙对脚的作用力大小为 B．此时，AB、AC绳上的张力大小均为400N C．从该时刻起，工人缓慢下降过程中，玻璃墙对脚的作用力逐渐减小 D．从该时刻起，工人缓慢下降过程中，OA绳上的张力逐渐减小 【答案】C 【解答】解：AB．对工人受力分析如图1，根据平衡条件有 图1 F＝mgcosβ＝80×10N＝400N 绳AB的张力大小TOA＝mgcosα＝80×10N＝400N 根据力的合成可知AB、AC绳上的张力大小均为2Tcos60°＝TOA 解得T＝400N 故AB错误； CD．对工人和小木板整体受力分析如图2所示： 图2 因某时刻，β＝60°，α＝30°，故玻璃墙对脚的作用力F1的方向与绳索OA的拉力F2的方向垂直，从该时刻起，工人在缓慢下移的过程中，F1的方向不变，α减小，F2的方向向竖直方向靠近，由图1可知F1变小，F2变大，由牛顿第三定律可知脚对墙的作用力变小，故D错误，C正确； 故选：C。 23．（多选）如图所示，轻杆AC和轻杆BC的一端用光滑铰链连接在C点，另一端用光滑铰链分别固定在竖直墙壁上，将一物块通过细线连接在C点并保持静止状态。若对C端施加一水平向右的作用力F，F由零开始逐渐增大的过程中（系统未损坏），则下列说法正确的是（　　） A．轻杆AC中的弹力逐渐增大 B．轻杆BC中的弹力逐渐增大 C．轻杆AC中的弹力先减小后增大 D．轻杆BC中的弹力先减小后增大 【答案】AD 【解答】解：将一物块通过细线连接在C点并保持静止状态，F由零开始增大时，对C点进行受力分析如图1所示 根据平衡条件有Fbsinα+Fasinβ＝mg，F+Fbcosα＝Facosβ 根据第一个表达式可知，Fa、Fb变化时，一增一减，根据第二个表达式可知，F由零开始增大时，Fa增加、Fb减小。当F增大到一定程度后，Fb开始反向增大，受力分析如图2所示 根据平衡条件有Fasinβ＝mg+Fbsinα，F＝Facosβ+Fbcosα 根据第一个表达式可知，Fa、Fb变化时，两者同时增大或者同时减小，结合第二个表达式可知，F增大，则Fa、Fb均增大。结合上述可知，轻杆AC中的弹力逐渐增大，轻杆BC中的弹力先减小后增大，故AD正确，BC错误。 故选：AD。 24．如图所示，倾角θ＝30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面顶端固定一轻质的定滑轮O，底端固定一垂直斜面的挡板。质量分别为2m、4m的物块甲、乙通过轻质弹簧连接在一起，物块甲静止在斜面底端紧靠挡板处。不可伸长的细绳跨过定滑轮一端与物块乙连接，另一端与套在水平固定的光滑直杆上的质量为m的物块丙连接。开始时物块丙静止在直杆上B点（细绳与直杆垂直），且恰好与直杆间的相互作用力为零；现对物块丙施加一水平向右的拉力F，使其缓慢移动，当移动到A点时，物块甲恰好对挡板无压力，此时细绳与水平直杆的夹角α＝37°，已知滑轮与水平直杆间的垂直距离为d，重力加速度大小为g，弹簧的轴线、物块乙与定滑轮之间的细绳共线且与斜面始终平行，不计滑轮大小，不计空气阻力和一切摩擦阻力，弹力始终未超过弹性限度，物块甲、乙、丙均可视为质点，sin37°＝0.6。求： （1）物块丙静止在直杆上B点时，甲对挡板的压力大小； （2）弹簧的劲度系数； （3）物块丙在A点时受到直杆的弹力及拉力F的大小。 【答案】（1）物块丙静止在直杆上B点时，甲对挡板的压力大小是2mg； （2）弹簧的劲度系数是； （3）物块丙在A点时受到直杆的弹力大小是mg，拉力F的大小是mg。 【解答】解：（1）在B点时，对丙，由平衡条件得：T1＝mg 对甲、乙整体，由平衡条件得：FN1+T1＝（2m+4m）gsinθ 解得：FN1＝2mg 由牛顿第三定律可得甲对挡板的压力大小为2mg （2）在B点时，弹簧处于压缩状态，设弹簧的压缩量为x1， 对乙，由平衡条件可得：kx1+T1＝4mgsinθ 在A点时，弹簧处于拉伸状态，弹簧的伸长量为x2， 对甲，由平衡条件可得 kx2＝2mgsinθ 由题意可知：x1+x2d 解得：k （3）在A点，丙受力如图所示 对丙，由平衡条件得：T2sinα＝FN2+mg，T2cosα＝F 对甲、乙整体，由平衡条件得：T2＝（2m+4m）gsinθ 解得：FN2mg，Fmg 答：（1）物块丙静止在直杆上B点时，甲对挡板的压力大小是2mg； （2）弹簧的劲度系数是； （3）物块丙在A点时受到直杆的弹力大小是mg，拉力F的大小是mg。 地 城 考点06 图解法解决动态平衡问题 25．如图所示，底角为θ＝30°、上表面光滑、底面粗糙的等腰三角形底座abc放置在水平粗糙地面上，在b点固定一竖直杆Ob，在O点有一个轻质光滑小滑轮，Q为ab上的一点。轻质细线的一端与质量为m的小滑块P（可视为质点）相连，另一端绕过小滑轮，在拉力F的作用下，拉着小滑块P从a点缓缓上滑，此过程中底座一直保持静止，拉力F方向与竖直方向的夹角始终和OP绳与竖直方向的夹角相等。已知ab＝bc＝Ob，重力加速度为g，不计空气阻力。P从a滑到Q的过程中，下列说法正确的是（　　） A．P在a处时，细线的拉力大小为 B．地面对底座的摩擦力不断减小 C．底座对地面的压力先减小后增大 D．底座对P的弹力一直增大 【答案】B 【解答】解：A、对小滑块P进行受力分析，设拉力F与竖直方向夹角为α，OP绳与竖直方向夹角也为α，如图所示： 在a处时，根据平衡条件可得mg＝2Fcosα（因为F和OP绳拉力大小相等） 已知θ＝30°，由几何关系可知在a处α＝30°，解得细线的拉力大小为，故A错误； BD、对底座和小滑块P整体进行受力分析，设水平方向受到地面对底座的摩擦力f，F与竖直方向夹角为α，由平衡条件可得f＝Fsinα＝FNsin30° 在小滑块P从a滑到Q的过程中，对P分析，根据矢量三角形的动态分析图可知，随着P上滑，F增大，FN减小，α减小（因为拉力F方向与竖直方向的夹角始终和OP绳与竖直方向的夹角相等），则f＝FNsin30°不断减小，故B正确，D错误； C、对整体在竖直方向分析，可知地面对底座的支持力N＝（m+M）g+Fcosα，F增大，α减小，所以Fcosα增大，则N增大，由牛顿第三定律知，底座对地面的压力增大，故C错误。 故选：B。 26．工程师研究出一种可以用于人形机器人的合成肌肉，可模仿人体肌肉做出推、拉、弯曲和扭曲等动作。如图所示，用合成肌肉做成的“手臂”ced的d端固定一滑轮，c端固定于墙壁（c和e类似于人手臂的关节，由“手臂”合成肌肉控制），足够长细绳ab的a端固定于墙壁，另一端跨过定滑轮连接一重物。设cd与竖直墙壁ac夹角为θ，不计滑轮与细绳间的摩擦，且∠adb始终为钝角，下列说法正确的是（　　） A．若保持θ不变，减小cd长度，则细绳对滑轮的力始终沿dc方向 B．若保持cd长度不变，减小θ角度，细绳对滑轮的力始终沿de方向 C．若θ从90°逐渐变为零，cd长度不变，且保持ac＞cd，则细绳对滑轮的力先增大后减小 D．若保持ac、ad长度均不变，且ac等于ad，增大cd长度，则细绳对滑轮的力先减小后增大 【答案】C 【解答】解：A、绳子对滑轮的力方向沿两段绳子夹角的角平分线方向。若保持θ不变，减小cd长度，两段绳子的夹角改变，角平分线方向改变，则绳子对滑轮的力不会始终沿dc方向，故A错误。 B、若保持cd长度不变，减小θ角度，两段绳子的夹角改变，角平分线方向改变，则绳子对滑轮的力不会始终沿de方向，故B错误。 C、若θ从90°逐渐变为零，cd长度不变，且保持ac ＝ ad。以滑轮d为研究对象，两段绳的拉力大小始终等于重物重力，两段绳的夹角先减小后增大，根据平行四边形定则可知，合力先增大后减小，即绳子对滑轮的力先增大后减小，故C正确。 D、若保持ac、ad长度均不变，且ac ＝ ad，增大cd长度，两段绳的拉力大小等于重物重力不变，两段绳的夹角增大，根据平行四边形定则，合力减小，即绳子对滑轮的力减小，故D错误。 故选：C。 27．（多选）如图所示，轻绳的一端与质量为m1的物块A连接，另一端跨过光滑定滑轮与轻绳b栓接于O点，与水平方向成θ角的力F作用在O点，质量为m2的物块B恰好与地面间没有作用力，已知θ＝60°，定滑轮右侧的轻绳a与竖直方向的夹角也为θ、重力加速度为g，当F从图中所示的状态开始顺时针缓慢转动90°的过程中，结点O、m1的位置始终保持不变，则下列说法正确的（　　） A．m2＝2m1 B．地面对物块B的支持力变大 C．力F先减小后变大 D．F的最小值为m1g 【答案】ABC 【解答】解：A、对O点受力分析，如下图可知，定滑轮两边的绳子上的力大小相等，此时物块B与地面无作用力，即FN＝0，则m1g＝m2gcosθ，代入数据可得m2＝2m1，故A正确； B、由下图可知，F从图中所示位置顺时针转动90°的过程中，轻绳a的拉力大小方向均不变，轻绳b的拉力大小逐渐变小但是方向不变，即（m2g﹣FN）逐渐变小，所以FN逐渐变大，即地面对物块B的支持力变大，故B正确； CD、结合上述分析，所以力F先变小后增大，当力F与轻绳b垂直时，力F有最小值，故C正确，D错误； 故选：ABC。 28．如图所示，质量为4m的半圆柱体P静止在水平地面上，其上有一质量为m的光滑圆柱Q，半径为R，此时竖直挡板MN恰好与P、Q相切，半圆柱体P的半径是圆柱Q的3倍。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求： （1）Q受到P的弹力以及Q受到挡板MN的弹力分别是多少？ （2）要使系统保持静止，求半圆柱体P与地面间动摩擦因数的最小值μmin。 【答案】（1）Q受到P的弹力以及Q受到挡板MN的弹力分别是，； （2）要使系统保持静止，求半圆柱体P与地面间动摩擦因数的最小值μmin为。 【解答】解（1）对圆柱体Q受力分析，受到重力mg、挡板MN的支持力N1和P对Q的支持力N2，如图 由几何关系得cosθ＝0.5 所以θ＝60°，根据平衡条件得 解得： （2）对P、Q整体受力分析，受重力、地面支持力、MN挡板对其向左的支持力和地面对其向右的摩擦力，根据共点力平衡条件，有 f＝N1 FN＝5mg 临界条件f＝fm＝μminFN 联立可得 答：（1）Q受到P的弹力以及Q受到挡板MN的弹力分别是，； （2）要使系统保持静止，求半圆柱体P与地面间动摩擦因数的最小值μmin为。 地 城 考点07 相似三角形法解决动态平衡问题 29．如图所示，竖直固定放置的光滑大圆环，其最高点为P，最低点为Q。现有两个轻弹簧1、2的一端均栓接在大圆环P点，另一端分别栓接M、N两小球，两小球均处于平衡态。已知轻弹簧1、2上的弹力大小相同，轻弹簧1、2轴线方向与PQ连线的夹角分别30°、60°，则下列说法正确的是（　　） A．轻弹簧1处于压缩状态，轻弹簧2处于伸长状态 B．大圆环对两小球的弹力方向均指向圆心 C．M、N两小球的质量比为m1：m2＝1： D．大圆环对M、N两小球的弹力大小之比为FN1：FN2：1 【答案】C 【解答】解：A、分析两球的受力，根据三角形定则作出矢量图，如图所示。 分析可知，两根弹簧对球的弹力均指向P点，故两弹簧均处于拉伸状态，故A错误； B、由图可知，大圆环两球的弹力均背离圆心，故B错误； C、M球的力的矢量三角形相似于三角形OPM，则FN1＝m1gT1，FN2＝m2g＝T2，可知m1：m2＝1：，FN1：FN2＝1：，故C正确，D错误。 故选：C。 30．（多选）一粗糙斜面静止在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。有三根细绳，其结点为O，其中一细绳跨过滑轮与斜面上的物块A相连，另一细绳下端悬挂B物块，现用一水平力F拉住第三根细绳，使O点与滑轮的连线跟竖直方向成60°角，系统处于静止状态。保持O点的位置不变，沿顺时针方向缓慢调整力F的方向直至竖直。已知系统中各物体始终保持静止，则在此过程中（　　） A．拉力F的大小可能与水平状态时的值相同 B．物块A所受细绳的拉力大小一定一直减小 C．地面对斜面的摩擦力大小一定一直增加 D．物块A所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增大 【答案】BD 【解答】解：AB、系统处于静止状态，对O点进行受力分析，利用三角形定则作图，如图所示。 保持O点的位置不变，沿顺时针方向缓慢调整力F的方向直至竖直的过程中，绳子拉力F1一直减小，根据牛顿第三定律可知，物块A所受细绳的拉力大小一直减小； 在水平位置时拉力F的大小为；在竖直位置时拉力F的大小为F＝mBg，故A错误，B正确； C、以整个系统为研究对象，水平方向根据平衡条件可知，地面对斜面的摩擦力与拉力F在水平方向的分量大小相等，方向相反，根据正交分解可知，沿顺时针方向缓慢调整力F的方向直至竖直的过程中，拉力F在水平方向的分量大小一直减小，可知地面对斜面的摩擦力大小一定一直减小，故C错误； D、设A所在斜面倾斜角为θ，对A的受力分析，开始时可能有 F1＝mAgsinθ﹣f 当F1不断减小的时候，沿斜面的摩擦力f一直增大； 开始时，也可能有 FT＝mAgsinθ+f 当F1不断减小的时候，沿斜面的摩擦力f先减小后反向增大，故D正确。 故选：BD。 31．（多选）如图所示，在竖直平面内的固定光滑圆环上，套有一质量为m的小球，一轻绳通过光滑滑轮P连接小球A，绳的另一端用水平向左的力F拉绳，使小球缓慢上升一小段位移，图中O为圆心，OQ为半径，P为OQ的中点。在小球上升过程中，下列说法正确的是（　　） A．绳的拉力先减小后增大 B．设AP长度为L，ΔF表示F的变化量，ΔL表示L的变化量，则比值不变 C．环对小球的弹力方向是沿半径背离圆心，大小恒为2mg D．环对小球的弹力方向是沿半径背离圆心，大小恒为 【答案】BC 【解答】解：A、小球缓慢上升一小段位移的过程中，小球处于平衡状态，对小球进行受力分析如图所示： 由于三角形ABC与三角形POA相似，可得： 由于为恒量，AP减小、则F减小，故A错误； B、设AP长度为L，则k（定值），ΔF表示F的变化量，ΔL表示L的变化量，则比值k（定值），故B正确； CD、对小球受力分析可知，环对小球的弹力方向是沿半径背离圆心，根据关系可知，，解得N＝2mg，故C正确、D错误。 故选：BC。 32．如图所示，质量为M＝3kg的半圆柱体放在水平地面上，柱体上放置一个质量为m＝1kg、可视为质点的物块，物块和截面圆心的连线与水平面的夹角为30°。现对物块施加一水平向右的恒力F，物块和柱体保持相对静止一起向右做匀速直线运动。已知柱体与水平地面间的动摩擦因数为μ1＝0.4物块与柱体间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，，求： （1）水平恒力F的大小； （2）柱体对物块的支持力大小和摩擦力大小； （3）物块与柱体间动摩擦因数μ2的最小值（结果保留1位有效数字）。 【答案】（1）水平恒力F的大小为16N； （2）柱体给物块的支持力大小为18.6N，摩擦力大小为0.5N； （3）物块与柱体间动摩擦因数μ2至少为0.03。 【解答】解：（1）对物块和圆柱体整体分析，水平方向根据受力平衡可得F＝μ1（M+m）g＝0.4×（3+1）×10N＝16N （2）对物块受力分析，柱体给物块的支持力为， 摩擦力为 （3）物块与柱体间的动摩擦因数至少为 答：（1）水平恒力F的大小为16N； （2）柱体给物块的支持力大小为18.6N，摩擦力大小为0.5N； （3）物块与柱体间动摩擦因数μ2至少为0.03。 地 城 考点08 辅助圆法解决动态平衡问题 33．如图所示，光滑圆柱A和半圆柱B紧靠着静置于水平地面上，二者半径均为R。A的质量为m，B的质量为，B与地面间的动摩擦因数为μ。现给A施加一拉力F，使A缓慢移动，运动过程中拉力F与圆心连线O1O2的夹角始终为60°保持不变，直至A恰好运动到B的最高点，整个过程中B保持静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．拉力F先增大后减小 B．A、B间弹力逐渐减小 C．A、B间弹力的最大值为mg D．动摩擦因数的最小值 【答案】D 【解答】解：AB、以A为研究对象，A受到重力mg、拉力F、B对A的弹力FN，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示： 由图可知，在FN转至竖直的过程中，A、B间的弹力先增大后减小，拉力F逐渐减小，故AB错误； C、当夹角θ＝30°（F水平向右）时，A、B间弹力最大，且最大值为，故C错误； D、对B受力分析可得，竖直方向水平地面的支持力，可知，水平地面对B的支持力逐渐增大， 水平方向的静摩擦力f＝FNsinθ，可知静摩擦力逐渐减小，所以只要初状态不滑动，以后B就不会滑动，即f＝μminFN′， 初状态时，圆柱A对圆柱B的弹力FN＝mg，代入数据解得，动摩擦因数的最小值为，故D正确。 故选：D。 34．新疆是我国最大的产棉区，在新疆超出70%棉田都是通过机械自动化采收，自动采棉机将棉花打包成圆柱形棉包，然后平稳将其放下。放下棉包的过程可以简化为如图所示模型，质量为m的棉包放在V形挡板上，两板间夹角为120°固定不变，V形挡板可绕P轴在竖直面内转动，使BP板由水平位置逆时针缓慢转动，忽略V形挡板对棉包的摩擦力，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．棉包对AP板的压力一直减小 B．棉包始终受到三个力的作用 C．在AP板转到水平前，BP板与AP板对棉包的作用力的合力不变 D．当BP板转过60°时，棉包对BP板的作用力大小为mg 【答案】C 【解答】解：A．如下图所示，在BP板由水平位置逆时针缓慢转动过程中，两个挡板对棉包的支持力的合力与重力大小相等、方向相反，设BP板转动的角度为θ（0＜θ＜60°），棉包的重力为mg，因此在三角形OQD中，根据正弦定理有： 故当θ从0增大到60°的过程中，AP板对棉包的支持力F2一直增大，再根据牛顿第三定律，可知棉包对AP板的压力一直增大，故A错误； B．当BP板或AP板处于水平状态时，棉包受重力和支持力这两个力的作用，故B错误； C．在AP板转到水平前，BP板与AP板对棉包的作用力的合力始终与棉包的重力平衡，由于棉包的合力不会变化，所以BP板与AP板对棉包的作用力的合力不变，故C正确； D．当BP板转过60°时，AP处于水平状态，此时棉包对BP板的作用力大小为零，故D错误。 故选：C。 35．（多选）如图所示，两轻绳OA、OB一端系于结点O，另一端分别系于竖直放置的圆环上，OA水平，与OB夹角为α＝120°，在O点悬挂一物体M，下列关于OA、OB绳拉力的大小F1、F2的分析中，说法正确的是（　　） A．若圆环和绳OB固定不动，绳OA顺时针缓慢转动60°的过程中，F1先减小后增大 B．若圆环和绳OA固定不动，绳OB逆时针缓慢转动30°的过程中，F2逐渐减小 C．若圆环固定，保持夹角α始终不变，将绳OA、OB同时顺时针缓慢转过90°的过程中，F1先增大后减小，F2逐渐减小 D．若A、B端固定在圆环上，当圆环在竖直面内缓慢沿逆时针方向旋转30°过程中，F2逐渐变大 【答案】ABC 【解答】解：A.对结点O受力分析，构建如图所示的矢量三角形 在将绳OA顺时针缓慢转动60的过程中，可以看出OA绳上的力F1先减小后增大，故A正确； B.对结点O受力分析，构建如图所示的矢量三角形 在将绳OB逆时针缓慢转动30°的过程中，F2逐渐减小，故B正确； C.对结点O受力分析，构建如图所示的矢量三角形 根据图示可知顺时针转动前（实线）到转动后（虚线）过程中，转过了60°，F1一直增大，在图示位置最大（对应直径），F2一直减小。从虚线位置再继续转动30°的过程中，F1又开始减小，F2也继续减小。所以将绳OA、OB同时顺时针缓慢转过90的过程中，F1先增大后减小，F2逐渐减小，故C正确； D.由于F1和F2的夹角始终不变，且F1和F2的合力F始终与物体M的重力平衡，在圆中作出一系列内接矢量三角形，如图所示 由图可知，当圆环在竖直面内缓慢沿逆时针方向旋转30°过程中，F2逐渐减小，故D错误 故选：ABC。 36．（多选）如图所示，倾角为30°、质量M＝4kg的斜面体C置于粗糙水平地面上，小物块B放在粗糙斜面上，质量m＝3kg，连接B的轻绳与斜面平行，轻绳跨过光滑轻质小滑轮与质量为m＝1kg的物块A相连。开始时A静止在滑轮正下方，现对A施加一个拉力F使A缓慢移动，F与连接A的轻绳OA的夹角始终保持120°，直至轻绳OA水平。此过程中B、C始终保持静止状态。g取10m/s2，则（　　） A．开始时，B所受摩擦力大小为5N B．OA水平时，轻绳拉力为N C．OA水平时，地面对C的支持力为N D．A缓慢移动过程中，轻绳拉力的最大值为N 【答案】ACD 【解答】解：A．开始时，对B受力分析知，受重力、拉力、支持力、摩擦力合力为零，拉力为 FT＝mAg B所受摩擦力大小为fB＝mgsin30°﹣FT 联立解得开始时，B所受摩擦力大小为fB＝5N 故A正确； B．OA水平时，物块A的受力示意图如图 水平方向上有FT2＝mAgtan30° 解得OA水平时，轻绳拉力为 故B错误； C．OA水平时，以B、C作为整体，其受力示意图如图 竖直方向上有FN＝（mB+M）g﹣FT2sin30° 解得OA水平时，地面对C的支持力为 故C正确； D．物块A在重力、拉力F和细绳张力FT作用下始终处于平衡状态，所以三个力的合力等于零，根据三角形法则，这三个力通过平行移动可以构成一个闭合的矢量三角形，如图所示 在ΔPMN，其中MN对应重力，NP对应拉力F，PM对应细绳张力FT，拉力F与细绳张力FT之间的夹角保持不变，即保持60°不变，满足此关系的几何图形是的外接圆，P为动点，当P移动到P1点时经过圆直径，这时PM对应细绳张力FT最大，有FTmax 解得：FTmaxN 故D正确。 故选：ACD。 37．（多选）如图，在水平桌面上叠放着两个物块B和C，轻绳绕过光滑的定滑轮O′，一端与C相连，另一端悬挂重物A。用外力F缓慢拉结点O，F方向与OO′的夹角为α＝120°且保持不变，将OO′从竖直拉至水平，两物块始终保持静止，下列说法正确的是（　　） A．绳子OO′的拉力先增大后减小 B．C对B的摩擦力一直在增大 C．地面对桌子的摩擦力先减小后增大 D．桌面对B的摩擦力先增大后减小 【答案】AD 【解答】解：A、对结点O受力分析，绳子拉力和F的夹角不变，合力与悬挂物体的重力等大反向，作出受力分析图如下， 分析发现，随着绳拉力T由竖直逐渐变为水平过程，绳拉力先增大，后减小，故A正确； B、对C分析，绳子的拉力与B对C的摩擦力为一对平衡力，等大反向。绳拉力先增大后减小，则B对C的摩擦力先增大后减小，根据牛顿第三定律，C对B的摩擦力先增大后减小，故B错误； D、对B和C整体，根据平衡条件，绳子的拉力与桌面对B的摩擦力为一对平衡力，等大反向，绳拉力先增大，后减小，则桌面对B的摩擦力先增大，后减小，故D正确； C、对B和C以及桌子、悬挂物及滑轮等物体整体，根据平衡条件，F的水平分力与地面对桌子的摩擦力等大反向，由图像可知，F的水平分力大小（图中F与T在圆上交点到G的距离）先增大后减小，则地面对桌子的摩擦力先增大后减小，故C错误。 故选：AD。 地 城 考点09 受力平衡中的临界与极限问题 38．单手抓球的难易程度和手的大小、手指与球间的动摩擦因数有关。用以下简化模型进行受力分析：假设用两手指对称抓球，手指与球心在同一竖直面，手指接触点连线水平且相距为L，球半径为R，接触点与圆心的连线与水平夹角为θ，手指和球间的动摩擦因数为μ，球质量为m。已知重力加速度为g，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，忽略抓球引起的球变形。下列说法正确的是（　　） A．每个手指对球的摩擦力大小为 B．两手指间距L的取值范围为 C．每个手指手对球的压力最小值为 D．手对球的压力增大2倍时，摩擦力也增大2倍 【答案】B 【解答】解：A．对篮球受力分析，如图 竖直方向由平衡条件： 可得： 所以每个手指对球的摩擦力大小满足：，故A错误； C．因为：f≤μN 可得： 即： 故每个手指手对球的压力最小值为，故C错误； B．由： 可得：Nsinθ＜μNcosθ 可得：μ＞tanθ 根据几何关系得： 由图中几何关系可得： 可得： 故两手指间距L的取值范围为：，故B正确； D．当篮球受到手的静摩擦力时，f≠μN，手对球的压力增大2倍时，重力不变，摩擦力的方向不变，摩擦力的大小不变，故D错误。 故选：B。 39．（多选）如图所示，小球a、b质量均为m，用细线相连并悬挂于O点。现用一轻质弹簧给小球a施加一个拉力F，使整个装置处于静止状态，且Oa与竖直方向的夹角为30°，已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，则弹簧形变量可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解答】解：根据题意，以小球a、b整体为研究对象，分析受力，作出F在几个方向时整体的受力图： 根据平衡条件可知，F与FT的合力与整体重力2mg总是大小相等、方向相反， 由力的合成图可知，当F与绳子Oa垂直时，F有最小值，即图中2位置，F的最小值为：Fmin＝2mgsin30°＝mg， 根据胡克定律有：Fmin＝kxmin， 联立可得：， 即弹簧的形变量的取值范围为：，故AC正确，BD错误； 故选：AC。 40．如图所示，三条轻绳结于P点，物块A用绳悬挂在结点P上，PQ绳与竖直墙角度β＝37°，由P点通过定滑轮C连接物块B的绳与水平方向的夹角α＝53°，PC部分水平，整个装置处于静止状态。已知物块A的质量为mA＝4kg，物块B的质量mB＝8kg，物块B与地面间的动摩擦因数为μ＝0.45，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，所有绳及光滑滑轮的质量不计。cos53°＝0.6，sin53°＝0.8，重力加速度大小为g＝10m/s2。求： （1）PQ绳的拉力大小和PC绳的拉力大小； （2）地面对物块B的支持力大小和地面对物块B的摩擦力大小； （3）如果仅改变物块A的质量大小，保持其他条件不变，轻绳不会崩断，整个装置仍处于静止状态，求物块A质量的最大值。 【答案】（1）PQ绳的拉力大小和PC绳的拉力大小分别为50N、30N； （2）地面对物块B的支持力大小和地面对物块B的摩擦力大小分别为56N、18N； （3）如果仅改变物块A的质量大小，保持其他条件不变，轻绳不会崩断，整个装置仍处于静止状态，物块A质量的最大值为5kg。 【解答】解：（1）设PQ绳的拉力为F1，PC的拉力为F2，根据题意，对结点P受力分析，可得下图： 由平衡条件可得：F1sinβ＝F2， F1cosβ＝mAg， 联立可得： F1＝50N，即PQ绳的拉力大小为50N， F2＝30N，即PC绳的拉力大小为30N； （2）设地面对物块B的支持力大小为FN，地面对物块B的摩擦力大小为Ff，根据题意，对B受力分析，可得下图： 由平衡条件可得：F2sinα+FN＝mBg， Ff＝F2cosα， 联立可得： FN＝56N， Ff＝18N； （3）设物块A质量为最大值mAm时，BC绳的拉力大小为F3，物块B受到的最大静摩擦力为Ffm，地面对物块B的支持力大小为F'N， 同（2）思路，由平衡条件可得：F3sinα+F′N＝mBg， Ffm＝F3cosα， 由最大静摩擦力等于滑动摩擦力可得：Ffm＝μF′N， 由（1）可得：F3＝mAmgtanβ， 联立可得：mAm＝5kg； 答：（1）PQ绳的拉力大小和PC绳的拉力大小分别为50N、30N； （2）地面对物块B的支持力大小和地面对物块B的摩擦力大小分别为56N、18N； （3）如果仅改变物块A的质量大小，保持其他条件不变，轻绳不会崩断，整个装置仍处于静止状态，物块A质量的最大值为5kg。 41．我国古代《墨经》一书中记载了利用斜面提升重物的方法，这一方法在现代生活中仍然被广泛应用。如图所示，装载货箱时，常会在卡车尾处斜搭表面均匀的长直木板构成斜面，工人施加一定的推力可将货箱沿斜面推入车厢。 已知斜面倾角θ＝30°，货箱质量为m，货箱与斜面间的动摩擦因数μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。若工人对货箱施加沿斜面向上的推力使货箱静止在斜面上，求：人对货箱推力大小的范围。 【答案】人对货箱推力大小的范围为 【解答】解：最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知斜面倾角θ＝30°，所以 所以货箱不能自由静止在斜面上，当货箱所受摩擦力沿斜面向上取到最大时水平推力最小，设为Fmin，货箱受力如图甲所示 由平衡条件得：Ff+Fmin＝mgsinθ，FN＝mgcosθ 又Ff＝μFN 联立解得 当货箱所受静摩擦力沿斜面向下取到最大时，水平推力最大，设为Fmax，货箱受力如图乙所示 由平衡条件得Fmax＝mgsinθ+Ff，FN＝mgcosθ 又Ff＝μFN 联立解得 则人对货箱推力大小的范围为 答：人对货箱推力大小的范围为。 地 城 考点10 自锁问题 42．如图所示，两个相同小物块A、B（可视为质点）静止放在粗糙水平面上，两物块与水平面间的动摩擦因数均为μ，两根等长轻杆一端分别通过光滑铰链连接在A、B上，另一端通过光滑铰链连接在O处，两杆夹角为α。A、B的重力大小均为G，已知物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）对O施加一个竖直向上的拉力F，要使两物块发生滑动，F应满足什么条件？ （2）若α＝60°，对O施加一个竖直向下的压力F，无论F多大均不能使A、B与水平面发生相对滑动，则物块与水平面间的动摩擦因数应满足什么条件？ 【答案】（1）要使两物块发生滑动，F应满足； （2）物块与水平面间的动摩擦因数应满足。 【解答】解：（1）把力F的作用效果分解，对A受力分析，如图 则 可得 若A刚好要相对滑动，水平方向 竖直方向 又Ff1＝μFN1 解得 要使两物块发生滑动，F应满足 （2）把力F效果分解，对A受力分析，如图 则 要使A不发生相对滑动，对A，水平方向 竖直方向 又Ff2≤fmax＝μFN2 解得 当F→∞时 所以无论F多大均不能使A、B与水平面发生相对滑动，则物块与水平面间的动摩擦因数应满足 答：（1）要使两物块发生滑动，F应满足； （2）物块与水平面间的动摩擦因数应满足。 43．拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图）。设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。 （1）若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。 （2）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ．已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切tanθ0。 【答案】解：（1）拖把头受到重力、支持力、推力和摩擦力处于平衡，设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把。 将推拖把的力沿竖直和水平方向分解， 按平衡条件有 竖直方向上：Fcosθ+mg＝N ① 水平方向上：Fsinθ＝f ② 式中N和f分别为地板对拖把的正压力和摩擦力。按摩擦定律有 f＝μN ③ 联立①②③式得 ④ （2）若不管沿拖杆方向用多大的力不能使拖把从静止开始运动， 应有Fsinθ≤λ N ⑤ 这时①式仍满足。联立①⑤式得 sinθ﹣λcosθ≤λ ⑥ 现考查使上式成立的θ角的取值范围。注意到上式右边总是大于零，且当F无限大时极限为零， 有sinθ﹣λcosθ≤0 ⑦ 使上式成立的θ角满足θ≤θ0，这里θ0是题中所定义的临界角，即当θ≤θ0时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把。 临界角的正切为tanθ0＝λ ⑧ 答：（1）若拖把头在地板上匀速移动，推拖把的力的大小为。 （2）tanθ0＝λ。 44．一般教室门上都安装一种暗锁，这种暗锁由外壳A、骨架B、弹簧C（劲度系数为k）、锁舌D（倾角θ＝30°）、锁槽E以及连杆、锁头等部件组成，如图甲所示。设锁舌D的侧面与外壳A和锁槽E之间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力Ffm由Ffm＝μFN（FN为正压力）求得。有一次放学后，当某同学准备关门时，无论用多大的力，也不能将门关上（这种现象称为自锁），此刻暗锁所处的状态的俯视图如图乙所示，P为锁舌D与锁槽E之间的接触点，弹簧由于被压缩而缩短了x。 （1）试问，自锁状态时D的下表面所受摩擦力的方向； （2）求此时（自锁时）锁舌D与锁槽E之间的正压力的大小； （3）无论用多大的力拉门，暗锁仍然能够保持自锁状态，则μ至少要多大？ 【答案】解：（1）设锁舌D的下表面所受到的最大静摩擦力为f1，其方向向右。 （2）设锁舌D受到锁槽E的最大静摩擦力为f2，正压力为N，下表面的正压力为F，弹力为kx，由平衡条件： kx+f1+f2cosθ﹣Nsinθ＝0 F﹣Ncosθ﹣f2sinθ＝0 又f1＝μF f2＝μN 联解上述方程得： N； （3）令N趋向于无穷大，则有： 1﹣2μ﹣μ2＝0 解得：μ＝20.27 答：（1）自锁状态时D的下表面所受摩擦力的方向向右。 （2）此时（自锁时）锁舌D与锁槽E之间的正压力的大小为； （3）无论用多大的力拉门，暗锁仍然能够保持自锁状态，则μ至少为0.27。 地 城 考点11 晾衣杆模型 45．如图所示，一不可伸长的轻绳两端固定在晾衣杆的A、B两点。衣服通过衣架的光滑挂钩挂在轻绳上，同时衣服受到水平向右的恒定风力F，平衡后将结点B缓慢上移，绳子中的拉力将（　　） A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．先变大后变小 D．保持不变 【答案】B 【解答】解：对挂钩受力分析，如图所示，将重力G与风力F合成为等效重力G′，两段绳的拉力T等大，其合力与等效重力G′等大反向。 ′′ 过A、B分别做平行于G′的直线a、b（直线a、b为等效的晾衣杆），直线a、b之间的距离为c，设绳子与直线a、b的夹角为θ。 由几何关系和平衡条件可得：2Tcosθ＝G′ 平衡后将结点B缓慢上移，即直线a、b之间的距离变大（等效的晾衣杆距离变大，如图虚线所示），绳子总长度一定，由几何关系可知，θ较变大，cosθ变小，则T增大。故B正确，ACD错误。 故选：B。 46．如图所示，四分之一圆柱体P放在水平地面上，右侧与一块固定的竖直挡板Q接触；球心O的正上方有一个大小可忽略的定滑轮A，一根轻绳跨过定滑轮，一端和置于圆柱体P上的小球（质量为m）连接，另一端系在固定竖直杆上的B点，一钩码（质量为m0）挂在AB间的轻绳上，整个装置处于静止状态。不计一切摩擦。若在钩码下方再加挂一个钩码，整个装置再次处于静止状态时小球依然处于圆柱体P上，则此时与先前整个装置处于静止状态时相比（　　） A．轻绳的张力减小 B．P对小球的弹力增大 C．P对Q的压力增大 D．P对地面的压力减小 【答案】A 【解答】解：AB、小球受重力 mg、P对它的支持力N及轻绳对它的拉力T，小球静止时，其受力情况如图所示， 由相似三角形知，R为四分之一圆柱体P的半径，L为定滑轮 A左侧轻绳的长度，在钩码下方再加挂一个钩码，整个装置再次处于静止状态时，钩码将下移，小球将沿圆柱体P上移，小球再次静止时，相对前一次静止，AO、mg、R不变，L减小，则N不变，T减小，即轻绳的张力减小，P对小球的弹力不变，故A正确，B错误； C、以小球及P作为整体，由平衡条件知，轻绳的拉力T沿水平方向的分力大小Tsinθ（θ为滑轮A左侧轻绳与竖直方向的夹角）等于Q对P的弹力大小，而T减小，θ也变小，故Q对P的弹力变小，由牛顿第三定律可知P对Q的压力变小，故C错误； D、对圆柱体P，由平衡条件知，地面对P的支持力大小等于小球对P的压力N'（大小等于N）沿竖直方向的分力 Ncosα（α为 N'与竖直方向的夹角）与P所受重力大小之和，而N不变，α 变小，cosα增大，故地面对 P的支持力增大，P 对地面的压力增大，故D错误； 故选：A。 47．（多选）如图所示，小球A通过小滑轮P用细线悬挂在空中，细线一端固定在M点，另一端跨过小滑轮O1连接一弹簧。弹簧下端与小球B连接，小球B置于粗糙水平面上的光滑半圆柱体上，两球均处于静止状态。已知B球质量为m，小滑轮O1用轻杆固定在半圆柱体圆心O2的正上方，O1B与竖直方向成30°角。O1B长度与半圆柱体半径相等，O1P与竖直方向成60°角，细线、滑轮、弹簧质量可忽略不计，弹簧始终在弹性限度内，则下列叙述正确的是（　　） A．A球质量为 B．杆对滑轮O1作用力大小为 C．地面对半圆柱体的摩擦力大小为0.5mg D．若将AB两小球的质量均加倍，PM与竖直方向夹角保持不变 【答案】AB 【解答】解：A．对小球B分析， 根据几何关系和平衡条件得：2Tcos30°＝mg 对小球A分析，根据竖直方向平衡条件2Tcos60°＝mAg 联立：，故A正确； C．对小球B分析，根据几何关系和平衡条件，圆柱体对B的支持力与B球重力的关系为：2Ncos30°＝mg，方向与竖直方向夹角为30° 则根据牛顿第三定律，B对圆柱体压力N'＝N 对圆柱体分析，根据水平方向的平衡条件可得f＝N'sin30° 解得：，故C错误； B．对滑轮O1分析，根据平衡条件，两绳对滑轮的作用力合力（两力大小相等且垂直，则合力为T）与杆对滑轮作用力大小相等，则杆对滑轮O1作用力大小，故B正确； D．假设PM与竖直方向夹角保持不变，根据平衡条件2Tcos60°＝mAg AB两小球的质量均加倍，则绳拉力扩大两倍，则弹簧拉力扩大两倍，则弹簧伸长，则B位置改变，则O1B与竖直方向不成30°角，则此时不再满足2Tcos30°＝mg 即B质量扩大两倍，绳拉力并未扩大两倍，前后矛盾，则假设不成立，即PM与竖直方向夹角发生改变，故D错误。 故选：AB。 48．（多选）如图所示，倾角为α的粗糙斜劈放在粗糙水平面上，物体a放斜面上，轻质细线一端固定在物体a上，另一端绕过光滑的滑轮2挂在C点，滑轮2下悬挂物体b，细线与竖直墙壁之间的夹角为θ，系统处于静止状态，点c可以沿墙壁向上或向右移动少许，移动过程中物体a和斜劈均静止，则下列说法正确的是（　　） A．点c向上移动，θ不变，物体b的位置不变 B．点c向右移动，θ变大，斜劈对物体a的摩擦力变大 C．点c向右移动，θ变大，地面对斜劈的摩擦力变大 D．点c向右移动，θ变大，地面对斜劈的支持力不变 【答案】CD 【解答】解：A、点c向上移动，根据“晾衣杆”原理可知，θ不变，物体b向左上方移动，故A错误； B、点c向右移动，θ变大，则动滑轮两边绳子的夹角变大，动滑轮两边绳子拉力的合力不变，夹角变大，则绳子拉力变大；由于不知道开始a受到斜面的摩擦力方向，无法判断斜劈对物体a的摩擦力的变化情况，故B错误； CD、对斜面体、物体a、物体b整体受力分析，受重力G总、支持力N、细线的拉力T和地面的静摩擦力f，如图所示： 竖直方向根据平衡条件可得地面对斜劈的支持力：N＝G总−Tcosθ，其中Tcosθ，则N＝G总，N与角度θ无关，恒定不变； 水平方向根据平衡条件可得：f＝Tsinθtanθ，将固定点c向右移动少许，则θ增加，故摩擦力增加，故CD正确。故选：CD。 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $