第一次月考模拟押题卷(基础A卷）-2025-2026学年苏科版（2012）九年级数学上册教学同步精讲精练

2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考模拟押题卷 基础A卷·解析版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版（2012）九年级数学上册第1~2章（一元二次方程+对称图形——圆）。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 利用一元二次方程的定义逐项进行判断即可，含有一个未知数，并且所含未知数项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 【详解】解：A.当时，该选项不是一元二次方程，不符合题意； B.该选项是分式方程，不符合题意； C.该选项整理后，不含二次项，是一元一次方程，不符合题意； D.该选项是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·开学考试）一元二次方程 的根是（    ） A． B．2 C．或 D．2或 【答案】D 【分析】此题考查了解一元二次方程—直接开平方法．利用直接开平方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 解得：． 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如果，是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即一元二次方程的两根之和是，两根之积是．根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和，即可求解． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ， 故选：C． 4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，矩形中，，，以A为圆心，1为半径画圆A，E是圆A上一动点，P是上一动点，则最小值是（    ） A． B．2.5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是本题的关键． 以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，则就是最小值； ∵矩形中，，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 5．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分弦．过点O作于点C，根据垂径定理求出，，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C，则， ，过圆心O， ， 在中，， ， ， 在中，， 故选：D． 6．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，半径为的转动轮转过时，传送带上的物体平移的距离为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式的运用，传送带上的物体A平移的距离为半径为的转动轮转过角的扇形的弧长，根据弧长公式即可求解． 【详解】解：由题意得，， 故， 所以传送带上的物体平移的距离为， 故选C． 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 8．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 由一元二次方程有两不相等的实数根，则根的判别式且，求出结果即可． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 解得：且， 故答案为：且． 9．（23-24九年级上·青海西宁·期中）在一次公司酒会上，每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，则参加酒会的有 人． 【答案】11 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设参加酒会的有x人，根据每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设参加酒会的有x人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 故答案为：11． 10．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，已知，则弧的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求弧的度数． 根据等边对等角求出的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴弧的度数是． 故答案为：． 11．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． 已知：如图，是的直径，__________________． 求证：__________________．    【答案】见解析 【分析】先根据已知画图，然后写出已知和求证，再根据圆心角、弧、弦的关系及三线合一进行证明即可． 【详解】解：已知：如图，是的直径，是的弦，． 求证：，，． 证明：连接、，    在中，，， ，， ， ，． 【点睛】本题考查的是垂径定理及圆心角、弧、弦的关系，三线合一，解答此题的关键是掌握推理论证的一般方法． 12．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，的三个顶点的坐标分别为，则的外接圆圆心的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据三角形的外心是三边中垂线的交点，由的坐标可知，圆心M必在直线上；由图知：的垂直平分线正好经过，由此可得到． 【详解】解：设的外心为M， ， ∴M必在直线上，由图知：的垂直平分线过，故， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握三角形的外心是三边中垂线的交点、确定圆心的位置是解题的关键． 13．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，A、B、C 是上三点，，则＝ ． 【答案】/度 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，掌握相关知识是解决问题的关键．在优弧上取点D，连结，设，则，利用四边形内角和为列方程计算即可． 【详解】解：在优弧上取点D，连结，设， 则， ∵，且四边形内角和为 解得：， ． 故答案为：． 14．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，点P为的中点，点Q为边上一动点，将绕点C顺时针旋转，点Q的对应点记为点，旋转过程中的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆的运动轨迹，过点C作于点H，先根据勾股定理求出的长，利用三角形面积求出的长，利用由于点在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最小值，在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最大值，即可求出结果． 【详解】解：如图，过点C作于点H， ， ， ， ， 以点C为圆心为半径作圆， 为的中点， ， 由于点在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最小值， 的最小值为， 由于上的点B距离C点最短， 能取最大值时，在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最大值， 的最大值为， 旋转过程中的取值范围为 故答案为：． 15．（22-23九年级下·江苏南京·自主招生）如图，为圆的直径，，为圆内接正方形，，分别为的中点，则阴影部分面积为 ．    【答案】 【分析】题目主要考查正方形的性质，中位线的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，根据题意得出，确定，再由中位线定理得出，，根据平行线的判定和性质得出，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵为圆的直径，，为圆内接正方形， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴阴影部分面积为：， 故答案为：． 16．（2025·江苏苏州·模拟预测）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为 mm． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积和弧长的求法：设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形，设根据扇形面积公式求出n，再根据弧长计算方法计算出弧长即可． 【详解】解：如图， 设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形， 设 完成一次进气过程，扫过的扇形面积为 ，解得 ， 由题意得，完成一次进气过程，点运动的路径即为， 点运动的路径长为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，满分88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程的直接开平方法和配方法，根据方程的特点采用适当的方法可使解方程简便． （1）用直接开平方法即可解答； （2）用配方法即可解答． 【详解】（1）解：， 或， 则，． （2）解：， ∴， ∴， 或， 则，． 18．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入即可解答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 即当时，方程有两个实数根； （2）解：∵， ∴由根与系数的关系，得，． ， ． ， ． 解方程，得或． ∵， ． 19．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，点P出发几秒后，？ 【答案】点P出发3秒后， 【分析】本题是动态几何问题，考查了解一元二次方程，勾股定理，掌握勾股定理内容是关键；由题意得，在中，由勾股定理求得；再由，得到关于t的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得， 在中，，， 由勾股定理得； ∵，即， ∴， 整理得：， 解得：； ∵，且， ∴； 即点P出发3秒后，． 20．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 【答案】(1)点在内，点在外，点在上 (2) 【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解； （2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解． 【详解】（1）解：连接， ，， ， 的半径为8， 点在内，点在外，点在上； （2）解：，，， 又以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， 的半径的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系，是解题的关键． 21．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作： (1)在图中标出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，点D的坐标为 ； (2)求的半径． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，根据垂径定理的推论找出圆心是解题的关键； （1）根据垂径定理的推论可知，的垂直平分线的交点即为圆心D，进而求出坐标； （2）利用勾股定理求出即为所求． 【详解】（1）解：如图，D为所求；， （2）解：连接， 在中，， 的半径为． 22．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）（1）已知：（图①），求作：的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明） （2）如图②，A为上一点，按以下步骤作图： ①连接；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③在射线上截取；④连接．若，求的半径．    【答案】（1）见解析；（2）的半径． 【分析】本题主要考查圆的基本性质，确定三角形的外接圆的圆心． （1）根据三角形的外接圆的圆心是三角形边的垂直平分线的交点进行确定即可； （2）由题意易得是等边三角形，则，进而可得，然后可得，最后问题可求解． 【详解】解：（1）的外接圆如图所示：    （2）连接，    ∵， 由作图知， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴的半径． 23．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图①，矩形与以为直径的半圆在直线的上方，线段与点、都在直线上，且，，．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为t秒． (1)如图②，当时，求半圆O在矩形内的弧的度数； (2)在点B运动的过程中，当都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接，若为直角，求此时t的值． 【答案】(1) (2)8或9 【分析】本题考查了求弧长，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，熟练掌握弧长公式以及勾股定理是解题的关键． （1）设与交于点，连接，当时，，证明是等边三角形，即可求解； （2）连接，，证明，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设与交于点，连接，    当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴半圆O在矩形内的弧的度数为； （2）连接，，    ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：，， 即的值为8或9． 24．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知（）．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由）； (2)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了综合作图、圆的切线的判定和性质以及角的平分线的性质定理，正确确定圆心O的位置是关键． （1）作出的角平分线，角平分线与的交点是圆心，以为圆心，以为半径作圆即可； （2）作的角平分线交与，过点作垂直于，交与， 以为圆心，以为半径作圆即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求    ∵是的平分线，， ∴点到的距离等于到的距离， ∴与、所在直线相切 （2）如图所示，即为所求作的图形    25．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图1，的顶点在上，点E，F分别为边，的中点． (1)求证：点A，E，O，F在同一个圆上，并在图中画出该圆的圆心； (2)如图2，的直径，点A固定，点B在半圆弧上运动．在点B从点M运动到点N的过程中，求点E的运动路径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查轨迹、点与圆的位置关系、作图复杂作图等知识． （1）如图，连接，，，取的中点，连接，．利用垂径定理证明，由，推出即可解决问题； （2）如图，连接．由，推出，推出点的运动轨迹是以为直径的半圆，由此即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接，，，取的中点，连接，， ∵点E、F分别为边的中点， ，， ，， ， ， ， 点，，，在同一个圆上，圆心是图中中点； （2）解：如图，连接，，，取的中点，取的中点，取的中点， ∴是中位线，是中位线， ∴，，，， ∴，，三点共线，且， ， ， 在点B从点M运动到点N的过程中，点的运动轨迹是以为直径的半圆， ∵的直径， ∴， 点的运动路径的长． 26．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的弧长； (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了弧长公式、圆锥的计算，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解题关键． （1）根据弧长公式计算即可； （2）设这个圆锥的半径是，根据题意列方程，求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：扇形的圆心角是，半径是， 这个扇形的弧长为； （2）解：设这个圆锥的半径是， 则， 解得：， 这个圆锥的高是． 27．（2025·江苏泰州·三模）如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，可得，然后根据是的外接圆，可得，从而得到，即可求证； （2）连接，设交于点F，根据垂径定理和圆周角定理可得，，从而得到，再根据图中阴影部分面积为，即可求解； （3）过点M作于点H，证明，可得，可证明，从而得到，然后在中，解直角三角形可得，，从而得到，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的外接圆， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，设交于点F， 由（1）得：是等边三角形，， ∴， ∵E是中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：如图，过点M作于点H， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及了切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考模拟押题卷 基础A卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版（2012）九年级数学上册第1~2章（一元二次方程+对称图形——圆）。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是 （    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·开学考试）一元二次方程 的根是（    ） A． B．2 C．或 D．2或 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如果，是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（   ） A． B．3 C．2 D． 4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，矩形中，，，以A为圆心，1为半径画圆A，E是圆A上一动点，P是上一动点，则最小值是（    ） A． B．2.5 C．4 D．3 5．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，半径为的转动轮转过时，传送带上的物体平移的距离为（   ）． A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 8．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 9．（23-24九年级上·青海西宁·期中）在一次公司酒会上，每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，则参加酒会的有 人． 10．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，已知，则弧的度数是 ． 11．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． 已知：如图，是的直径，__________________． 求证：__________________．    12．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，的三个顶点的坐标分别为，则的外接圆圆心的坐标为 ． 13．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，A、B、C 是上三点，，则＝ ． 14．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，点P为的中点，点Q为边上一动点，将绕点C顺时针旋转，点Q的对应点记为点，旋转过程中的取值范围为 ． 15．（22-23九年级下·江苏南京·自主招生）如图，为圆的直径，，为圆内接正方形，，分别为的中点，则阴影部分面积为 ．    16．（2025·江苏苏州·模拟预测）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为 mm． 三、解答题（本大题共11小题，满分88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 18．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 19．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，点P出发几秒后，？ 20．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 21．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作： (1)在图中标出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，点D的坐标为 ； (2)求的半径． 22．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）（1）已知：（图①），求作：的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明） （2）如图②，A为上一点，按以下步骤作图： ①连接；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③在射线上截取；④连接．若，求的半径．    23．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图①，矩形与以为直径的半圆在直线的上方，线段与点、都在直线上，且，，．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为t秒． (1)如图②，当时，求半圆O在矩形内的弧的度数； (2)在点B运动的过程中，当都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接，若为直角，求此时t的值． 24．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知（）．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由）； (2)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）． 25．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图1，的顶点在上，点E，F分别为边，的中点． (1)求证：点A，E，O，F在同一个圆上，并在图中画出该圆的圆心； (2)如图2，的直径，点A固定，点B在半圆弧上运动．在点B从点M运动到点N的过程中，求点E的运动路径的长． 26．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的弧长； (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是多少？ 27．（2025·江苏泰州·三模）如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $