第十五章 轴对称【章末专题复习】 课件- 2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

小专题(一)　构造“三线合一”解题 十五 模型一：构等腰用“三线” 【模型】构“腰”用“三线合一” 【条件】AD⊥BC，∠1＝∠2. 【结论】AB＝AC，BD＝CD. 返回目录 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，AB的垂直平分线交AD于点O，E为AC的中点．求证：OE⊥AC. 返回目录 证明： 连接OB，OC. ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD垂直平分BC. ∴OB＝OC. ∵点O在AB的垂直平分线上， ∴OB＝OA，∴OA＝OC. ∵E为AC的中点，∴OE⊥AC. 返回目录 模型二：等腰＋中点→连中线→用“三线” 【模型】连中线用“三线合一” 【条件】AB＝AC，BD＝CD. 【结论】AD⊥BC，∠1＝∠2. 返回目录 2．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，O为AB的中点，OE⊥OF分别交AC，BC于点E，F.求证：OE＝OF. 返回目录 证明：连接OC. ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， O为AB的中点， ∴∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°，CO⊥AB， ∴OC＝OB，∠COB＝90°. 又∵∠EOF＝90°，∴∠EOC＝∠FOB. ∴△EOC≌△FOB(ASA)，∴OE＝OF. 返回目录 模型三：等腰→作底边上的高→二倍角或线段关系 3．如图，在四边形ADEC中，∠ACE＝90°，DE⊥CD，且AC＝AD＝CE.求证：CD＝2DE. 返回目录   返回目录 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，BD＝BC.求证： ∠ABC＝2∠ACD. 返回目录 证明：过点B作BE⊥CD，垂足为E. ∵BD＝BC， ∴∠ABC＝2∠CBE. ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＋∠BCD＝90°. ∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE＋∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE， ∴∠ABC＝2∠ACD. 返回目录 小专题(二)　巧用等腰三角形构造全等三角形 十五 类型一：利用边相等构造等腰＋全等三角形 1．如图，E在△ABC的AC边的延长线上，点D在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE.求证：△ABC是等腰三角形． 返回目录   返回目录 2．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF.求证：CD＝BE. 返回目录   返回目录 类型二：通过倍长中线或作平行线构造全等 3．如图，AC是△ABD的中线，AD是△ABE的中线，BA＝BD.求证：AE＝2AC. 返回目录 证明：延长AC到点F，使CF＝AC，连接DF. ∵AC是△ABD的中线，∴BC＝DC. ∵∠ACB＝∠FCD，∴△ABC≌△FDC(SAS)． ∴∠B＝∠FDC，DF＝BA. 又∵BA＝BD，AD是△ABE的中线， ∴∠BAD＝∠BDA，DF＝BD＝DE. ∴∠ADE＝∠B＋∠BAD＝∠FDC＋∠BDA＝∠ADF. ∴△ADE≌△ADF(SAS)．∴AE＝AF＝2AC. 返回目录 4．如图，在△ABC中，D是BC的中点，连接AD，点F 是AD上一点，延长BF交AC于点E，且AE＝EF，求证：BF＝AC. 返回目录   返回目录 小专题(三)　构造等腰三角形的辅助线作法 十五 模型一：等腰三角形＋平行线→等腰三角形 【模型展示】 ①作腰的平行线构造等腰三角形，若AB＝AC，DE∥AC，则△BDE为等腰三角形； 返回目录 ②作底边的平行线构造等腰三角形．若AB＝AC，DE∥BC，则△ADE为等腰三角形． 返回目录 1．如图，在△ABC中，CA＝CB，D在AC的延长线上，E在BC上，且CD＝CE.求证：DE⊥AB. 返回目录 证明：过点D作DM∥AB 交BC的延长线于点M， ∵CA＝CB，∴∠A＝∠B， ∴∠M＝∠B＝∠A＝∠CDM， ∴MC＝DC. 又∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED， ∴2(∠CDM＋∠CDE)＝180°， ∴∠MDE＝90°， 即MD⊥DE，∴DE⊥AB. 返回目录 模型二：角平分线＋垂线→等腰三角形 【模型展示】 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，延长CD交AB于点E，则△ACE是等腰三角形． 返回目录 2．如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若BC＝4，点P到BC的距离为1，求△ABC的面积． 返回目录 解：延长AP交BC于点E. ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP. ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠BPE. ∴△APB≌△EPB(ASA)， ∴S△ABP＝S△EBP，AP＝PE. 返回目录   返回目录 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线， CD⊥BE交BE的延长线于点D.求证：BE＝2CD. 返回目录 证明：延长BA，CD相交于点Q. ∵∠A＝90°，CD⊥BE， ∴∠CAQ＝∠BAE＝∠BDC＝90°， ∴∠ACQ＋∠Q＝90°，∠ABE＋∠Q＝90°. ∴∠ACQ＝∠ABE.∵AB＝AC， ∴△ABE≌△ACQ(ASA)．∴BE＝CQ. 返回目录 ∵BD平分∠ABC，∴∠QBD＝∠CBD. ∵∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠BDQ＝90°. ∴△BCD≌△BQD(ASA)． ∴∠BCD＝∠BQD，即△BCQ为等腰三角形． ∴CD＝DQ.∴BE＝CQ＝2CD. 返回目录 模型三：截长补短→等腰三角形 解题思路：如果题干中出现了几条线段之间的和差关系，一般考虑用截长补短作辅助线解题． 返回目录 【模型展示】 与角平分线有关的截长补短 模型 角平分线＋截长 角平分线＋补短 条件 ∠1＝∠2，∠B＝2∠C ∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C 结论 AC＝AB＋BD AC＝AB＋BD 返回目录 4．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，AC＝AB＋BD，则∠B的度数为( ) A．30° B．40° C．60° D．80° D 【解析】在AC上取一点E，使AE＝AB，连接DE，易证△ADB≌△ADE，∴BD＝DE，∴DE＝CE，由三角形的外角与内角的关系即可得解． 返回目录 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D.求证：BC＝AB＋CD. 返回目录   返回目录 模型四：倍角关系→等腰三角形 【模型展示】 在△ABC中，∠ABC＝2∠C. 方法一：如图①，外构等腰三角形，作DB＝AB. 方法二：如图②，内构等腰三角形，作AD＝AB. 方法三：如图③，作BE平分∠ABC. 返回目录 6．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC，垂足为D，若BD＝2，CD＝8，则AB的长为 . 6 【解析】在CD上截取DE＝BD＝2，连接AE.由垂直平分线的性质得AB＝AE，由三角形的外角的性质得AE＝EC，从而得解． 返回目录   返回目录   返回目录 $