第十四章 全等三角形【章末专题精讲】 课件- 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件系统梳理全等三角形判定思路、常见模型及辅助线构造方法，通过“判定思路分类+模型归类+辅助线技巧”三维框架，将SSS/SAS等判定方法、平移/旋转等模型及倍长中线法等辅助线技巧串联，构建完整知识网络。 特色在于以模型化复习策略培养核心素养，如平移/对称等模型展示助学生用数学眼光观察图形结构，例题解析中逻辑推理过程强化数学思维，分层例题设计兼顾不同水平学生。既帮助学生巩固全等判定与应用能力，也为教师提供系统复习教学方案。

小专题(一)　判定三角形全等的基本思路 十四 类型一：SS→SSS或SAS 1．(宜昌中考)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE.求证：△ABE≌△DBE. 证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠DBE， 在△ABE和△DBE中， ∴△ABE≌△DBE(SAS)． 类型二：SA→SAS或ASA或AAS 2．如图，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，∠ABD＝∠ACE.求证：BD＝CE. 证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC－∠BAE＝ ∠DAE－∠BAE， ∴∠CAE＝∠BAD. 又∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACE. ∴△ABD≌△ACE(ASA)． ∴BD＝CE. 3．如图，点B，F，C，E 在同一条直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝ EC，求证：∠A＝∠D. 证明：∵BF＝CE， ∴BF＋FC＝EC＋FC 即BC＝EF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SAS)． ∴∠A＝∠D. 类型三：AA→AAS或ASA 4．(襄阳期末)如图，在△ABC中，D为BC上一点，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC于点F，∠BDE＝∠CDF，AE＝AF.求证：BD＝CD. 证明：连接AD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED＝∠AFD＝90°. ∠BED＝∠CFD＝90°. 在Rt△ADE和Rt△ADF中， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)． ∴DE＝DF. 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(ASA)． ∴BD＝CD. 小专题(二)　全等三角形的常见模型 十四 模型一：平移模型 【模型展示】 沿同一直线(BC)平移可得两三角形重合(BE＝CF)． 1．(常州中考)如图，点A，B，C，D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD. (1)求证：∠E＝∠F； (2)若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数． (1)证明：∵EA∥FB， ∴∠A＝∠FBD， ∵AB＝CD， ∴AB＋BC＝CD＋BC， 即AC＝BD，∵EA＝FB， ∴△EAC≌△FBD(SAS)，∴∠E＝∠F. (2)解：∵△EAC≌△FBD， ∴∠ECA＝∠D＝80°， ∵∠A＝40°，∴∠E＝60°. 模型二：对称模型 【模型展示】 有公共边： 有公共顶点： 所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完全重合． 2．如图，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠C＝∠E＝90°，∠CAD＝∠EAB，AC＝AE，AB，DE相交于点F，AD，BC相交于点G. (1)求证：△ABC≌△ADE； (2)若AB＝11，AG＝6，求DG的长． (1)证明：∵∠CAD＝∠EAB， ∴∠CAD＋∠BAD＝∠EAB＋∠BAD， 即∠CAB＝∠EAD. 又∵AC＝AE， ∠C＝∠E＝90°， ∴△ABC≌△ADE(ASA)． (2)解：∵△ABC≌△ADE， ∴AB＝AD＝11， ∵AG＝6， ∴DG＝AD－AG＝5. 模型三：旋转模型 题型1　一般旋转型 【模型展示】 绕公共顶点旋转可得两个三角形重合． 3．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE，BD相交于点O.求证：△AEC≌△BED. 证明：∵∠ADE＝∠C＋∠2＝∠1＋∠BDE， 且∠1＝∠2， ∴∠C＝∠BDE. ∵∠A＝∠B，AE＝BE， ∴△AEC≌△BED(AAS)． 题型2　特殊旋转型——手拉手模型 【模型展示】 手拉手全等模型是指共顶点的等腰三角形(顶角相等)旋转而形成，等腰三角形底角顶点连线称为“拉手线”(左手拉左手，右手拉右手). 该模型可以通过“SAS”判定两个阴影部分三角形全等，从而得到“拉手线”相等． 4. 如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N.求证：AE＝CD. 证明：∵∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABC＋∠CBE＝∠DBE＋∠CBE， 即∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和△CBD中， ∴△ABE≌△CBD(SAS)， ∴AE＝CD. 模型四：一线三等角模型 题型1　一般型 【模型展示】 (1)点P在线段AB上： (2)点P在线段AB的延长线上： 已知A，P，B三点共线，且∠1＝∠2＝∠3. 5．如图，A，E，C在一条直线上，B，F是直线AC的同侧两点，且∠A＝∠BEF＝∠C，AB＝CE.求证：AE＝FC. 证明：∵∠A＋∠B＝180°－∠AEB， ∠BEF＋∠CEF＝180°－∠AEB， 且∠A＝∠BEF， ∴∠B＝∠FEC， ∵∠A＝∠C，AB＝CE， ∴△ABE≌△CEF(ASA)，∴AE＝FC. 题型2　特殊一线三等角——三垂直模型 【模型展示】 已知A，B，C三点共线，且∠1＝∠2＝∠3＝90°. 6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，连接BD.若S△BCD＝，求BC的长． 解：过点D作DM⊥BC交BC的延长线于点M， 则∠DMC＝90°＝∠ABC. ∵CD⊥AC.∴∠ACB＋∠MCD＝90°. 又∵∠ACB＋∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠MCD. ∵CD＝AC， ∴△ABC≌△CMD(AAS)，∴BC＝DM. ∴S△BCD＝ BC•DM＝ BC2＝.∴BC＝3. 小专题(三)　构造全等三角形的常用辅助线 十四 类型一：倍长中线法 解题思路：如图，在△ABC中，M是BC的中点，延长AM至点D，使DM＝AM，连接BD，则△ACM≌△DBM. 1．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，BD是边AC的中线，求BD的取值范围． 解：延长BD至点E，使得DE＝BD，连接CE. ∵BD是边AC的中线，∴CD＝AD. 在△CDE和△ADB中， ∴△CDE≌△ADB(SAS)．∴CE＝AB＝4. ∵BC－CE＜BE＜BC＋CE， ∴5－4＜BE＜5＋4. ∴1＜2BD＜9，即0.5＜BD＜4.5. 类型二：截长补短法 解题思路：如图，在△ABC中，AD是角平分线． 截长法：如图①，在AB上截取AF＝AC，连接DF，则△ACD≌△AFD. 补短法：如图②，延长AC至点E，使AE＝AB，连接DE，则△AED≌△ABD. 2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，试判断AB，AC， CD之间的数量关系，并说明理由． (提示：有两个角相等的三角形是等腰三角形) 解：AB＝AC＋CD. 理由：在AB上取一点E，使得AE＝AC，连接DE. ∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2. 在△ACD和△AED中， ∴△ACD≌△AED(SAS)．∴∠3＝∠C，CD＝ED. ∵∠3＝∠B＋∠4，∠C＝2∠B，∴∠4＝∠B. ∴△EBD是等腰三角形． ∴BE＝DE.∴BE＝CD. ∵AB＝AE＋BE， ∴AB＝AC＋CD. 类型三：构造“一线三直角” 3．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将△ABC放在平面直角坐标系中，如图所示． (1)如图①，若A(1，0)，B(0，3)，则点C坐标为 ； (2)如图②，若A(1，3)，B(－1，0)，则点C坐标为 ； (3)如图③，若B(－4，0)，C(0，－1)，则点A坐标为 . (4，1) (4，1) （－，） 【解析】作辅助线如图所示，构造全等三角形求解即可． $