重难点04：破解切线问题：导数中的切线问题难点解构与思维升级讲义-2026届高三数学一轮复习

重难点04：破解切线问题：导数中的切线问题难点解构与思维升级 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 4 题型一、求“在”某一点的切线方程 4 题型二、求“过”某一点的切线方程 5 题型三、利用切线求参数 6 题型四、切线与距离问题 7 题型五、求“过”某一点切线条数问题 8 题型六、切线平行或垂直问题 8 题型七、公切线问题 9 题型精析・方法突破提能力 10 知识网络・核心根基深扎牢 一、方法技巧 知识点1：求切线方程的解题技巧 一、已知切点时的步骤 步骤1：求曲线的导函数： 步骤2：计算切线斜率： 步骤3：若存在，代入点斜式： 若不存在（即无意义），切线方程： 二、已知切线过非切点时的步骤 步骤1：设切点，代入曲线方程得关系式①：； 步骤2：求导得斜率，写切线方程：； 步骤3：代入得方程②：； 步骤4：联立①②，解出（可能多个解），代入①求，代入； 步骤5：代入点斜式得切线方程： 知识点2：与切线有关参数问题的解题技巧 一、含参数曲线（如，为参数）的切线问题 步骤1：确定切线条件：明确切线已知信息（如过定点、斜率为）； 步骤2：求曲线导数：对求导得； 步骤3：设切点与切线方程：设切点，则①，切线斜率，切线方程为②； 步骤4：代入切线条件：若过定点，将代入②得③； 步骤5：联立方程求参数：联立①③，结合 “相切时方程有唯一解”； 步骤6：验证与整理：将参数代入切线方程，得到最终结果。 二、含参数切线（如，为参数）与定曲线的问题 步骤1：明确定曲线方程：设定曲线为； 步骤2：利用相切条件：将切线方程代入定曲线方程，整理为关于的方程； 步骤3：列相切约束：根据 “相切时方程有唯一解”，列条件，得关于参数的方程； 步骤4：求解参数：解关于的方程，得到参数值（可能多个）； 步骤5：代入切线方程：将参数代入含参切线方程，得到具体切线方程。 三、切线与参数范围问题（求参数的取值范围） 步骤1：建立参数关系：按上述步骤 1-4，得到参数与变量（如切点横坐标的关系式； 步骤2：确定变量范围：根据曲线定义域、导数存在性等，确定变量； 步骤3：求参数范围：根据，利用函数单调性、最值等求的取值范围。 知识点3：切线条数问题的解题技巧 步骤1：判断点是否在曲线上 代入曲线方程验证：若，则在曲线上；若，则在曲线外。 步骤2：分情况设切点与切线方程 情况 1：在曲线上 1.求导得切线斜率：对求导，得，切线斜率。 2.判断切线条数：若存在（即导数在处有定义），则切线条数为1 条；若不存在（如处），需结合图形判断。 情况 2：在曲线外 1.设切点：设切点为，代入曲线方程得①。 2.求切线斜率与方程：对，切线斜率，切线方程为②。 3.代入定点列方程：将代入②，得③。 4.化简方程：整理③为关于的一元方程（如整式方程、分式方程等）。 5.判断解的个数：通过分析的单调性、极值、零点存在定理等，统计\( x_0 \)的不同实数解个数。 6.确定切线条数：的实数解个数即为过的切线条数（一个对应一条切线）。 知识点4：公切线的解题技巧 针对两条曲线可导），或曲线与定直线，求它们的公切线条数或公切线方程，核心是利用 “公切线斜率相等”“切线过两切点” 列方程。 步骤1：设公切线与，与，若则为同一点切线，需单独判断）。代入曲线方程得：①，②。 步骤2：对，切线在；对，切线在点斜率，故③。 步骤3：公切线方程可表示为，因在切线上，代入得④ 步骤4：将①②③代入④，消去，得到关于的方程。 求解该方程，统计的不同实数解组数，每组解对应一条公切线。 步骤5：解的组数即为公切线条数；将每组代入③求，再代入切线方程，得到具体公切线方程。 知识点5：切线的距离问题的解题技巧 一、动定距离最小值问题（曲线上动点到定直线距离） 已知曲线上动点到到定直线的距离（曲线与直线无交点）：设切线与直线平行，找到切点坐标，用点到直线距离公式求解。 二、动动距离最小值问题（曲线上动点到另一曲线上动点距离） 已知曲线上动点到另一条曲线上动点的距离（如图）：分别设平行的切线，找到切点坐标（含参数），，要求距离最小值，则需要两切点所在直线与切线垂直，求出参数，再利用距离公式求解。 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、求“在”某一点的切线方程 典例探究 【典型例题】曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 举一反三 【1-1】曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【1-2】已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【1-3】若，则函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 题型二、求“过”某一点的切线方程 典例探究 【典型例题】过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 举一反三 【2-1】过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【2-2】过点作曲线的切线l，则l的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【2-3】已知函数，过点作该函数曲线的切线，则该切线方程为（    ）． A． B． C． D． 题型三、利用切线求参数 典例探究 【典型例题】已知函数的图象与轴相切，则实数的所有可能的值之积为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 举一反三 【3-1】已知函数，若曲线上任意一点P处切线的斜率非负，则m的最小值为（   ） A． B． C．1 D．e 【3-2】若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 【3-3】曲线在处的切线斜率为2，则（  ） A． B．1 C．0 D．e 题型四、切线与距离问题 典例探究 【典型例题】已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B．6 C． D．9 举一反三 【4-1】已知函数，直线，点P是曲线上任意一点，点Q是直线l上任意一点．设点P，Q间的距离为d，则下列说法正确的是（    ）． A．d的最大值为 B．d的最大值为 C．d的最小值为 D．d的最小值为 【4-2】若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【4-3】已知点是曲线上任一点，则到直线的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型五、求“过”某一点切线条数问题 典例探究 【典型例题】若过点可作曲线的三条切线，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 举一反三 【5-1】过坐标原点作曲线的切线，若切线有且只有一条，那么（    ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 【5-2】若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【5-3】从点可向曲线引三条不同切线，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型六、切线平行或垂直问题 典例探究 【典型例题】已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 举一反三 【6-1】曲线在点处的切线与直线垂直，则（   ） A．2 B．0 C． D． 【6-2】设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（    ） A． B． C． D． 【6-3】函数在处的切线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C． D． 题型七、公切线问题 典例探究 【典型例题】函数与函数公切线的斜率为（        ） A．或 B． C．或 D．或 举一反三 【6-1】可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【6-2】曲线与曲线的公切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【6-3】已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【突破提升训练・2】过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【突破提升训练・3】过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・4】曲线过点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・5】已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（    ） A．3 B．2 C．1 D．3或 【突破提升训练・6】已知曲线在点处的切线方程为，则值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【突破提升训练・7】若直线是曲线的切线，则实数（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・8】设点P是曲线上的任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・9】曲线上的点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・10】点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【突破提升训练・11】过点作曲线的切线，不同的切线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【突破提升训练・12】过点且与抛物线有且仅有1个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【突破提升训练・13】已知 ，若 存在两条过的切线，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・14】函数在处的切线与直线平行，则的值为（    ） A．-4 B．-5 C．7 D．8 【突破提升训练・15】若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【突破提升训练・16】若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・17】已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)讨论在上的单调性． 【突破提升训练・18】已知函数． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【突破提升训练・19】已知函数，.证明：和的图象有两条公切线. 【突破提升训练・20】已知函数和 (1)若，证明： (2)若，试判断和的公切线条数 【突破提升训练・21】已知函数．求曲线与的公切线方程． 【突破提升训练・22】已知函数，. (1)当时，恒成立，求实数a的取值范围； (2)证明：当，时，曲线与曲线总存在两条公切线； (3)若直线，是曲线与的两条公切线，且，的斜率之积为1，求a，b的关系式. 【突破提升训练・23】已知函数与的图象有两条公切线，求实数的取值范围. 【突破提升训练・24】已知函数. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，求曲线与的公切线方程. 【突破提升训练・25】已知函数. （1）设函数，求的单调区间； （2）判断函数与的图象是否存在公切线，若存在，这样的切线有几条，为什么？若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点04：破解切线问题：导数中的切线问题难点解构与思维升级 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 4 题型一、求“在”某一点的切线方程 4 题型二、求“过”某一点的切线方程 6 题型三、利用切线求参数 8 题型四、切线与距离问题 10 题型五、求“过”某一点切线条数问题 13 题型六、切线平行或垂直问题 15 题型七、公切线问题 17 题型精析・方法突破提能力 20 知识网络・核心根基深扎牢 一、方法技巧 知识点1：求切线方程的解题技巧 一、已知切点时的步骤 步骤1：求曲线的导函数： 步骤2：计算切线斜率： 步骤3：若存在，代入点斜式： 若不存在（即无意义），切线方程： 二、已知切线过非切点时的步骤 步骤1：设切点，代入曲线方程得关系式①：； 步骤2：求导得斜率，写切线方程：； 步骤3：代入得方程②：； 步骤4：联立①②，解出（可能多个解），代入①求，代入； 步骤5：代入点斜式得切线方程： 知识点2：与切线有关参数问题的解题技巧 一、含参数曲线（如，为参数）的切线问题 步骤1：确定切线条件：明确切线已知信息（如过定点、斜率为）； 步骤2：求曲线导数：对求导得； 步骤3：设切点与切线方程：设切点，则①，切线斜率，切线方程为②； 步骤4：代入切线条件：若过定点，将代入②得③； 步骤5：联立方程求参数：联立①③，结合 “相切时方程有唯一解”； 步骤6：验证与整理：将参数代入切线方程，得到最终结果。 二、含参数切线（如，为参数）与定曲线的问题 步骤1：明确定曲线方程：设定曲线为； 步骤2：利用相切条件：将切线方程代入定曲线方程，整理为关于的方程； 步骤3：列相切约束：根据 “相切时方程有唯一解”，列条件，得关于参数的方程； 步骤4：求解参数：解关于的方程，得到参数值（可能多个）； 步骤5：代入切线方程：将参数代入含参切线方程，得到具体切线方程。 三、切线与参数范围问题（求参数的取值范围） 步骤1：建立参数关系：按上述步骤 1-4，得到参数与变量（如切点横坐标的关系式； 步骤2：确定变量范围：根据曲线定义域、导数存在性等，确定变量； 步骤3：求参数范围：根据，利用函数单调性、最值等求的取值范围。 知识点3：切线条数问题的解题技巧 步骤1：判断点是否在曲线上 代入曲线方程验证：若，则在曲线上；若，则在曲线外。 步骤2：分情况设切点与切线方程 情况 1：在曲线上 1.求导得切线斜率：对求导，得，切线斜率。 2.判断切线条数：若存在（即导数在处有定义），则切线条数为1 条；若不存在（如处），需结合图形判断。 情况 2：在曲线外 1.设切点：设切点为，代入曲线方程得①。 2.求切线斜率与方程：对，切线斜率，切线方程为②。 3.代入定点列方程：将代入②，得③。 4.化简方程：整理③为关于的一元方程（如整式方程、分式方程等）。 5.判断解的个数：通过分析的单调性、极值、零点存在定理等，统计\( x_0 \)的不同实数解个数。 6.确定切线条数：的实数解个数即为过的切线条数（一个对应一条切线）。 知识点4：公切线的解题技巧 针对两条曲线可导），或曲线与定直线，求它们的公切线条数或公切线方程，核心是利用 “公切线斜率相等”“切线过两切点” 列方程。 步骤1：设公切线与，与，若则为同一点切线，需单独判断）。代入曲线方程得：①，②。 步骤2：对，切线在；对，切线在点斜率，故③。 步骤3：公切线方程可表示为，因在切线上，代入得④ 步骤4：将①②③代入④，消去，得到关于的方程。 求解该方程，统计的不同实数解组数，每组解对应一条公切线。 步骤5：解的组数即为公切线条数；将每组代入③求，再代入切线方程，得到具体公切线方程。 知识点5：切线的距离问题的解题技巧 一、动定距离最小值问题（曲线上动点到定直线距离） 已知曲线上动点到到定直线的距离（曲线与直线无交点）：设切线与直线平行，找到切点坐标，用点到直线距离公式求解。 二、动动距离最小值问题（曲线上动点到另一曲线上动点距离） 已知曲线上动点到另一条曲线上动点的距离（如图）：分别设平行的切线，找到切点坐标（含参数），，要求距离最小值，则需要两切点所在直线与切线垂直，求出参数，再利用距离公式求解。 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、求“在”某一点的切线方程 典例探究 【典型例题】曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】由函数的解析式可得， 所求切线的斜率为．由于切点坐标为， 故切线方程为，即为．故选：C． 举一反三 【1-1】曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出导函数，再点斜式写出切线方程即可. 【详解】因为，所以， 而， 因此曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A. 【1-2】已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得当时，，然后由点斜式可得切线方程. 【详解】因为奇函数，当时，， 则当时，， 从而，则曲线在点处的切线方程是： 即. 故选：B 【1-3】若，则函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法求出函数的解析式，再根据导数几何意义求切线方程即可. 【详解】设，则，所以，即， 所以．又，所以， 则函数的图象在点处的切线方程为，即． 故选：C． 题型二、求“过”某一点的切线方程 典例探究 【典型例题】过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设切点为，利用切点坐标表示出切线方程，然后代入点，求出即可得解. 【详解】设切点为，因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又该切线经过点，所以， 整理得，解得或， 所以切线方程为或. 故选：C 举一反三 【2-1】过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可. 【详解】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为. 故选：C 【2-2】过点作曲线的切线l，则l的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】依据题意设出切点，结合导数的几何意义得到斜率，进而得到切线方程，再利用给定条件求解参数，最后求出斜率即可. 【详解】设切点为，切线斜率为，曲线为， 由导数的几何意义得， 故切线方程为，将代入方程， 得到，解得，则，故C正确. 故选：C. 【2-3】已知函数，过点作该函数曲线的切线，则该切线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答. 【详解】函数，求导得：，设切点坐标为， 于是，解得，则， 所以所求切线方程为，即. 故选：D 题型三、利用切线求参数 典例探究 【典型例题】已知函数的图象与轴相切，则实数的所有可能的值之积为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】设切点为，由，得到，代入求解. 【详解】设切点为，由， 得， 由题意可得， ， 又， ， 解得或， 当时，， 当时，， 实数的所有可能的值之积为. 故选：B. 举一反三 【3-1】已知函数，若曲线上任意一点P处切线的斜率非负，则m的最小值为（   ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义转化为在上恒成立，通过同构转化不等式后进行参变分离，再构造新函数利用导数求最值得解. 【详解】的定义域为， ，． 由题意，得在上恒成立， 即时，恒成立. 令 ，在单调递增， 若，则恒成立， 若，则由的单调性可得， 故 恒成立. 即，令，则， 令，得， 当时，；当时，. 所以在单调递增，在单调递减， ． 所以，即m的最小值为． 故选：B. 【3-2】若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先求出曲线在点处的切线方程，再设直线与曲线相切于点，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由题，令，则，所以， 所以曲线在点处的切线方程为． 由，得， 设直线与曲线相切于点，则，得， 则，所以，所以． 故选：A. 【3-3】曲线在处的切线斜率为2，则（  ） A． B．1 C．0 D．e 【答案】A 【分析】对函数求导，结合导数的几何意义列方程求参数值. 【详解】由题设，且，可得. 故选：A 题型四、切线与距离问题 典例探究 【典型例题】已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【分析】根据曲线的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，求出曲线的切点，再根据点到直线的距离公式计算最小距离即可. 【详解】设曲线在点处的切线与直线平行， 由，得，则 或 ， 则动点到直线的距离的最小值为. 所以点到直线的距离的最小值为， 故选：B. 举一反三 【4-1】已知函数，直线，点P是曲线上任意一点，点Q是直线l上任意一点．设点P，Q间的距离为d，则下列说法正确的是（    ）． A．d的最大值为 B．d的最大值为 C．d的最小值为 D．d的最小值为 【答案】D 【分析】首先判断直线、的位置关系，再对函数求导，根据题意知与直线平行且与相切的直线，其对应切点到直线的距离，即为的最小值，即可求. 【详解】由直线l的方程，得． 令，， 则． 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以的最大值为， 所以恒成立，所以曲线与直线l无交点，且曲线在直线l的下方． 由题设且，设直线与直线平行且与相切， 则直线与的切点到直线的距离，为的最小值，且无最大值， 又， 因为，，求导，得． 解，得， 因为，所以． 此时，点P到直线l的距离为， 所以d的最小值为． 故选：D． 【4-2】若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求得平行于直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】当曲线在点的切线与直线平行时，点到直线的距离的最小， 由，可得， 令，解得或（舍去），则， 所以平行于直线与曲线相切的切点坐标为， 由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为. 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：C. 【4-3】已知点是曲线上任一点，则到直线的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，在点的切线与直线平行，利用导数的几何意义求出点的坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设，因为，则，由题有， 解得或（舍），所以， 此时到直线的距离为， 故选：B. 题型五、求“过”某一点切线条数问题 典例探究 【典型例题】若过点可作曲线的三条切线，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】切点的坐标为，求出切线方程，将点代入切线方程可将问题转化为方程有三个不同的实数根，令，可将问题转化为有三个零点，结合导数研究其单调性，极值即可求解. 【详解】设切点的坐标为，，所以切线方程为， 因为切线过点，所以，整理得， 令，,由，得或，由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以，，解得，故的取值范围为. 故选：A 举一反三 【5-1】过坐标原点作曲线的切线，若切线有且只有一条，那么（    ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义，用点斜式写出切线方程，代入原点即可求出. 【详解】设切点为， 所以切线的斜率， 切线方程为． 将坐标原点代入可得， 因为切线有且只有一条，所以， 解得或，又，所以， 故选：D． 【5-2】若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义表示出切线方程，结合切线方程过原点且有两解即可求解. 【详解】设切点坐标为，， 所以切线斜率为， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点， 所以， 整理得， 又曲线有2条过原点的切线，所以该方程有2个实数解， 所以，解得或. 故选：. 【5-3】从点可向曲线引三条不同切线，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出切点坐标，根据两点坐标写出直线的斜率再根据切点的导数值等于切线的斜率列方程，因为有三条不同切线所以对应方程有三个不同的解，即对应函数有三个零点，通过函数的导数研究函数的单调性与极值并确定极值的取值范围从而求出的取值范围. 【详解】设曲线在点处的线线过点， 由，求导得，所以， 所以曲线在处的切线方程为， 因为从点可向曲线引三条不同切线， 所以有三个不同的解，即有三个不同的解， 设，该函数有三个不同零点，求导得， 令，则或， 当或，，当，， 所以：函数在区间单调递减，在和区间上单调递增， 所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则，即，解得. 故选：B. 题型六、切线平行或垂直问题 典例探究 【典型例题】已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先根据求导公式求出函数的导数，进而得到函数在点处切线的斜率，再根据两直线垂直斜率之积为求出实数的值. 【详解】对求导可得：. 可得切线的斜率. 将直线转化为斜截式，可知直线斜率. 因为函数的图像在点处的切线与直线垂直， 根据两直线垂直斜率之积为，可得，即. 可得：， 故，即实数的值为. 故选：C. 举一反三 【6-1】曲线在点处的切线与直线垂直，则（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】求导，根据导数的几何意义结合直线垂直运算求解即可. 【详解】因为，则，， 又因为直线的斜率为1， 由题意可得，解得. 故选：D. 【6-2】设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据导数求解，由两直线平行斜率相等即可求解. 【详解】由得，故， 由于点处的切线与直线平行，且直线的斜率为，所以， 故选：C 【6-3】函数在处的切线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】函数在切点处的导数即为切线的斜率，利用直线的平行得到斜率相等，即为关于的方程，可求出的值. 【详解】函数的导函数为 ， 函数在处的切线的导数即为切线的斜率为， 且切线与直线平行， 则有 ，可得 . 故选：B 题型七、公切线问题 典例探究 【典型例题】函数与函数公切线的斜率为（        ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义以及利用两点间的斜率公式构造方程即可求得斜率. 【详解】不妨设公切线与函数的切点为，与函数的切点为， 易知，， 因此公切线斜率为，因此， 可得，即， 又易知，整理可得， 即，即，解得或， 因此可得斜率为或， 故选：C. 举一反三 【6-1】可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与和分别相切于，，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可得到切线的斜率，即可求得答案. 【详解】设与和分别相切于，， 而，， ，， ，解得，，即公切线的斜率为， 故与垂直的直线的斜率为， 所以所求直线方程可为． 故选：D． 【6-2】曲线与曲线的公切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】分别设两曲线的切点为，，通过求导与点斜式的运用求得两点处的切线方程，从而得解得，再代入导数公式求得斜率即可. 【详解】设曲线的切点为，，所以斜率为， 故切线方程为，即； 曲线的切点为，，所以斜率为， 故切线方程为，即. 则，得，所以， 故两曲线公切线的斜率为. 故选：A. 【6-3】已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与相切于点，与相切于点，利用导数的几何意义，得到和，再由，求得，得到，令，利用导数求得函数的单调性与最值，求得，即可求解. 【详解】设与曲线相切于点，与相切于点， 由，可得的斜率，所以①， 又由，可得，所以，即②， 又因为③， 将②③代入①中，可得，由③易知，,则④， 将④代入③，可得，则， 令，则，当时，单调递减； 当时，单调递增．所以，当且仅当时取等号， 故，可得，所以， 所以的方程为，即． 故选：B． 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合点斜式直线方程求解即可. 【详解】由，得，则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 故选：B 【突破提升训练・2】过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程. 【详解】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：． 【突破提升训练・3】过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标为，求得切线方程为，把原点代入方程，得到，解得，即可求得切线方程. 【详解】由函数，可得， 设切点坐标为，可得切线方程为， 把原点代入方程，可得，即， 解得，所以切线方程为，即. 故选：A. 【突破提升训练・4】曲线过点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点，结合导数列方程，由此求出切点坐标并求出切线的斜率，进而可得切线方程. 【详解】由题意可得点不在曲线上， 设切点为，因为， 所以所求切线的斜率， 所以. 因为点是切点，所以， 所以，即. 设，明显在上单调递增，且， 所以有唯一解，则所求切线的斜率， 故所求切线方程为. 故选：B. 【突破提升训练・5】已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（    ） A．3 B．2 C．1 D．3或 【答案】A 【分析】由题得（），设切点的横坐标为，解方程即得解. 【详解】函数的定义域为， 由题得（）. 设切点的横坐标为，则，解得或（舍去）. 故选：A. 【突破提升训练・6】已知曲线在点处的切线方程为，则值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】求导，根据导数的几何意义列方程，解方程即可. 【详解】由已知， 则， 且，， 由曲线在点处的切线方程为， 则， 解得， 故选：B. 【突破提升训练・7】若直线是曲线的切线，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数几何意义，求导且导数值为2，从而得到切点，代入到曲线中，即可求参数. 【详解】根据题意，， 所以切点为，所以. 故选：C. 【突破提升训练・8】设点P是曲线上的任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断直线与曲线的位置关系，然后求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，再利用点到直的距离公式可求得结果. 【详解】解：令， 则，易知， 所以曲线的图象在直线的上方． ， 令，得或， 因为，所以点P到直线的距离的最小值． 故选：A 【突破提升训练・9】曲线上的点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作一条和平行的切线，斜率，则两直线间的距离就是最小距离． 【详解】作一条和平行的切线，斜率， 则两直线间的距离就是最小距离. 曲线，，解得，， 切点坐标为，， 切点，到的距离． 曲线上的点到直线的距离的最小值为．故选：B． 【突破提升训练・10】点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】问题转化为过点的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，利用导数的几何意义求得点的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案. 【详解】因为点是曲线上任意一点， 所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小． 因为直线的斜率等于1，曲线的导数， 令，可得或(舍去)， 所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为， 所以点P到直线的最小距离为. 故选：D. 【突破提升训练・11】过点作曲线的切线，不同的切线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设切点坐标，由斜率构造等式求解即可. 【详解】由题意设切点坐标， ， 切线斜率：，， 化简可得：， 解得：或， 所以满足条件的切点有两个，对应切线有2条， 故选：C 【突破提升训练・12】过点且与抛物线有且仅有1个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据图象可知直线符合题意，求导，根据导数的几何意义求切线，即可得结果. 【详解】如图，直线与抛物线有且仅有1个公共点，符合题意， 将求导可得， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 代入点可得，解得或， 可知过点的切线有2条， 综上所述：符合题意的直线有3条. 故选：D. 【突破提升训练・13】已知 ，若 存在两条过的切线，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得导函数，设切点写出切线方程，则切线方程过点，得到带参数的关于的一元二次方程，因为存在两条切线，即方程有两个不等的实根，即，注意实根不能为，由此求得 的取值范围. 【详解】由题意可得，设切点为， 则切点处的斜率为，则切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程，可得， 整理得，因为 存在两条过点的切线， 所以方程有两个不等的实根， 若，则，原方程有两个相等的实根，不符合题意； 故，解得或. 故选：A. 【突破提升训练・14】函数在处的切线与直线平行，则的值为（    ） A．-4 B．-5 C．7 D．8 【答案】D 【分析】首先求出函数的导数，即可得到，由两条直线平行的斜率关系，得到方程求出参数的值. 【详解】解： ，则 因为在处的切线与直线平行 解得 故选： 【突破提升训练・15】若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】求导，与直线垂直，求出的值. 【详解】由，求导， 则在点处的切线的斜率为， 而在点处的切线与直线垂直, 则，故. 故选：D 【突破提升训练・16】若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出曲线在点处的切线的斜率为，利用斜率成积等于-1，求出曲线y=ln x在点P处的切线的斜率，利用导数即可求出切点的横坐标，代入可解. 【详解】的导数为，所以曲线在点处的切线的斜率为. 因为曲线在点处的切线与曲线y=ln x在点P处的切线垂直， 所以曲线y=ln x在点P处的切线的斜率. 而y=ln x的导数，所以切点的横坐标为，所以切点. 故选：D 【突破提升训练・17】已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)讨论在上的单调性． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）先求出切点，利用导数的几何意义求出斜率，得到方程即可； （2）求导，分和两种情况，利用导数讨论单调性即可. 【详解】（1）若，则，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以所求切线方程为，即. （2）由题意可知：函数的定义域为，且， 当时，，可知函数在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得， 可知在单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，函数在上单调递增； 当时，在单调递增，在上单调递减. 【突破提升训练・18】已知函数． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）依据导数几何意义去求函数在点处的切线方程； （2）求导，分和讨论判断导数的正负，得解. 【详解】（1）当时，，， 则，所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即. （2）由，， 当时，有，即在上单调递增； 当时，令，得， 令，得，即在上单调递增， 令，得，即在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【突破提升训练・19】已知函数，.证明：和的图象有两条公切线. 【答案】证明见解析 【分析】设直线为函数和的图象的公切线，设直线切函数于点，切函数于点，利用导数的几何意义可得出关于的方程，解方程组即可得证. 【详解】设直线为函数和的图象的公切线， 设直线切函数于点，切函数于点， 因为，则，所以， 切线方程为，即， 因为，则，所以， 切线方程为，即， 所以，消去可得， 解得或， 所以和的图象有两条公切线. 【突破提升训练・20】已知函数和 (1)若，证明： (2)若，试判断和的公切线条数 【答案】(1)证明见解析 (2)条 【分析】（1）利用放缩法求证，再结合等号成立的条件不同即可证得； （2）先分别设切点并求出切线方程，列出关于的方程组，再消元得出，通过构造函数，研究其零点个数即可判断公切线条数. 【详解】（1）令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，即，等号成立时； 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，即，等号成立时； 则当时，， 但因等号成立条件不同，故当时，，即成立. （2）设曲线的切点为，因，则切线斜率为， 故切线方程为，即； 设曲线的切点为，因，则切线斜率为， 则切线方程为，即； 由题意得，得， 则，即， 设，则， 设，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 因，， 则由零点存在性定理可知，使得，即， 又时，，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因，， 则由零点存在性定理可知，在和上分别存在一个零点， 则方程存在两个根， 所以和存在两条公切线. 【突破提升训练・21】已知函数．求曲线与的公切线方程． 【答案】 【分析】分别设出切点，求导，得到切线方程，根据公切线，得到方程组，求出，求出答案. 【详解】设曲线上一点为，，又， 曲线上过点的切线方程为，即． 由，设曲线上一点为， 又， 过点的切线方程为，即． 若与为同一直线， 则,即，故， 所以， 令，，注意到， 恒成立， 故在上单调递减， 故在只有一个解，即 故公切线的方程为． 【突破提升训练・22】已知函数，. (1)当时，恒成立，求实数a的取值范围； (2)证明：当，时，曲线与曲线总存在两条公切线； (3)若直线，是曲线与的两条公切线，且，的斜率之积为1，求a，b的关系式. 【答案】(1) ． (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）参变量分离可得，设，利用导数求出的最大值，从而可得的取值范围； （2）设两个函数的切点，由点斜式求解切线方程，利用公切线联立可得，再构造函数，利用导数即可证明，即可求证； （3）根据公切线得，化简整理可得，题目转化为有两个不等实根，且互为倒数，不妨设两根为，，由可得，的关系，代入中，可得有两个不等实根，代入化简即可求解. 【详解】（1）由得，则， 设，， 由于均为上的单调递减函数，故为上的单调递减函数，结合， 在为正，在为负，故在上单调递增，在单调递减， ，则， 即的取值范围是 ． （2）设直线是的公切线，设的切点为， 的切点为， ， 所以切线方程为，， 因此且 结合，故，故， 进而可得， 令，故， 由于为单调递减函数，且， 故当在单调递增； 当在单调递减； 故， 又当，且， 故总有两个不相等的实数根，因此直线有两条， （3）由题意得：存在实数，，使在处的切线和在处的切线重合， ，即， 则，， 又 ， ， 题目转化为有两个不等实根，且互为倒数，不妨设两根为，， 则由得， 化简得， ， 【突破提升训练・23】已知函数与的图象有两条公切线，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）根据导数的几何意义，分为切点和不为切点两种情况求解即可； （2）设直线与相切于点，直线与相切于点，可得，消去得，，进而结合题意求解即可. 【详解】（1）由，则， 当为切点时，切线斜率为， 此时切线方程为，即； 当不为切点时，设切点为，， 则切线斜率为，解得， 此时切线斜率为0，则切线方程为，即. 综上所述，切线方程为或. （2）由，， 则，， 设直线与相切于点，则切线的斜率为， 直线与相切于点，则切线的斜率为， 则， 消去得，， 因为函数与的图象有两条公切线， 则，解得， 即实数的取值范围为. 【突破提升训练・24】已知函数. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，求曲线与的公切线方程. 【答案】(1)在上单调递增. (2) 【分析】（1）先求函数的导函数，再利用导数证明，由此判断函数的单调性； （2）设曲线在点与曲线在的切线相同，由导数的几何意义可得 ，利用导数研究方程的解可求，由此求公切线方程. 【详解】（1）当时， 令，有， 当时，，函数在上单调递减， ，函数在上单调递增， 故，即， 所以在上单调递增. （2）因为， 所以， 设曲线在点与曲线在的切线相同， 则切线方程为，即， 整理得. 又切线方程也可表示为， 即， 整理得， 所以， 消整理得. 令， 令， 因为，所以函数在在单调递增， 又函数在在单调递增， 所以在单调递增，又， 当， ， 又得， 所以， ， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 因此函数只有一个零点， 即只有一个解， 此时切线方程为， 所以曲线与的公切线方程为. 【突破提升训练・25】已知函数. （1）设函数，求的单调区间； （2）判断函数与的图象是否存在公切线，若存在，这样的切线有几条，为什么？若不存在，请说明理由. 【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为；（2）两曲线有两条公切线，理由见解析. 【分析】（1）对新函数求导，利用导数来判断函数单调区间； （2）将切点设出来，分别写出与函数和相切的切线方程，公切线对应的斜率，截距分别相等，消元得到新函数，把切线条数转化为方程根的个数，利用导数研究方程根的问题，从而解决问题. 【详解】解：（1），， 当时，，当时，， 所以的单调减区间为，单调增区间为. （2）设两曲线的公切线为，与曲线切于点，则切线方程为 ，即， 又与曲线切于点，则切线方程为， 即. 所以有. 消元整理得，所以方程根的个数即为两曲线的公切线条数. 设，. 当时，， 当时，由（1）知，单调递减，， 当时，由（1）知，单调递减，，当且仅当时，； 所以在单调递增，在单调递减. 而，，，， 又函数在上连续，所以函数有两个零点，分别位于区间和区间内. 所以方程有两个不同的根，即两曲线有两条公切线. 1 学科网（北京）股份有限公司 $