专题五 网格作图-【学海风暴·PK中考】2026安徽中考数学备考培优本

专题五 网格 类型1 旋转+平移或创新作图变换型(2024T16, 2022T16,2021T16) 解题技巧 ①确定旋转方向、旋转中心及旋转 角度 旅转作 ②找出原图形的关键点 图的基 本步骤 ③确定旋转后的各对应，点 ④按照原图形顺次连接各对应点 典例1如下图，在由边长为1个单位长度的小正方 形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线 的交点) (1)将线段BC向右平移3个单位长度，得到DE, 请画出DE, (2)以点B为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋 转90°，得到△A,BC1,画出△ABC1. (3)用无刻度直尺过点A作BC的垂线，交DE于 点H,标出点H. 【解题点拨】(1)将点B,C分别向右平移3个单位 长度，得到点D,E,再连接DE即可： (2)将点A,C绕点B逆时针方向旋转90°得到点 A1,C1,再连接AB,BC1,A,C1即可： (3)将线段BC,向右平移1个单位长度，再向上平 移2个单位长度，则点C,平移后与点A重合，并且 延长C,B交DE于点H即可. 【规范解答】(1)如图所示，线段DE即为所求. (2)如图所示，△ABC1即为所求。 2444己0己6安徽数学 作图(10年10考) (3)如图所示，AH及点日即为所求. 针对训练 1,如下图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点 的坐标分别为A(1.1),B(4,0).C(4,4). (1)画出将△ABC先向下平移2个单位长度，再 向左平移5个单位长度得到的△A,B,C1· (2)画出将△A,B,C绕点B,逆时针旋转90°得 到的△A,B,C2,并写出点C:的坐标 2.(2025合肥蜀山区三模)如下图，在由边长为1个 单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的 顶点都在网格线的交点上， (1)以点A为旋转中心，将△ABC旋转180°，得 到△AB,C1,画出△AB:C (2)将△ABC向右平移7个单位长度，再向上平移1 个单位长度，得到△AB,C,画出△A:B,C, (3)连接B,B2,作出线段B,B,的中点P(保留作 图痕迹，不写作法) 3.(2025滁州全椒二模)如下图，在由边长为1个单 位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角 坐标系xOy,格点（网格线的交点）A,B,C的坐 标分别为(0,4)，(2,2)，(1,1). (1)将△ABC向下平移3个单位长度，得到 △AB,C(点A.B,C的对应点分别为A1·B, C,),画出△A,B,C. (2)以点A为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针 旋转90°，得到△AB,C:(点B,C的对应点分别 为B2,C2),画出△AB,C (3)求以A,B,A,,C为顶点的四边形的面积。 4.(2025淮南二模)如下图，平面直角坐标系中 △ABC的顶点都在边长为1个单位长度的正方 形网格的格点（网格线的交点）上， (1)△ABC的形状是 (2)将△ABC向右平移3个单位长度得到 △AB,C,在坐标系中圃出△A,BC,并求出这 个变化过程中△ABC扫过的面积. (3)画出△ABC绕点C逆时针旋转90 的△A2B2C. 5.(2025蚌埠模拟)在如下图所示的方格中，每个小 正方形的边长都为1个单位长度，△ABC的顶点 均在格点（网格线的交点）上.在建立平面直角坐 标系后，点A,B的坐标分别为（一5,2），（一1,2）. (1)把△ABC向下平移8个单位长度后得到对应 的△A1BC1,画出△AB,C (2)以原点O为对称中心，画出与△A,B,C:关 于原点O对称的△A,BC, (3)请用无刻度的直尺作BC边上的高AH.(保 留作图痕迹，不写作法) 类型2 平秘十轴对称变换型(2023T17,2019T16. 2017T18.2016T17) 解题技巧 ①确定平移的方向和平移的距离 平移作 ②找出原图形的关键点 图的基 本步骤 ③确定平移后的各对应点 ④按照原图形顺次连接各对应，点 典例2如右图，在平面直角 坐标系中，△ABC的三个顶 点A(-4,1),B(-3,5), C(一1,2)均在正方形网格 的格点（网格线的交点）上， (1)画出将△ABC沿x轴 方向向右平移5个单位长度后得到的△A,B,C. (2)画出△AB,C,关于x轴对称的图形△ABC2, 并直接写出点B,的坐标。 (3)在x轴上找一点M,使得MA+MC的值最小 (保留画图痕迹，不写画法). 【解题点拨】(1)利用平移变换的性质作出图形即 可：(2)利用对称变换的性质作出图形即可：(3)作 点A关于x轴的对称点A',连接CA'交x轴于点 M,点M即为所求 【规范解答】(1)如图所示， △A1B,C即为所求 (2)如图所示，△ABC:即 为所求.点B,的坐标为(2， -5). (3)如图所示，点M(一3,0) 即为所求 培优本 A245 针对刘练 6.(2025宿州模拟)如下图，在正方形网格中，每个 小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角 坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为 A(-1,1),B(-2,3),C(-5,2) (1)画出△ABC关于y轴对称的△A,B,C,,并 写出点B,的坐标。 (2)画出△A,B,C,向下平移5个单位长度后得 到的△ABC2,并写出点B2的坐标. (3)求四边形A,A:C2C1的面积 0 7.(2025合肥二模)如下图，在平面直角坐标系中， 点A的坐标为（一4,2），点B的坐标为（一2,6）， 点C的坐标为(0,4). (1)画出将△ABC向右平移6个单位长度，再向 下平移4个单位长度得到的△A,B,C· (2)以x轴为对称轴，作出△ABC的轴对称图 形△A.B,C. (3)连接A,B,利用无刻度的直尺过点C作CH ⊥A:B,垂足为H(保留作图痕迹，不写作法). 246A心己0己6安徽数学 8.在由若干个边长为1个单位长度的小正方形组 成的网格中建立如下图所示的平面直角坐标系， 已知格点三角形ABC(格点是网格线的交点). (1)画出△ABC关于y轴对称的△A,B,C1· (2)将△A,B,C,向下平移4个单位长度得到 △A2BC2,画出△A,B2C: (3)已知△ABC内有一点P(a,b),则经过上述 两种图形变换后的对应点P:的坐标是 9.(2025合肥庐阳区一模)如下图，在平面直角坐标 系正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个 单位长度，△ABC的三个顶点为A(1,一1)， B(1,-3).C(5,-4). (1)将△ABC向左平移2个单位长度，再向上平移 6个单位长度得到△A,B,C,画出△A,B,C. (2)画出△A,B,C关于y轴对称后得到 的△AzB:C. (3)请用无刻度的直尺在AC上取一点M,使BM ⊥AC(保留作图痕迹，不写作法). 10 10.(2025滁州来安一模)在由边长为1个单位长度 的小正方形组成的10×10网格中，建立如下图 所示的平面直角坐标系，已知格点三角形ABC (顶点为网格线的交点). (1)将△ABC向右平移5个单位长度得到 △A,B,C1,画出△A,B,C1. (2)画出△A,B1C,关于x轴对称的△A,BC (3)点A的坐标为（一1,2），点B的坐标为 (一4,1)，则经过上述两种图形变换后的对应点 A,的坐标是 类型3 轴对称+旋转变换型(2020T16) 解题技巧 对称作 ①找出原图形的关键点 图的共 ②作出关键点的对称点 本步骤 ③按照原图形顺次连接各对称，点 典例3如下图，在平面直角坐标系中，△ABC的三 个顶点在格点（网格线的交点）上，每个小正方形的 边长均为1个单位长度 (1)请画出△ABC关于x轴对称的△A,B,C (2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后 得到的△ABC. (3)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小（保 留画图痕迹，不写画法)， 【解题点拨】(1)利用对称变换的性质找出对应点， 然后描点连线即可：(2)利用网格特点和旋转的性 质画出点A,B,C的对应点A,B,C:即可：(3)连 接A,B与x轴交于点P,点P即为所求， 【规范解答】(1)如图所示，△A,BC,即为所求 (2)如图所示，△A2B2C2即为所求. (3)如图所示，点P即为所求. 针对迎练 11.(2025合肥蜀山区模拟)如下图，在由边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面 直角坐标系xOy,格点（网格线的交点）A,B,C 的坐标分别为(-2,4).(-5,1)，（一1,1）. (1)画出△ABC关于x轴对称的△A,B,C. (2)以原点O为旋转中心，将△A,B,C,按逆时 针方向旋转90°，得到△A2B,C,请画 出△A2BzC (3)直接写出△ABC的外心坐标. 培优本 247 12.如下图，方格纸中每个小正方形的边长都是1 个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系， △ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上 (1)将△ABC向右平移6个单位长度得到 △A,B1C1,请画出△A,B,C1. (2)先将△ABC关于x轴对称，再关于y轴对 称，得到△AB2C,请画出△AB,C· (3)若将△A,BC1绕某一点旋转可得到 △AzB,C2,则旋转中心的坐标为 13.(2025合肥长丰二模)如下图，△ABC均在格点 (网格线的交点)上，每一小格正方形的边长均 为1，点A,B的坐标分别为（一1,2），（一3,1） (1)在图中作出△ABC关于x轴对称的图 形△A,BC1. (2)将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后， 得到△AB2C,请在图中作出△A,B,C. (3)在(2)中的点B2的坐标为 14.如下图，这是由小正方形组成的10×10的网 格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的 三个顶点都是格点，格点M在直线EF上，按要 求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）， (1)若△A,B,C,与△ABC关于直线EF成轴 对称，作出△A:B,C (2)作线段A,B,关于点M对称的线段AB2. (3)作出将线段A,B,绕点C,顺时针旋转90 得到的线段AB,,并以线段AB,为一条对角 线，作正方形ADB,G. 248420己6安徽数学 类型4 位似十旋转、平移、轴对称变换型 (2025T16.2018T17) 解题技巧 ①确定位似中心 位似作 ②确定原图形的关键点 图的基 ③确定相似比 本步豫 ④确定变换后的各对应点 ⑤按照原图形顺次连接各对应，点 典例4(2025合肥瑶海区模拟)如下图，平面直角 坐标系中，△ABC各顶点坐标为A(一3，一1)， B(-2,-3).C(-1,-2). (1)作出△ABC关于y轴对称的△A,B,C (2)以点O为位似中心，在第一象限作出△ABC的 位似图形△A2B:C2,使△ABC与△A2B,C:的位 似比为1：2. (3)利用无刻度直尺在平面直角坐标系内找一个格 点（网格线的交点）P,使得PA,=PC,并写出点P 的坐标.（保留作图痕迹，不写作法） 【解题点拨】(1)利用关于y轴对称的点的坐标特性 得到A,(3,一1)，B1(2,一3)，C(1,一2)，然后连线 即可： (2)把点A,B,C的横纵坐标都乘一2，得到A2(6, 2),B,(4,6),C(2,4),然后连线即可： (3)作出A,Cg的垂直平分线即可. 【规范解答】(1)如图，△A1BC1即为所求. (2)如图，△A,B,C:即为所求 (3)(答案不唯一)如图，点P即为所求，点P的坐 标为(0,1). 针对如练 15.(2025六安霍邱一模)如下图，在平面直角坐标 系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2, -4),B(3,-2),C(6,-3). (1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B,C1· (2)以M点为位似中心，在第一象限中画出将 △A,B,C,按照1：2放大后的位似图 形△A2BC. (3)利用网格和无刻度的直尺作出△ABC的中 线AD.(保留作图痕迹，不写作法) 16.(2025黄山三模)如下图，在平面直角坐标系中. 点A,B,C都在格点（网格线的交点）上，点A,B C的坐标分别为A(一3,2)，B(-1,1),C(1,4). (1)以原点O为位似中心，在点O同侧将 △ABC放大为原来的2倍，得到△DEF,画出 △DEF(点A的对应点为D,点B的对应点为 E). (2)若△A'B'C'是由△ABC绕着某点旋转得到 的，在图中找出这个点，这个点的坐标为 (3)请仅用无刻度的直尺作出△A'B'C'的高线 B'H.(保留作图痕迹，不写作法) 17.如下图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个 顶点的坐标分别为A(4,3),B(1,2),C(3,1). (1)把△ABC向左平移8个单位长度，再向上平 移1个单位长度得到△A:B,C1,请在图中画 出△A1B1C1. (2)以点O为位似中心在第三象限内画出 △ABC的位似图形△AB,C,,使得△ABC与 △A2B,C2的位似比为1：2. (3)连接CC,请用无刻度的直尺在线段CC1上 确定一点P(m,n),使得m十n=0.(保留作图 痕迹，不写作法) 18.如下图，在由边长为1个单位长度的小正方形 组成的10×10网格中，已知点O,A,B均为网 格线的交点. (1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段 AB放大为原来的2倍，得到线段AB(点A,B 的对应点分别为A1,B),画出线段AB. (2)将线段A,B,绕点B,逆时针旋转90°得到 线段A2B,画出线段AzB1· (3)连接OB,,在OB,上作一点Q使得QA,= QB.(保留画图痕迹，不写画法) 0 培优本 249当2m+2=2031时m=2029 2 ,n不是正整数， ·不存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子. 10.解：(1)516 (2)n(3n+1) (3).3n十1=2026，解得n=675, .该图案中正方形有675个. 11.解：(1)17在图@中，菱形的个数为4n十1. (2)直线x=5050直线x=2026 12.解：(1)0m十1) 2 (2)3m(n+1) 2 (3)mmm+1)(n+1) (4)根据题意，得”(m+1 =225. 4 n+1) 2 =15 解得n=5(负值已舍去)， ∴.存在正整数n=5,使得第m排第n个图案中矩形的个数 为225 【解析】(2)根据题意，得在第2排中，第1个图案中矩形的 个数可表示为3×1： 在第2排中，第2个图案中矩形的个数可表示为3(1十2)： 在第2排中，第3个图案中矩形的个数可表示为3(1十2 3)4 在第2排中，第4个图案中矩形的个数可表示为3(1十2十3 十4)： 在第？排中，第”个图案中矩形的个数可表示 为3n(n+1 2 (3)根据题意，得在第3排中，第1个图案中矩形的个数可 表示为6=6×1： 在第3排中，第2个图案中矩形的个数可表示为6(1+2)： 在第3排中.第3个图案中矩形的个数可表示为6(1+2十 3): 在第3排中，第4个图案中矩形的个数可表示为6(1十2+3 +4)； 在第3排中，第n个图案中矩形的个数可表示 为6m(n+D 2 故在第m排中，第”个图案中矩形的个数可表示为 m(m+1少.x(n+1=mn(m+1D(n+1》 2 2 4 13.解：(1)21(2)2642(3)xy=名.【解析】(1)按照规 律.写出斐波那契数列的前8个数分别为1,1,2,3,5,8,13， 21.即第8个正方形的边长为21. (2).x=10十16=26，y=16十26=42 (3).10×102=103.102×103=10.103×10=10.…, 若x,y,z表示这组数中的连续三个数，且x<y<:,则 x,y,:满足的关系式是xy-2, 14.解：(1)7产-2=(7-2)×2×2+59 (2)(n+2)2-2=[(n+2)-2]×2×2+n 证明： 左边=n”十4n十4一4=m2十4n,右边=4n十n”, .左边=右边， .(n+2)-22=[(m+2)-2]×2×2+n2. 15.解：(1)117-6=7+6=13 76 。己0己6安徽数学 (2)(n十1)2一n2=n十1十n=2n+1 (3)原式=(2024+2023+2022+2021+2020+2019 +…+2+1)X102 2024×(2024+1) 2 1012 =2025. 16.解：(1)25十30=50十5 (2)w°+n(n十1)=2n2十n (3),“第n个图形中等号左右两边各有171个小黑点， ∴.2w+n=171,解得n=9(负值已舍去). 故n的值为9 17.解：(1)16+25-[2×(1+2+3+4)+(1+2+3)]=15 (2)图@对应的等式为1十2十3+…十n=(n一1)十n一 [2×(1+2+3+…+n-1)+(1十2+3++n-2)]. 证明如下：“左边=之(n+1, 右边=-2n+1计m-m+n-宁+多-1=宁计 1 交n=2n(n+1), ,左边=右边， .1十2+3+…十n=(n-1)2十m2-[2×(1十2+3+…+ n-1)+(1+2+3+…+n-2)]. 18.解：01+1+2+3+…+n=1+n1+m 2 (2)[1+m+1+m7 2 (3)由所给图形可知， 图①中，等边三角形的个数为2： 图②中，等边三角形的个数为3： 图③中，等边三角形的个数为4： ∴.图①中，等边三角形的个数为n十1 图@中黑色正方形的个数比等边三角形的个数多45， 1+0+n) 一(n十1)=45， 2 解得”=10（负值已舍去）， 1+w+am=1+10+10X1业=66. 2 2 即图@中白色正方形的个数为66. 专题五网格作图 1.解：(1)如图所示，△AB,C,即为所求. (2)如图所示，△A,B,C,即为所求，C(一5，一2) 1 2.解：(1)如图，△ABC,即为所求 (2)如图，△A2B:C:即为所求 (3)如图，点P即为所求 3.解：(1)如图，△A,B,C,即为所求 (2)如图，△AB:C:即为所求 (3)以A,B,A,C为顶点的四边形的面积为S么A San6=子×3x2+2×1X3=3+号=号 2=2 4.解：(1)等腰直角三角形 (2)如图，△A,B,C,即为所求 △ABC扫过的面积为S华行w对港A4:e十S△ABG =3×2+×+z×+2-号 (3)如图，△A:B,C即为所求 5.解：(1)如图，△AB,C,即为所求 (2)如图，△A:B2C即为所求. (3)如图，AH即为所求。 6.解：(1)如图，△A,B,C,即为所求，B,(2.3) (2)如图，△A,BC,即为所求，B(2,一2) (3)四边形AA,C,C,的面积=4×5=20. 7.解：(1)如图，△AB,C,即为所求 (2)如1图，△A,B,C:即为所求. (3)》如图，CH即为所求. LL 常显暴雾 ·举g华)日2y7·图暗（乙） 茶华胞a'V7·围蹲(I)·搏2 (Z8-)华4东Q60OIV7(》 ￥组华馆)日V7·园m(Z) 始华怕纽'VV园睡()湖4 (2-·1)(E) ￥国怕O日V可·图源(2) 举g以的'日'V☑·圆睁(T)梅0l 平gg的W罩·图脂(c) 岸组年怕)日V7·图呼(2) 茶细华怕红'V7·图m(1):湖6 (t-qp-)(E) 雀组华怕)牙VV·图腾(2) 拳怕O'日V7·图师(【)热8 (3)(3,0) -5-43210 13.解：(1)如图，△AB,C,即为所求 (2)如图，△A:B:C即为所求 (3)(2.2) 14.解：(1)如图，△A,B,C,即为所求 (2)如图，线段A,B。即为所求 (3)如图，线段A:B、正方形A,DBG即为所求. 15.解：(1)如图，△AB,C,即为所求 (2)如图，△A:BC:即为所求. (3)如图，AD即为所求. y 16.解：(1)如图，△DEF即为所求， (2)如图.点P即为所求。（一2.一1） (3)如图，BH即为所求. 78己0已6安徽数学 【解析】(2)连接AA',BB',分别作线段AA',BB的垂直平 分线，相交于点P, 侧△AB'C‘由△ABC绕着点P顺时针旋转90得到的， .这个点的坐标为（一2，一1）. 17.解：(1)如图所示，△A,B,C1即为所求 (2)如图所示，△A,B,C:即为所求 (3)如图所示，点P即为所求 18.解：(1)如图所示，线段AB1即为所求 (2)如图所示，线段A,B,即为所求 (3)如图所示，点Q即为所求 专题六二次函数的综合应用 1.解：(1)①当m=一3时，y=x2+6x一7. 当y=0时.x+6x-7=0, 解得x1=一7.x。=1, ∴.二次函数图象与x轴的交点坐标为（一7.0）和(1.0). 当x=0时，y=一7 .二次函数图象与y轴的交点坐标为(0，一7)。 ②由a+b=一4可得b=一4一a, y:=a°+6a-7,y:=(-1-a)2+6(-4-a)-7=a2+ 2a-15, y,+y2=a2+6a-7+a°+2a-l5 =2(a+2)2-30. 2>0,∴y1十y:=2(a十2)2-30的图象开口向上， .y十y:的最小值为一30. (2)证明：由抛物线解析式可知二次函数对称轴为直线x= -二2 由题意可知a十1<m,即a一m<一1. 点C(a+1,p)和D(2m一ag)在二次函数图象上 ∴.p=(a+1)2-2m(a+1)+2m-1=a3+2a-2m4, 9=(2m-a)3-2m(2m-a）+2m-1 =4m°-4ma+a2-4m3+2ma十2m-1 =a2-2ma+2m-1, .p-q=a°+2a-2ma-(a2-2ma+2m-1) -a2+2a-2ma-a2+2ma-2m+1 =2a一2m十1 =2(a-m)+1. a一m<-l, .2(a-m)+1<-1. .p-g<-1 .p<q-1. 2解：00y=+2©号