专题七 聚焦几何综合探究问题-【学海风暴·PK中考】2026安徽中考数学备考培优本

故当OM一MN=6m时，可使得所需用料最少，最少需要 材料空 12.解：(1)根据题意，得y=(x十1)(x-3)=x2-2x一3， ∴.b=-2.c=-3. (2)由题意，得y=(x一x)(x-x:》 =x一(x1十x:)x十t1x =x-(,+)x++ 4 +,-+ 4 =(-4）+41-+, 2 4 =(x-)-- 2 4 当工=十工时，二次雨数y=工+x十c的最小值为 2 -x-x:) (3)证明：由题意，得x,十x2=一b,r1x1=c 当x=1时，m=1十b十c =1一(x1+x)十x1x =(x1-1)(x2-1), 1<x1<r<2, .0<x,-l<x2-1<1. .0(x1一1)(x一1)<1，即0<m<1. 13.解：(1)y=x2+2x十c=(x+1)2+c-1, .顶点坐标为（一1，c一1）， .1-(-1)=4(-2-c+1). 解得6=一子 (2)设这一点为(x,x十3x十1). 根据题意，得x-1=(2+3x+1-2+） 整理，得tx十(3t一1).x十1=0. 只存在一个点与点P互为“，阶点” .△=(31-1)-4t=0, 解得=)=L 故1的值为。或1 (3)11【解析】(3)设点A的坐标为(m,m2一2m一1)，点 B的坐标为(n,n一2n一1) ,N是线段AB的中点， 心点N的坐标为(m十”，m-2m-1+-2二1 2 2 “点A,B都与点(0,2)互为“阶点” 0-m=士(2-m2+2m+0. 0-m=2(2-3+2a+1. 整理得m2一(k十2)m一3=0，n2一(k+2)u一3=0， .m,n是方程x2一(k十2)x一3=0的两根， ,.m十n=k+2,mn=一3. 又y=x-2x-1=(x一1)-2 .顶点M的坐标为(1，一2). 点M与点N互为“s阶点” m-1=(m-2m-1中m二20二1+2）， 2 2 整理，得(m十n)一2-[(m十#)2一2mm一2(m十)+2]， 代人，得k十2一2=s(k2十4k+4十6一2k一4十2)， 即兰=k+2k十8=(k+1)+7.:1>0冬的函数图象 82 。己0已6安徽数学 开口向上. 当k≥1时.冬随太的增大而增大， 当=1时，兰最小，最小值为1+1+7=1. 专题七聚焦几何综合探究问题 1.解：(1)垂直且相等 (2)如图①，延长EB交CF于点G. ,四边形ABFC是平行四边形， ..AB=CF.AB//CF. ,AB=BE,∠ABE=90°， ∴.CF=BE,BG⊥CF. :∠CBF=90°，BC=BF, .BG=CG=FG ∴.EG=2CG+BG=3CG, .在Ri△ECG中，tan∠ECF= EG CG g=3 CG (3)△DMN是等腰直角三角形.证明如下： 如图②，取AC的中点H.连接PH,QH. :P和Q分别是AE和CF的中点， .PH和QH分别是△ACE和△ACF 的中位线， 1 PH∥CE,QH∥AF,PH=ZCE, QH-TAF. Q 由(1)，得AF=CE,AF⊥CE, 图② .PH-QH,∠PHQ=90°，∴，△PQH是等腰直角三角形. ,PHDM,QH∥DN, ∴.△DMN是等腰直角三角形. 【解析】(1)设AF,CE交于点P,AB与 CE交于点O,如图③. 由题意可知，△ABE和△BCF都是等 腰直角三角形， .BA=BE,BC=BF,∠ABE= ∠CBF=90°， .∠ABE+∠ABC=∠CBF+ ∠ABC,即∠ABF-∠EBC, .△ABF≌△EBC(SAS), ∴AF=EC,∠BAF=∠BEC 在△AOP和△BOE中，∠AOP=∠BOE,∠PAO =∠BEO, ∴.∠APO=∠EBO=90°，∴.AF⊥CE 2.解：(1)1.5<AD<6.5 (2)证明：如图①，延长AD至点G.使DG=AD,连接BG, 则AG=2AD. ,D为BC的中点 ∴.CD=BD. 在△ADC和△GDB中， (AD=GD. ∠ADC=∠GDB, CD-BD. ∴.△ADC≌△GDB(SAS). 图① ∴.∠C=∠GBD,AC=GB, .AC∥BG, '.∠ABG+∠BAC=180°. AC=AF. ∴.BG=AF ,∠BAE=∠CAF=90°， .∠EAF+∠BAC=180°， ∴.∠ABG=∠EAF 在△EAF和△ABG中， (EA=AB. ∠EAF=∠ABG. AF=BG. ∴.△EAF≌△ABG(SAS) ∴.EF=AG. ∴.EF=2AD (3)BD=2EF,理由如下 如图②，延长EF到点G,使得EF=FG,连接CG,延长CA 到点H,使得AH=AD,连接BH F是BC的中点， .CF-BF. :∠EFB=∠CFG .△BEF≌△CGF(SAS). .BE=CG,∠BEF=∠G ∴.CGBE, ∴.∠BEH=∠GCE 图②G ,'∠BAC+∠BAH=180°，∠BAC+∠BAD=180° ∴.∠BAH=∠BAD 在△BAH和△BAD中， (AB=AB. ∠BAH=∠BAD AH-AD. .△BAH≌△BAD(SAS). .BH=BD,∠H=∠ADB :∠ADB=∠CEF. ∴.∠H=∠CEE .△HBE2△EGC(AAS),.BH=GE ∴.BD=GE=2EF 3.解：(1)证明：如图①，连接BD,BF ,四边形ABCD是正方形， .CD=CB,∠C=90°， .∠DBC=45 同理∠GBF=45 ∴.∠DBF90 在Rt△BDF中， ,H是DF的中点 ∴.2BH=DF. (2)①如图②，连接AG并延长，交CE于点O,连接 AC.EG. ,四边形ABCD和四边形EFGB是正D 方形， ,.AB=BC,BG=BE,∠ABC=∠EBG =90°， .∠ABC-∠CBG=∠EBG-∠CBG. ∴.∠ABG=∠CBE, 图② .△ABG≌△CBE(SAS). ∴.∠AGB=∠CEB :∠AGB+∠OGB=180° ∴.∠CEB+∠OGB=180°. .∠GOE+∠EBG=360°-（∠CEB+∠OGB)=180 ∴.∠G0E=90°..∠G0C=90°.， .AE+CG=OA°+OE+OC+OG =(OA+OC+(OE+0G) =AC+EG =2AB*+2BE =2×4+2×2 =40. ②证明：如图③，延长GB至点P,使得BP一GB,连接CP 交AE于点Q,设AE与BC交于点H 四边形BE下G是正方形， .BG=BE,∠GBE=90°， ∴.BE=BP,∠EBP=90°=∠ABC, .∠ABC+∠CBE=∠EBP+∠CBE ∴.∠ABE=∠CBP 在△ABE和△CBP中. AB=CB,∠ABE=∠CBP,BE =BP. ∴.△ABE≌△CBP(SAS). .∠EAB=∠PCB, .∠AHB=∠CHE ∴.∠HQC=∠ABC=90 N是CG的中点， ∴.CW=NG,.NB是△CGP的中位线， :.NB//CP. .∠AMN=∠HQC=90°. ∴，BM LAE. 4.解：(1)证明：四边形ABCD是菱形，∠EFG=∠ABD, ..AB=AD. .∠ABD=∠ADB ,∠ABD+∠BEF=∠GFD+∠EFG, .∠FEB=∠GFD. ∴，△BFE∽△DGF 示-G=EF·FD=GF·BE .BE FE (2)①证明：由(1)，得△BFE∽△DGF, BE FE DF-GF' F为BD的中点， :.BF-FD. 器器柴熙 ,∠ABD=∠EFG, ∴，△BFE∽△FGE .∠BEF=∠FEG, ·EF平分∠BEG. 【解析】(2)②'AE∥FG,EF∥AD,F为BD的中点 .四边形AEFG是平行四边形，BF=DF,△BEF △BAD. ∴AE=BE=吉AB. 同理AG=DG=AD, .AB=AD. .AE=AG. .四边形AEFG是菱形. ∴.∠AEG=∠FEG 由①可知，∠BEF=∠FEG,∴.∠AEG=∠BEF=∠GEF ,∠AEG+∠GEF+∠BEF=180, ∴.∠AEG=60, .∠BAD=609 AB=AD. .△ABD是等边三角形 ,F为BD的中点 ∴.AF⊥BD. 2 又器 梦考答案 83 福+指 5.解：(1)①证明：，四边形ABCD为菱形， ∴∠ABD=∠GBF .'∠EAG=∠ABD ∴.∠EAG=∠GBF」 ,'∠BFG=∠AFE .△BFG∽△AFE. .∠BGF=∠AEF ,∠ABE=∠GBF .△ABE∽△FBG. ②证明：连接EG,如图① 由①得，△AFEc∽△BFG 蒂部器僻 F∠EFG=∠AFB. ∴.△EFG∽△AFB, ∴.∠EGF=∠ABD ,∠EAG=∠ABD. .∠EAG=∠EGF, ∴.EA=EG ,EH⊥AF, ,∴.AH=HG, .AG=2AH (2)连接F1,如图②. GI∥BF,GI=BF, .四边形BGF为平行四边形， .FI//BC. 昭膘 :四边形ABCD为菱形， .AD∥BC, .△ADFc△GBF. DF AD F-G丽 兴器品 ,四边形ABCD为菱形， .AB=CD=BC=AD=2. .∠CBD=∠CDB. ,GI∥BF. .∠CBD=∠CGI,∠CIG=∠CDB. ∴.∠CGI=∠CIG ..CI=CG. 设C1=CG=x.则D1=BG=2-x· 2 Γ2-x 解得x1-3一5，x-3十5（不合题意，含去）， 即C1的长为3-5 6第0号 90 (2)(1)中的结论还成立. 证明：在Rt△ABC中，∠BAC=30° .'tan30"-BC_ AC 3 在Rt△DEC中，tan∠CDE=tan30° CE_ CD 3 紧儡 又，∠DCB+∠BCE=∠ACD+∠DCB=90, ·∠BCE=∠ACD, 84 。己0己6安徽数学 ∴.△BCEn△ACD. 器 ,F.G,H分别是DE,DB,AB的中点，FG是△DBE的中 位线，GH是△ADB的中位线， FG= BE.FG//BE GH-AD. FGBE ∴G-AD3 ∠DGF=∠DBE=∠DBC+∠CBE. :∠DGH是△GHB的外角， ∴∠DGH=∠GHB+∠ABD. 由GH∥AD得∠GHB=∠BAD ,△ACD∽△BCE,.∠CAD=∠CBE ·∠FGH=∠FGD+∠DGH=∠DBC+∠CAD+∠BAD +∠ABD=180°-∠ACB=909 (3)3≤GH≤7 【解析】(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∴lan30=C-E AC 3 ,DE∥AB 惯 ,∠CDE=∠A=30 CE BE 在R△DEC中，an∠CDE=C元六 3 F.G,H分别是DE,DB,AB的中点， FG,GH分别为△DEB,△ADB的中位线. .FG/BE.GH/AD.FG-BE.GH-TAD. FG BE BE 3 GH 交AD AD 3 ,∠DGF=∠DBC,∠DGH =∠CDB :∠FGH=∠DGF+∠DGH ∴.∠FGH=∠DBC+∠CDB ∠C=90°. ,∴.∠FGH=∠DBC+∠CDB=90 (3)由题意可知AC一CD≤AD≤AC十CD, .10-4≤AD≤10+4，即6≤AD≤14. ,GH是△BAD的中位线，∴.AD=2GH, ∴.3GH≤7. 7.解：(1)证明：：AB=AC,DC=DE,DC=BC ∴.∠ABC=∠ACB,∠E=∠DCE,∠ABC=∠CDB ∴·∠ABC=∠ACB=∠CDB. :∠ABC=∠E+∠BDE,∠ACB=∠DCE+∠ACD, ∠BDC=∠A+∠ACD, ∴.∠E=∠A,∠BDE=∠DCA, ∴.△DBE∽△CDA. (2)如图①，过点E作AB的垂线，交AB的延长线于点G ,AB=AC.∠ABC=45, D .∠A=90 由(1)可知，∠BDE=∠ACD. .DE=CD,∠EGD=∠A=90 B .△DGE≌△CAD(AAS) 图① .EG=DA=1. :∠EGD=90°，∠EBG=∠ABC=45, ∴.BE=EEG=E」 (3)如图②，过点D作BC的平行线，交CA延长线于点M, 过点D作BC的垂线，交BC于点N。 ,AB=AC.∠ABC=60, .△ABC为等边三角形 .BC//MD.ADCE. ∴.∠MDA=∠ABC=60°，∠M=∠ACB=60°. ∴.AD=AM=MD=CE 在△MDF和△CEF中， ∠M=∠FCE, ∠MFD=∠CFE. 图2 MD=CE. ∴.△MDF≌△CEF(AAS),∴，MF=CF,DF=EF 设AF=1,AD=AM=MD=CE=x,则MF=CF=1十x, AB=BC=AC=2+x.BD=2+2x. DN⊥BC,∠ABC=60°， BN=之BD=1+x,CN=l. DN⊥BC,DE-DC, ..EC-x-2CN-2...BD-6.BN-3.EN1. ∴DN=BD-BN-3. 根据勾股定理，得DE=√EN+DN=2反. ∴DF=F, 8.解：(1)，CB=CE=3,AB=DE=4,∠ABC=∠DEC =90°， .AC-/AB+BCT-5.CD-DEFCE-5. ,'△ABC≌△DEC,.∠ACB=∠DCE, ∴∠BCE=∠ACD. 紧器 .△CBE∽△CAD, 器 (2)证明：，∠ABC=90°，BG是△ABC的中线 AG=BG=0G=2AC=号 ∴.∠GBC=∠GCB CB=CE. .∠CEB=∠CBE.·∠GCB=∠CEB. :∠GCB=∠DCE. ∴.∠CEB=∠DCE. .BE//CD. (3)h(2)得.∠GBC=∠CBE,∠BCG=∠CEB. ∴.△BCG△BEC, 瓷器 .BE-BC:18 BG5 GE-BE-G-1 BE//CD. .△FGEP△FCD, 腸 11 FE 10 .FE3 44 FE3944 在RI△ECF中，ian∠ECF=C 3117 9.解：(1)证明：：AD平分∠BAC. ∠BAD=∠CAD. 又，AB=AC.AD=AD. ∴.△ABD≌△ACD(SAS). ,∴.∠ABE=∠ACE,BD=CD 又，'AB=AC,∠BAF=∠CAE, ∴△ABF2△ACE(ASA), ∴.BF=CE. ∴.DE=DF (2)证明：如图①，作∠HBD=∠ACD,交CE的延长线于 点H. :∠BDC+∠BAC=180°. ·∠BAC+∠EDF=180 .∠AFD+∠AED=180 :∠AFD+∠DFC=180. ∴∠AED=∠CFD=∠BEH. '∠ACD=∠HBD,∠CDF=∠BDH, ① △CDFD△BDH. 品品∠cD-∠H. .∠H=∠BEH, .BE=BH. CD CF B而正 (3)如图②，连接EF,过点E作EN⊥BF于点N,过点F作 FH⊥EC于点H. AD平分∠BAC,∠B4C=60°， ∴.∠BAD=∠CAD=30 ∠BAC+∠BDC=60°+120°=180°， .∠BAC+∠EDF=180 点A,E,D,F四点共圆. ∴.∠DFE=∠DAE=30°.∠DEF= ∠DAF=30° ·∠DEF=∠DFE=30°， ..DE=DF=4. .CD=6. ,∠EDB=∠FDC=180°-120°=60， ∴.∠DEN=∠DFH=30° ∴.DN=DH=2,FH=EN=25, .CH=4, ∴CF=CH+FH=/6+12=2F. 需保 62/7 ·DBE 设BD=6x,则BE=2Fx. .BE=EN+BN. .28x2=12+(6.x-2)°， 解得x1=1,x:=2, .BD=6或12 10.解：1) 1 (2)证明：如图①，过点O作OG∥AB交CE于点G :OG∥AB, .OC GC …0aGE =1, ∴G为CE的中点， .OG为△CAE的中位线， 0G-TAE. .OG∥AB.∴.∠GOF=∠EBF 图① 参考答案 85 又∠OFG=∠BFE,OF=BF ∴.△OFG≌△BFE, .OG=BE. BE-TAE. ..AE=2BE (3)如图②，过点O作OH∥AB交CE于点H. ,OH∥AB. .△OFH∽△BFE 器- ,BE=1. .OH=4. ,O是AC的中点，O日∥AB, 贤 图2 =1 ∴H是CE的中点，∴OH是△CAE的中位线， .AE=20H=8. ∠OAE=∠BAC.∠AOE=∠ABC=90°， .△AOE∽△ABC, AO= AC.AB=AE+BE=9. 六A0·AC=2AC=AB·AE=8X9=72. .AC2=144,解得AC=12(负值已含去). 【解析】(1)O为矩形对角线的交点， ∴.OA=0C E为AB的中点 .OE为△ABC的中位线 oE/BC.0E-. ∴.△OEF∽△BCF, 器 11.解：(1)证明：如图①，过点F作FH⊥BC,垂足为H ,'∠BAE十∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB =90°. ∴.∠BAE=∠FEH. 在△EBA和△FHE中， |∠ABE=∠EHF, ∠BAE=∠HEF, AE-EF. .△EBA≌△FHE(AAS) ..AB-EH.BE-HF. .BC=EH,..BE=CH=FH. .CF=√2BE (2∠c0F=号.-90 理由如下：如图②，在AB上截取AN.使AN=EC,连 接NE. :∠ABC+∠BAE+∠AEB=∠AEF +∠FEC+∠AEB=18O°.∠ABC =∠AEF, ∴.∠EAN=∠FEC 又‘AE=EF, ∴.△ANE≌△ECF(SAS) ∴.∠ANE=∠ECF. AB=BC. .BN=BE,∴.∠BNE=∠BEN. :∠EBN+2∠BNE=a+2∠BNE=1802, 86 。己0己6安徽数学 ∴∠BNE=90-a∴∠ANE=180-∠BNE=90+ .∠GCF=∠ECF-∠BCD=∠AVE-∠BCD=（90+ 2）-180-a1-号0-90 3 2 【解析】(3)如图③，过点A作CD的垂线交CD的延长线于 点P ..DG 1 G=7CD=. :∠ABC=120°.∠ADC=120°， .∠ADP=60°，.∠PAD=30°， 图3 PD=号ap- 2a, G=PD+DG=号+=a 5 :a=120°， 由2知.∠GCF-2a-90-90-∠p :.AP//CF. ∴，△APGn△FCG, 品器 30 专题八回归教材 1.解：(1)证明：如图①，作∠BAC的平分线，交BC于点D. 'AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD '∠B=∠C,AD=AD. ∴.△ABD≌△ACD(AAS),.AB=AC. B 304 地面 图① 图2 (2)①过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D,如图②. 设BD=xkm. 由题意，得∠CBD=60°，CD=9km, .BCD=30,..CB=2BD=2x km 由勾股定理，得CD+BD=CB, 即9十x=(2x)2, 解得x=3(负值已舍去)， 则CB-65km. '∠ACB=∠CBD-∠CAB=30, .AB=CB=63 km. 故飞机飞行的距离AB为65km. ②证明：如图③，连接BE,专题七聚焦几何综 类型1 与全等三角形有关的探究(2025T22. 2023T22.2022T22) 解题技明(1)证明全等三角形的方法：①已 知两边对应相等，寻找第三边或夹角对应相 等；②已知一边一角对应相等，寻找另一角或 已知角的另一边对应相等；③已知两角对应相 等，寻找任一边对应相等：④在直角三角形中， 已知一条直角边（斜边）对应相等，寻找斜边 (一条直角边)对应相等. (2)全等三角形的模型构建：①已知中线时，常 常采用“倍长中线法”添加辅助线，用SAS来证 明全等（所夹角为对顶角）：②已知角平分线 时，常过角平分线上的，点向角两边作垂线，利 用角平分线上的，点到角两边的距离相等来证 明全等：③已知和角平分线垂直的线段时，通 常把这条线段延长来证明全等 典例1(2025蚌埠模拟)如图，点C在△PAB的边 PA上，且AB=BC,作CD∥AB,交PB于点D,作 DE∥BC,交PA于点E. (1)如图①，若△ABC是等边三角形，且PE=DE, 求∠P的大小. (2)如图②，作EF∥PB,交BC于点F. ①求证：△BCD≌△ABF: ②设AF的延长线交BD于点M,若PA=PB,MB =MD,求证：AD⊥DE. 图① 图② 【规范解答】1)，△ABC是等边三角形， .∠ACB=60°. ,DE∥BC, ∴.∠DEC=∠ACB=60°. :PE=DE. ∠P=∠EDP ,∠DEC=∠P+∠EDP=60°， ∴.∠P=30° 26042026安徽数学 合探究问题(10年10考) (2)证明：①，EF∥PB,DE∥BC, ∴.四边形DEFB是平行四边形， ∴.BF=DE :DE∥BC,DC∥AB. .∠DEC=∠BCA,∠DCE=∠BAC,∠ABF =∠BCD. .AB=BC, ∴.∠BCA=∠BAC, .∠DEC=∠DCE, .DE=DC=BF, '.△BCD≌△ABF(SAS). ②，PA=PB, ∴.∠PBA=∠PAB .AB//CD, ∴.∠PDC=∠ABP,∠PCD=∠BAP, ∴.∠PDC=∠PCD, .PC=PD,∠BDC=∠DCA,∴.BD=AC 设∠CBD=a. .CD=DC, ∴.△DCA≌△CDB(SAS), ∴.AD=BC,∠DAC=∠CBD=a. .AB=BC, :.AB=AD. .MB=MD. ∴.AM⊥BD,∠BAM=∠DAM, ∴.∠AMB=90°， .∠BAM+∠ABM=90. 由①知，△BCD≌△ABF, .∠CBD=∠BAF=R=∠DAC=∠DAF, ∴.∠ABP=∠BAP=3a .a+3a=90° ∠DEA=∠ACB=∠BAC=3a· ∴.∠DEA+∠DAE=3a十a=90°， .∠ADE=90°，.AD⊥DE. 针对地练 1.原创题如图，已知△ABC,以点B为旋转中心， 分别将BA和BC按顺时针和逆时针方向旋转90°， 得到线段BE和BF,连接AE,AF,CE,CF. 图① 图② 图③ (1)如图①，CE和AF之间的关系是 (2)如图②，若四边形ABFC是平行四边形，求 tan∠ECF的值. (3)如图③，若P和Q分别是AE和CF的中点， 连接PQ.PQ,AF,CE两两相交，交点分别为N, M,D.试判断△DMN的形状，并证明. 2.(2025毫州二模改编)综合与实践：在通过构造全 等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中 线法。 (1)如图①，AD是△ABC的中线，AB=8,AC= 5.AD的取值范围为 (2)如图②，AB=AE,AC=AF,∠BAE= ∠CAF=90°，D为BC的中点.求证：EF=2AD. (3)如图③，在四边形ABCD中，对角线AC,BD 相交于点E,F是BC的中点，∠CEF=∠ADB, ∠BAC+∠BAD=180°.试探究BD与EF的数 量关系，并说明理由 AX区 图T 图② 图③ 培优本261 3.正方形ABCD、正方形BEFG按图①所示的方 式放置，其中点A,B,E在同一条直线上 季 图② (1)点H是DF的中点，求证：2BH=DF. (2)如图②，将正方形BEFG绕点B逆时针旋转 a(45°<a<90),连接CG,CE. ①若AB=4,BE=2,求AE2十CG2的值： 262 A42025安徽数学 ②如图③，若V是CG的中点，连接BN,交AE 于点M.求证：BM⊥AE. 类型2与相似三角形有关的探究(2019T23) 解题技⑤相似三角形的模型构建：①借助比 例条件和等角得到相似三角形：②题目中有直 角时，依托直角，作垂线构造“三垂直”模型： ③题目中出现多个中点时，可依托中位线得平 行，寻找比例关系，得到相似三角形：④题目中 出现“残缺”的“A”字模型或“X”字模型时，可 以通过延长线段将其补全；⑤借助平移、旋转、 对称三大变换来构造相似三角形. 典例2(2025合肥模拟）如下图，在△ABC中， ∠ABC=90°，AB=BC,D是边AB上的一点，连 接CD,过点B作BE⊥CD,垂足为E. D (1)求证：△BDE∽△CBE. (2)连接AE并延长，交边BC于点F,当F是BC 的中点时。 ①决茶的做。 ②求证：BD=AD·AB. 【规范解答】(1)证明：在△ABC中，∠ABC=90°， AB=BC,BE⊥CD, ∴∠BED=∠CEB=90°，∠DBE+∠CBE=9O°， ∴.∠BCE+∠CBE=90°， .∠DBE=∠BCE, .△BDEc∽△CBE. (2)①：BE⊥CD,F是BC的中点， 1 ∴CF=BF=EF=2BC, .∠ECF=∠CEF 由(1)可知，∠ECB=∠DBE. :∠CEF=∠AED, ∴∠AED=∠ABE ∠EAD=∠BAE, ∴.△AED∽△ABE, 铝把 设CF=BF=EF=2BC=a, 则AB=BC=2a. ..AF=/AB+BF=5a. ∴.AE=AF-EF=(5-1)a, .AE5二1a=5一1 ②期：铝提是 ∴AE2=AD·AB, AD-AF(5-Da-(3-5)0 2a .BD=AB-AD=2a-(3-5)a=(5-1)a, .AE=BD..BD=AD·AB. 针对切练 4.如图①，在菱形ABCD中，点E,F,G分别在 AB,BD,AD上，∠EFG=∠ABD (1)求证：EF·FD=GF·BE (2)如图②，若F为BD的中点，连接AF. ①求证：EF平分∠BEG: @若AE∥FG,EF∥AD,则怎的值为 培优本 ▲263 5.(2025六安金寨模拟)如图，点E,F均在菱形 ABCD的对角线BD上，射线AF交边BC于 点G. (1)如图①，若∠EAG=∠ABD ①求证：△ABE∽△FBG: ②过点E作EH⊥AF于点H,求证：AG =2AH. (2)如图②，射线AE交CD于点I.若GI∥BF, GI=BF,AB=2,求CI的长 D G 图① 图② 264。。己0已6安徽数学 6.(2025安庆二模)如图①，在Rt△ABC中，∠C 90°，∠A=30°，点D,E分别在AC,BC上，DE∥ AB,连接BD,F,G,H分别是DE,DB,AB的 中点，分别连接FG,GH (1)观察、猜想 FG 观察图①，猜想 ,∠FGH= (2)探究、说理 把△CDE绕点C逆时针旋转到图②所示的位 置，(1)中的结论还成立吗？如果成立，请予以证 明：如果不成立，请说明理由 (3)拓展、思考 在△ABC所在的平面内，把△CDE绕点C自由 旋转.当AC=10,CD=4时，线段GH的取值范 围是 图① ② 类型3与全等利相似有关的综合保究(2024T22, 2021T23,2020T23,2018T23,2017T23,2016T23) 解题技巧与全等和相似三角形有关的几何 综合题是安微中考压轴题最常见的命题形式， 先由简单的问题开始，逐步添加条件，将问题 拓展延伸.解决此类问题要善于运用前面已推 理出的结论，结合问题挖掘更多的有利条件 当所求的问题不明朗时，一般可构造图形将问 题转化，通过证明全等或相似将两个图形中关 系不大的量转化到具有相关关系的图形中， 典例3如图，在△ABC中，AC=BC,将线段BC绕 点C逆时针旋转90°得到线段CD,连接AD,BD. 图① 图② (1)如图①，求∠BAD的度数. (2)如图②，若∠ACD的平分线CE交AD于点F, 交AB的延长线于点E,连接DE,求证： ①△BCD∽△AED: ②ECE=DE+BE. 【规范解答】(1)设∠ACB=a. AC=BC. 六∠BAC=∠ABC=Z180°-∠ACB)=0- 2a. 由旋转可知，∠BCD=90°，AC=BC=CD, .∠ACD=90°+a, ∴ZCAD-=∠CDA-180-∠ACD)=45-克， .∠BAD=∠BAC-∠CAD=45° (2)证明：①AC=BC=CD,∠BCD=90°， ∴.∠CBD=∠BDC=∠BAD=45°. ,CE平分∠ACD,CA=CD, ∴.AF=DF,CE⊥AD ∴.CE是线段AD的垂直平分线， .AE=DE. .∠ADE=∠BAD=45°， ∴·∠CBD=∠BDC=∠ADE=∠DAE. ∴.△BCD∽△AED. ②如图，延长ED至点G,使得DG=BE,连接CG. .AC=BC=CD. G .∠BAC=∠ABC. 由①知，∠BCD=∠AED=90°， ∠CBE+∠CDE=180. :∠CDG+∠CDE=180°， ∠CBE=∠CDG. ∴△CBE≌△CDG(SAS), .CE=CG,∠BCE=∠DCG. :∠BCD=∠BCE+∠ECD=∠DCG+∠ECD= ∠ECG=90°， ∴.△CEG是等腰直角三角形， .EG=2CE=DE+DG=DE+BE,CE= DE+BE. 甘对地练 7.(2025安庆太湖模拟)在△ABC中，AB=AC,D 为直线AB上一点，E为直线BC上异于点C的 一点，连接DC,DE,使DC=DE. (1)如图①，若点D在线段AB上，DC=BC,求 证：△DBE△CDA. E B 图① 培优本 ▲265 (2)如图②，若点D在线段AB上，∠ABC=45°， AD=1,求BE的长. (3)如图③，若点D在线段BA的延长线上，点E 在线段BC上，DE交CA于点F,∠ABC=6O°， AD=CE,求部的值， 图② 图③ 266A42025安徽数学 8.(2025宿州砀山模拟)综合实践课上，同学们将两 个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶 点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探 究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和 DEC中，CB=CE=3,AB=DE=4,∠ABC= ∠DEC=90°. 【初步感知】 (1)如图①，连接AD,BE,在纸片CDE绕点C 旋转过程中，求铝的值。 【尝试证明】 (2)如图②，在纸片CDE绕点C旋转过程中，当 点E恰好落在△ABC的中线BG的延长线上 时，求证：BE∥CD. 图① 图② 【深入探究】 (3)如图③，在(2)的条件下，延长DE交AC于点 F,求tan∠ECF的值. 0 图③ 9.(2025准南二模)D是△ABC内一点，AD平分 ∠BAC,连接CD交AB于点E,连接BD交AC 于点F. 图②) 图3 (1)如图①，若AB=AC,证明：DE=DF (2)如图②，若∠BDC+∠BAC=180°，证明：BD CD CF -BE (3)如图③，若∠BAC=60°，∠BDC=120°，DF =42号求BD的长， 培优本267 10.(2025池州二模)已知矩形ABCD对角线AC 和BD相交于点O,E是边AB上一点，CE与 BD相交于点F,连接OE (1)如图0，者E为AB的中点，则咒的值为 (2)如图②，若F为OB的中点，求证：AE =2BE. (3)如图③，若OE⊥AC,BE=1,且OF=4BF, 求AC的长. 图①D 图② 268A62026安徽数学 11.(2025合肥蜀山区三模改编)E是菱形ABCD 边BC上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转a 到EF,连接CF,且∠AEF=∠ABC=a(a≥ 90),AF交CD于点G B E 图① 图② 图3 (1)如图①，当a=90时，求证：CF=√2BE. (2)如图②，探究∠GCF与a的数量关系，并说 明理由。 (3)如图③，当a=120°时，若菱形ABCD的边 长为。，且瓷=司，则CF的长为 DG (用含a的式子表示).