专题八 回归教材-【学海风暴·PK中考】2026安徽中考数学备考培优本

又∠OFG=∠BFE,OF=BF ∴.△OFG≌△BFE, .OG=BE. BE-TAE. ..AE=2BE (3)如图②，过点O作OH∥AB交CE于点H. ,OH∥AB. .△OFH∽△BFE 器- ,BE=1. .OH=4. ,O是AC的中点，O日∥AB, 贤 图2 =1 ∴H是CE的中点，∴OH是△CAE的中位线， .AE=20H=8. ∠OAE=∠BAC.∠AOE=∠ABC=90°， .△AOE∽△ABC, AO= AC.AB=AE+BE=9. 六A0·AC=2AC=AB·AE=8X9=72. .AC2=144,解得AC=12(负值已含去). 【解析】(1)O为矩形对角线的交点， ∴.OA=0C E为AB的中点 .OE为△ABC的中位线 oE/BC.0E-. ∴.△OEF∽△BCF, 器 11.解：(1)证明：如图①，过点F作FH⊥BC,垂足为H ,'∠BAE十∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB =90°. ∴.∠BAE=∠FEH. 在△EBA和△FHE中， |∠ABE=∠EHF, ∠BAE=∠HEF, AE-EF. .△EBA≌△FHE(AAS) ..AB-EH.BE-HF. .BC=EH,..BE=CH=FH. .CF=√2BE (2∠c0F=号.-90 理由如下：如图②，在AB上截取AN.使AN=EC,连 接NE. :∠ABC+∠BAE+∠AEB=∠AEF +∠FEC+∠AEB=18O°.∠ABC =∠AEF, ∴.∠EAN=∠FEC 又‘AE=EF, ∴.△ANE≌△ECF(SAS) ∴.∠ANE=∠ECF. AB=BC. .BN=BE,∴.∠BNE=∠BEN. :∠EBN+2∠BNE=a+2∠BNE=1802, 86 。己0己6安徽数学 ∴∠BNE=90-a∴∠ANE=180-∠BNE=90+ .∠GCF=∠ECF-∠BCD=∠AVE-∠BCD=（90+ 2）-180-a1-号0-90 3 2 【解析】(3)如图③，过点A作CD的垂线交CD的延长线于 点P ..DG 1 G=7CD=. :∠ABC=120°.∠ADC=120°， .∠ADP=60°，.∠PAD=30°， 图3 PD=号ap- 2a, G=PD+DG=号+=a 5 :a=120°， 由2知.∠GCF-2a-90-90-∠p :.AP//CF. ∴，△APGn△FCG, 品器 30 专题八回归教材 1.解：(1)证明：如图①，作∠BAC的平分线，交BC于点D. 'AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD '∠B=∠C,AD=AD. ∴.△ABD≌△ACD(AAS),.AB=AC. B 304 地面 图① 图2 (2)①过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D,如图②. 设BD=xkm. 由题意，得∠CBD=60°，CD=9km, .BCD=30,..CB=2BD=2x km 由勾股定理，得CD+BD=CB, 即9十x=(2x)2, 解得x=3(负值已舍去)， 则CB-65km. '∠ACB=∠CBD-∠CAB=30, .AB=CB=63 km. 故飞机飞行的距离AB为65km. ②证明：如图③，连接BE, :AB的垂直平分线分别交AB,AC 于点D,E, ∴.AE=BE ∠C=90°，∠A=30°. ∴.∠ABE=30°.∠ABC=60° ∴.∠EBC=30°. ∴.BE=2CE,.AE=2CE 2.解：(1)证明：：∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB+ ∠ACD=180°，∴∠ACD=∠A+∠B. (2):∠1=∠EDC+∠C, ∴.∠EDC=125-50°=75 DE∥AB..∠B=∠EDC=75 (3)当点E在点O的上方时，如图①. a=70°，∠A0E=110° :AG平分∠EAB,EF平分∠AEC .∠EAB=2∠1.∠AEC=2∠3. 由三角形外角的性质，得∠AEC=∠EAB十110°，∠3=∠1 +∠AGE.∴.∠AGE=55": 30 图② 图① 当点E在点O的下方时，如图②，得∠AGE=180° (∠GAE+∠GEA)=180'-(∠0AE+∠0EA)=180- 2180°-a)=125. 综上所述，∠AGE的度数为55或125 3.解：DDE/BC,DE=2BC (2)证明：如图①，延长DE至点F,使EF=DE,连接CF, .DE-7DF D,E分别是AB,AC的中点 ..AD=BD.AE=CE. ,∠AED=∠CEF, ∴，△AED≌△CEF(SAS). .AD=CF,∠A=∠ECF, ·ABCF AD=BD ∴，BD=CF. .四边形DBCF为平行四边形. .DF∥BC.DF=BC. .DE/RC.DE-BC. (3)135 (4)如图②，以点A为圆心，AE长为半径画圆，延长CB至 点H,使BH=CB,连接FH,AH. AE=3BE.AB=4. ∴.AE=3, 点F在以点A为圆心，3为半径的圆 上（不与点E重合）， ,M是CF的中点，CB=BH, BM=专FH. 图② 由勾骰定理.得AH=+3=5 由图可知，当点F在线段AH上时，FH最小，最小值为5一 3一2，此时BM长的最小值为1： 当点F在线段HA的延长线上时，FH最大，最大值为5十3 =8,此时BM长的最大值为4. 4.解：(1)①证明：四边形ABCD为正方形. .OB=OC.∠BOC=90”.∠OBE=∠OCF=45. .'OF⊥OE. ∴.∠EOF=90°=∠BOC, .∠BOE=∠COF. 在△BOE和△COF中 ∠BOE=∠COF, OB=OC: ∠OBE=∠OCF ∴.△BOE≌△C()F(ASA), ..BE=CF. ②2 (2)CE+CF=2CP.理由如下： 如图，过点P作PH⊥BC于点H,PG⊥CD于点G,则 ∠PHE=∠PGF=90. ,四边形ABCD为正方形 .∠BCD=90°，CA平分∠BCD “.PH=PG,四边形PHCG为正方形， ∴.CP=ECH,∠HPG=90,CH=CG :PE⊥PF, .∠EPF-∠HPG-90°， ∴.∠EPH=∠GPF 又：PH=PG,∠PHE=∠PGF=90, .△PHE≌△PGF(ASA). ∴HE=GF, ..CE+CF=CH+HE+CG-FG=2CH. CE+CF-2X2CP-/C (3)2CE+CF=/5CP 5.解：(1)补全图形如图①所示. 证明：连接OA,OA‘,在△OA4'中， 0A=0A, .△OAA'是等腰三角形 又AA⊥CD,.MA=MA' 图① 图②2 (2)如图②，连接(OA, “AB⊥CD,AE=BE=23」 在Rt△ACE中，∠C=30°， .∠CAE=60°.AC=2AE=4F ∴.CE=45)-(25)F=6. 在Rt△OAE中.根据勾股定理，得OA2=OE+AE, .OA=(CE-OC)+AE=(6-0A)2+(25), 解得OA=4. ,CD是直径，.∠CAD=90 ∴.∠BAD=30 故∠BAD的度数为30°，⊙O的半径为4. 6.解：(1)PA=PB,∠APO=∠BPO.理由如下： 如图①，连接()A,OB. ,'PA,PB是⊙O的两条切线，∴.OA⊥PA,OB⊥PB 又OA=OB.OP=OP .Rt△AOP2Rt△BOP(HL) 梦考答案 87 ∴.PA=PB,∠APO=∠BPO. 图① 图② (2)①证明：PN,PD,DE分别与⊙O相切于点A,B.C, ∴.DO,PO分别平分∠PDE,∠DPN,∴.∠ODP+∠DPO =Z(∠PDE+∠DPN),. DE∥PN..∴.∠PDE+∠DPN=180°..∠ODP+ ∠DPO=90°，∴∠POD=90°=∠DOM. 又，MNOD.∴.∠NMO=∠DOM=90,∴.N LOM ,OM为⊙O的半径， ∴.MN是⊙O的切线 ②如图②，连接OB.则OB⊥PD. .OD=6 cm.OP=8 cm. .PD=VOD+OPF=10 cm. :.Smo-7OP OD-7PD OB. .OB=4,8cm,即⊙0的半径为4.8cm 六5-56mm-Sa6am-子×6×8-0XxX4.型 (2 360 -5.76π)cm2 做⊙O的半径是4.8cm,图中阴影部分的面积是(24一 5.76π)cm 提分小卷+原创仿真卷 中考基础题115分提分小卷（一） 1.C2.A3.B4.B5.B 6.C【解析】将五张卡片分别记为A,B,C,D,E,其中卡片内 容为化学变化的有A,D,E,列表如下.由表可知，共有20种 等可能的结果，其中卡片内容均为化学变化的结果有(A。 D).(A,E),(D,A).(D,E).(E.A).(E.D),共6种， :卡片内容均为化学变化的概率为0司 63 B D E (A,B) (A.C) (A.D) (A.E) B (B,A) (B,C) (B.D) (B,E) (C,A) (C,B) (C,D) (C,E) D (D,A) (D,B) (D,C) (D.E) E(E.A)(E.B) (E,C) (E.D) 7.D【解析】r4a+c=2b. .e=26-4a<0, .4a-26>0. ∴.2a一b>0.故选项B结论正确，不符合题意： .a+b+c>0. ∴.a+b+2b-4a>0,即b-a>0, a一b<0,故选项A结论正确，不符合题意： 4ae-b2=4a(2h-4a)-b=8ab-16a2-b3=-(4a-b) <0,故选项C结论正确，不符合题意： a-b<0,2a-b>0, .a+b+c>0. .a>0.b>0 4a+c=2h, .4a一b=b一c>b>0,故选项D结论错误，符合题意 88 4。己0己6安徽数学 8.B【解析】：四边形ABCD为矩形， ∴.∠A=∠ABC=90°，AD∥BC,AD=BC. .∠FBO=∠EDO. ,:EF垂直平分BD,.BO=DO,∠BOF=∠DOE=90°， ,∴.△BOF≌△D)E(ASA), ..BF=DE. EF垂直平分BD, ∴.BE=DE,BF=DF. .BE=DE=BF=DE .四边形BFDE为菱形，AE=CF, ∴.EO=FO,∠FBO=∠OBE EF=AE+FC. .AE=EO=OF=CF.,AE⊥AB.EO⊥BO,∴.∠ABE= ∠OBE=∠OBF=30 AB=3, ∴.AE=5,BE=25 ∴.CF=AE=5,BF=BE=25. .∴.BC=BF+CF=33, 9.A【解析】二次函数的图象开口向下， ∴.a<0. .b<0. :抛物线与y轴相交于正半轴， .c>0..直线y=bx十c经过第一、二、四象限 由图象可知，当x=一1时，y>0, .a-b+c>0, “反比例函数y=“一土上的图象必在第一、三象限故选项 B.C,D错误，选项A正确 10.-2 11.如果a十b=0,那么a,b互为相反数 12.3r【解析】由条件可知∠BAC=60, C的长为9 =π， “该莱洛三角形的周长=3×x=3x 13.解：原式=一3十1一(2一) =-2-2+3 =-4. 14.解：(1)设该文具店购进A种文具x件，B种文具y件 30x+40y=6000, 根据题意，得 1 -r=30. 郑得-没 故该义具店购进A种文具96件，B种文具78件 (2)(38-30)×96+(50-40)×78=1548(元). 故该文具店将购进的A,B两种文具全部卖完后一共可获 得1548元的利润. 15.解：(1)如图所示，△A,B1C1即为所求. (2》如图所示，点D即为所求，D(4,一2). --书- -之10专题八 类型1与三角形的性质有关的证明与计算 解题技在三角形的证明题中，常常会用到 三角形的一些特殊的性质，比如：三角形全等 的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一 半：三角形外角的性质；三角形中位线的性质： 直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的 一半….掌提这些性质并能灵活运用就是解 决此类证明题的关键.有的题中可能没有直接 给出有关这些性质的条件，这时就需要根据题 目中的已知条件作辅助线，然后再利用三角形 的性质解决问题」 典例1【课本再现】(1)定理：直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半.已知：如图①，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD是边AB上的中线 求证，CD=专AB。 证明：如图①，延长CD到点E,使得DE=CD,连 接BE,AE, 4 请把证明过程补充完整. 【知识应用】(2)如图②，在△ABC中，AD是边BC 上的高，CE是边AB上的中线，F是CE的中点，连 接DF并延长交AC于点G,连接GE,AB=2CD. 求证：EG=CG. 图① 图② 【规范解答】(1)，CD是边AB上的中线， .BD=AD. .DE=CD, ∴.四边形ACBE是平行四边形. :∠ACB=90°， ,,四边形ACBE是矩形 ∴.AB=CE CD-7CE. 回归教材 CD-2AB. (2)证明：如图，连接DE ,AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线， AD⊥BD,E是AB的中点， DE-7AB. :AB=2CD. 1 CD-7AB. ∴.CD=DE. F是CE的中点， .DG⊥CE, ∴.DG是线段CE的垂直平分线， .EG=CG. 针对地练】 1.【课本再现】 我们在沪科八年级上册学习了等腰三角形的两 底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等 腰三角形吗？事实上，可以发现并证明上述是等 腰三角形的一个判定定理. 30… 地而 图① 图② 图3) 【定理证明】 (1)小敏根据上述定理，已经写出了“已知”和“求 证”，请你完成证明过程。 已知：如图①，在△ABC中，∠B=∠C. 求证：AB=AC 【解决问题】 (2)①如图②，飞机在距离地面9km高空上飞 行，先在A处测得正前方的地面某小岛C的俯角 为30°，飞行一段距离后，在B处测得该岛的俯角 为60°.求飞机飞行的距离AB: 培优本 269 ②如图③，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D,E. 求证：AE=2CE. 2.【课本再现】我们在沪科八年级上册第13章学习 了三角形三个内角的和等于180°，并利用它推出 结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角 的和. 【定理证明】(1)为证明此定理，小红同学画好了 图形（如图①），写好了“已知”和“求证”，请你写 出证明过程 已知：如图①，∠ACD是△ABC的一个外角. 求证：∠ACD=∠A+∠B. 270A。2026安徽数学 【知识应用】(2)如图②，在△ABC中，∠C=50°， 点D在BC边上，DE∥AB交AC于点F.若∠1 =125°，求∠B的度数. C D B 图① 图② (3)如图③，直线1：与直线1：相 交于点O,夹角a为锐角，点B 在直线：上且在点O右侧，点C 在直线2上且在直线1上方，点 图③ A在直线，上且在点O左侧运动，点E在射线 C0上运动（不与点C,O重合）.当a=70°时，EF 平分∠AEC,AG平分∠EAB交直线EF于点 G,求∠AGE的度数， 3.【课本再现】我们研究平行四边形时，常常把它分 成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行 四边形的有关问题，同时也可以利用平行四边形 研究三角形的有关问题，如探究三角形中位线的 性质 C B 图① 因2 (1)如图①，在△ABC中，D,E分别是AB,AC 的中点，连接DE,则DE与BC的位置与数量关 系是 【定理证明】 (2)请根据(1)中内容结合图①，写出(1)中结论 的证明过程 【知识应用】 (3)如图②，在四边形ABCD中，M,N,P分别为 AD,BC,BD的中点，BA,CD的延长线交于点 E.若∠E=45°，则∠MPN的度数是 (4)如图③，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3, 点E在边AB上，且AE=3BE.将线段AE绕点 A旋转一定的角度a(0°<a<360),得到线段 AF,M是线段CF的中点.求旋转过程中，线段 BM长的最大值和最小值. 类型2与特殊四边形有关的证明与计算 解通级巧特殊四边形包括平行四边形、菱 形、矩形、正方形，其中菱形、矩形、正方形是特 殊的平行四边形.在解决此类特殊的四边形， 特别是特殊的平行四边形问题时，一定要从这 些四边形特有的性质入手，比如：菱形的四边 相等，对角线相互垂直；矩形的对角线相 等…，然后结合勾股定理、三角形全等的判 定和性质等来解题即可 典例2【课本再现】(1)下面是北师大版九年级上册 数学课本上的一道题： ※5.如图，在矩形ABCD中， AB=3,AD=4,P是AD 上不与A和D重合的一 个动点，过点P分别作 (第5题) AC和BD的垂线，垂足为E,F.求PE+ PF的值. 培优本 271 如图①，连接PO,利用△PAO与 △PDO的面积之和是矩形面积的 子，可求出PE+PF的值，请你写 出求解过程 图① 【知识应用】 (2)在矩形ABCD中，点M,N分别在边AD,BC 上.将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与 点B重合，点C落在点C处.P为射线MN上一动 点（不与点M.N重合），过点P分别作直线BM, BC的垂线，垂足分别为E和F,以PE,PF为邻边 作平行四边形PEGF. 图2 图③ ①如图②，当点P在线段MN上运动时，若DM= 13,CN=5,求平行四边形PEGF的周长： ②如图③，当点P在线段MN的延长线上运动时， 设DM=m,CN=n.求GF与GE之间的数量关系 (用含m,n的式子表达). 【规范解答】(1)：四边形ABCD是矩形，∴.∠ADC =90°，CD=AB=3,OA=OC=OB=OD,∴.AC= VCD+AD-=5∴0A=0D-2AC-号 +SAPE+ODPF -(PE+PF).OA-S-X4X3-3, PE+PF-号 (2)①如图①，连接BP,过点M作MH⊥BC于点 H,则四边形ABHM是矩形，MH=AB. ,∠BMN=∠DMN=∠BNM, ∴.DM=MB=BN=13. CN=5..AD=BC=BN+CN=18, ∴.AM=AD-DM=5. 在Rt△ABM中，：∠A=90°.BM=13.AM=5. ∴.AB=√BM-AM=12 'SAN=S△PHM+S△PBN, 2BN·MH=号BM,PE+号BN,PE. 272A62026安徽数学 BM=BN..PE+PF=MH=12. 四边形PEGF是平行四边形， ∴.四边形PEGF的周长=2(PE+PF)=24. D 图① 图2 ②如图@，连接BP,过点M作MH⊥BC于点H. MD=MB=BN=m.CN=n...AD=BC=m +n,∴.AM=AD-DM=n, ..MH=AB=/m-n. :S△p-S△HNp=S△BN· :BM,PE-BN·PF=BNMH. ,BM=BN,∴.PE-PF=MH=√m-n. 四边形PEGF是平行四边形， ∴.GF-GE=PE-PF=m-n 针对迎练 4.【课本再现】 (1)在学习了沪科八年级下册第19章一四边 形的内容后，我们了解了矩形、菱形、正方形的一 些特殊的性质，现有下面这样一道题： 如图①，正方形ABCD的对角线AC 与BD相交于点O,E为BC上任意 一点（不与点B,C重合），作OF⊥ OE交CD于点F. 图①D ①求证：BE=CF: ②当正方形ABCD的面积为4时，小明得出以下结 论：a.CE+CF=反；b.Sm边形r=1c.CE2+CF= 2OF.其中正确的个数是 【知识应用】 (2)如图②，当P为线段OC上任意一点时（不与 点O,C重合)，E,F分别为边BC,CD上的点， 且PE⊥PF,则CE,CF,CP之间有何数量关 系？请说明理由. 图② 图3 【拓展延伸】 (3)如图③，将图②中正方形ABCD改成矩形 ABCD,且CD:BC=1:2,其他条件不变.请直 接写出CE,CF,CP之间的数量关系， 类型3利用圆的性质解决几何向题 解题袋因这类题其实就是与圆有关的证明 题，有时是直接在圆的基础上进行拓展，解决 三角形的问题；有时则是在三角形或者四边形 中抽象出合适的圆，借助圆的相关性质解决三 角形的问题.解题过程中常常运用到圆的一些性 质，如孤、孩、圆周角、圆心角之间的关系，垂径定 理，切线的性质，國内接四边形的性质等。 典例3【课本再现】下面是沪科版九年级下册数学教 材第28页部分内容： 间周角定理推论2：半圆或 直径所对的國周角是直 角：90°的圆周角所对的弦 0 是直径 如上图，已知A,B,C三点在⊙O上，∠C= 90°.求证：AB为⊙O的直径. 证明：，AB为圆周角∠C所对的弦，∠O为 AB所对的圆心角，∠C为AB所对的圆周 角…∠C=号∠0.：∠C=0.∠0 180,∴.点O在线段AB上，即三点共线， ,AB为⊙O的直径 由上述推理，得90的圆周角所对的弦是直径. 【知识应用】(1)如图①，四边形ABCD为圆内接四 边形，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，与 AD的延长线交于点E,AC平分∠DAB.求证： △CDE∽△ABC. 【拓展延伸】(2)如图②，已知△ABC为等边三角 形，以AC为底边在△ABC外作等腰直角三角形 ACD,E是BC的中点，连接DE.若AB=2厄，求 △CDE的面积. D E 图① 图② 【规范解答】(1)证明：如图①，连接OC. ,CE为⊙O的切线，∴.OC⊥CE AC平分∠DAB,∠DAC=∠BAC. OA=OC,.∠BAC=∠ACO. ∴.∠DAC=∠ACO, .OC∥AE..AE⊥CE.∴.∠E=90°. AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°，∴.∠E=∠ACB. :四边形ABCD是圆内接四边形， ∴.∠EDC=∠B,.△CDE∽△ABC 图① 图② (2)如图②，连接AE,过点C作CF⊥ED于点F. :△ABC是等边三角形，AB=2E,E是BC的中 点，∴.AC=AB=2E,AE⊥BC,∠AEC=90°. △ADC是等腰直角三角形， ∴DC= gAC=2.∠ADC=90的 培优本 A273 ∴.∠AEC+∠ADC=180°. ∴点A,E,C,D在以AC为直径的圆上. ∠ACB=60°.∠EDC=∠EAC=30°， ∴CE=2AC=E,CF=2DC=1, .DF=DC-CF=5」 ,∠DAC=45°，∴.∠CED=∠DAC=45°， :.EF=CF=1...DE=EF+DF=1+3. Sae=DE.CF=×1+)x1-6 2 针对地练 5.【课本再现】(1)我们知道，要证明圆是轴对称图 形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线的 对称点也在圆上，如图①，CD是⊙O的直径，A 为⊙O上异于C,D的点.作AA'⊥CD交⊙O于 点A',垂足为M.请在图①中补全图形，并证明 MA=MA'. 【知识应用】(2)如图②，CD是⊙O的直径，弦 AB⊥CD,垂足为E,连接AC,AD.若∠C=30°， AB=45,求∠BAD的度数和⊙O的半径. 图① 图② 27442026安徽数学 6.【课本再现】(1)在沪科九年级下册第38页有这 样一个问题：如图①，PA,PB是⊙O的两条切 线，切点分别为A,B,则图中PA与PB,∠APO 与∠BPO有什么关系？请说明理由， 【知识应用】(2)如图②，PV,PD,DE分别与⊙O 相切于点A,B,C,且DE∥PN,连接OD,OP,延 长PO交⊙O于点M,交DC于点E,过点M作 MNOD交PA于点N. ①求证：MN是⊙O的切线： ②当OD=6cm,OP=8cm时，求⊙O的半径及 图中阴影部分的面积. D C 图① 图②