解题模型专题 中点的五大模型-【学海风暴·PK中考】2026安徽中考数学备考培优本

∴.△ADE≌△FCE(AAS). .AE=FE,.BE⊥AE. 2.证明：如图，过点P作PE⊥BA于点E ,PE⊥AB,PD⊥BC,且∠ABP =∠CBP. ..PE=PD 在Rt△PBE和Rt△PBD中. BP=BP. PE=PD. .Rt△PBE≌Rt△PBD(HI.), .BE=BD. .AB+BC=2BD.BC=CD+BD.AB=BE-AE=BD -AE, :.AB+BC=BD-AE+CD+BD=2BD. .AE-CD. 在△PAE和△PCD中， (PE=PD. ∠PEA=∠PDC=90°， AE-CD. ∴.△PAE≌△PCD(SAS), .∠EAP=∠BCP ,∠BAP+∠EAP=180 ∴.∠BAP+∠BCP=180 3.证明：如图，延长AE,交BC的延长线于点F ∠ACB=90°，AE⊥BD. .∠BCD=∠ACF=∠AED=90° 又，∠CDB=∠ADE, .∠CBD=∠CAF, 在△BCD和△ACF中 {∠CBD=∠CAF. BC=AC. ∠BCD=∠ACF .△BCD≌△ACF(ASA), .BD=AF. ,BD平分∠ABC,BD⊥AE .△ABF是等腰三角形，且点E平分AF, ∴.EF=EA, .AE-TAF-BD. 4.解：(1)AE=AB+DE (2)AE-AB+DE+BD. 证明：如图①，在AE上取点F,使AF =AB,连接CF,在AE上取点G,使 EG一ED,连接CG. 120 ,C是BD边的中点，.CB=CD 图① BD. 'AC平分∠BAE,.∠BAC=∠FAC (AB-AF. 在△ACB和△ACF中，∠BAC=∠FAC, AC=AC. .△ACB≌△ACF(SAS), ,.CB=CF,∠BCA=∠FCA」 同理可证，CD=CG,∠DCE=∠GCE, .CB=CD...CG=CF. :∠ACE=120°， .∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°. ∴.∠FCA+∠GCE=60°，.∠FCG=60°. ∴△FGC是等边三角形， :.FG-FC=7BD. ,AE=AF+EG十FG, .AE-AB+DE+BD. (3)19 【解析】(1)如图②，在AE上取一点F, 使AF=AB. ,AC平分∠BAE ∴.∠BAC=∠FAC 在△ACB和△ACF中. (AB=AF. ∠BAC=∠FAC, AC-AC. .△ACB≌△ACF(SAS) ∴.BC=FC,∠ACB=∠ACF. ,C是BD边的中点， ..BC=CD...CF=CD ,∠ACE=90°，.∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF =90°，.∠ECF=∠ECD. CF=CD. 在△CEF和△CED中，∠ECF=∠ECD, CE-CE. ∴.△CEF≌△CED(SAS),∴.EF=ED AE=AF+EF...AE=AB+DE. (3)作点B关于AC的对称点F,点D G. 关于EC的对称点G,连接AF,FC, CG,EG,FG,如图③. 】20 :C是BD边的中点，.CB=CD= 名BD=6 厨3 易知△ACB2△ACF,△ECD≌△ECG. .CB=CF,∠BCA=∠FCA, CD=CG,∠DCE=∠GCE ,CB=CD,∴.CG=CF, ,∠ACE=120°，.∠BCA+∠DCE=180-120°=60°. ,.∠FCA+∠GCE=60°.∴.∠FCG=60°. .△FGC是等边三角形，∴.FC=CG=FG=6. AE<AF+FG+EG.AF=4.EG=9, ∴.当点A,F,G,E共线时AE的值最大，最大值为4+6+9 =19. 解题模型专题中点的五大模型 1.B 2.解：(1)AF和BF (2),P是BC边的中点，F是AB边的中点， ∴PFAC,PF=号AC. ,P是BC边的中点，E是AC边的中点， ∴PE∥AB,PE-AB .四边形AFPE是平行四边形，，∠A=∠EPF ,'∠MPN=∠A,∴.∠MPN=∠EPF. .∠MPN+∠NPE=∠EPF+∠NPE,即∠MPE =∠NPF AB=AC,∴.PE=PF ,PM=PN,∴.△MPE≌△VPF(SAS). .∠PEM=∠PFN. ,PF∥AC,∴.∠PFN=∠FGA.∠PEM=∠FGA. PE∥AB,.∠PEM=∠A. .∠FGA=∠A,.FG=AF AF=BF.:.FG=AF=BF. 3.7 4.解：如图，连接AD ,DF是AB的垂直平分线， .AD=BD=62, 梦考答案 55 ÷∠BAD=∠B-30. ∴.∠ADE=∠BAD+∠B=60 :AE⊥BC,·.∠DAE=90° ∠ADE=30°， DE-号AD-3E. 在R:△AED中， AE=/AD-DE=/(62)2-(32)2=36. 在Rt△AEC中，∠C=45°，∴.CE=AE=3√6. 5.A 6.1十尽【解析】如图，取AB的中点D,连接OD.CD. :△ABC是边长为2的等边三角形， .CD⊥AB,BC=AB=2. .BD=AD-1. ∴.CD=/BC-BD=E OM⊥ON,即∠AOB=90° OD=7AB-1. ,OC≤OD+CD. .当O,C,D三点共线时，OC有最大值，最大值为1+ 7.解：(1)①补全的图形如图①所示 ②OE=OF (2)想法1： 证明：延长EO交FC的延长线于点V,如图② 所示， 四边形ABCD是菱形，，AO=CO AE⊥BM,CF⊥BM,.AECF, .∠AEO=∠N ∠AOE=∠CON, 在△AOE和△CON中，∠AEO=∠N, A0=C0, ∴.△AOE≌△CON(AAS). OF-ON-FEN. :Rt△EFN中，O是斜边EN的中点， OF=EN,∴OE=OF. 2U E 图3 〔或想法2： 证明：分别取线段AB,BC的中点P,Q,连接OP,PE,OQ, QF,如图③所示. 四边形ABCD是菱形， .AB=BC,AC⊥BD. :P,Q分别是AB,BC的中点， ::OP-PB-7AB.OQ-QB-BC. ∴.OP=OQ. 同理可证，PE=QF. .OP=PB.PE=PB. ∴∠OPA=2∠OBA.∠EPA=2∠EBA. .∠OPA+∠EPA=2∠OBA+2∠EBA,即∠OPE= 2∠OBE. 同理可证，∠OQF=2∠OCF ,AC⊥BD,CF⊥BM. .∠OBE+∠OMB=90°=∠OCF+∠OMB. ∴.∠OBE=∠OCF, .∠OPE=∠OQF 56 A心己0己6安徽数学 (OP-0Q. 在△OPE和△OQF中，∠OPE=∠OQF, PE=QF. .△OPE≌△OQF(SAS). ∴.OE=OF.) (3)EF=CF+AE 【解析】(1)②分别取线段AB,BC的中点P,Q,连接OP, PE,OQ,QF,如图④所示 ,:四边形ABCD是菱形 .AB=BC,AC⊥BD. P.Q分别是AB,BC的中点， i.OP-PB-AB.0Q-QB-C. ∴.OP=OQ. 同理可证，PE=QF, .OP PB.PE PB. ∴.∠OPA=2∠OBA.∠EPA=2∠EBA. ∴.∠OPA-∠EPA=2∠OBA-2∠EBA,即∠OPE= 2∠OBE 同理可证，∠OQF=2∠OCF. ,AC⊥BD,CF⊥BM, ∴.∠OBE+∠OMB=90°=∠OCF+∠OMB. .∠OBE=∠OCF, .∠OPE=∠OQF. OP=0Q. 在△OPE和△OQF中.3∠OPE=∠OQF, PE=QF. ,.△OPE≌△OQF(SAS). .OE=OF. 图④ (3)如图⑤所示，作图同(2) 易证△AOE≌△CON, ..AE=CN.OE=ON 由(2)知，OE=OF,.OF=ON ,四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC,∠AOB=∠BC=90°， .OP-AB.0Q- ∴.OP=BP=OQ=BQ, .四边形OPBQ是菱形 :∠ABC=90°.∴.四边形OPBQ是正方形， ∴.∠P0Q=∠ABC=90°. 由(2)想法2.得出△OPE2△OQF. .∠POE=∠QOF, ∴.∠EOF=∠POQ=90°， ∴.∠FEN=45 在R△EFN中，∠FEN=45°. ..EF=FN=CF+CN=CF+AE. 8.2.4【解析】如图，连接AM, ,AB=AC,M为BC的中点，BC=6, AM⊥CM.BM=CM=2BC=3. 在R△ABM中，AB=5,BM=3, ∴AM=AB-BM=4. “5Aa=AM,MC=ZMN·AC, 六MN-AM,MC-24. AC 9.解：(1)：△ABC是等边三角形， ∴.∠ACB=∠B=60°. ,CE=CD,.∠E=∠CDE 又.∠ACB=∠E+∠CDE, ·∠E-z∠ACB-30. (2)证明：连接BD,如图： :等边三角形ABC中，D是AC的 中点 DBc=∠ABC=7X60-0 由(1)知∠E=30° .∠DBC=∠E=30°..DB=DE 又，DM⊥BC,∴.M是BE的中点. 10.2AD<10 11.证明：(1)，∠ACB=∠DCE,.∠ACD=∠BCE. AC-BC. 在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE CD=CE. ,△ACD≌△BCE(SAS). (2)如图，延长DF到点G,使GF= DF,连接BG F是AB的中点，AF=BF 又∠AFD=∠BFG,DF=GF .△AFD≌△BFG(SAS). .∠ADF=∠BGF,AD=BG 由(1)可知△ACD≌△BCE..AD =BE. ∴.BG=AD=BE,∴.∠BEF=∠BGE ∴.∠ADF=∠BEF. 解题模型专题相似三角形的基本模型 1.解：∠AED=∠B,∠A=∠A, .△ADEC△ACB, 没器 AD=3,AB=8,AE=4. .AC=6. 2.解：DE∥BC.EF∥AB .四边形BDEF为平行四边形， .EF=BD=3. EF∥AB .△CEFU∽△CAB. CF EF CF 3 丽AB即中8 rc-号 3.证明：：BE,CF是△ABC的中线，∴E,F分别是AC,AB 的中点， .EF是△ABC的中位线， ∴.BC=2EF,EF∥BC .△FEGc△CBG, ∴.BG=2GE,CG=2GF 4.证明：(1)：∠ADB=∠ACB,∠AFD=∠BFC, .AADF∽△BCF, .AF DF AF BF “F=C示“亦=C下 '∠AFB=∠DFC.·.△AFBP△DFC, ·∠ABF=∠DCF,即∠ABD=∠ACD. (2)AE∥DC,∴∠AEF=∠CDF, ∠AFE=∠CFD,∴△AFE∽△CFD, 器￥…紫器 由(1)知△ADF∽△BCF, 提器器品 ,.EF·BC=AD·AF 5.解：(1)证明：在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D, .∠CDB=90 :∠ACB=90°..∠ACB=∠CDB. 又'∠B=∠B, .△CBDD△ABC. (2)由(1D可知.△CBD∽△ABC. 货-0BC=BA·BD, ,AD=4,BD=2,∴.BA=6 .BC=6×2=12. 解得BC=25(负值已舍去). 6.证明：(1)：∠DAE=∠PAD,∠ADE=∠APD, .△ADE∽△APD, 品品 即AD=AE·AP (2)'四边形ABCD是正方形. .AD=AB,∠ABC=90°. 由(1)知AD=AE·AP .AB2=AE·AP, 提器 ∠BAE=∠PAB. .△ABEc∽△APB, ,∠AEB=∠ABP=90°， .BE⊥AP 7.解：(1) (2)在AB上截取AH=二CE,连接 EH,如图①. ,口ABCD为矩形， .∠ABC=90°=∠AEF .∠AEB+∠HAE=∠AEB+ ① ∠CEF=90°， .∠HAE=∠CEF 带提兴 ∴.BC=2AB,EC=2AH.△AEHO△EFC, 六BE=C-B0-2AB-2AH-2BH崇-0宁 ∴BH=2BE,CF=2EH. EH-BE+BH- 9B. ∴.CF=2EH=5BE. 器- (3)在AB上截取AN=CE,连接 EN,过点A作AK⊥CD交CD延 长线于点K,过点B作BM⊥EN 于点M,如图②. ∠AEF=∠ABC=120,∠AEC B E =∠AEF+∠CEF=∠ABC+ 耳② ∠NAE,.∠NAE=∠CEF 参考答案 57解题模型专题 模型1利用中点或平行，构造中位线 三角形的中位线从位置关系和数量关系 模型两方面将图形中分散的线段关系集中起 分析来.通常需要再找一个中点来构造中位 线，或者倍长某线段得到中位线， 基本 取另一边的中点 模型 构造中位线 1.如图，在△ABC中，延长BC 至点D,使得CD=乞BC,过 AC的中点E作EF∥CD(点 F位于点E右侧)，且EF= 第1题图 2CD,连接DF.若AB=8,则 DF的长为 ( A.3 B.4 C.25 D.32 2.注垂学习过程小龙遇到这样一个问题： 如图①，AB=AC,∠A<60°，P是BC边的中 点，F是AB边的中点，M是AC的延长线上一 点，∠MPN=∠A,且PN=PM,连接FN交 AC于点G.试找出图中与线段FG相等的线段， 并说明理由， 小龙发现，通过取AC的中点E,连接PE,PF, 构造中位线，如图②，经过推理论证能够使问题 得到解决。 (1)与线段FG相等的线段是 (2)按照小龙的做法，完成解答。 GE 图① 图② 202A心己0已6安徽数学 中点的五大模型 模型2利用中点垂线，构造重直平分线 如下图，当三角形某一边的垂线过这边的 模型 分析 中点时，可以考虑用垂直平分线的性质得 到BE=CE,进而证明线段间的数量关系， 基本 连接BE 模型 D 3.如图，在△ABC中，按以下步骤 作图：①分别以点B和点C为圆 心，以大于2BC的长为半径作 弧，两弧相交于点M和点N: 第3题图 ②作直线MN交边AB于点E. 若AC=5,BE=4,∠B=45,则AB的长为 4.如右图，在△ABC中，∠B= 30°，∠C=45°.AB的垂直平 分线交BC于点D,交AB于BD六月 点F,BD=6E,AE⊥BC于点E.求CE的长. 模型3在直角三角形中，构造斜边中线 如下图，在直角三角形中，当遇见斜边中 点时，经常会作斜边上的中线，利用直角 模型三角形斜边上的中线等于斜边的一半，来 分析证明线段间的数量关系，而且可以得到两 个等腰三角形，即△ACD和△BCD.该 模型经常会与中位线定理一起综合应用。 基本 构造直角三角形 模型 斜边上的中线 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D,E分别 是边AB,AC的中点，延长BC至点F,使CF= BC.若AB=10,则EF的长是 1 ( A.5 B.4 C.3 D.2 第5题图 第6题图 6.如图，边长为2的等边三角形ABC的两个顶点 A,B分别在射线OM,ON上滑动.若OM⊥ON, 则OC的最大值为 7.如图，O为菱形ABCD对角线的交点，M是射线 CA上的一个动点（点M与点C,O,A都不重 合)，过点A,C分别向直线BM作垂线段，垂足 分别为E,F,连接OE,OF. 图① 备用图 (1)①当点M在线段CA上时，在图①中依据题 意补全图形： ②猜想OE与OF的数量关系为 (2)小东通过观察、试验发现点M在线段CA的 延长线上运动时(1)中的猜想始终成立 小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论， 形成了证明此猜想的几种想法. 想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以 构造与△OAE全等的三角形，从而得到相等的 线段，再依据直角三角形斜边上中线的性质，即 可证明猜想 想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找 到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组 △OAB和△EAB,再依据直角三角形斜边上中 线的性质，菱形四条边相等，可以构造一对以OE 和OF为对应边的全等三角形，即可证明猜想. 开放题请你参考上面的想法，在图②中帮助小东 完成画图，并证明此猜想（一种方法即可） (3)当∠ADC=90时，请直接写出线段CF,AE, EF之间的数量关系： 培优本203 模型4在等股三角形中，构造三线合一 等腰三角形中有底边中点时，常作底边上 的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性 模型 分析 质得到角相等或边相等，为解题创造更多 的条件.当看见等腰三角形的时候，就应 想到“边等、角等、三线合一” 基 连接AD 模型 B D 8.如图，在△ABC中，已知AB= AC=5,BC=6,M为BC的中 点，MN⊥AC于点N,则MN等 于 B 第8题图 9.(2024一2025上饶玉山期末)如下 图，已知等边三角形ABC中，D是AC的中点，E 是BC的延长线上一点，且CE=CD,DMLBC, 垂足为M. (1)求∠E的度数。 (2)求证：M是BE的中点. 2044己0己6安徽数学 模型5倍长中线、类中线，构造全等三角形 当遇见中线或者中点的时候，可以尝试“倍 模型 分析 长中线”或“类中线”，构造全等三角形，目 的是对已知条件中的线段进行转移。 倍长中线AD B D D 基本 模型 倍长ED D B D C 10.如图，在△ABC中，AB=12,AC =8,AD是BC边上的中线，则 AD的取值范围是 B 第10题图 11.如图①，已知CA=CB,CD=CE,且∠ACB= ∠DCE,将△DCE绕点C逆时针旋转(A,C,D 三点不在同一直线上). (1)求证：△ACD≌△BCE (2)在△DCE绕点C旋转的过程中，若ED,AB 所在的直线交于点F,当F为边AB的中点时， 如图②所示.求证：∠ADF=∠BEF. 图②