解题模型专题 相似三角形的基本模型-【学海风暴·PK中考】2026安徽中考数学备考培优本

解题模型专题 相但 模型1A字型 此类模型中两个三角形相互重叠，其中一 组角相等且相互重合，常通过两个三角形 模型 分析 未重合的边互相平行或相互重合的两角 的两边对应成比例或另一组角相等得出 两个三角形相似. 基本 模型 1.如右图，D,E分别是△ABC的 边AB,AC上的点，∠AED= ∠B,AD=3,AB=8.AE=4. 求AC的长度. 2.如下图，在△ABC中，点D,E,F分别在AB, AC,BC上，DE∥BC,EF∥AB.若AB=8,BD= 3,BF=4,求FC的长， 模型28字型 此类模型中两个三角形其中一组角互为对 模型顶角，常通过这两个角的对边互相平行或 分析这两个角的两边对应成比例或这两个三角 形另一组角相等得出两个三角形相似. 基本 模型 三角形的基本模型 3.如右图，△ABC的中线BE, CF相交于点G,连接EF.求 证：BG=2GE,CG=2GF. 4.如下图，在四边形ABCD中，对角线BD与AC 交于点F,∠ADB=∠ACB (1)求证：∠ABD=∠ACD (2)过点A作AE∥DC交BD于点E.求证：EF ·BC=AD·AF E 模型3 子母型 此类模型中两个三角形其中两个顶点相 互重合，其中一组角相等且相互重合，常 模型 分析 通过这两个三角形另一组角相等或者相 互重合的两个角的两边对应成比例得出 两个三角形相似， 基本 模型 培优本205 5.(2024一2025鹰潭余江区期末)如下图.在 Rt△ABC中，∠ACB=90°.CD⊥AB于点D. (1)求证：△CBD∽△ABC. (2)若AD=4,BD=2,求BC的长. 6.如下图，在正方形ABCD中，P是射线BC上的 一个动点（点P不与点B重合），连接AP,DP, E是线段AP上的一点，且∠ADE=∠APD,连 接BE. (1)求证：AD°=AE·AP (2)求证：BE⊥AP. 206A42025安宽数学 模型4 一线三等角型 此类模型中两个三角形其中一个顶点相 互重合，这两个顶点所在的其中一条边在 同一直线上，另一条边所成的夹角与这两 模型 分析 个三角形的一组角（或外角）相等，且均在 这一条直线上.常通过这两个三角形另一 组角相等或者相等的两个角的两边对应 成比例得出两个三角形相似 基本 模型 7.已知：在□ABCD中，E是边BC上一动点，连接 AE,F为直线BC上方一点，连接AF,EF,CF, ∠AEF=∠ABC. G B E C 图① 图② 图③ 【问题探究】 (1)如图①，当□ABCD为正方形时，若AE= CF EF·BE的值为 (2如图②，当口ABCD为矩形时，古能提 子·求器的值。 1 【应用拓展】 (3)如图③，当□ABCD为菱形时，∠ABC= 120°，AB=35,AE=EF,AF交CD于点G,且 DG 1 GC=2.求BE的长. 模型5 旋转型 此类模型是由两边相互重合且第三边相互 模型平行的两个三角形中的一个三角形绕公共 分析顶点旋转得到的，常通过旋转的性质及相 似三角形的性质得到其他的三角形相似 基本 模型 8.某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问 题作如下探究： 【问题发现】(1)如图①，在等边三角形ABC中， P是边BC上任意一点，连接AP,以AP为边作 等边三角形APQ,连接CQ,∠B与∠ACQ的数 量关系是 【变式探究】(2)如图②，在等腰三角形ABC中， AB=BC,P是边BC上任意一点，以AP为腰作 等腰三角形APQ,使AP=PQ,∠APQ=∠B, 连接CQ.请判断∠B和∠ACQ的数量关系，并 说明理由. 【解决问题】(3)如图③，在正方形ADBC中，P 是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF,Q 是正方形APEF对角线的交点，连接CQ.若正 方形APEF的边长为10，CQ=瓦，求正方形 ADBC的边长. 培优本 A2079.解：(1)：△ABC是等边三角形， ∴.∠ACB=∠B=60°. ,CE=CD,.∠E=∠CDE 又.∠ACB=∠E+∠CDE, ·∠E-z∠ACB-30. (2)证明：连接BD,如图： :等边三角形ABC中，D是AC的 中点 DBc=∠ABC=7X60-0 由(1)知∠E=30° .∠DBC=∠E=30°..DB=DE 又，DM⊥BC,∴.M是BE的中点. 10.2AD<10 11.证明：(1)，∠ACB=∠DCE,.∠ACD=∠BCE. AC-BC. 在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE CD=CE. ,△ACD≌△BCE(SAS). (2)如图，延长DF到点G,使GF= DF,连接BG F是AB的中点，AF=BF 又∠AFD=∠BFG,DF=GF .△AFD≌△BFG(SAS). .∠ADF=∠BGF,AD=BG 由(1)可知△ACD≌△BCE..AD =BE. ∴.BG=AD=BE,∴.∠BEF=∠BGE ∴.∠ADF=∠BEF. 解题模型专题相似三角形的基本模型 1.解：∠AED=∠B,∠A=∠A, .△ADEC△ACB, 没器 AD=3,AB=8,AE=4. .AC=6. 2.解：DE∥BC.EF∥AB .四边形BDEF为平行四边形， .EF=BD=3. EF∥AB .△CEFU∽△CAB. CF EF CF 3 丽AB即中8 rc-号 3.证明：：BE,CF是△ABC的中线，∴E,F分别是AC,AB 的中点， .EF是△ABC的中位线， ∴.BC=2EF,EF∥BC .△FEGc△CBG, ∴.BG=2GE,CG=2GF 4.证明：(1)：∠ADB=∠ACB,∠AFD=∠BFC, .AADF∽△BCF, .AF DF AF BF “F=C示“亦=C下 '∠AFB=∠DFC.·.△AFBP△DFC, ·∠ABF=∠DCF,即∠ABD=∠ACD. (2)AE∥DC,∴∠AEF=∠CDF, ∠AFE=∠CFD,∴△AFE∽△CFD, 器￥…紫器 由(1)知△ADF∽△BCF, 提器器品 ,.EF·BC=AD·AF 5.解：(1)证明：在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D, .∠CDB=90 :∠ACB=90°..∠ACB=∠CDB. 又'∠B=∠B, .△CBDD△ABC. (2)由(1D可知.△CBD∽△ABC. 货-0BC=BA·BD, ,AD=4,BD=2,∴.BA=6 .BC=6×2=12. 解得BC=25(负值已舍去). 6.证明：(1)：∠DAE=∠PAD,∠ADE=∠APD, .△ADE∽△APD, 品品 即AD=AE·AP (2)'四边形ABCD是正方形. .AD=AB,∠ABC=90°. 由(1)知AD=AE·AP .AB2=AE·AP, 提器 ∠BAE=∠PAB. .△ABEc∽△APB, ,∠AEB=∠ABP=90°， .BE⊥AP 7.解：(1) (2)在AB上截取AH=二CE,连接 EH,如图①. ,口ABCD为矩形， .∠ABC=90°=∠AEF .∠AEB+∠HAE=∠AEB+ ① ∠CEF=90°， .∠HAE=∠CEF 带提兴 ∴.BC=2AB,EC=2AH.△AEHO△EFC, 六BE=C-B0-2AB-2AH-2BH崇-0宁 ∴BH=2BE,CF=2EH. EH-BE+BH- 9B. ∴.CF=2EH=5BE. 器- (3)在AB上截取AN=CE,连接 EN,过点A作AK⊥CD交CD延 长线于点K,过点B作BM⊥EN 于点M,如图②. ∠AEF=∠ABC=120,∠AEC B E =∠AEF+∠CEF=∠ABC+ 耳② ∠NAE,.∠NAE=∠CEF 参考答案 57 ∴.△AEN≌△EFC(SAS), ∴.∠ANE=∠ECF,EN=FC ,□ABCD为菱形 .AB=BC=CD=AD=35,AB∥CD,AD∥BC, ∴.BN=BE,∠ABC+∠BCD=180, ·∠BNE=∠BEN=1SO-∠ABC 2 =30°，∠BCD=60°. ∴.∠ANE=∠ECF=150°， ·∠DCF=∠ECF-∠BCD=9O ADBC,.∠ADK=∠BCD=60 AK=AD·Sn∠ADK三号，DK=AD·cOs∠ADR -33 2 1 2 2CD=5.CG=千2CD=25. KG-DK+DG-5 2 ,∠CGF=∠AGK, m∠cGF=ZAG水，-瓷 9 ×25 18 ∴.CF= 5W3 2 EN-CF-18 :∠BNE=90,BM=EN-号 9 ∴BE= EM 56E os∠BET 【解析】(1)在AB上截取AG=EC,连接 EG,如图③. :四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠ABC=90°=∠AEF, ∴.∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠CEF =90°. 图 ·∠BAE=∠CEF. AG=EC. 在△AEG和△EFC中， ∠GAE=∠CEF, AE=EF. .△AEG≌△EFC(SAS),.GE=CF ,AB=BC,AG=EC,∴，BG=BE .∠BGE=∠BEG=45°， :BE=EG·sin∠BGE= 2 慌- 8.解：(1)∠B=∠ACQ (2)∠B=∠ACQ.理由如下： AB=BC. 六∠BAC-180-∠B. AP-PQ. ∠PAQ=ZI80'-∠APQ ,∠APQ=∠B, .∠BAC=∠PAQ. 58 A6己0已6安徽数学 △BAC△PAQ 漂指脚能铝 :∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ .∠BAP=∠CAQ, ,∴.△BAPC∽△CAQ ∴.∠B=∠ACQ (3)如图，连接AB。 ,四边形ADBC和四边形APEF都是正方形， .AB=2AC,AP=EAQ,∠BAC=∠PAQ=45, ABAP ∠BAP-∠CAQ,C-AQE, ·△BAP∽△CAQ, .BP=2CQ=2. AP:=AC:+PC ,∴.100=AC2十(AC-2)2. 解得AC=8(负值已舍去)， ∴.正方形ADBC的边长为8. 【解析】(1)：△ABC和△APQ都是等边三角形， .AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠PAQ=60, ∴.∠BAP=∠CAQ. (AB=AC. 在△BAP和△CAQ中，∠BAP=∠CAQ. AP=AQ. '.△BAP≌△CAQ(SAS), .∠B=∠ACQ. 解题模型专题半角模型 1.解：(1)AE CF EF (2)成立.理由如下： 如图①，延长FC到点H,使CH=AE,连接BH ,AB⊥AD,BC⊥CD .∠A=∠BCH=90 在△BCH和△BAE中 BC-BA, ∠BCH=∠A. CH=AE. .△BCH≌△BAE(SAS) .BH=BE,∠CBH=∠ABE 图① :∠ABC-120°，∠MBN-60 .'.∠ABE十∠CBF=∠ABC一∠MBN=60°， ,∴.∠CBH+∠CBF=60, 即∠HBF=60°， ∴∠HBF=∠EBF=60 (BH=BE. 在△HBF和△EBF中， ∠HBF=∠EBF, BF=BF. ,∴.△HBF2△EBF(SAS), ∴.HF=EF HF=CH+CF=AE+CF, .AE+CF-EF. (3)不成立.猜想：EF=AE一CF」 【解析】(3)如图②，在AE上截取AQ=CF,连接BQ. ,AB⊥AD,BC⊥CD, .∠A=∠BCF=90 BC=BA. 在△BCF和△BAQ中，∠BCF=∠A, CF-AQ. .△BCF≌△BAQ(SAS), .BF=BQ.∠CBF=∠ABQ. '∠MBN=GO=∠CBF+∠CBE,