解题模型专题 路径最值问题的基本模型-【学海风暴·PK中考】2026安徽中考数学备考培优本

解题模型专题路径最值问题的基本模型 模型1直线与两定点 模型 作法 结论 当两定点A,B在直线 ·A (异侧时，在直线（上找 连接AB交直线l于，点 PA十PB的最 一点P,使得PA十PB P,P即为所求作的点 小值为AB 最小 ·B 当两定点A,B在直线 作点B关于直线（的 B: 【同侧时，在直线L上找 对称点B',连接AB'交 PA十PB的最 一点P,使得PA十PB 直线{于点P,P即为 小值为AB 最小 所求作的点 当两定点A,B在直线 。 连接AB并延长交直线 同侧时，在直线（上找 IPA一PB|的 ·B 1于点P,P即为所求 一点P,使得1PA一 最大值为AB 作的点 PB|最大 当两定点A,B在直线 作点B关于直线（的 1异侧时，在直线【上找 对称点B,连接AB'并 IPA-PB|的 一点P,使得|PA一 延长交直线1于点P,户 最大值为AB PB|最大 ·B P即为所求作的点 当两定点A,B在直线 ·A 连接AB,作AB的垂 !同侧时，在直线（上找 B IPA-PB|的 直平分线交直线L于点 B. 一点P,使得|PA一 最小值为0 P,P即为所求作的点 PB|最小 1.如图，正方形ABCD的边长为2，E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则△PCE周长的最小 值是 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,EF是BC的垂直平分线.若P是EF上的动点，则 IPA一PB|的最大值为 3.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，BC=12,点E是BC的中点，F是AC上一动点，连接DF, EF.若∠ACD=∠ACB=30°，BA⊥AC,则DF+EF的最小值为 21442025安微数学 模型2角与定点 模型 作法 结论 分别作点P关于OA, 点P在∠AOB内部， OB的对称点P',P”, △PCD周长 在OB边上找点D,OA 连接P′P”,分别交 的最小值为 边上找点C,使得 OA,OB于点C,D,点 P'P" △PCD周长最小 0 C,D即为所求 点P在∠AOB内部， 作点P关于OB的对 在OB边上找点D,OA 称点P',过点P'作P'C PD+CD的最 边上找点C,使得PD .P ⊥OA交OB于点D, 小值为PC 十CD最小 B 0 点C,D即为所求 PC+CD+DQ 点P,Q在∠AOB内 分别作点P,Q关于 的最小值为 部，在OB边上找，点D, OA,OB的对称点P', P PQ,所以四边 OA边上找点C,使得 P Q',连接P'Q',分别交 形PQDC周长 四边形PQDC周长 B OA,OB于点C,D,点 B 的最小值为PQ 最小 C,D即为所求 +PQ' 4.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P,且OP=12,在OA 上有一点Q,OB上有一点R.若△PQR周长最小，则最小周长 是 模型3 两定点一定长 第4题图 模型 作法 结论 将点A向右平移d个 单位到点A‘,作点A 在直线l上找M,N 关于1的对称点A”,连 AM+MN+ 两点(M在左)，使得 d 接A"B与直线1交于 NB的最小位 AM+MN+NB最 点N,将点N向左平移 为A"B+d 小，且MN=d d个单位即为点M.点 M,N即为所求 11:l1,:间的距离 4 将点A向下平移d个单 为d,在l1,l2上分别 位到点A',连接A'B交 M AM+MN+ 找M,N两点，使得 直线l于点N,过点N NB的最小值 MN⊥L1,且AM+ 作MN⊥l,连接AM, 为A'B十d MN+NB最小 B 点M.N即为所求 5.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点， 顶点A,B分别在x轴、y轴的正半轴上，A(3,0),B(0,4),D为 边OB的中点.若E,F为边OA上的两个动点，且EF=2,则四 边形CDEF周长的最小值是 第5题图 培优本 215∴.AE=CE OE=OE. ∴.△OAE2△OCE(SSS). .S&g=SxR,∠AOE=∠COE :∠CAB=15°，∠AE0=90, ∴∠C0E=∠AOE=75”, ∴.S时影=Sg8D 75r×2 5 360=元 8.A【解析】如图，连接OD,OE,DE △ABC是等边三角形， .∠A=∠B=60°. .OA=OD=OB=OE ∴△AOD,△BOE都是等边三角形， .∠DOA=∠ADO=∠EOB=∠OEB =60, ∴.∠DOE=60 OD=OE,∴.△DOE是等边三角形， .DE=OD=OE,∠DOE=∠ODE=∠OED=60 ∴.∠CDE=∠CED=60°， .∠CDE=∠A,∠CED=∠B,△CDEC∽△CAB. :∠DOE-∠BOE,∴.Sg后E-SssE S=S=5m=××425=5 1 4 9.解：如图，连接OD,BC ,CD⊥AB,OC=OD .DM=CM,∠COB=∠BOD. OCDB.'.∠COB=∠(OBD ∴.∠BOD=∠OBD. ∴.OD=DB=OB,.△BOD是等边三 角形， ·∠BOD=60°，OC=BD,∠BOC=60 .CM=DM. .Rt△CMO2Rt△DMB(HL.). SRACW)=SHODMD 60x×22 ∴.S阴=Sm5c0M= 360 3元 10.C11.2x-4 12.解：：△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°， ∴∠A=45°.AB=BC=8. .S刚影=Sa形BD十S牛一S2Am 45x×82 +7×8÷2-宁×8×8 1 360 =8x+8x-32 =16x-32. 解题模型专题圆中的经典几何模型（隐圆） 19 2.(0,12)或(0，-12)3.88°4.15.2 6.5-1 7.解：如图，取AD的中点O,连接OB,OM. 四边形ABCD是矩形. ∴.∠BAD=90,AD=BC=2E ∴.∠BAP+∠DAM=90 ∠ADM=∠BAP, .∠ADM+∠DAM=90, .∠AMD=90. .AO=OD=2 .OM-TAD- .点M在以点O为圆心√2为半径的⊙O上 60 一。己0己6安徽数学 :OB=AB+A0=√6)+(2)F=22. .BM≥OB-OM=2E-2=√E, .BM的最小值为E. 8.65° 9.2 10.6【解析】连接AD,过点A作AG⊥BC 于点G,如图.根据折叠的性质可得 ∠CED=∠DEF.∠C=∠DFE :∠AFD=∠DEF,∴.∠CED= ∠AFD,∴∠AFD+∠AED=∠CED 十∠AED=180°，A,F,D,E四点共圆，∠DAF ∠DEF,∠CAD=∠DFE,∴.∠AFD=∠DAF,∠CAD= ∠C.∴DF=AD=CD.AB=AC.∴∠B=∠C. ∠CED=DEF=∠DAP,∴△BAD∽△CED,大 品DE=4,D=9吗-示∴DF=6(负值已 舍去)..线段DF的长为6， 11.2或3或4【解析】如图①，：∠AOB=120°，∠ACB 60∠ACB=豆∠AOB.点C在以点0为图心，0C 长为半径的圆上，且在优弧AB上，，'.OC=AO=BO=2: 如图②，：∠AOB=120°，∠ACB=60°，·.∠AOB+ ∠ACB=180°.∴点A,O,B,C四点共圆.设这四点都在 ⊙M上，且点C在优弧AB上运动，连接AM,AB,MB,延 长OM交⊙M于点C.:∠ACB=60,·∠AMB= 2∠ACB=120°.AO=BO,MA=MB,.∠OAM= ∠OBM=60°.又MA=MO,∴，△AMO是等边三角形， .MA=AO=2.∴.AO<OC≤OC',即2<OC≤4..C可 以取整数3或4.综上所述，满足题意的OC长为整数的值 可以是2或3或4. 图① 图② 解题模型专题路径最值问题的基本模型 1.5+12.33.3万4.12 5.2+/13+/37 安微中考特色题型突破 专题一选择题中的函数图象问题 1.B【解析】根据题意，将给定的Na(OH溶液加水稀释，那么 开始pH>7,随着慢慢加水，溶液碱性越来越弱，pH逐渐破 小，且pH>7始终成立， 2.C【解析】吴老师从家出发匀速步行8mn到公园，则y的 值由400变为0：吴老师在公园停留4min,则y的值仍然为 0:吴老师从公园匀速步行6min到学校，则在第18min时，y 的值为600. 3.C【解析】将常温中的温度计插入一杯40℃的温水中，然后 对水进行加热，水沸腾后温度不变，C选项符合题意， 4.A【解析】：极差是该段时间内的最大值与最小值的差， .0时一5时，极差逐渐增大：5时一10时，极差不变；10 时一14时，极差逐渐增大，直至达到最大值13：14时一24 时，极差都不变.故只有选项A符合题意， 5.C【解析】根据题意，先用水管往铁桶中持续匀速注水， y1中从0开始，高度与注水时间成正比.当到达，时，铁 桶中水满·高度不变.”：表示水池中水面高度，0一1，长 方体水池中没有水，高度为0：一，y:从0开始 又：铁桶底面积小于水池底面积的一半，y:比y1增长的 慢，即倾斜程度低：：~4，注水底面积为长方体的底面积，