解题模型专题 角平分线的四大模型-【学海风暴·PK中考】2026安徽中考数学备考培优本

解题模型专题 角 模型1 角平分线十平行线，构造等腰三角形 如下图，当已知条件中出现OP为∠AOB 的平分线，P为角平分线上任意一点时，辅 模型 分析 助线的作法大都为过点P作PM∥OB(或 PMOA),即有△OMP是等腰三角形，从 而利用相关结论解决问题. 基本 模型 B L.(1)如图①，把矩形纸片ABCD沿对角线AC折 叠，点B落在点B处，重合部分的△ACE是等 腰三角形吗？为什么？ (2)如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC,E为 CD的中点，且AE平分∠BAD,连接BE.求证： AE⊥BE. 200A6己026安徽数学 平分线的四大模型 模型2 角平分线十外垂直，构造全等三角形 如下图，当已知条件中出现OP为 ∠AOB的平分线，PM⊥OA于点M时， 模型 分析 辅助线的作法大都为过点P作PN⊥OB 于点N,即有PM=PN,△OMP≌ △ONP等，从而利用相关结论解决问题. 基本 模型 2.如右图，∠ABN=∠CBN,P 为BN上的一点，并且PD⊥ BC于点D,AB+BC=2BD. 求证：∠BAP+∠BCP B D C =180°. 模型3角平分线十内垂直，构造等腰三角形 如下图，当已知条件中出现OP为 ∠AOB的平分线，PM⊥OP于点P时， 模型 分析 辅助线的作法大都为延长MP交OB于 点N,即有△OMN是等腰三角形，OP是 “三线”等，从而利用相关结论解决问题 基本 模型 3.如右图，在R△ABC中，AC=BC, ∠C=90°，∠ABC的平分线交AC 于点D,AE⊥BD交BD的延长线 于点求证：AE-号D B 模型4 角平分线十截线段构造全等三角形 如下图，当已知条件中出现OP为 ∠AOB的平分线，PM不处于特殊位置 模型 分析 时，辅助线的作法大都为在OB上截取 ON=OM,连接PN,即有△OMP≌ △ONP,从而利用相关结论解决问题 基本 模型 4.【基本运用】(1)如图①，若AC平分∠BAE, ∠ACE=90°，C是BD边的中点，则线段AE, AB,DE的长度满足的数量关系为 【解决问题】(2)如图②，AC平分∠BAE,EC平 分∠AED,C是BD边的中点.若∠ACE=120°， 则线段AB,BD,DE,AE的长度满足怎样的数 量关系？写出结论并证明 【拓展应用】(3)如图③，C是BD边的中点.若 ∠ACE=120°，AB=4,DE=9,BD=12,则AE 的最大值是 A120 图① 图② 图3 培优本 A201∴.BD=AB-AD=5-3=2. 4.证明：在△ABD和△ACE中， (AB=AC. AD=AE, BD-CE, ∴.△ABD≌△ACE(SSS). ∴.∠BAD=∠CAE ∴.∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD. 即∠BAC=∠DAE ,AB⊥AC,.AD⊥AE 5.解：(1)BD2+CD=DE (2)选择图②，线段BD,CD,DE之间 的数量关系是BD+CD2+BD·CD =DE,证明如下： 过点E作EH⊥BC交BC的延长线于 点H,如图①所示. 在△ABC中，AB=AC,∠BAC=60°. .△ABC是等边三角形，·∠B ∠ACB=60, 易证△BAD≌△CAE .∠ACE=∠B=60°，BD=CE, ∴.∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°， .∠ECH=180°-∠DCE=60 :EH⊥BC,.在Rt△ECH中，∠CEH=90一∠ECH 30.CH-7CE-BD. :.DH-CD+CH-CD+7BD. 由勾殷定理，得EH=√CE-CH=√BD'-(2BD) -Fop. 在Rt△DEH中，由勾股定理，得DH+EH=DE (CD+BD)(BD)-DE 整理，得BD+CD+BD·CD=DE C或选择图③，线段BD,CD,DE之间的数量关系是BD+ CD一BD·CD=DE.证明如下： 过点E作EH⊥BC于点H,如图② 所 在△ABC中，AB=AC,∠BAC R D =120°， 图②2 ·∠B-∠ACB-z180-∠BAC)-30 易证△BAD≌△CAE, ∴.∠ACE=∠B=30°，BD=CE, .∠DCE=∠ACB+∠ACE=60° ,EH⊥BC,∴.在Rt△ECH中，∠CEH=90°一∠DCE =30°. CH-CEBD:DH-CD-CH-CD-BD. 由勾股定理，得EH=√CE-CF=√BD-(2BD 0 在Rt△DEH中，由勾股定理，得DH十EH=DE (cD-D)‘+(9BD)°=DE, 整理，得BD+CD一BD·CD=DE. 【解析】(1)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，.△ABC 是等腰直角三角形，∴.∠B=∠ACB=45.,∠DAE ∠BAC,∴.∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE, 54 。己0己6安徽数学 ∴.∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中， (AB=AC. ∠BAD=∠CAE,∴.△BAD≌△CAE(SAS), AD=AE. ∴.∠B=∠ACE=45,BD=CE,.∠DCE=∠ACB+ ∠ACE=90°.在Rt△DCE中，由勾股定理，得CE2+CD DE,∴.BD2+CD=DE 6.解：(1)证明：：BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E, △ABD和△CAE均为直角三角形. 在Rt△ABD和R△CAE中， (AB=CA. AD=CE. ∴.Rt△ABD≌RI△CAE(HI), ∠ABD=∠CAE, 又∠ABD+∠BAD=90 ∴.∠CAE+∠BAD=90°， ∠BAC=180°-（∠CAE+∠BAD)=90°. .AB⊥AC (2)成立.理由如下： 同(1)可证出Rt△ABD2Rt△CAE(HI), ∴.∠ABD=∠CAE. 又.'∠ABD+∠BAD=90°， ∴.∠BAC=∠CAE+∠BAD=∠ABD+∠BAD=90°， ∴.AB1AC 7.解：如图，过点F作FH⊥DC交DC延长线于点H,侧∠H =90° ,四边形ABCD是正方形， ,∠D=90°，AD=DC. 由旋转可知AE=FE,∠AEF=90 ,∠DAE+∠AED=90°，∠HEF+ ∠AED=90, .∠DAE=∠HEF ∠D=∠H, 在△ADE和△EHF中.∠DAE=∠HEF, AE=EF. '.△ADE≌△EHF(AAS), .AD=EH.DE-HF. ∴.EH=DC, .DE=CH=HF,∴.∠HCF=45.∴.∠G=45 设CH=HF=DE=x,正方形边长为y, CE=y-x.CF=x,CG=y, G-G-c--小0-E 解题模型专题角平分线的四大模型 1.解：(1)△ACE是等腰三角形.理h如下： :四边形ABCD是矩形， .CD∥AB. ∴.∠ECA=∠BAC 由题意可得∠BAC=∠EAC, ∴.∠ECA=∠EAC, ∴.AE=CE, .△ACE是等腰三角形， (2)证明：如图，延长AE交BC延长线于点 F AD∥BC,∴.∠F=∠DAE.∠D =∠ECF, 由题意可得∠BAF-∠DAE, .∠BAF=∠F,.BA=BF 'E为CD的中点，.DE=CE I∠DAE=∠F 在△ADE和△FCE中，∠D=∠FCE, DE-CE. ∴.△ADE≌△FCE(AAS). .AE=FE,.BE⊥AE. 2.证明：如图，过点P作PE⊥BA于点E ,PE⊥AB,PD⊥BC,且∠ABP =∠CBP. ..PE=PD 在Rt△PBE和Rt△PBD中. BP=BP. PE=PD. .Rt△PBE≌Rt△PBD(HI.), .BE=BD. .AB+BC=2BD.BC=CD+BD.AB=BE-AE=BD -AE, :.AB+BC=BD-AE+CD+BD=2BD. .AE-CD. 在△PAE和△PCD中， (PE=PD. ∠PEA=∠PDC=90°， AE-CD. ∴.△PAE≌△PCD(SAS), .∠EAP=∠BCP ,∠BAP+∠EAP=180 ∴.∠BAP+∠BCP=180 3.证明：如图，延长AE,交BC的延长线于点F ∠ACB=90°，AE⊥BD. .∠BCD=∠ACF=∠AED=90° 又，∠CDB=∠ADE, .∠CBD=∠CAF, 在△BCD和△ACF中 {∠CBD=∠CAF. BC=AC. ∠BCD=∠ACF .△BCD≌△ACF(ASA), .BD=AF. ,BD平分∠ABC,BD⊥AE .△ABF是等腰三角形，且点E平分AF, ∴.EF=EA, .AE-TAF-BD. 4.解：(1)AE=AB+DE (2)AE-AB+DE+BD. 证明：如图①，在AE上取点F,使AF =AB,连接CF,在AE上取点G,使 EG一ED,连接CG. 120 ,C是BD边的中点，.CB=CD 图① BD. 'AC平分∠BAE,.∠BAC=∠FAC (AB-AF. 在△ACB和△ACF中，∠BAC=∠FAC, AC=AC. .△ACB≌△ACF(SAS), ,.CB=CF,∠BCA=∠FCA」 同理可证，CD=CG,∠DCE=∠GCE, .CB=CD...CG=CF. :∠ACE=120°， .∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°. ∴.∠FCA+∠GCE=60°，.∠FCG=60°. ∴△FGC是等边三角形， :.FG-FC=7BD. ,AE=AF+EG十FG, .AE-AB+DE+BD. (3)19 【解析】(1)如图②，在AE上取一点F, 使AF=AB. ,AC平分∠BAE ∴.∠BAC=∠FAC 在△ACB和△ACF中. (AB=AF. ∠BAC=∠FAC, AC-AC. .△ACB≌△ACF(SAS) ∴.BC=FC,∠ACB=∠ACF. ,C是BD边的中点， ..BC=CD...CF=CD ,∠ACE=90°，.∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF =90°，.∠ECF=∠ECD. CF=CD. 在△CEF和△CED中，∠ECF=∠ECD, CE-CE. ∴.△CEF≌△CED(SAS),∴.EF=ED AE=AF+EF...AE=AB+DE. (3)作点B关于AC的对称点F,点D G. 关于EC的对称点G,连接AF,FC, CG,EG,FG,如图③. 】20 :C是BD边的中点，.CB=CD= 名BD=6 厨3 易知△ACB2△ACF,△ECD≌△ECG. .CB=CF,∠BCA=∠FCA, CD=CG,∠DCE=∠GCE ,CB=CD,∴.CG=CF, ,∠ACE=120°，.∠BCA+∠DCE=180-120°=60°. ,.∠FCA+∠GCE=60°.∴.∠FCG=60°. .△FGC是等边三角形，∴.FC=CG=FG=6. AE<AF+FG+EG.AF=4.EG=9, ∴.当点A,F,G,E共线时AE的值最大，最大值为4+6+9 =19. 解题模型专题中点的五大模型 1.B 2.解：(1)AF和BF (2),P是BC边的中点，F是AB边的中点， ∴PFAC,PF=号AC. ,P是BC边的中点，E是AC边的中点， ∴PE∥AB,PE-AB .四边形AFPE是平行四边形，，∠A=∠EPF ,'∠MPN=∠A,∴.∠MPN=∠EPF. .∠MPN+∠NPE=∠EPF+∠NPE,即∠MPE =∠NPF AB=AC,∴.PE=PF ,PM=PN,∴.△MPE≌△VPF(SAS). .∠PEM=∠PFN. ,PF∥AC,∴.∠PFN=∠FGA.∠PEM=∠FGA. PE∥AB,.∠PEM=∠A. .∠FGA=∠A,.FG=AF AF=BF.:.FG=AF=BF. 3.7 4.解：如图，连接AD ,DF是AB的垂直平分线， .AD=BD=62, 梦考答案 55