解题模型专题 半角模型-【学海风暴·PK中考】2026安徽中考数学备考培优本

解题模型专题半角模型 模型1120°含60半角模型 条件：如上图，△ABC是等边三角形，∠CDB=120°，∠EDF=60°，BD=CD,旋转△BDE至△CIDG. 结论：①△FDE≌△FDG;②EF=BE+CF:③∠DEB=∠DEF 1.在四边形ABCD中，AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕点B旋 转，它的两边分别交AD.DC(或它们的延长线)于点E,F,连接EF. (I)如图①，当∠MBN绕点B旋转到AE=CF时，AE,CF,EF之间存在怎样的数量关系？请将三条 线段分别填入后面横线中： 十 (无须证明) (2)如图②，当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，上述(1)中结论是否成立？请说明理由 (3)如图③，当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，上述(1)中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不 成立，线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，无须证明. 图① 图② 图③ 208A心20己6安徽数学 模型290含45半角模型 条件：如上图，在正方形ABCD中， ∠MAN=45,旋转△ADN至△ABF. 条件：如上图，△ABC是等腰直角三角形，∠CAB=90°， 结论：①△AFM≌△AVM;②MN=BM AB=AC,∠DAE=45°，旋转△ABD至△ACF(或 +DN;③C△CN=2AB;④S△A △ABD沿AD翻折到△AFD). SAAM+SAADN. 结论：①△ADE≌△AFE(或△ACE≌△AFE):②DE =BD2+EC2:③CACEE=BC(或C△DEr=BC), 2.如右图，在正方形ABCD中，E,FDE 1 (2)若AB=4,BE=2BC,请直接写出EF 分别是BC,DC上的点，连接AE AF,EF,∠EAF=45°.求证：BE 的长. +DF=EF. 图② 3.如图①，在正方形ABCD中，E是直线BC上一 点，将射线AE绕点A逆时针旋转45交直线CD 于点F,连接EF (1)如图②，当点E在BC的延长线上时，试猜想线 段BE,DF与EF之间的数量关系，并证明. 培优本 209∴.△AEN≌△EFC(SAS), ∴.∠ANE=∠ECF,EN=FC ,□ABCD为菱形 .AB=BC=CD=AD=35,AB∥CD,AD∥BC, ∴.BN=BE,∠ABC+∠BCD=180, ·∠BNE=∠BEN=1SO-∠ABC 2 =30°，∠BCD=60°. ∴.∠ANE=∠ECF=150°， ·∠DCF=∠ECF-∠BCD=9O ADBC,.∠ADK=∠BCD=60 AK=AD·Sn∠ADK三号，DK=AD·cOs∠ADR -33 2 1 2 2CD=5.CG=千2CD=25. KG-DK+DG-5 2 ,∠CGF=∠AGK, m∠cGF=ZAG水，-瓷 9 ×25 18 ∴.CF= 5W3 2 EN-CF-18 :∠BNE=90,BM=EN-号 9 ∴BE= EM 56E os∠BET 【解析】(1)在AB上截取AG=EC,连接 EG,如图③. :四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠ABC=90°=∠AEF, ∴.∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠CEF =90°. 图 ·∠BAE=∠CEF. AG=EC. 在△AEG和△EFC中， ∠GAE=∠CEF, AE=EF. .△AEG≌△EFC(SAS),.GE=CF ,AB=BC,AG=EC,∴，BG=BE .∠BGE=∠BEG=45°， :BE=EG·sin∠BGE= 2 慌- 8.解：(1)∠B=∠ACQ (2)∠B=∠ACQ.理由如下： AB=BC. 六∠BAC-180-∠B. AP-PQ. ∠PAQ=ZI80'-∠APQ ,∠APQ=∠B, .∠BAC=∠PAQ. 58 A6己0已6安徽数学 △BAC△PAQ 漂指脚能铝 :∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ .∠BAP=∠CAQ, ,∴.△BAPC∽△CAQ ∴.∠B=∠ACQ (3)如图，连接AB。 ,四边形ADBC和四边形APEF都是正方形， .AB=2AC,AP=EAQ,∠BAC=∠PAQ=45, ABAP ∠BAP-∠CAQ,C-AQE, ·△BAP∽△CAQ, .BP=2CQ=2. AP:=AC:+PC ,∴.100=AC2十(AC-2)2. 解得AC=8(负值已舍去)， ∴.正方形ADBC的边长为8. 【解析】(1)：△ABC和△APQ都是等边三角形， .AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠PAQ=60, ∴.∠BAP=∠CAQ. (AB=AC. 在△BAP和△CAQ中，∠BAP=∠CAQ. AP=AQ. '.△BAP≌△CAQ(SAS), .∠B=∠ACQ. 解题模型专题半角模型 1.解：(1)AE CF EF (2)成立.理由如下： 如图①，延长FC到点H,使CH=AE,连接BH ,AB⊥AD,BC⊥CD .∠A=∠BCH=90 在△BCH和△BAE中 BC-BA, ∠BCH=∠A. CH=AE. .△BCH≌△BAE(SAS) .BH=BE,∠CBH=∠ABE 图① :∠ABC-120°，∠MBN-60 .'.∠ABE十∠CBF=∠ABC一∠MBN=60°， ,∴.∠CBH+∠CBF=60, 即∠HBF=60°， ∴∠HBF=∠EBF=60 (BH=BE. 在△HBF和△EBF中， ∠HBF=∠EBF, BF=BF. ,∴.△HBF2△EBF(SAS), ∴.HF=EF HF=CH+CF=AE+CF, .AE+CF-EF. (3)不成立.猜想：EF=AE一CF」 【解析】(3)如图②，在AE上截取AQ=CF,连接BQ. ,AB⊥AD,BC⊥CD, .∠A=∠BCF=90 BC=BA. 在△BCF和△BAQ中，∠BCF=∠A, CF-AQ. .△BCF≌△BAQ(SAS), .BF=BQ.∠CBF=∠ABQ. '∠MBN=GO=∠CBF+∠CBE, ∴.∠CBE+∠ABQ=60 ∠ABC=120°， ∴.∠QBE=∠ABC-(∠CBE+ ∠ABQ)=120-60°=60°=∠FBE 在△FBE和△QBE中， (BF=BQ ∠FBE=∠QBE, BE=BE. 图2 ∴.△FBE≌△QBE(SAS) .EFEQ. ∴.AE=EQ+AQ=EF+CF 即EF=AE一CF 2.证明：如图，延长CD至点G,使DG=BE,连接AG 在正方形ABCD中，AB=AD,∠B=G.. ∠ADC=90°， ∴.∠ADG=∠B. 在△ABE和△ADC中， (AB=AD. ∠B=∠ADG. BE-DG. .△ABE≌△ADG(SAS), ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG. :∠EAF=45 ∴.∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD -∠EAF=90°-45°=45°， ∴.∠EAF=∠GAF AG=AE. 在△AGF和△AEF中，∠GAF=∠EAF, AFAF. .△AGF≌△AEF(SAS).∴.GF=EF .GF=DG+DF=BE+DF. .BE+DF=EF 3.解：(1)BE-DF=EF 证明：如图①，在BC上取点F',使BF‘=DF,连接AF :四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠B=∠ADF=∠BAD=90 在△ABF'和△ADF中， (AB-AD. ∠B=∠ADF, BF'=DF. ∴.△ABF'≌△ADF(SAS). ∴AF'=AF,∠BAF'=∠DAF ,∠EAF=45,∠BAD=90°， 图① ∴.∠DAE+∠DAF=∠DAE十∠BAF'=45°， .∠EAF=∠BAD-(∠DAE+∠BAF')=90°-45° 45,∴.∠EAF'=∠EAF 在△AEF和△AEF中， (AF'=AF. ∠EAF'=∠EAF· AE-AE, ∴.△AEF'≌△AEF(SAS), ..EF'-EF. .BE一BF'=BE-DF=EF (2)EF的长为号或10， 【解析】(2)由题意可分两种情况讨论： ①如图②，当点E在线段BC上时，同()可 得EF=BE十DF 1 1 AB=4..BE=7BC=7AB=2. .CE=2 图②2 设EF=x,则DF=x-2,CF=4-(x一2)= 6-x. 在R△CEF中，由勾股定理，得CE+CF”=EF, 即2+(6-x=r,解得x=9即EF=9。 ②如图③，当点E在CB延长线上时，同理可 得DF一BE=EF. :AB=4∴BE=号BC=号AB=2, ∴.CE=6. 设EF=x,则DF=x+2,CF=(x+2)-4 x-2. 在Rt△CEF中，由勾股定理，得CE十C下■ 周3 EF2,即6十(x一2)=x, 解得x=10,即EF=10. 10 综上所述，EF的长为5或10， 技巧方法专题求阴影部分面积的方法 1.A【解析】如图，连接BC,过点E分别向AD,BC作垂线， 垂足分别为M.V. 由图可知，AD∥BC AD EM 3 ∴△ADEn△BCE,C-示-乞 EM+EN-4..EM-12. 5· Sm=AD·EM=×Sx号-号 2.30【解析】设大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,侧a -6=0∴Sae=Sam+Sam,=7G.CD+2BG·DE (CD+DE)-()-- ×60=30. 3.解：E是OB的中点，OC=OB. i0E=20B=20 CD⊥AB, ∴.∠OEC=90,∴.∠0CE=30,∴.∠COE=60°， .∠AOC=180°-60°=120°， 六Sme=SEx=120xX2-4 360 =31 4.解：⊙O是△ABC的内切圆， ∴.BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB, ∴Z∠0Bc-7∠ABc.∠0B-7∠ACB, ∴.∠DOE=180°-（∠OBC+∠OCB)=180°- (∠ABC +∠ACB)=180-2180°-∠A)=130, 130π×3213 S影=Sx心 360 π(cm). 5.解：如图，连接OC. 在R△ACB中，∠B=30°，AB=6, ∠A0C=2∠B=60.AC=AB= 3,BC=AB·c0s30°=35. 4 60π×39E39E 360 交π 6.B 7.B【解析】如图，连接(OC :OA=OC.OD⊥AC, 梦考答案 59