精品解析：四川省达州市渠县文崇中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学测试题

四川省达州市渠县文崇中学2025－2026学年九年级上学期第一次月考数学测试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. 3x-4=0 B. x2-3x=0 C. x+3y=2 D. =3 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．是一元二次方程，故本选项符合题意； C．是二元一次方程，故本选项不符合题意； D．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2. 菱形的两条对角线长分别为3和4，那么这个菱形的面积为（ ） A. 12 B. 6 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可. 【详解】菱形的面积=×3×4=6. 故选B. 【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的性质有：具有平行四边形的性质；菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半. 3. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据一元二次方程的求根公式逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，不符合题意； B、∵， ∴，不符合题意； C、∵， ∴，符合题意； D、∵， ∴，不符合题意； 故选：C． 4. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 三条边相等的四边形是菱形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，涉及平行四边形的判定、矩形、菱形和正方形的判定，根据相关特殊平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故原命题为假命题，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题是假命题，不符合题意； C、四条边都相等的四边形是菱形，故原命题是假命题，不符合题意； D、一组邻边相等的矩形是正方形，故原命题是真命题，符合题意， 故选：D． 5. 若关于x的方程有实数根，则的值为（ ） A. －4 B. 2 C. －4或2 D. 4或－2 【答案】B 【解析】 【分析】设，则原方程可化为，解得的值，即可得到的值． 【详解】解：设，则原方程可化为， 解得：，， 当时，，即，△，方程无解， 当时，，即，△，方程有实数根， 的值为2， 故选：． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，的关键是把看成一个整体来计算，即换元法思想． 6. 某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，正确理解题意是解题的关键． 根据题意，3月到5月共经过两个月，每个月的增长率为x，则5月份的盈利为3月份的盈利乘以，即可建立方程． 【详解】解：设该书店每月盈利的平均增长率为， 由题意得： ， 故选：A． 7. 如图，点在矩形的边上，沿直线折叠，使点落在边上的点处，已知，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理可求AF的长，由折叠的性质可得AD=AF=5，DE=EF，由勾股定理可求EC的长． 【详解】解：∵AB=3，BF=4， ∴， ∵矩形ABCD的边AD沿折痕AE折叠， ∴AD=AF=5，DE=EF， ∴BC=AD=5， ∴CF=BC-BF=1， ∵EF2=EC2+CF2， ∴（3-CE）2=EC2+1， ∴CE=， 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，利用方程思想解决问题是本题的关键． 8. 若关于y的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及相反数的定义．根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及相反数的定义列出式子，求出未知数的值即可． 【详解】解：∵关于y的一元二次方程的两个实数根互为相反数， ∴，， 解得，； 故选：C． 9. 如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，，，则的长为　　 A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直角三角形斜边上的中线求得AB的长度，再根据含30°角直角三角形的性质求得AC的长度，最后通过解直角△ACD求得CD的长度． 【详解】如图，在中，，是斜边上的中线，， ． ， ，． 是斜边上的高， 故选C． 【点睛】考查了直角三角形斜边上的中线、含30度角直角三角形的性质．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 10. 如图①，在正方形中，点P以每秒的速度从点A出发，沿的路径运动，到点C停止．过点P作，与边（或边）交于点Q，的长度与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示，当点P运动3.5秒时，的长是______． A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识．从图象中获取正确的信息是解题的关键．由题意知，当运动到时，最长，，由图象可知，当时，，即正方形边长为4，当时，，由，可知是等腰直角三角形，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴是等腰直角三角形， 由题意知，当运动到时，最长，， 由图象可知，当时，， ∴， 当时，， ∵， ∴是等腰直角三角形，， 由勾股定理得，， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 关于的方程是一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，直接开配方法解一元二次方程，根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高指数是2的整式方程，且二次项系数不等于0”，即可进行求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 因此， 故答案为：． 12. 关于x的方程的一根为1，则另一根为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设这个一元二次方程的另一根为，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，进而可求解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 【详解】解：设这个一元二次方程的另一根为， ∵关于的方程的一根为1， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则，要求的最小值，即求的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，知的最小值即等于直角三角形斜边上的高． 【详解】解：连接，如图： ∵在中，，，， ∴，即， 又∵于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， 当时，的最小值即为直角三角形斜边上的高， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段． 14. 探索一元二次方程的一个正数解的过程如下表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 从表中可以看出方程的一个正数解在相邻整数a和b之间，则整数a，b分别是____． 【答案】1、2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的估算，可求出当时，，当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∵方程的一个正数解在相邻整数a和b之间， ∴， 故答案为：1、2． 15. 如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，且∠CDF＝18°，则∠DAF＝___ 度. 【答案】54 【解析】 【分析】连接BD，BF，根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC，AD=CD；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB的度数． 【详解】连接BD，BF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=CD， ∴∠DAC=∠DCA． ∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD， ∴AF=BF，BF=DF， ∴AF=DF， ∴∠DAF=∠FDA， ∵∠DAF+∠ADF+∠DCA+∠CDF=180°， ∴3∠DAF+∠CDF=180°， ∵∠CDF=18°， ∴3∠DAF+18°=180°， 则∠DAF=54°， 故答案为：54． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用以及菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口． 三、解答题（本大题共10小题，16题－21题各8分，22－24题各10分，25题12分，共90分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得：． 【小问2详解】 解：． ∴， ∴， ， ． 17. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE＝DF，连接CE，AF．求证：AF＝CE． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴DC//AB，DC＝AB， ∴CF//AE， ∵DF＝BE， ∴CF＝AE， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AF＝CE． 【解析】 【分析】据矩形的性质得出DC//AB、DC＝AB，求出CF＝AE、CF//AE，根据平行四边形的判定得出四边形AFCE是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可证明结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定、矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，平行四边形的对边相等． 18. 如图，已知四边形为菱形，过点C分别作，的垂线，垂足分别为E，F，证明：． 【答案】 证明：∵四边形为菱形 ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】证明，，，，可得，证明，可得，从而可得答案． 【详解】略 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，菱形的性质，熟练的利用菱形的性质证明是解本题的关键． 19. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为1，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵不论为何值， ∴ ∴方程总有两个实数根. （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式处理，可证； （2）将根代入方程求得参数； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入关于的一元二次方程，得， 解得 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，方程根的定义；掌握根的判别式是解题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程为． （1）求证：无论为何值，此方程一定有实数根； （2）若，是该方程的两个不同的根，且满足，求的值． 【答案】（1） 证明：， 不论为何值，方程一定有实数根； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）直接根据根的判别式计算即可； （2）先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式变形得到关于的二元一次方程，最后求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，是该方程的两个不同的根， ，， ， 化简得：， 解得：，． 21. 如图，在□ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且CF=DE，连接AE、BF、EF． （1）求证：△ADE≌△BCF； （2）若∠BFC－∠ABE=90°，判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论． 【答案】 证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， 又∵CF∥DB， ∴∠DBC=∠BCF， ∴∠ADB=∠BCF， 又∵DE=CF， ∴△ADE≌△BCF； （2）平行四边形ABFE是矩形． ∵CF∥DE，CF=DE ∴四边形 CDEF 是平行四边形， ∴EF∥CD，EF=CD ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD ∴AB∥EF，AB=EF ∴四边形 ABFE 是平行四边形， ∵△ADE≌△BCF， ∴∠AED=∠BFC， 又∵∠BFC－∠ABE=90°， ∴∠AED－∠ABE=90°， ∵∠AED－∠ABE=∠BAE， ∴∠BAE=90°， ∴□ABFE是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质求得AD=BC，∠ADB=∠DBC，由平行线的性质求得∠DBC=∠BCF，从而求得∠ADB=∠BCF，利用SAS定理判定三角形全等即可； （2）先证明四边形ABFE是平行四边形，由△ADE≌△BCF，得出∠AED=∠BFC，由三角形的外角性质证出∠BAE=90°，从而判定四边形ABFE为矩形． 【详解】略 【点睛】此题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、矩形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质和判定，和全等三角形的判定以及矩形的判定是解答关键． 22. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可； （2）设售价应降低元，则可卖出件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， ， 答：售价应降低20元． 23. 在平行四边形中，连接、交于点，点为的中点，连接并延长交于的延长线于点． （1）求证：为的中点； （2）若，，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】 (1)在平行四边形中,AB∥CD, ∴∠FAD=∠CDA,AB=CD ∵点为的中点 ∴AE=DE,∠AEF=∠DEC, ∴△AEF≌△DEC ∴AF=CD, ∴AB=AF,即为的中点 (2)由(1)知AF=2AB,AF平行且等于CD ∴四边形是平行四边形, 又∵, ∴AF=AD, ∴△BCF是等边三角形, ∴FC=AD, ∴平行四边形是矩形 【解析】 【分析】(1)根据平行四边形的性质再结合已知得到△AEF≌△DEC,即可解题, (2)先证明四边形ACDF是平行四边形,再证明△BCF是等边三角形,即可解题. 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质,矩形的判定,等边三角形的判定,属于简单题,熟悉各种图形的判定定理是解题关键. 24. 阅读与思考 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： （1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解 ①； ② （2）深入研究：说明多项式的值总是一个正数? （3）拓展运用：已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）①；②； （2） ∵ ∴ ∴多项式的值总是一个正数． （3）为等边三角形． 理由如下：∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴为等边三角形． 【解析】 【分析】（1）仿照例子运用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法和非负数的性质进行说明即可； （3）展开后利用分组分解法因式分解后利用非负数的性质确定三角形的三边的关系即可． 【详解】解：（1）① ． ② （2） 略 （3） 略 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细阅读材料理解配方的方法． 25. 已知，在中，，，点为直线上一动点（点不与点B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线㱽之间的关系； （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变，求CF、BC、CD三条线段之间的关系． 【答案】（1） 证明：，， ， ， 四边形是正方形， ，， ，， ， 在和中，， ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）三角形是等腰直角三角形，利用即可证明，从而证得，据此即可证得； （2）同（1）相同，利用即可证得，从而证得，即可得到； （3）利用即可证得，从而证得，即可得到三条线段之间的关系． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：； 理由：，， ， ， 四边形是正方形， ，， ，， ， 在和中，， ， ； 【小问3详解】 解：， 理由：，， ， ， 四边形是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ； 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用，判断出是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县文崇中学2025－2026学年九年级上学期第一次月考数学测试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. 3x-4=0 B. x2-3x=0 C. x+3y=2 D. =3 2. 菱形的两条对角线长分别为3和4，那么这个菱形的面积为（ ） A. 12 B. 6 C. 5 D. 7 3. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 三条边相等的四边形是菱形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形 5. 若关于x的方程有实数根，则的值为（ ） A. －4 B. 2 C. －4或2 D. 4或－2 6. 某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在矩形的边上，沿直线折叠，使点落在边上的点处，已知，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 8. 若关于y的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 9. 如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，，，则的长为　　 A. B. 4 C. D. 10. 如图①，在正方形中，点P以每秒的速度从点A出发，沿的路径运动，到点C停止．过点P作，与边（或边）交于点Q，的长度与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示，当点P运动3.5秒时，的长是______． A. B. C. D. 2 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 关于的方程是一元二次方程，则的值为______． 12. 关于x的方程的一根为1，则另一根为_________． 13. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为________． 14. 探索一元二次方程的一个正数解的过程如下表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 从表中可以看出方程的一个正数解在相邻整数a和b之间，则整数a，b分别是____． 15. 如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，且∠CDF＝18°，则∠DAF＝___ 度. 三、解答题（本大题共10小题，16题－21题各8分，22－24题各10分，25题12分，共90分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE＝DF，连接CE，AF．求证：AF＝CE． 18. 如图，已知四边形为菱形，过点C分别作，的垂线，垂足分别为E，F，证明：． 19. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为1，求的值． 20. 已知关于的一元二次方程为． （1）求证：无论为何值，此方程一定有实数根； （2）若，是该方程的两个不同的根，且满足，求的值． 21. 如图，在□ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且CF=DE，连接AE、BF、EF． （1）求证：△ADE≌△BCF； （2）若∠BFC－∠ABE=90°，判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论． 22. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 23. 在平行四边形中，连接、交于点，点为的中点，连接并延长交于的延长线于点． （1）求证：为的中点； （2）若，，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 24. 阅读与思考 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： （1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解 ①； ② （2）深入研究：说明多项式的值总是一个正数? （3）拓展运用：已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 25. 已知，在中，，，点为直线上一动点（点不与点B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线㱽之间的关系； （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变，求CF、BC、CD三条线段之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $