第四单元 第6讲 解直角三角形及其应用-【学海风暴·PK中考】2026安徽中考数学备考精解本

由折叠的性质，得C'D=CD,AC'=AC=1O. 可分两种情况讨论： ①如图①，当∠C'DE=90时，过点C'作C'F⊥AB交AB白 延长线于点F,则四边形BDCF为矩形. 设CD=C'D=x(x>0),则AF=6+x,FC'=BD=8-x 在Rt△AFC中，AF+FC=AC,即(6+x)+(8一x =10, 解得x1=2,x2=0(不符合题意，舍去)，.CD=2: ②如图②，当∠CED=90时，点B与点E重合. AC‘=10,AB=6..C'B=4. 设CD-C‘D=x(x>0),则BD=8一x 在Rt△BDC中，C'D-BD+C'B, 即x2=(8一x)2十4，解得x=5,∴.CD=5 综上所述，CD的长为2或5. B(E) 安辙考向 0 第5讲相似三角形 即学即用 1.D2.(32-/10)3.B4.D5.4:256.B 7.(1)1.6(2)2或8 重点难点突破 【典例1】 解：(1)D(2)11372(3)①44：25②15 (4)82°3 (5)①，AC⊥BC,ED⊥AB, ,.∠ADE=∠C=90 :∠A=∠A△ADEACB.浩0 在R1△ABC中，AC=6.BC=8,.AB=G+8=10. 又AE=5音0AD=3 ②在Rt△ADE中.AE=5,AD=3. DE=-3=4,Sae=z×3X4=6. 又SAm=zX6X8=24 Sm由mD=24一6=18. (683(7始 安微考向 D 【典例2】 解：(1)①证明：：点P在MB上∠APQ=∠B, 0/c岩-是 ②PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分， S 4 S△四=4 'PQ/BC,品△APQO△ABC.A-2, :AB=5,∴AP=3 10 :AM=2MP=AP-AM=子 (2)①当x=5时，点P在BC上，且BP=2十5一5=2 46 。心己0己6安徽数学 ∴.PC=BC-BP=6 :∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠CPQ.∠APQ =∠B. ∴.∠BAP=∠CPQ :AB=AC.∠B=∠C.∴△ABP∽△PCQ, 提器师音忌c0号 52 ②当点P在AB上时，此时PQ∥BC, .0≤x<3: 当点P在BC上，PQ∥AB时，此时∠BAP=∠APQ. AB=AC.·∠B=∠C. 又'∠APQ=∠B,∴∠BAP=∠C,·△ABP∽△CBA, 温器博-g即-晋-3+答-号 .5 BP 综上所述，当PQ与△ABC的边平行时.x的取值范围为0 ≤x<3或x=8 9 安微考向 第6讲解直角三角形及其应用 即学即用 1A253号4是59 6.163.6 重点难点突破 【典例1】 解：D:AE是△ABC的高coB=E=夏 AB 2 sACB是-号AB=FnE.AC=号AE, ∴AE=AB-BE=BE,EC=AC-AE=子AE, 六BC=BE+EC=子AE=14,∴AE=6, Sm=2BC·AB=X14X6=42. (2)如图①，过点B作BF⊥AC于点F,∴∠AFB=90. ∠BAC-45,∴∠ABF=45, i∠BAC=m∠ABF号器-铝-号 AB=6.BF=AF=3反. ∠ABC=75.∴∠FBC=30. ios∠FBC BF√3 -2CF- ∴AC=AF+CF=3E+6, 5am=AC,BF=号×aF+5)x3E=9+3厅， 2ABCD=BC·AE=9+3万. 即宁×8CD-×26AE-9+35 CD-3+万AE36+3E 2 图② (3)如图②，过点D作DF⊥BC于点F, AE⊥BC.∴.△BDF∽△BAE, 器浩 BD=2AD. 盟器号 又AE=9,.DF=6. “n∠BCD=子，BD=CD. ∴inB=sim∠BCD= 5 器器 .BD=CD=10. AB=号BD=15. 在R△ABE中，BE=AB-AE=12 在Rt△BDF中，BF=BD-DF=8. ,BD=CD,DF⊥BC, ∴.BC=2BF=16, ∴.CE=BC-BE=4. CAE-是-专 【典例2】 解：如图，过点D分别作DE⊥BC于 点E,DF⊥AB于点F, 则四边形DEBF为矩形，∠CDE 1539 45°，∠ADF=153°-45-90°=18 h450 C :CD=22cm,∠DCE=45°， ∴.DE=CE=2cm BC=5 cm. ,.BE=BC-CE=5-2=3(cm), .DF=BE=3 cm. .AF=tan∠ADF·DF≈0.32×3=0.96(cm). ∴，矩形DEBF的面积=BE·DE=3×2=6(cm), △AFD的面积=AF·DF=号×a.96X3=l.4em) △DEC的面积-=之DE-号×4=2(em). 6+1.44十29.4(cm).故该零件的截面面积约为9.4cm. 安微考向 解：根据题意，得四边形BDCG是矩形， ..CG=BD,CD=BG=6.9 m. 在R1△BCG中，∠BCG=13°， ..CG- BG6.9 anl3*0.2330(m). 在Rt△ACG中，∠ACG=22°， .AG=CG·1an22°%30×0.40=12(m), ,.AB=AG+BG=12十6.919(m). 故教学楼的高度约为19m. 第五单元四边形 第1讲平行四边形 即学即用 1.C2.A3.70°4.8 重点难点突破 【典例】 解：(1)①55 ②如图，连接BD :在□ABCD中，AF∥BC,∠CBE=90°. ∴.∠BFD=90. 在R1△BDF中，由勾股定理，得 BD=√DF+BF=√I7 在□ABCD中，O为AC的中 点，∴点D,O,B三点共线，且OB -000r-D 2 (2)①36 ②证明：'在□ABCD中，ABCD ∴.∠EO=∠GAO.∠CEO=∠AG0. :O为AC的中点，∴OC=OA.∴△ECO≌△GAO(AAS, .EC-GA 又：ECGA.∴四边形AGCE是平行四边形. ③当∠CEN=∠AGM时，四边形EMGN是平行四边形.理 由如下： 由②，得∠ECN=∠GAM.EC=GA. 又，·∠CEN=∠AGM,.△CEN≌△AGM(ASA). ∴EN=GM. .'∠ENO=∠ECN+∠CEN,∠GMO=∠GAM+ ∠AGM,∴.∠ENO=∠GMO,∴.EN//GM. ∴四边形EMGN是平行四边形。 (3),AE平分∠BAD,,∠DAE=∠BAE CD∥AB,∴∠DEA=∠BAE,∴∠DEA=∠DAE, .BC=AD=DE=5. CE=3.BE=4.CE+BE=5=BC .∠BEC=∠ABE=90°. AB=CD=DE+CE=8...AE=AB+BE=45. O为AC的中点，H为CE的中点， OH是△ACE的中位线，0H=子AE=25. 【解析】(1)①，四边形ABCD是平行四边形 ∴.∠DAB=∠BCD=35 又：∠CBE=90°..∠DEF=∠BEC=90°-35=55号 (2)①，O为AC的中点，EG⊥AC, ∴EG是线段AC的垂直平分线，.AE=CE, ∴C△AE=AD+DE+AE=AD+DE+CE=AD+CD= 18,.CaAD=2(AD+CD)=36. 安徽考向 解：(1)证明：连接BD交AC于点O,如图①. ,:四边形ABCD是平行四边形， .OB-OD. EF=BE. OE是△BDF的中位线 .OEDF.即DF∥AC. 二题多解法 在EA上取一点H,使EH=EC,连接BH,HF,CF 如图②所示 .EF=BE. ∴四边形BCFH是平行四 边形， ,∴FH∥BC,FH=BC :四边形ABCD是平行四 图2 边形， .AD∥BC,AD=BC FH∥AD,FH=AD ,四边形ADFH是平行四边形， .DF∥AH.即DF∥AC (2)'四边形ABCD是平行四边形.AB=6,∠BAC=30°， .CD=AB=6.AB//CD.AD=BC. ∴.∠ACD=∠BAC=30 BF垂直平分CD, 参考答案 47第6讲 解直角三角形及其应用 中考考点讲练 考点1 锐角三角函数 3.如图，四个边长为1的小正方形拼成一个 1.锐角三角函数的定义 大正方形.A,B,O是小正方形的顶点， 如右图，在Rt△ABC中，∠C ⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于 =90°，∠A,∠B,∠C的对边 右上方的小正方形内，则sin∠APB等于 分别为a,b,c. (1)正弦：∠A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA,即sinA-号 考点2解直角三角形(10年1考) (2)余弦：∠A的邻边与斜边的比叫做∠A 1.定义：在直角三角形中，除直角外，由已知元 的余弦，记作c0A,即cosA=名 素求未知元素的过程就是解直角三角形， (3)正切：∠A的对边与邻边的比叫做∠A 2.依据：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B, ∠C所对的边分别为a,b,c.①边角关系：sinA 的正切，记作1anA,即1anA-号 2.特殊角的三角函数值 -2os4=名，am4=号：②三边之间的关系： 角a 30° 45° 60° a2+b=c2:③三角之间的关系：∠A+∠B= sing 竖 2 ∠C=90,④sinA=cosB=a,snB=cosA= cosa 2 6 ，tanA=6,taB-a,(2o2or8 c tang 1 5 即学即用 即学即用 4.沪科九上教材P116I6变式在Rt△ABC中， 1.(2024一2025潜山期未)如图，A,B,C是 由小正方形组成的网格中的格点（小正方 ∠C-90,4-则an4= 形的顶点)，则sin∠ACB的值为( ) 5.如图，△ABC中，∠A= A. c D. 30°，E为AC上一点，且 5 AE:EC=3:1,EF⊥ AB,F为垂足，连接FC, 第5题图 则tan∠CFB的值等于 第1题图 第3题图 考点3解直角三角形的应用(10年10考) 2.在△ABC中，∠B,∠C都是锐角，且 1.仰角和俯角：如图①，当从低处观测高处的目 sinB- +(oC-)'=0,则∠A的 标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角：当 2 从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成 度数为 的锐角称为俯角.(2025T17,2023T19,2018T19) 精解本 157 视线 北30y 4.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一 459 角水线 般过程：①将实际问题抽象为数学问题（画出 角 视线 60B 平面图形，转化为解直角三角形的问题)： 图① 图③ ②根据问题中的条件，适当选用锐角三角函 2.坡度（或坡比）和坡角：如图②，通常把坡面的 数解直角三角形：③得到数学问题的答案； 铅直高度h和水平宽度1的比称为坡度（或 ④得到实际问题的答案.(2024T19,2022T20. h 坡比)，用字母i表示，即=行坡面与水平 2021T17,2020T18.2019T19,2017T17,2016T19) 即学即用 面的夹角叫做坡角，记作。，所以i= h 6.安徽浮山是中国第一文 山，爬山是居民周末娱乐 =tana. 45B 12.4 3.方向角：一般指以观测者的位置为中心，将正 休闲、锻炼身体的方式之 一，如图，某个周末小明 北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向 第6题图 同学从浮山山底沿斜坡AB爬了260m到 线所成的角（一般指锐角），通常表示成北 达B处，紧接着又向上爬了坡角为45的 (南)偏东（西）多少度，方向角的角度值在 0°一90°.如图③，点A,B,C关于点O的方向 山坡90m到达山顶P处.若AB的坡度 为1：2.4，则山顶P处的高度约为 角分别是北偏东30°，南偏东60°，北偏西45 m(结果精确到0.1m,参 (也称西北方向). 考数据：2≈1.414). 重点难点突破 重难点二 解直角三角形 (2)若CD⊥AB,AB=6,∠BAC=45°，∠B= 典例1如右图，在△ABC中，D 75°，求CD,AE的长 是AB边上一点，AE是△ABC 我的解答 的高 (1)若cosB= ,sin∠ACB=亏，BC=14,求 △ABC的面积. 我的解答 158A6己026安徽数学 (3)若BD=2AD,AE=9.sn∠BCD-号，BD 我的解答 =CD,求tan∠CAE的值， 【解题点拨】(3)过，点D作DF⊥BC于点F,证 明△BDFn△BAE,得出DF的长，再由 Sn∠BCD=,BD=CD,得到BD的长，从 而得到AB的长，再由勾股定理得到BF,BE 的长，然后得出CE的长，最后求出tan∠CAE 的值即可. 我的解答 安徽考向>(2025淮南二模)榕榕在“测量 教学楼高度”的课题中，设计并实施了以下 方案： 课题 测量教学楼高度 图示 学 。 B 测得数据CD=6.9m,∠ACG=22°，∠BCG=13 sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈ 参考数据0.40，sinl3°≈0.22，cos13°≈0.97，tanl3° ≈0.23 请你依据此方案，求教学楼的高度（结果保留 重难点已 解直角三角形的实际应用 整数). 典例2学生到工厂开展实践 活动，学习制作机械零件.某 1539 零件的截面如右图所示，通过B口 45>C 测量可知，AB⊥BC,BC=5cm,CD= 2厄cm,∠C=45°，∠D=153°.求该零件的截 面面积（结果精确到0.1cm°，参考数据：sinl8 ≈0.31，c0s18°≈0.95，tan18°≈0.32,5≈ 1.73,2≈1.41). 精解本 159