第四单元 第5讲 相似三角形-【学海风暴·PK中考】2026安徽中考数学备考精解本

第5讲相似三角形 中考考点讲练 考点1 比例线段 2.（2025合肥庐江模拟)安徽省建 省于清朝康熙六年（公元1667 在四条线段a,b,c,d中，如采a与b的比等于 年)，省名取当时安庆、徽州两 定义 c与d的比，即公-行，哪么这四奈线设ab 府首字合成.如图，这是“安” 第2题国 c,d叫做成比例线段，简称比例线段 字在正方形米字格中的书写形态，已知 正方形ABCD的边长为2cm,笔画横钩 a c (D暴本性质：后-7白ad=c(d≠0). “一”与正方形对角线交于点E,E为线 (2)合比性质：方=79b ca士b_C(d≠0). 段BD的黄金分割点，DE<BE,则DE 性质 的长为 cm(结果保 (3)等比性质：方=a =…= (bd…n≠0. 留根号) 且b十d十…十n≠0) a十e+…十m_a b十d+…十n b 考点2 相似三角形(10年8考) 一般地，点C把线较AB分成两条线段AC和 (2024T22,2022T14.2021T23,2020T23,2019T7,T23, 2017T23,2016T8) BC(如下图).如果是=，那么称线段AB 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫 被点C黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割 黄金 定义 做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做 分割 点，AC与AB的比叫做黄金比，即 AC 相似比 AB 5-1 0.618 (1)性质1：相似三角形的对应角相等，对应 边成比例. C B (2)性质2：相似三角形对应高的比、对应中线 性质 的比和对应角平分线的比都等于相似比 (1)基本事实：两条直线被一组平行线所截， 平行线 (3)性质3：相似三角形周长的比等于相似 所得的对应线段成比例. 分线段 比，面积的比等于相似比的平方 (2)推论：平行于三角形一边的直线，戴其他 成比例 两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例 (1)两角分别相等的两个三角形 相似. 即争即用 一般 (2)两边成比例且夹角相等的两个 1,如图，已知C是线段AB的黄金分割点（其 三角形 三角形相似。 中AC>BC),AB=4,则线段BC的大小 (3)三边成比例的两个三角形相似 是 判定 B (1)一对锐角相等的两直角三角形 第1题图 直角 相似 A.5-1 B.25-2 三角形 (2)两边成比例的两直角三角形 C.3-5 D.6-25 相似 精解本 153 续表 A.CE∥AD (1)有平行裁线一 用平行线的性质找等角 B.BD=AD (2)有一对等角，找 另一对等角 该角的两边对应成比例 C.∠ABE=∠CBE 判定 夹角相等 D.BO·AE=AO·BC 三角 有两边对应 (3) 第三边也对应成比例 形相 成比例，找 似的 ·对直角 一对锐角相等 思路 (4)直角三角形，找 两组边对应成比例 顶角相等 (5)等腰三角形，找 一对底角相等 第4题图 第5题图 5.如图，D,E分别是△ABC的边AB,BC (1)“平行线型”的相似三角形（有“A型”与 “8字型”，如图) 上的点，DE∥AC.若S△sDE:S△cDE=2: 3,则S△pE:S△Aor (2)“斜交型”的相似三角形（需满足∠1 考点3 相似多边形 ∠2，有“反A共角型”“反A共角共边型”与 相似 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相 “蝶型”，如图) 定义 三角 似多边形相似多边形对应边的比叫做相似比 形的 (1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 基本 性质 (2)相似多边形对应边的比、周长的比等于相似 类型 (3)“垂直型”的相似三角形〔有“双垂直共角 比，面积的比等于相似比的平方 型”“双垂直共角共边型（也称·射影定理 型)”与“三垂直型”，如图门 即学即用 6.如图，四边形ABCD四边形A'B'C'D', AB⊥BC,∠A=80°，∠D'=55°，则∠C 的度数为 ( A.125 B.135° C.115° D.120 即学即用 3.已知△ABC∽△A'B'C',若△ABC的三 边长分别为1，，2，△A'B'C的其中两 边长分别为2和6，则△A'B'C'的第三边 第6题图 第7题图 长为 ( 7.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=10.将 A.2 B.2 c.2 矩形ABCD分成矩形ABNM和矩形 4.如图，D是△ABC内一点，点E在线段 CDMN. (1)若矩形CDMN与矩形ABCD相似，则 BD的延长线上，BE与AC交于点O,分 DM的长是 别连接AD,AE,CE.知果品 AE AC (2)若矩形ABNM与矩形CDMN相似 D BC,那么下列结论正确的是 (两矩形全等的情况除外)，则DM的长是 154 A4己0己6安徽数学 重点难点突破 重难点一 相似三角形的判定与性质 的面积为12，则△ADE的面积为 典例1一图多变在△ABC中，点D,E分别 在边AB,AC所在的直线上，连接DE (1)如图①，在△ABC中，点D,E 分别在边AB,AC上，∠AED= 图⑥ 图⑦ ∠ABC.若AD=2,BD=4,AE= (7)如图⑦，点D在AB的反向延长线上，AD 3,则CE的长为 ( ) 图① A.4 B.3 =a,AB=b,AE=c,AC=d,则S△E C.2 D.1 (如图②，若裙怨-方·且△ADE的面 我的解答 积为9，则DE：BC= ,四边形 BCED的面积为 图② 图③ (3)如图③，已知DE∥BC. ①若AD=2,AB=5,AC=10,则AE= ,S△ADE:S△4Bc @若品-号，DE=6,则BC 2 (4)如图④，已知∠AED=∠B,AB=2AE,BC= 6,∠A=58°，∠AED=40°，则∠ACB的度数为 ,DE的长为 图④ 图⑤ 安徽考向>(2024一2025蚌 (5)如图⑤，AC⊥BC,ED⊥AB,BC=8,AC 埠五河期末)如右图，△ABC =6,AE=5. 是等边三角形，被一矩形所 ①求AD的长： 截，AB被截成三等份，EH∥ ②求四边形BCED的面积. BC.若图中阴影部分的面积是18，则四边形 (6)如图⑥，点D,E分别在边AB,AC的反向 BCGF的面积为 ( 延长线上，且DE∥BC.已知AE=3,AC=6, A.46 B.40 C.36 D.30 AD=4,则AB的长为 .若△ABC 精解本 155 重难点已与相似有关的计算 (2)设点P移动的路程为x. 典例2如图①、图②，在△ABC中，AB=AC ①当x=5时，求CQ的长； =5,BC=8,点M,N分别在AB,BC上，且 ②当PQ与△ABC的边平行时，请求出x的 AM=CN=2.点P从点M出发沿折线MB一 取值范围。 BN匀速移动，到达点N时停止：而点Q在边 【解题点拨】(2)①根据∠APC=∠B十∠BAP AC上随点P移动，且始终保持∠APQ =∠APQ+∠CPQ,∠APQ=∠B得到∠BAP =∠CPQ,再由AB=AC得到∠B=∠C,即可 =∠B. 得到△ABP∽△PCQ,再由相似比即可得到答 案：②分点P在AB上，点P在BC上两种情况 讨论.当，点P在BC上时，根据题意易得△ABP 图① ② ∽△CBA,通过相似比求出BP的长即可得到 (1)若点P在MB上 答案。 ①求证铝光， 我的解答 ②当PQ将△ABC的面积分成上下4：5两 部分时，求MP的长 【解题点拨】(1)①根据∠APQ=∠B,可得PQ ∥BC,再由平行线分线段成比例即可得到结论： ②根据△APQ与四边形PBCQ的面积比是 4：5,可得△APQ与△ABC的面积比是4：9， 再求得△APQ△ABC,从而得 A AB的比 值，再利用MP=AP一AM即可求出结果. 我的解答 安徽考向如右图，在矩形 ABCD中，点E在BC上.将 △ABE沿AE翻折得到△AFE, 点B的对应点F恰好落在线段 DE上，线段AF的延长线交CD于点G.已知 AF BE:CE-3:2,则C的值为 156A心己0已6安徽数学由折叠的性质，得C'D=CD,AC'=AC=1O. 可分两种情况讨论： ①如图①，当∠C'DE=90时，过点C'作C'F⊥AB交AB白 延长线于点F,则四边形BDCF为矩形. 设CD=C'D=x(x>0),则AF=6+x,FC'=BD=8-x 在Rt△AFC中，AF+FC=AC,即(6+x)+(8一x =10, 解得x1=2,x2=0(不符合题意，舍去)，.CD=2: ②如图②，当∠CED=90时，点B与点E重合. AC‘=10,AB=6..C'B=4. 设CD-C‘D=x(x>0),则BD=8一x 在Rt△BDC中，C'D-BD+C'B, 即x2=(8一x)2十4，解得x=5,∴.CD=5 综上所述，CD的长为2或5. B(E) 安辙考向 0 第5讲相似三角形 即学即用 1.D2.(32-/10)3.B4.D5.4:256.B 7.(1)1.6(2)2或8 重点难点突破 【典例1】 解：(1)D(2)11372(3)①44：25②15 (4)82°3 (5)①，AC⊥BC,ED⊥AB, ,.∠ADE=∠C=90 :∠A=∠A△ADEACB.浩0 在R1△ABC中，AC=6.BC=8,.AB=G+8=10. 又AE=5音0AD=3 ②在Rt△ADE中.AE=5,AD=3. DE=-3=4,Sae=z×3X4=6. 又SAm=zX6X8=24 Sm由mD=24一6=18. (683(7始 安微考向 D 【典例2】 解：(1)①证明：：点P在MB上∠APQ=∠B, 0/c岩-是 ②PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分， S 4 S△四=4 'PQ/BC,品△APQO△ABC.A-2, :AB=5,∴AP=3 10 :AM=2MP=AP-AM=子 (2)①当x=5时，点P在BC上，且BP=2十5一5=2 46 。心己0己6安徽数学 ∴.PC=BC-BP=6 :∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠CPQ.∠APQ =∠B. ∴.∠BAP=∠CPQ :AB=AC.∠B=∠C.∴△ABP∽△PCQ, 提器师音忌c0号 52 ②当点P在AB上时，此时PQ∥BC, .0≤x<3: 当点P在BC上，PQ∥AB时，此时∠BAP=∠APQ. AB=AC.·∠B=∠C. 又'∠APQ=∠B,∴∠BAP=∠C,·△ABP∽△CBA, 温器博-g即-晋-3+答-号 .5 BP 综上所述，当PQ与△ABC的边平行时.x的取值范围为0 ≤x<3或x=8 9 安微考向 第6讲解直角三角形及其应用 即学即用 1A253号4是59 6.163.6 重点难点突破 【典例1】 解：D:AE是△ABC的高coB=E=夏 AB 2 sACB是-号AB=FnE.AC=号AE, ∴AE=AB-BE=BE,EC=AC-AE=子AE, 六BC=BE+EC=子AE=14,∴AE=6, Sm=2BC·AB=X14X6=42. (2)如图①，过点B作BF⊥AC于点F,∴∠AFB=90. ∠BAC-45,∴∠ABF=45, i∠BAC=m∠ABF号器-铝-号 AB=6.BF=AF=3反. ∠ABC=75.∴∠FBC=30. ios∠FBC BF√3 -2CF- ∴AC=AF+CF=3E+6, 5am=AC,BF=号×aF+5)x3E=9+3厅， 2ABCD=BC·AE=9+3万. 即宁×8CD-×26AE-9+35 CD-3+万AE36+3E 2 图②