第四单元 第4讲 等腰三角形与直角三角形-【学海风暴·PK中考】2026安徽中考数学备考精解本

第4讲等腰三角形与直角三角形 中考考点讲练 考点1 等腰三角形的性质与判定(10年2考) 考点2 直角三角形的性质与判定(10年4考) 概念 有一个角为直角的三角形叫做直角三角形 联系、对比、迁移 A 等腰三角形 等边三角形 图示 (1)等腰三角形两腰相等，两底角相等襄慧等 边三角形三条边相等，三个角相等（每个角都 (1)两锐角之和等于90°，即∠A+∠B 性质 =90° 为60). (2025 (2)斜边上的中线等于针边的一半，即CD (2)等腰三角形“三线合一”（顶角的平分线、 T6, 性质 = (2024 2022 底边上的中线和底边上的高互相重合)粤 T7, (3)30°角所对的直角边等于斜边的一半， T10) 对于等边三角形同样适用， 2022 反之·在直角三角形中，如果一条直角边等 (3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴 T19 于斜边的一半，那么这条直角边所对的角 对些等边三角形有三条对称轴 2021 等于30 T10, (4)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边 (1)两边相等的三角形廷号三边相等的三 2018 长分别为ab,斜边长为c,那么a2十b2=c2 角形 T23) 判定 (6)常见的结论：外接圈半径R=气，内切 (2)两个角相等的三角形进费三个角相等的 圆半径r= 三角形托蔡有一个角是60°的等腰三角形 2(a+b-c) 面积 之ah,S= (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形， (2)勾股定理的逆定理：如果一个三角形的 即学即用 三边长a,b,c满足a+b2=c,那么这个 1.(2025宿州萧县一模)如图，在△ABC中， 判定 三角形是直角三角形 AB=BC,DE垂直平分BC,CD平分 (3)有一条边的中线等于这条边的一半的 三角形是直角三角形 ∠ACB,则∠B的度数为 () (4)有两个角互余的三角形是直角三角形 A.25 B.30° C.35° D.36 周长 周长：C=a十b十c. 和面积 面积：S△AB= D 即学即用 第1题图 第2题图 2.如图，△ABC中，AB=8,AC=6,∠ABC 3.下列条件：①∠A十∠B=∠C:②∠A: 和∠ACB的平分线交于点P,过点P作 ∠B:∠C=1:2:3:③∠A=90°-∠B: DE∥BC分别交AB,AC于点D,E,则 ④∠A=∠B=2∠C:⑤∠A=2∠B= △ADE的周长为 3∠C.其中能确定△ABC是直角三角形 A.不能确定 B.10 的有 ( C.12 D.14 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 精解本 149 续表 4.如图，在△ABC中，AB= (3)有一个角为45°的直角三角形是等腰直 AC,∠BAC=120°，过点 B D 角三角形， A作AB的垂线交BC于 第4题图 判定 (4)两直角边相等的直角三角形是等腰直角 点D,BD=4,则CD的长为 三角形 考点3 等腰直角三角形的性质与判定(10年 周长 周长：C=2a+c=(2+√2)a=(1+2)c. 和 2考) 面积：S= -h- 1 面积 有一个角是直角，且两条直角边相等的三角 概念 形叫做等腰直角三角形 即学即用 5.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD 图示 平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点 E.若AB=6cm,则△DEB的周长为 (1)具有直角三角形的所有性质。 (2)两直角边相等，即AC=BC. A.40 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 性质 (3)两锐角相等且都等于45. (2022 (4)是轴对称图形，有一条对称轴，即高CD T14) 所在的直线. (5)“三线合一” 第5题图 第6题图 (1)顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三 6.如图，在△ABC和△ADB中，∠ABC 判定 角形 ∠ADB=90°，DA=DB,连接CD.若BC (2025T (2)有两个角为45°的三角形是等腰直角三 =3,AC=5,则△BCD的面积为 22(2) 角形 重点难点突破 重难点一 等腰三角形的性质与判定 典例①已知在△ABC中，AB=AC.请回答下 列问题： (1)若∠A=40°，则∠B= :若∠A= 图①D 60°，则△ABC是 三角形（按边分类）. (4)如图②，△ABC中，BD平分∠ABC交AC (2)若∠B=70°，以点C为圆心，CA的长为半 于点G,DM∥BC交∠ABC的外角平分线于 径作弧，交直线BC于点P,连接AP,则 点M,分别交AB,AC于点F,E.下列结论： ∠BAP的度数为 ①S△ABG:S△BG=AB:BC;②FD=EC: (3)如图①，过点A作AD⊥BC于点D.若BC ③EC=EF+DG:④CE=2MD.其中正确的 =6,∠BAD=30°，则△ABC的面积为 是 (填序号). (5)如图③，BD,CE分别平分∠ABC, 1504己026安徽数学 ∠ACB.若∠A=36°，求： 线段AC,BC的延长线上时.再根据等腰三角 ①当CD=5时，BE的长； 形的判定及性质得出结论即可. ②当AD=5+1时，BE的长. 我的解答 图3 (6)如图④，若∠CAB=90°，AD为斜边上的 高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与 两腰分别相交于点E,F,连接EF与AD相交 于点G.求证：∠AED=∠AGF. (7)若AB≠BC,∠A的平分线AO与△ABC 的外角平分线BO交于点O,过点O作OE∥ AB交直线AC于点E,交直线BC于点F.试猜 想EF,AE,BF之间的关系，并说明理由， 【解题点拨】(1)根据等腰三角形的性质及等边 三角形的判定即可推出答案；(2)根据等腰三 角形的性质得出△ABC各内角的关系，然后 根据题意画出图形，再分类讨论求出∠BAP 的度数即可；(3)根据等腰三角形“三线合一” 的性质及等边三角形的判定与性质即可得出 结果；(4)由角平分线的性质可得△ABG与 △BCG的高相等，从而得出S△AG:S△G= AB:BC.根据等角对等边可以得出FM=FB =FD,再由平行线分线段成比例可以得出FB 安徵考向(2024一2025巢 =CE,从而得出FD=EC,CE=MD.根据 湖期未)如右图，AD,BE分 别为△ABC的高线和角平分 现有条件无法得到DE=DG,因此无法判断 线，AF⊥BE于点F.若AC=B D EC=EF十DG;(5)根据等腰三角形的性质、 BC,∠C=40°，则∠EAF的度数为 角平分线的定义得出BC=BD,CD=CE= A.10 B.15° C.20° D.25 BE,证明△CDE∽△BDC,根据相似三角形 的性质列出比例式即可求解：(6)由已知条件 重难点日 与直角三角形有关的计算 可得△AED≌△CFD,再利用等腰直角三角 典例2一题多设间已知在Rt△ABC中，∠B 形的性质得出∠FED=45°，从而再利用外角 =90°.请回答下列问题： 的性质可得出∠AED与∠AGF的关系； (1)如图①，直线DE是AC的垂直平分线，点 (7)根据题意画出图形，分类讨论：①当点E,F E在BC上，∠BAE：∠BAC=1:5,则∠C 分别在线段AC,BC上时：②当点E,F分别在 的度数为 精解本151 ∠BMH=45°，从而可得△BHM是等腰直角 三角形，即可解答；(4)分DE∥AB和DE∥BC 两种情况，然后由折叠的性质以及平行线的性 图① 图2 质推出结果即可；(5)当△DEC为直角三角 (2)如图②，BD是Rt△ABC斜边AC上的中 形，且直角顶点不确定时，需分情况讨论，然后 线，AB=6,BC=8.已知P是BC上一个动 根据翻折的性质及勾股定理即可求解 点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为 我的解答 E,F,则PE十PF的值是 (3)如图③，若∠A=30°，∠ACB的平分线CE 交AB于点E,D为AC上一点，且AD=AB, BD与CE交于点M,BH⊥CE于点H.若 AC=16,则MH的长为 图③ 图④ (4)如图④，∠C=30°，D是AC边上一动点， 把△ABD沿直线BD折叠，点A落在点E 处.当ED平行于Rt△ABC的直角边时， ∠ADB的度数为 (5)如图⑤，若AB=6,BC= 8,点D在BC边上.将△ACD 沿直线AD折叠得到△ACD, 图⑤ AC'与边BC交于点E.若△DEC'为直角三角 形，求CD的长 【解题点拨】(1)根据线段垂直平分线得到AE =CE.推出∠EAC=∠C.设∠BAE=x, 安徽考向>如右图，点A, ∠BAC=5x,利用直角三角形的性质得到 B,C,D顺次在直线m上， ∠BAC+∠C=5.x+4x=90°，由此即可得出 AC=a,BD=b,以BD为边 结采；(2)连接DP,先利用勾股定理可求出 向上作等边三角形BDE,以AC为底边向下作 AC的长，然后利用直角三角形斜边上的中线 等腰直角三角形ACF,若CD的长度变化时， 性质可得BD=CD=AD,从而可得S△BC= △CDF与△ABE的面积差S始终保持不变， 1 SAABD=2S△AC,最后根据S△mP十SAcpr 则a,b满足 () S△Bc,进行计算即可解答；(3)先利用含30°角 A.a=b 的直角三角形的性质可得BH的长，然后根据 等腰三角形的性质及对顶角相等可得出 C.a=/2b D.a=√5b 152A。己026安徽数学(3)CD=OA+OD或OAOD+CD (4DCF=乞AE.理由如下： 如图①，延长CF与AB,相交于点G, ∴.∠ABE=∠CBG=90°， ,∠BCG+∠G=90° CF⊥x轴， ∴.∠GAF+∠G=90°.∴.∠GAF=∠BCG BA=BC,.△ABE≌△CBG(ASA),.AE=CG x轴平分∠BAC,CF⊥x轴，∴.CF=GF, .CF-CG-TAE. 1 (5)BP的长度不变. 如图②，过点C作CE⊥y轴于点E :∠ABC=90°.·.∠CBE+∠ABO=90 :∠BAO+∠ABO=90°，·.∠CBE =∠BAO. ∠BEC=∠AOB=90°.BC=AB ∴.△CBE2△BAO(AAS). ÷.CE=BO,BE=AO=4. BD=BO,∴.CE=DB. ∠CEP=∠DBP=90°，∠CPE=∠DPB, ∴.△CPE2△DPB(AAS), BP-EP-7BE-2. 【解析】(1)如图③，过点C作CH⊥y轴于点H, ∴，∠BHC=∠AOB=90°. A(-3.0),B(0,1),(0A=3.0B=1 :△ABC是等腰直角三角形，BC=AB, ∴.∠ABC=90°， ·∠ABO+∠CBH=90° ∠AB0+∠BA0-90°. ·∠CBH=∠BAO, .△BCH2△ABO(AAS). .HC=OB=1.HB=OA=3,.OH=OB+HB=4. C(-1,4 安徽考向 解：(I)∠BAE十∠FAD=∠EAF (2)(1)中结论仍然成立，理由如下 如图①，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG. ∠B+∠ADF=180°，∠ADG+ ∠ADF=180, .∠B=∠ADG 又，AB=AD, .△ABE≌△ADG(SAS), ∴.∠BAE=∠DAG,AE=AG EF=BE+FD=DG+FD=GF. 图① AF=AF. .△AEF≌△AGF(SSS),.∠EAF=∠GAF=∠DAG+ ∠FAD=∠BAE+∠FAD. 【解析】(1)如图②，延长FD到点G,使DG =BE,连接AG. ,∠B=∠ADC=90°， .∠ADG=∠B=90° .BE-DG.AB-AD. ∴.△ABE2△ADG(SAS). ∴.∠BAE=∠DAG.AE=AG .EF=BE+FD.DG=BE. ∴，EF=DG+FD=GF 又：AE=AG,AF=AF '.△AEF≌△AGF(SSS). ∴.∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠FAD=∠BAE+∠FAD. 第4讲等腰三角形与直角三角形 即学即用 1.D2.D3.B4.25.B6.3 重点难点突破 【典例1】 解：(1)70°等边(2)15或75(3)93(4)①②① (5)①，∠A=36,AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB=72 :BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB, '.∠ABE=∠CBE=∠BCE=∠DCE=36°， .∠DEC=∠BDC=72°， .BE=CE=CD=5. ②由①，得∠DCE=∠DBC '∠CDE=∠BDC, CD DE ÷△CDEO△BDC,D-D元 :∠A=∠ABE=36, .BD=AD=5+1. 设CD=x,则BE=x,. 5+1-x 5+1 解得x一2（负值已舍去）.经检验江=2是原分式方程的解。 '.BE=2 (6)证明：，AB=AC,∠CAB=90°，AD⊥BC, .CD=AD=BD,∠C=∠EAD=45 DE⊥DF,∴.∠EDF=∠ADC=90°. ∴.∠ADE=∠CDF. 在△AED与△CFD中 I∠ADE=∠CDF, AD-CD. ∠EAD=∠C ∴.△AED≌△CFD(ASA). ..DE=DF. .∠FED=45, ∴.∠AED=∠AEF十∠FED=45°+∠AEF 又，∠AGF=∠BAD+∠AEF=45+∠AEF, .∠AED=∠AGF (7)EF=AE-BF或EF-BF一AE.理由如下： 分两种情况讨论： ①如图①，当点E,F分别在线段AC,BC上时 AO,BO分别平分∠CAB,∠CBD, ∴.∠CAO=∠0AB,∠CBO=∠OBD OE∥AB ∴.∠EOA=∠OAB=∠CAO,∠FOB=∠OBD=∠CBO. ∴，△AEO,△BFO均是等腰三角形， ∴.AE=(OE,BF=OF ..EF=OE-OF=AE-BF: 图① 图② ②如图②，当点E,F分别在线段AC,BC的延长线上时 同理可得△AEO,△BFO均是等腰三角形， ..AE=OE.BF=OF. ∴.EF=OF-OE=BF-AE 综上所述，EF=AE一BF或EF=BF一AE 安徽考向 B 【典例2】 解：(1)40°(2)4.8(3)4(4)60或105 (5)AB=6,BC=8,∠B=90°， ..AC=AB+BC=10. 梦考答案 45 由折叠的性质，得C'D=CD,AC'=AC=1O. 可分两种情况讨论： ①如图①，当∠C'DE=90时，过点C'作C'F⊥AB交AB白 延长线于点F,则四边形BDCF为矩形. 设CD=C'D=x(x>0),则AF=6+x,FC'=BD=8-x 在Rt△AFC中，AF+FC=AC,即(6+x)+(8一x =10, 解得x1=2,x2=0(不符合题意，舍去)，.CD=2: ②如图②，当∠CED=90时，点B与点E重合. AC‘=10,AB=6..C'B=4. 设CD-C‘D=x(x>0),则BD=8一x 在Rt△BDC中，C'D-BD+C'B, 即x2=(8一x)2十4，解得x=5,∴.CD=5 综上所述，CD的长为2或5. B(E) 安辙考向 0 第5讲相似三角形 即学即用 1.D2.(32-/10)3.B4.D5.4:256.B 7.(1)1.6(2)2或8 重点难点突破 【典例1】 解：(1)D(2)11372(3)①44：25②15 (4)82°3 (5)①，AC⊥BC,ED⊥AB, ,.∠ADE=∠C=90 :∠A=∠A△ADEACB.浩0 在R1△ABC中，AC=6.BC=8,.AB=G+8=10. 又AE=5音0AD=3 ②在Rt△ADE中.AE=5,AD=3. DE=-3=4,Sae=z×3X4=6. 又SAm=zX6X8=24 Sm由mD=24一6=18. (683(7始 安微考向 D 【典例2】 解：(1)①证明：：点P在MB上∠APQ=∠B, 0/c岩-是 ②PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分， S 4 S△四=4 'PQ/BC,品△APQO△ABC.A-2, :AB=5,∴AP=3 10 :AM=2MP=AP-AM=子 (2)①当x=5时，点P在BC上，且BP=2十5一5=2 46 。心己0己6安徽数学 ∴.PC=BC-BP=6 :∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠CPQ.∠APQ =∠B. ∴.∠BAP=∠CPQ :AB=AC.∠B=∠C.∴△ABP∽△PCQ, 提器师音忌c0号 52 ②当点P在AB上时，此时PQ∥BC, .0≤x<3: 当点P在BC上，PQ∥AB时，此时∠BAP=∠APQ. AB=AC.·∠B=∠C. 又'∠APQ=∠B,∴∠BAP=∠C,·△ABP∽△CBA, 温器博-g即-晋-3+答-号 .5 BP 综上所述，当PQ与△ABC的边平行时.x的取值范围为0 ≤x<3或x=8 9 安微考向 第6讲解直角三角形及其应用 即学即用 1A253号4是59 6.163.6 重点难点突破 【典例1】 解：D:AE是△ABC的高coB=E=夏 AB 2 sACB是-号AB=FnE.AC=号AE, ∴AE=AB-BE=BE,EC=AC-AE=子AE, 六BC=BE+EC=子AE=14,∴AE=6, Sm=2BC·AB=X14X6=42. (2)如图①，过点B作BF⊥AC于点F,∴∠AFB=90. ∠BAC-45,∴∠ABF=45, i∠BAC=m∠ABF号器-铝-号 AB=6.BF=AF=3反. ∠ABC=75.∴∠FBC=30. ios∠FBC BF√3 -2CF- ∴AC=AF+CF=3E+6, 5am=AC,BF=号×aF+5)x3E=9+3厅， 2ABCD=BC·AE=9+3万. 即宁×8CD-×26AE-9+35 CD-3+万AE36+3E 2 图②