第四单元 第1讲 几何初步及相交线、平行线(含命题)-【学海风暴·PK中考】2026安徽中考数学备考精解本

第四单园 三角形 第1讲 几何初步及相交线、平行线（含命题）】 中考考点讲练 考点1 直线、射线、线段 2.新定义题(2024一2025安庆太湖期末)已知 线段AB,P是直线AB上一点，直线上共 直线 基本 经过两点有且只有一条直线，简述为 事实 两点确定一条直线 有3条线段：AB,PA和PB.若其中有一 条线段的长度是另一条线段长度的两倍， 射线 将线段向一个方向无限延长就形成了射线. 则称点P是线段AB的“中南点”，线段 射线有一个端点 AB的“中南点”的个数是 ( 直线上的两个点和它们之间的部分叫 定义 A.9 B.6 C.8 D.3 做线段.线段有两个瑞点 3.以下说法：①一个点就能确定一条直线： 基本 两点之间的所有连线中，线较最短，简 ②两点之间直线最短：③一条射线的两端 事实 述为两点之间线段最短 都能无限延长：④测量两点之间的线段长 度就能得到两点之间的距离.其中正确的 把一条线段分成相等的两条线 定义 是 (填序号)。 段的点，叫做线段的中点 线段 线段的 考点2角的有关概念及其性质 如下图，若M为线段AB的中 点 1.角的概念：角是由两条具有公共端点的射线组 性质 点，则有AM=BM=AB 成的图形，也可以看成是由一条射线绕着它的 L A M B 端点旋转而成的图形 2.角的分类：角按照大小可以分为周角、平角、 线段 如下图，B是线段AC上的一点，则有 的和 AB=AC-BC.BC=AC-AB.AC 钝角、直角和锐角. 差的 =AB+BC 类别 锐角 直角 钝角 平角 周角 运算 B 0°a 90°<a 两点 度数 a=90 a=180a=360 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的 <909 <1809 间的 距离 距离 3.角的表示：角通常用下图所示的方法来表示 即学即用 1.如图，A,B,C依次为直线L上三点.M为 B△ AB的中点，N为MC的中点，且AB= ∠1 ∠B或∠ABG 6cm,NC=8cm,则BC的长为 ( 4.角平分线 M B N (1)概念：从一个角的顶点引出一条射线，把 第1题园 这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这 A.10 cm B.13 cm 个角的平分线， C.14cm D.16 cm (2)性质：角平分线上的点到这个角的两边 精解本 139 的距离相等 续表 (3)判定：在一个角的内部，到角的两边距离 象 性质 角与角的位置关系 图示 相等的点在这个角的平分线上。 同 5.余角与补角 ∠4与∠5，∠3 与∠6 (1)概念：如果两个角的和是180°，那么称这 角 ∠1与∠5，∠2与 A21 两个角互为补角：如果两个角的和是90°，那 位 34 ∠6，∠3与∠7. 65 么称这两个角互为余角。 角 ∠4与∠8 C 78D (2)性质：同角或等角的余角相等，同角或等 内 ∠4与∠6，∠3 角的补角相等 角 与∠5 即学即用 2.垂线 4.（2024一2025阜阳太和期 两条直线相交所构成的四个角中有一 未)如图，小明将一副三角 个角是直角时，就称这两条直线互相 尺60°角和90°角的顶点A 定义 垂直，其中一条直线叫做另一条直线 叠放在一起，经过实践发 的垂线，它们的交点叫做垂足 D 现，只要三角板ADE的边 第4题图 过直钱外一点，作已知直线的垂线，该 垂线段 点与垂足之间的线段 AD始终在∠BAC的内部，则∠BAE (1)平面内，过一点有且只有一条直线 ∠CAD的度数就是一个定值.这个定值为 性质 与已知直线垂直. (2)直线外一点与直线上各点连接的 A.30 B.45 所有线段中，垂线段最短 点到直 直线外一点到这条直线的垂线段的 C.60 D.无法确定 线的距离 长度 5.如图，OC是∠AOB的平分 D B 3.垂直平分线 线，∠BOD=3∠COD,若 定义 垂直于一条线段，并且平分这条线段 第5题图 的直线，叫做这条线段的垂直平分线 ∠BOD=15°，则∠AOB的 文字语言：线段垂直平 P 度数为 分线上的点到这条线 性质 段两个瑞点的距离 考点3 相交线 (定理) 相等。 PO⊥AB 1.三线八角 几何语言：如上图。 PA-PB OA=OB 称 性质 角与角的位置关系 图示 判定 到一条线段两个端点距离相等的点在 (逆定理) 这条线段的垂直平分线上 ∠1与∠3，∠2与 对 对顶角 即学即用 ∠4，∠5与∠7. 角 相等 6.（2024一2025芜湖期末) ∠6与∠8 A21 如图，直线AB,CD交于 D ∠1和∠3都与∠2， 3 65 点O,OE平分∠AOD 0 必 C 邻补角 ∠4互为邻补角： C 78 若∠1=36°，则∠COE 第6题图 角 互补 ∠5和∠7都与∠6 等于 ∠8互为邻补角 A.72 B.90° C.108° D.144 140 2026安徽 数学 7.人教八上教材P65T6变式如图，在△ABC 10.如图所示的是从玻璃杯底部发出的一束 中，AB的垂直平分线交AB于点D,交 平行光线经过水面折射形成的光线示意 BC于点E.若BC=6,AC=3,则△ACE 图，水面与玻璃杯的底部平行.若∠3= 的周长为 45°，∠4=64°，则∠1+∠2的大小是 A.8 B.9 C.6 D.12 考点5 定义、命题、公理、证明、定理和反 证法(10年2考) M A B C D N 第7题图 第8题图 对名称和术语的含义加以描述，作出明确 定义 8.如图，点P到一条笔直的公路MN共有四条 的规定，也就是给出它们的定义 路径.若用相同的速度从点P走到公路，最 判断一件事情的句子，叫做命题.每个 命题 快到达的路径是选择沿线段PB去公路.这 命题都由条件和结论两部分组成 选择用到的数学知识是 真命题 正确的命题称为真命题 (2020T9) 考点4 平行线的性质与判定(10年2考) 假命题 不正确的命题称为假命题 平行线的在同一平面内，不相交的两条直线叫做平 在两个命题中，如采第一个命题的条件 概念 行线 互逆命题 是第二个命题的结论，第一个命题的结 (2019T12) 过直线外一点有且只有一条直线与这条 论是第二个命题的条件，那么这两个命 平行公理 直线平行 题称为互逆命题 平行公理 平行于同一条直线的两条直线平行，即如 公认的真命题称为公理，除了公理外， 的推论 果ab.cb.那么a 公理 其他命题的真假都需要通过演绎推理 平行线的 同位角相等，两直线平行：内错角相等，两直 的方法进行判断 判定 线平行：同旁内角互补，两直线平行 证明 演绎推理的过程称为证明 平行线的 性质 两直线平行，同位角相等：两直线平行，内 定理 经过证明的真命题称为定理 (2021T5. 错角相等：两直线平行，同旁内角互补 在证明时，先假设命题的结论不成立，然 2017T6) 后推导出与定义，基本事实、已有定理或 即学即用 反证法 已知条件相矛盾的结采，从而证明命题的 9.如图，在下列给出的条件中，可以判定AB 结论一定成立，这种证明方法称为反证法 CD的有 ( 即争即用 ①∠DAC=∠BAC;②∠1=∠3：③∠2= 11.下列命题中，真命题的个数是 ∠4：④∠DAB+∠ABC=180°：⑤∠BAD ①对顶角相等：②两直线平行，同旁内角 +∠ADC=180°. 相等：③平行于同一条直线的两条直线平 A.①②③ B.②③④ 行：④若正数a,b满足a2=b2,则a=b. C.②③⑤ D.①④⑤ A.1 B.2 C.3 D.4 12.已知在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠∠C.若用反证法来证明这个结论，可 4 以假设 第9题图 第10题图 精解本 141 重点难点突破 重难点平行线的性质与判定 连接GQ.若∠Q=∠AGP,∠P=∠Q+ 典例一图多变已知：直线EF分别与直线AB, 2∠FGQ,求∠GHP的度数. CD相交于点G,H,并且∠AGE十∠DHE =180°. 我的解答 (1)如图①，AB与CD的位置关系是 图 图 图3 图④ (2)如图②，HP平分∠DHG,GQ平分∠AGH, 则HP与GQ的位置关系是 (3)如图③，若∠DHE=118°，P是射线HC 上一动点，连接GP ①当GP平分∠AGF时，∠GPH= ②当∠HGP=78时，∠GPH= ③当PG⊥EF时，∠GPH= (4)如图④，∠AGH和∠CHG的平分线交于 点P,Q是线段GH的中点，连接PQ. ①GP与HP的位置关系是 ②PQ与AB的位置关系是 (5)一题多解法如图⑤，点P在直线AB,CD之 间，连接GP,HP.求证：∠P=∠AGP 安徽考向如右图，点D在 +∠CHP AC上，点F,G分别在AC,BC 的延长线上，CE平分∠ACB 分别交BD,AB于点O,E,且 ∠EOD+∠OBF=180°，∠F=∠G.图中与 ∠ECB相等的角有 ( 图⑤ 图⑥ A.6个 B.5个 (6)如图⑥，在(5)的条件下，射线GH是 C.4个 D.3个 ∠BGP的平分线，在PH的延长线上取点Q, 142。己0己6安徽数学当x-65时利润最大，最大值是6250. 当降价时.W=(x-40)(-20x+1500)=-20(x-57.5) +6125(40x60) x为正整数， .x=57或x=58时利润最大，最大值为6120. 综上所述，该超市想获得最大周利润，A品牌纯牛奶的销售 价格应为65元. (3)当60≤x≤90时，-10(x一65)：+6250=6000. 解得x1=60,r2=70. ,60≤x≤70. 当40≤x≤60时，一20(x-57.5)+6125=6000. 解得x4=55,x1=60.55≤x≤60. 综上所述，若想每周获得利润不少于6000元，A品牌纯牛 奶售价的范围是55≤x≤70. 第四单元 三角形 第1讲几何初步及相交线、平行线（含命题） 即学即用 1.B2.A3.④4.A5.60°6.C7.B8.垂线段最知 9.C10.161°11.C12.∠B=∠C 重点难点突破 【典例】 解：(1)ABCD(2)HP∥GQ (3)①59°②40°③28 (4)①GP⊥HP②PQ∥AB (5)证明：如图①，过点P作PQ∥AB ……Q 图① :ABCD.∴ABCD∥PQ, .∠GPQ=∠AGP,∠HPQ=∠CHP, ∴.∠GPH=∠GPQ+∠HPQ=∠AGP+∠CHP 仁思多解法 :AB∥CD,.∠AGH+∠CHG=180,即∠AGP+ ∠PGH+∠PHG+∠CHP=18O°. 又，∠P+∠PGH+∠PHG=180, .∠P=∠AGP+∠CHP (6)设∠AGP=2a,∠CHP=B,则∠Q=2a,∠P=2a+A. :射线GH是∠BCP的平分线， ∠FGP=2∠BGP=Z180-LAGP)=gr-a .∠AGH=∠AGP+∠FGP=2a+90°-a=90°+a. 'LP-∠Q+2∠FGQ. 六2a+月=2a+z∠FGQ, ·∠FGQ=2a. 如图②，过点H作HT∥GQ 则∠PHT=∠Q=2a,∠GHT= ∠FGQ=23. ∴.∠GHP=∠PHT+∠GHT=2a +2g,∠CHG=∠CHP+∠PHT+ ∠GHT=3+2a+29=2a+33. AB/CD. ∴.∠AGH+∠CHG=180°， .90+a+2a十33=180°.∴.a+9=30°. .∠GHP=2(a+3)=60 44 4己0己6安徽数学 安徽考向 B 第2讲三角形的有关概念及性质 即学即用 1.D2.20°123°3.44.50°5.9 重点难点突破 【典例】 解：(1)6<BC<1018 (2)> (3)①==>②22 (4)①=>②54°81 ③168 (5)①28°@5：116反 ③三条高AD,BE.CF交于点G, ∴.CF⊥AB,BE⊥AC ∠BAC=45, ∴△AFC与△AEB都是等腰直角三角形. ,AF=8,BF=6. ∴.AB=14,AC=2AF=82, AE-号AB-7E. ∴.CE=AC-AE=82-7=反. '∠CEG=90°，∠ACF=45. .CG=2CE=2. 安徽考向 1.10°2.B 3.解：(1)②③① (2),∠C=56°.∠B=36, ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-36°-56°=88°. :∠BAE=∠CAE.AD⊥BC· ∴∠BAE-∠BAC=宁X8s=4,∠BAD=90-∠B =90°-36=54°， ∠DAE=∠BAD-∠BAE=54°-44=10 (3∠DAE=之（∠C-∠B.理由如下： :在△ABC中，AD.AE分别是△ABC的高线和角平分线， ∠CAB=180°-∠B-∠C. ∴∠CAD=90-∠C∠CE=7(180-∠B-∠C. ÷∠DAE=∠CAE-∠CAD=之(180-∠B-∠C)- 90-∠C0=(∠c-∠B. 第3讲全等三角形 即学即用 1.68°2.483.C4.AC=AE(答案不唯一)5.甲和乙 6.2或3 重点难点突破 【典例】 解：(1)（一1,4） (2)OA=CD十OD.理由如下： CD⊥y轴. ∴.∠BDC=∠AOB=90° ,'BC=AB,∠ABC=90°， ∴∠ABO+∠CBD=90° :∠AB0+∠BAO=90°， .∠CBD=∠BAO, ∴.△BCD≌△ABO(AAS) ..DC=OB.DB=0A. ..0A=DB=OB+OD=CD+OD.