第三单元 第4讲 函数的综合-【学海风暴·PK中考】2026安徽中考数学备考精解本

第4讲 函数的综合 中考考点讲练 考点1一次函数的综合 (2)利用几何图形求反比例函数的解析式： 1.一次函数与几何图形的综合 ①先通过几何图形的面积、边的关系求出点 (1)利用一次函数的图象与一次函数的图象、 的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数 几何图形、两坐标轴的交点来求几何图形的 的解析式：②利用三角形的面积与系数k的 关系，直接得出k的值 面积，常用方法：公式法、割补法、转换法 (2)利用几何图形的面积求一次函数的解析式 即学即用 时，通常先通过几何图形的面积求出点的坐标， 2.如图，A,B是双曲线y= 再利用待定系数法求出一次函数的解析式 (x>0)上的点，A,B两点 2.一次函数与反比例函数、二次函数的综合 的横坐标分别是a,2a,线 0 利用一次函数与反比例函数、二次函数的交 段AB的延长线交x轴于 第2题图 点来解决方程、不等式、三角形、四边形、圆 点C,若S△0x=9.则k的值为 等相关问题 A.2 B.3 C.6 D.9 即学即用 考点3二次函数的综合(10年4考) 1.如图，在平面直角坐标系 二次函数综合题综合了初中代数与几何中非常多 中，直线y= 3x- 的知识点，如方程、不等式、函数、三角形、特殊四 E ABCO的边OC,BC分别交 边形、圆等内容有些又与实际生活相结合，用到 第1题国 于点E,F.已知OA=3,OC=4,则△CEF 的数学思想有化归思想、分类思想、数形结合思想 的面积是 等，解题方法有代入法、消元法、配方法、待定系数 ( 法等.解题时要注意各知识点之间的联系和数学 A.6 B.3 C.12 D.3 思想方法以及解题技巧的灵活运用，要抓住题意， 化整为零，层层深人，逐个击破，从而达到解决问 考点2 反比例函数的综合(10年8考) 题的日的.(2025T23,2023T23,2021T22.2016T22) 1.反比例函数与一次函数的交点(2025T18,2024T6, 即学即用一 2021T19.2020T13,2018T13,2016T20) 3.（2025阜阳模拟)如图，在 (1)交点个数：一次函数与反比例函数的图 平面直角坐标系中，抛物 象的交点个数为0或1或2. (2)求交点的步骤：联立表达式，得方程组→解 线y=一 2x+3 方程组，得交点坐标 与x轴正半轴交于点B, 第3题图 2.反比例函数与几何图形(2023T14,2022T13) 与y轴交于点C,且过点A(一1,2)，连接 (1)利用反比例函数中系数k的几何意义来 AB.AC,BC. 求顶点在反比例函数图象上的三角形的面 (1)点B的坐标为 积时，通常是将所求三角形进行变形，使所 (2)若P是抛物线对称轴上一点，且S△r 求三角形的其中两边分别与两坐标轴平行， 2SP,点P的坐标为 然后由k值直接得出结论 130442026安徽数学 重点难点突破 课题1反比例函数、二次函数与一次函数的综合 重难点一 反比例函数与一次函数的综合 【满分技法】一次函数与反比例函数综合题的 典例1一题多设问如右图，一次 解题通法： 函数y1=k.x十b(k≠0)的图象与 (1)求函数表达式：一般通过其中一个函数表达 式得到交点坐标，再代入另一函数表达式求解 反比例函数y:=”(m≠0)的图 即可.(2)求两函数图象的交点坐标：联立一次 象交于点A(-一2，n),B(6,一1) 函数与反比例函数的表达式，求解即可，(3)求 (1)m的值为 次函数的解析式 三角形的面积：当三角形有一边在坐标轴上或 为 与坐标轴平行时，通常作该边上的高，再利用面 积公式求解；当三边均不在坐标轴上且均不与 (2)观察图象，不等式kx十b>”的解集为 坐标轴平行时，通常采用“S= 2X铅垂高×水 平宽”来求解.(4)比较两函数值的大小，求自变 (3)P(0,a)为y轴上一点.若△APB的面积 量的取值范围：找到交点后结合函数图象解答， 为器则。的值为 安徽考向如下图，已知一次函数y=a.x十 (4)连接OA,在x轴上是否存在一点C,使得 b的图象与反比例函数y=空的图象交于点 OA=CA?若存在，求出点C的坐标；若不存 在，请说明理由， A(1,2),B(一2，n),与y轴相交于点C 【解题点拨】(1)依据题意，先将B(6,一1)代入 (1)求一次函数与反比例函数的解析式。 反比例函数解析式求得m,再将A(一2，n)代 (2)若点D与点C关于x轴对称，求△ABD 入反比例函数解析式求得，最后将点A,B 的面积 的坐标代入一次函数解析式，即可求解；(2)依 (3)根据图象直接写出不等式 据题意，当y:>y2时，即为一次函数图象在反 ax十b<”的解集。 比例函数图象上方时对应的自变量x的取值 范围，结合图象可以求解；(3)依据题意，设直线 AB与y轴交于点D,求出D(0,2),再由SAABP 32 =S△Am+S△o-3,从而求出PD的长，结合 点P在y轴上进而可以求解：(4)设出点C的 坐标，根据两点之间的距离公式求解即可 我的解答 精解本 131 重难点已二次函数与一次函数的综合 一n十2n十3，再利用三角形面积公式得到 典例2如右图，在平面直角坐 S△MNE= 2×(3+10(-n2+2m+3)=-2m2+ 标系中，抛物线y=x2一ax经 4十6，然后根据二次函数的性质解决问题. 过点(5,5)，与x轴正半轴交 我的解答 于点B,顶点为A,直线y= 一2x十3与抛物线相交于点M,N,连接 OA,AB. (1)a的值为 (2)若点C在抛物线上，且S△0wc=2S△o4B,求 点C的坐标. (3)D为x轴上的动点，当an∠ODA=专时， 求OD的长 (4)E为直线MN下方抛物线上的一动点，请 直接写出△MNE面积的最大值， 【解题点拨】(1)将(5,5)代入y=x2一ax求解 即可；(2)先求出△OAB的面积，设点C的坐 标为(m,m2一4m),再根据S△0c=2S△oAB列 出方程，进而求出m的值：(3)过点A作AF x轴于点F,根据1an∠ODA=专可得DF=8. 分两种情况讨论：①当点D在点F左侧时： ②当点D'在点F右侧时，从而得出OD的长 (4)过点E作EG∥y轴交直线MN于点G,设 E(1,n2一4n),则G(n,一21十3)，先表示出EG= 课题2一次函数、反比例函数、二次函数与几何的综合 重难点二 一次函数与几何的综合 点P从点D出发，以每秒1个单位的速度向x 典例1如右图，在平面直角 轴负方向运动，设点P的运动时间为ts 坐标系中，直线y=x+2与 ①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为 x轴、y轴分别交于A,B两 10,求1的值： P Dx ②是否存在1的值，使△ACP为等腰三角形？ 点，与直线y=一 2x+b相 若存在，请求出t的值；若不存在，请说明 交于点C(2,m). 理由 (1)m= ,b= 【解题点拨】(1)把C(2,m)代入y=x十2即可 1 (2)直线y=一2x+6与x轴相交于点D,动 求得m的值.将，点C的坐标代入直线y 1324己026安徽数学 -司+6中即可得出6的值：(2)①先桌出 重难点二 反比例函数与几何的综合 OD,OA的长，从而得到AD的长.过点C作 典例2如右图，一次函数y1 CE⊥AP于点E.用含L的式子表示AP的长， =一x十4的图象与反比例函 由△ACP的面积列出方程，解方程即可：②分 数y2=二(k≠0，x>0)的图 三种情况：当AC=PC时：当AP=AC时：当 象交于A(1,a),B两点. PC=PA时.分别求出t的值即可. (1)求反比例函数的解析式. 我的解答 (2)根据图象，求出当一x十4一 <0时x的 x 取值范围 (3)过线段AB上的动点P,作x轴的垂线，垂 1 足为M,交函数y的图象于点Q.若了 求点P的坐标. 【解题点拨】(1)把A(1,a)代入y1=一x+4 得到点A的坐标，通过待定系数法得到反比例 函数的解析式：(2)求出点B的坐标，根据函数 的图象即可得到结论；(3)设P(a,一a十4)，得 到M(a,0),Q(a,三)，根据题意列方程求出 a,即可求解. 我的解答 精解本 133 重难点目二次函数与几何的综合 安徽考向(2025合肥瑶海区二模)如下 典例3如右图，抛物线y=a.x2+ 图，抛物线y=一x2+bx十6与x轴相交于 b.x十6交x轴于点A(一1,0)和 A,B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交 B(3,0),交y轴于点C. 于点C,且OB=OC,M是抛物线的顶点. (1)求此抛物线的解析式. (1)求二次函数的表达式。 (2)在y轴正半轴上是否存在点N使得 (2)P为线段MB上的一个 △AON与△OBC相似？若存在，请求出点N 动点，过点P作PD⊥x轴于 的坐标；若不存在，请说明理由。 点D.设点P的横坐标为n,ODB (3)若横坐标为m的点P在第一象限内的抛 △PCD的面积为S, 物线上运动，当△PBC的面积最大时，请直接 ①求S与n的函数关系式，并写出自变量n的 写出m的值. 取值范围； 【解题点拨】(1)用待定系数法求函教的解析式 ②求S的最大值. 即可：(2)由题意，得tan∠OBC=2.分两种情 况：当∠NAO=∠OBC时；当∠NAO= ∠OCB时.分别求出点N的坐标即可.(3)过 点P作PQ∥y轴交BC于点Q,可得P(m, 一2m2十4m十6).由B,C两，点的坐标可求得 直线BC的解析式，从而得到，点Q的坐标。 S△P=2PQ·(xB一xc),结合二次函数的 性质，可求得△PBC的面积最大时m的值. 我的解答 1344己026安徽数学第3讲函数与方程（组）、不等式的关系 即学即用 1.B2.D3.x≤44.-4<x<0或x>4 5.C6.(-5,0),(-1,0)7.(1)>(2)a>-1且a≠0 重点难点突破 【典例1】 x=1(2{22 (3).r>1 安徽考向 a1(2)2<k<2 【典例2】 (1).x=2或x=一2(2)k,=4k1(3)0<x<2(4)-9 安微考向 x<一2或0<x<6 【典例3】 解：(1)x1=0.x=4 (2)不等式a.x2+bx+c≤0的解集为0≤x≤4. (3)由题意，得抛物线y=ax十x十c十p与r轴的其中一 个交点坐标为（号，0）小，且对称轴为直线x一2 ∴.抛物线y=ax2十x+C+p与r轴的另一个交点坐标为 (受 设地物线y=a.x2+bx+c十g与x轴的两个交点坐标为 (x1,0),(x2,0) :地物线y=a.x+十br十c与x轴的交点坐标为(0,0)和(4， 0),且0q<p 0<2<4 即方程ax2+x十c+g=0的两个根x1,:的取值范围为 0<2<,<4 安徽考向 第4讲 函数的综合 即学即用 1.B2.C3.1)(3,0) 2(÷.2)(22)】 重点难点突破 课题1 【典例1】 解：1)-6y=-2x+2 (2)x<-2或0<x<6 8)-号或号 14 (4)存在.设点C的坐标为(c,0). 由(1)，得A(-2,3) ,04=CA,∴.(-2-0+(3-0=/(C+2)+(0-3y, 解得c1=一4，c:=0(舍去)， 点C的坐标为（一4,0）. 安徽考向 箭：1)把A1,2代入y=兰.得m=2 2 “反比例函数的解析式为y= 把B(-2,m)代人y-兰，得m=一1. .B(-2,-1). 把点A(1.2).B(-2,-1)代人y=ax+b, 得a十b=2. 1-2a+b=-1. 解得化： .一次函数的解析式为y=x十1. (2)由y=x十1可知点C的坐标为(0,1) :点D与点C关于x轴对称， D(0,-1), .CD=2, ∴56m=S6m+58w=吉×2X1+×2X2-8 (3)根据图象得不等式ar十6<”的解集为r<一2或0<r 1. 【典例2】 解：(1>4 (2)y=x2-4x-(x-2)2-4, ∴.点A的坐标为(2，一4). 令y=x一4.x=0,解得x1=0,x=4. 点B的坐标为(4,0)，.OB=4, ∴Saw-号×4X4-8 设点C的坐标为(m,m一4m). Ssoc-2Somx4.Im-4m1-2X8. 解得m1=25+2,m1=-25+2, ,点C的坐标为(23+2,8)或（一2+2,8）. (3)如图①，过点A作AF⊥x轴，垂足为F, 图① A(2,-4),.AF=4,F(2.0). m∠ODA-宁在R△ADF中，F子 AF ∴.DF=2AF=8. 分两种情况讨论： ①当点D在点F左侧时，OD=DF一OF=6: ②当点D'在点F右侧时，OD'=D'F+OF=10 综上所述，OD的长为6或10. (4)△MNE面积的最大值为8. 【解析】(4)如图②，过点E作EG∥y 轴.交直线MN于点G,连接ME,NE 设E(n,n2一4n》.则G(n.一2n十3)， ·.EG=-2n+3-(n-4n)=-n2+ 2m+3.令x2-4x=-2x+3.解得x =-1.x2=3, .M(-1.5),N(3.-3). Sam=Sam+Sag=号G 图2 rw-G|+2BG·|xN-xa|=2BG·|xw-xx1 合(-r+2x+3X4=-2w+n+6=-20m-y+8, .△MVE面积的最大值为8. 课题2 【典例1】 解：(1)45 梦考答案 41 (2)在y=一方x+5中，当y=0时x=10, .D(10.0) .0D=10. 在y=x+2中，当y=0时，r=-2, .A(-2,0) .(0月=2. ..AD=0A+OD=12. ①由题意可知，PD=1,AP=12一 过点C作CE LAP于点E,如图① :△ACP的面积为10，CE=4, ×4x12-)=10 解得=7. ②存在， 如图①.CE=4,OE=2.OA=2, .AE=OA十OE=4, ∴，AC=AE+CET=42. 当AC=PC时，AP=2AE=8 ∴.PD=AD-AP=4. .1=4 当AP=AC时，过点C作CF⊥AP于点F,如图② t P AO F P D 图② 同理可得，AP,=AP.=AC=4√反 ∴.DP,=12+4E,DP,=12一42 ∴.1=12+4/2或12-42： 当PC=PA时，过点C作CM⊥AP于 点M,如图③. 设MP=m.则CP=√m+4,AP m十4， 六.m+=m+4, O P(M) 解得m=0, 图3 点P与点M重合，AP=4, ∴.PD=8, t=8. 综上所述，存在t的值，使△ACP为等腰三角形，的值为4 或12+42或12一4√2或8. 【典例2】 解：(1)将A(1a)代入一次函数y1=一x十4，得a=一1十4 =3, .A(1,3). 将A1,3)代入反比例函数兰，得8- 解得k=3. 一反比例雨数的解析式为y=三（r>0 r 3 (2):一次函数y1=一x十4的图象与反比例函数y:= (.x>0)的图象交于点B, y=一x+4, 联立，得 新得仁发仁与点A重合：合夫 y=3 B(3,1). 42 一4己0己6安徽数学 戏察图象，得当一x十4<冬时，x的取值范围为0<r<1或 x>3, 即当一x十4一 <0时x的取值范围为0<x<1或x>3. (3)设P(a.-a+4) PM⊥x轴， aMa,0.a(a,2） PQ 1 3 解得a=2, .P(2,2) 【典例3】 解：(1)将A(一1,0)，B(3,0)代入y=ax°+hx+6, 特6中6o 解得化二2 ∴抛物线的解析式为y=一2x十4x十6. (2)存在. 当x=0时，y=6,∴.C(0,6),.0C=6. 巴B(3.0.芯OB=31an∠08C==2,m∠0KCB3 OB 1 00-2 ,'△AON与△OBC相似，∠AON=∠COB=90°， .分以下两种情况讨论： 当∠M0-∠0BC时沿-2.N0=8N0,2 当∠Na0=∠0B时，沿=0N=N( 》 综上所述，点N的坐标为02)或(0，） 3 (3)m= 【解析】(3)过点P作PQ∥y轴交BC于点 Q.如图 设直线BC的解析式为y=x十， 将B(3,0),C(0,6)代人， 得侣二0解得伦-62. ∴直线BC的解析式为y■一2x十6. 点P的横坐标为m, .P(m.一2m2十4m十6》，Q(m,一2m十6)， ∴.PQ=-2m2+6m。 56m=×8×(-2m+6m)=-3(m-号）+ ,-30,0<m<3 ∴当m-兰时，△PBC的面积有数大值 安徽考向 解：(1)：抛物线y=一x+br十6交y轴于点C, ∴.C(0,6). ∴.(OB=O0C=6 ∴.B(6.0). 将B(6.0)代人y=-x+br十6中，得6=5， ·二次函数的表达式为y■一x”十5x+6. (2)①由(1)知二次函数的表达式为y=一x十5x十6. M是抛物线的顶点， ∴M(停)- 由点B,M的坐标，得直线BM的表达式为y=一立+21， P(-zu+21）D(m,0), △PCD的面积为S=2PD·OD=×(-子m十21) ·n=- 7 .21 M(9）B6,0. ②由①知S=一 7 S= 子-+ a=- 7 4 <0m=3满足子<a≤6， S的最大值为吧 第5讲函数的实际应用 即学即用 1.y=5r+125(x>25)2.9003.C4.200 5.46.3.6m 重点难点突破 【典例1】 解：(1)6030 (2)当x>10时，设yz关于r的函数表达式是y2=kx +b. 110k+b=300. 根据题意.得25k+6=480, 解得/=12， b=180 故当x>10时，y2关于x的函数表达式是y乙=12x+180 (3)由题意，得ym=60+30×0.6.x=18.x+60. 当0←x10时，令18.x十60=30.x,得x=5: 当x>10时，令12x+180=18x十60，得x=20. 故由图象可知，当x<5时，选择去乙采摘同更省线：当x=5 时，去甲，乙采摘园一样：当5<x<20时，选择去甲采摘园 更省钱：当x=20时，去甲、乙采摘园一样：当x>20时，选 择去乙采捕园更省钱， 安徽考向 解：(1)设该团队购进A种原型无人机a台，购进B种原型 无人机b台. 根据莲意：得公中.贴1， 解得亿2 故该团队购进A种原型无人机9台，购进B种原型无人机 12台. (2)①每台A种升级无人机的销售标价为0.6×(1十50%) =0.9(万元)，每台B种升级无人机的销售标价为0.8×(1 十50%)=1.2（万元）. 则y1=0.8×0.9x+0.8×1.2(10-x)=-0.24x+9.6, y:=0.9(x-1)+1.2(10-x-1)=-0.3x+9.9, y与x的关系式为y,=-0.24x十9.6，y:与x的关系 式为y:=-0.3x十9.9. @当一0.24x十9.6<-0.3x+9.9时，解得x<5. x为正整数， ∴最多购买A种升级无人机4台。 【典例2】 解：(1)当0≤x<10时，设线段AB所在的直线的解析式为 y:=k:x十20(k:≠0). 把B(10,40)代入，得k,=2, …y1=2.x+20. 当10≤x<25时.y1=40. 当25≤x≤40时， 设C,D所在双曲线的解析式为y,= 把C(25,40)代入.得k=1000, y=1000 y=2x+20(0≤x<10). 故y与工之间的函数关系式为 y=40(10≤xr25). 1000 y 25≤x≤40). (2)当x=5时，y1=2×5+20=30: 当x=30时y1= 1000100 30 3· y1<y, ∴.第30min时学生的注意力更集中 (3)能达到.星由如下： 令y1=36,得36=2.x+20,解得x=8. 令-36，得36-1000 1000 解得xe= 36 =27.8. :27.8-8=19.8>19, ∴，经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲 解完这道题目 【典例3】 解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+ 由图象可知一十名 1k=一20， 解得6=1000， ,.y与x的函数关系式为y=一20x十1000(30≤x≤50). (2)由题意，得P=(x一20)y=(x一20)（一20x+1000)= -20x+1400.x-20000 =-20(x-35)2+4500. .-20<0. ∴.当x=35时，P有最大值，最大值为4500. 即当销售单价为35元时，每天可获得最大利润，最大利润是 4500元. (3)当P=4320时.即4320=-20x2+1400x一20000. 解得x1=32,x2=38. -20<0. 地物线开口向下， .在保证该超市每天利润不低于4320元的情况下，该超市 绿色食品销售单价x的范围为32≤x≤38. 安徽考向 解：(1)根据题意，得涨价时，y=300一10(x一60)=一10x十 900(60x90): 降价时，y=300+20(60-x)=-20.r+1500(40≤x≤60). 综上所述，y与x的函数关系式为y = 一10.x+900(60≤x≤90)， -20x+1500(40≤x60) (2)设每周所获利润为W 当涨价时，W=(x一40)（一10.x+900)=一10(x一65）2十 6250(60≤x90). 参考答案 43