第二单元 第3讲 方程(组)及不等式的实际应用-【学海风暴·PK中考】2026安徽中考数学备考精解本

第3讲 方程（组）及不等式的实际应用 中考考点讲练 考点1一次方程（组）的应用(10年？考) 考点2 分式方程的应用 1.列方程（组）解应用题的一般步骤(2024T17, 1.用分式方程解应用题的一般步骤 2023T16.2022T17,2020T19.2019T17,2018T16,2017T16) 实际 找等量头系 列分 (1)审：理解题意，弄清问题中的已知量是什 设未如数 解方程双检验图 问题 方程 么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关 2.检验：用分式方程解应用题时，检验分为两步， 系是什么.(2)设：设元（未知数），设直接未知 先检验所求的根是否为原分式方程的根，再检 数或间接未知数（往往二者兼用）.(3)列：根据 验方程的根是否符合题意，缺一不可。 题意找出等量关系列方程（组）.(4)解：解方程 3.用分式方程解决实际问题的一般类型 (组).(5)验：检验所得的解是不是方程（组）的 解，并且要检验是否符合题意，不符合要舍去 (1)工程问题：①工作时间= 工作总量 工作效率 (6)答：最后需要作答，注意单位要一致， ②工作效率= 工作总量 2.一次方程（组）常考应用类型及关系式 工作时间 商品利润 类型 重要等量关系 (2)销售问题：①商品利润率= 商品成本价 增长 增长（下降）率= 增（减）量 ×100%, 基数 ×100%:②商品销售量= 商品销售额 (下降) 商品单价 增长（减少）后的数量=基数×[1士 率问题 增长（下降）率] (3)行程问题：①速度 路程 :②时间 路程 售价=标价×折扣，销售颜=售价X销 时间 速度 利润问题 量，利涧=售价一进价，利涧率= 利润 即学即用 成本 2.(2024一2025准南凤台期未)某中学为了 ×100%,利润=成本×利润率 相向 打造书香校园，营造良好的读书氛围，培养 而遇 甲走的路程十乙走的路程=全程 学生良好的阅读习惯，开展“读书好、读好 行程同向 同地不同时：8无粉=$流双 书、好读书”阅读活动.活动开展后，因为 问题追及 同时不同地：5造戏老二8授老十8香地 水中 顺水速度=静水速度十水流速度， “双减”政策的落地实施，学生课外作业量 航行 递水速度=静水速度一水流速度 减少，自主活动时间增加，小明同学实际每 工作量=工作时间X工作效率， 工程问题 周比原计划每周多阅读50页课外书，实际 合作的效率一各单独做的效率之和 阅读400页所需的时间与原计划阅读300 即争即用 页所需时间相同.设实际每周阅读课外书 L.安庆长江铁路大桥，是安徽省境内连接池 x页，则下列方程正确的是 州市与安庆市的过江通道，位于长江水道 400 300 300 400 之上，大桥全长约3000m.现有一列动车 A. B. x-50x x-50 从桥上通过，测得动车从开始上桥到完全 400 300 300 400 C. D. 过桥共用80s,整列动车完全在桥上的时间 x+50 x x+50 是70s.则这列动车长为 ( 3.某市为解决部分市民冬季集中取暖问题，需 A.400mB.300mC.200mD.100m 铺设一条长3000m的管道，为尽量减少施工 精解本 113 对交通造成的影响，实施施工时…设实际 即学即用 每天铺设管道xm,则可列方程3000 4.影视成就影片《哪吒之魔童闹海》让观众感 x-10 受到科技赋能与传统文化展现的非凡魅 3000 =15.根据此情景，题中用“…”表示 力.首日票房约4.87亿，上映仅三天，在中 国内地票房已达15.86亿.设日平均增长 的缺失的条件应为 ( 率为x,则可以列方程为 A.每天比原计划多铺设10m,结果延期 A.4.87(1+2.x)=15.86 15天完成 B.4.87(1十x)2=15.86 B.每天比原计划少铺设10m,结果延期 C.4.87×3(1+x)=15.86 15天完成 D.4.87[1+(1+x)+(1+x)2]=15.86 C.每天比原计划多铺设10m,结果提前 5.吉代数学文化南宋数学家杨辉在他的著作《杨 15天完成 辉算法》中提出这样一个数学问题：直田积八 D.每天比原计划少铺设10m,结果提前 百六十四步，只云长阔共六十步.问长多阔几 15天完成 何.意思是一块矩形地的面积为864平方步， 考点3 一元二次方程的实际应用(10年1考) 已知长与宽的和为60步.问长比宽多几步. 1.步骤：审、设、列、解、验、答。 先求矩形的长，设矩形的长为x步，则可列出 2.常见类型 方程为 (1)增长（或下降）率问题：若基数为a,平均增 考点4一元一次不等式的应用(10年1考) 长（或下降）率为x,则增长（或下降）一次后的 列一元一次不等式解应用题的一般步骤(2025T21) 值为a(1士x),增长（或下降）两次后的值为 (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关 a(1士x)2.(2017T8) 系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键 (2)利润问题 词语，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超 总利润=（售价一成本）×销量。 过”“超过”等.(2)设：设出适当的未知数 (3)面积问题 (3)列：根据题中的不等关系列出不等式 ①如图①，设空白部分的宽为x,则S阳影= (4)解：求出所列不等式的解集，并在解集中 (a-2x)(b-2x); 选出满足题意的解.(5)答：完整写出答语， 即学即用 6.(2024一2025合肥蜀山区月考)推进中国式 现代化需夯实农业基础，振兴乡村.某合作社 图① 图② 图3 发展乡村水果网络销售，购进脐橙1000kg, ②如图②，设阴影部分的宽为x,则S空自 收购价为10元/kg.已知运输和仓储中脐橙 (a-x)(b-x); 质量损失4%，为保证至少获得20%的利润， ③如图③，设阴影部分的宽为x,则S白= 设售价为x元/kg,则可列不等式为 (a-x)(b-x). 常见方法：①平移法；②分块求面积.要注意 重叠部分 114A心己0已6安徽数学 重点难点突破 重难点一 一次方程（组）的实际应用 服务器型号每台所需技术人员/人 每台成本/万元 典例1①原创题某店第1次用39万元购进 A 3 10 A,B两种商品，销售完后获得利润6万元.它 B 5 15 们的进价和售价如下表： 若公司共有技术人员65人，全部参与维护且 商品 A B 每人只负责一种服务器，总投入资金为200万 进价/八元/件】 1200 1000 元，则型号A和型号B服务器的安装数量各 售价/八元/件】 1350 1200 是多少台？ (1)该商场第1次购进A,B两种商品各多 少件？ (2)商场第2次以原进价购进A,B两种商品， 购进A商品的件数不变，而购进B商品的件 数是第1次的2倍，A商品按原售价销售，而 B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使 得第2次销售获得的利润等于36000元，则B 种商品是打几折销售的？ 重难点已 分式方程的实际应用 我的解答 典例2一题多解法我国已成为全球最大的新 能源汽车市场，新能源汽车在保障能源安全、 改善空气质量等方面较传统汽车都有明显的 优势.经过对某款新能源汽车和某款燃油车的 对比，发现新能源汽车平均每公里的充电费比 燃油车平均每公里的加油费少0.8元.当充电 费和加油费均为300元时，新能源汽车可行驶 的总路程是燃油车的5倍.求这款新能源汽车 平均每公里的充电费. 我的解答 安徽考向◆某公司为提升AI服务能力，计 划部署两种服务器：型号A和型号B. 这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体 如下表所示： 精解本 115 安徽考向→注重学习过程(2024一2025淮南产量同时又要节省投入成本的条件下（生产线 凤台期末)下面是学习分式方程的应用时，老 越多，投入成本越大)，应该再增加几条生产线？ 师板书的问题和甲、乙两位同学不完整的解答 我的解答 过程。 张庄和李庄两地之间的路程是25km,嘉琪和爸爸 两人都从张庄到李庄，嘉琪骑自行车，爸爸骑摩托 车.爸爸比嘉琪晚出发1h,却和嘉琪同时到达.已 知爸爸的递度是嘉琪的速度的2.5倍，嘉琪和爸 爸两人的递度各是多少？ 甲25x9 安徽考向→(2025蚌埠模拟)“绿水青山就 乙：设嘉琪的速度为ykm/h. 是金山银山.”某村逐年增加村垃圾处理的投 根据以上信息，解答下列问题， 入.已知2022年投入资金3万元，2024年投人 (1)甲同学所列方程中的x表示 资金4.32万元.假定每年投入资金的增长率 相同，该村在2025年投入资金多少万元？ (2)根据乙同学设的未知数，列方程并解答. 重难点四不等式的实际应用 典例4某文具店在一次促销活动中规定：消 费者消费满200元就可享受打折优惠.期中考 重难点目一元二次方程的实际应用 试后，小韦同学在该店为班级买奖品，准备买6 支钢笔和若干本笔记本.已知每支钢笔15元， 典例3芯片目前是全球紧缺资源.某市政府 每本笔记本8元，那么小韦至少买多少本笔记 通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产 本才能享受打折优惠？ 业，发展新兴产业.某芯片公司引进了1条内 我的解答 存芯片生产线，开工第一季度生产200万个， 第三季度生产288万个. (1)已知每季度生产量的平均增长率相等，则 前三季度生产量的平均增长率为 (2)经调查发现，1条生产线最大产量是每季度 600万个.若每增加1条生产线，每条生产线的 最大产量每季度将减少20万个.现该公司要 保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加 1166己0己6安徽数学第2讲用数学思想方法解方程（组）】 即学即用 1.D2.(1)-2(2)03.C4.-15.B6.A7.D 8,k≤号且k19. 5 1 重点难点突破 课题1 【典例1】 解：原方程粗呵化为仁2L2g ①×2+②，得5.x=-5. 解得x=一1. 把x=一1代人①，得一2一y=1, 解得y=一3. 故方程组的常为二 (②原方程组时化为仁十2y没 ①十②.得2x=10. 解得x=5. 把x-5代人②，得5-2y-1, 解得y=2. 放方程组的解为一 【典例2】 解：(1)将x=1,y=一2代人方程②，得a十2b=一5. 将r=1,y=一1代入方程①，得a一b=4.④① 联立③@，得0+26=-5， a一b=4, 都得公L (2)设乙把方程②中的b看成了m. 把x=1,y=一1，a=1代入方程a.x一my=一5，得1十m= -5. 解得m=一6.故乙把方程②中的b看成了一6. 安徽考向 A 课题2 【典例】 解：(1)3(x一2)+(x+2)(x一2)=x(.x十2)x+3x-10 =x+2xx=10当x=10时.(x十2)(x-2)≠0故t =10是原分式方程的解 (2)x(.x-4)+3=(x-1)(x-4)x3-4r+3=x-5.x+ 4r=1当x=1时，(.x一1)(x一4)=0故原分式方程 无解 课题3 【典例1】 解：(1)x2+4x-32=0 .a=1.b=4.c=-32. .3-4ac=4-4×1×(-32)=144>0. x -b±B-4ac_一4±4年 2a 2X1 =-2±6 x1=-8,xy=4. (2)x2+4.r-32=0 .x2十4x十4-4-32=0 .(x+2)2=36、 .x+2=士6， 解得x1=一8，x1=4. (3):x2+4x-32=0. .(x+8)(x-4)=0, 六x+8=0或x-4=0, 解得x1=一8，x4=4. 安徽考向 解：(1)x-3.x-5=0.∴.a=1.b=-3.c=-5, ∴4=9-4×(-5)=29>0. x=达四 2 ,=计厘 2 =3四 2 (2)(x-3)=2(x-3), (x-3)2-2(x-3)=0. (x-3)(x-3-2)=0. (x-3)(x-5》=0, ,.x一3=0或x一5=0，解得x1=3,x2=5. 【典例2】 解：(1)证明：方程可整理为x一kx一3(k十3)=0. ,△=（一k)2-4×1×[-3(k+3)]=k2+12k十36=(k+ 6)≥0∴无论k取何值，这个方程总有两个实数根。 (2):方程的两个根分别记为x2, .x1+x2=kx4=一3(k+3以. |x1十x21x1x:-7,k|--3(k十3)-7. 分两种情况讨论： ①当k≥0时，k=一3(k十3)一7，即4k=一16.解得k=一4 (不符合题意，舍去)： ②当<0时，一k=一3(k+3)一7，即2k=一16，解得k -8. 综上所述，k的值为一8 (3)由(2)知，k=一8，∴.方程为x1十8.x+15=0, .x1+x:=-8,x1x:=15 ①(1-x1)(1-x=)=1-(x1+x:)+x1x2=1-(-8)+15 =24. ②x+xi=(x1十x2)2-2x1x2=(-8)2-2X15=34 ③x1+8.x1-x1x:=-15-15=-30. ④i-8-+-,--(+ =-15-81+,)-t=-15-8X(-8)-后 -8 TIT: 49高 安微考向 A 第3讲方程（组）及不等式的实际应用 即学即用 1.C2.B3.C4.D 5.r60-x)=86t6.L000X1-4%)r-10X1000≥20% 10×1000 重点难点突破 【典例1】 解：(1)设该商场第1次购进x件A商品、y件B商品。 长题意，得化1my-nm. 解得/r=200. 1y=150. 答：该商场第1次购进200件A商品、150件B商品. (2)设B种商品是打m折销售的 然题意，得1350-120)×200+(120×品-100）× 150X2=36000,解得m=8.5. 答：B种商品是打八五折销售的。 安纖考向 解：设型号B服务器的安装数量是x台，型号A服务器的安 装数量是y台. 由题鱼，得2 解得/r=10. y=5. 参考答案 39 答：型号A服务器的安装数量是5台，型号B服务器的安装 数量是10台. 【典例2】 解：设这款新能源汽车平均每公里的充电费为x元，测燃油 车平均每公里的加油费为(x十0.8)元. 由题意，得00 5×_300 x+0.8 解得x=0.2. 经检验，x=0.2是原分式方程的解，且符合题意. 答：这款新能源汽车平均每公里的充电费为0.2元。 题多解法 设燃油车可行驶的总路程是x公里，则新能源汽车可 行驶的总路程是5x公里. 由题在，得300300】 0.8，解得r=300. 经检验，x=300是原分式方程的解，且符合题意， 02 300 答：这款新能源汽车平均每公里的充电费为0.2元. 安微考向 解：(1)嘉琪所用时间 (2)设嘉琪的速度为ykm/h,则爸爸的速度为2.5ykm/h. 根据墨意，得三+1，部得，一 经检验，y=15是原分式方程的解，且符合题意， .2.5y=37.5. 答：嘉琪的速度为15km/h,爸爸的速度是37.5km/h. 【典例3】 解：(1)20% (2)设应该再增加m条生产线，则每条生产线的最大产量为 每季度(600一20m)万个 依题意，得(m十1)(600一20m)=2600, 整理，得m一29m十100=0. 解得m1=4,m1=25. 又：在增加产量的同时又要节省投入成本， .,1=4. 答：应该再增加4条生产线 安微考向 解：设该村2022年至2024年投入资金的增长率为， 根据题意，得3(1十x)=4.32, 解得x1=0.2,x,=一2.2（不符合题意，舍去） 0.2=20%..4.32(1+x)=4.32×(1+20%)=5.184. 答：该村在2025年投人资金5.184万元 【典例4】 解：设小韦买x本笔记本才能享受打折优惠 依题意.得15×6+8r≥20.解得≥13子 x为整数， .x的最小值为14. 答：小韦至少买14木笔记木才能享受打折优惠： 第三单元函数及其图象 第1讲平面直角坐标系与函数的概念 即学即用 1.C2.(-2,5)或(-2.-5)3.-324.B 5.x≥一5且x≠-26.A7.15 重点难点突破 【典例1】 1)-2<m<年<-321(3)-至4)-7该-司 5)2或-2(6)(-6，-2)(-3，-6)(0)-号 40 4己0己6安徽数学 (8)0,0(9)(12.-1) 【典例2】 (1)时间路程(2)301.7(3)2.5(4)1230 (5)s=15r(0≤t≤0.8) 安徽考向 1.A2.C3.10 第2讲函数的图象与性质 即学即用 1B2A3y-中44-15y-兰（答案不唯-） 6.c7.y=28.y=189.四10.B 11.向下(2，-1)直线x=2<2>22大大-1 12.C13.514.y=x2-2x-1 重点难点突破 课题1 【典例】 -1202②<8m<号 (4)①(5)(0,2)2(6)-3 2®(-） 安徽考向 () 课题2 【典例】 (1)①m≠一1②m>一1减小 2)-13y=-12 r 30-3y-- x ②如图所示， ③> (4)①4②-3 安徽考向 D 课题3 【典例1】 (1)上x 、1 2y=r-x-2(合-4） (3)y1< y:(4010 9 (5)2 安徽考向 D 【典例2】 (1)y=-x2-2x-1(2)y=-9x2+18x-4(3)y=x -4.x+3(4)y=-x2-2r(5)y=x2-2x-3 安徽考向 1.B 2.(102 (2)3<m<4或m>6