第二单元 第2讲 用数学思想方法解方程(组)-【学海风暴·PK中考】2026安徽中考数学备考精解本

第2讲用数学思想方法解方程（组） 中考考点讲练 考点1二元一次方程组 4.去分母解分式方程的一般步骤(2016T5) 1.含有两个未知数，且未知数的次数都是1的 (1)适当变形，通常是对分母分解因式，找到 方程叫做二元一次方程：联立在一起的几个 最简公分母.(2)将方程两边同时乘最简公分 方程，称为方程组；由两个一次方程组成的 母，得到一个整式方程.(3)解这个整式方程 含两个未知数的方程组叫做二元一次方 (4)验根. 程组。 即学即用 2.解二元一次方程组的基本思想是消元，方法有 3关于x的分式方程5-1.下列说法正 代人消元法与加减消元法，即把多元方程通过 确的是 代人、加减等方法转化为一元一次方程来解. A.方程的解是x=m一5 即学即用 B.当m<5时，方程的解是负数 .x=2 是二元一次方程组 C.当m>5时，方程的解是正数 y=1 D.以上说法均不正确 1.x十ny=8, 的解，则2m一n的平方根 nx-my=1 4.若关于x的分式方程二3十2025 为 ( 2a+2有增根，则a的值是 A.2 B.4 x-3 C.±2 D.±2 考点3 一元二次方程的概念及其解法(10年 x+y=2+a, 2.已知关于x,y的方程组 3考) x-y=3a-6. 1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 (1)若x,y互为相反数，则a= 是2，这样的整式方程叫做一元二次方程. (2)若x,y满足9×3"=27，则(a一1)22 2.一般形式为ax2十b.x十c=0(a≠0)，其中 a,b,c分别叫做方程的二次项系数、一次项 考点2分式方程及其解法10年1考) 系数和常数项 3.一元二次方程的解法 1.分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.解分式方程的基本思路：分式方程去分母整式 方法 适用的方程 方程的形式 方程的解 方程. 直接开 x=p或 x2=p(p≥0) x=士D 3.一般地，解分式方程时，去分母后所得整式 平方法(x十n)2 (2019 p(p≥0)形 方程的解有可能使原分式方程中分母为零， (x十n)产 x=士P T15) 式的方程 因此应进行如下检验：将整式方程的解代入 p(p≥0) 最简公分母，若最简公分母的值不为零，则 配方法 a(r+h) 所有的一元 这个解是原分式方程的解：否则，这个解是 (2016 =k(a≠0 二次方程 T16) 增根，应舍去。 且ak≥0) - 精解本 109 续表2.一元二次方程根的情况与判别式的关系 方法 适用的方程 方程的形式 方程的解 (2025T5,2022T12,2020T5,2018T7) (1)b2一4ac>0台方程有两个不相等的实 ax'+bx+e 所有的一元 数根. 公式法 =0(a≠0， 二次方程 -b土√/不-x (2)b一4ac=0曰方程有两个相等的实数根. b2-4ac≥0) 2a (3)b2一4ac<0曰方程无实数根. 因式分 容易变形为 3.一元二次方程的根与系数的关系 解法 (x一a)(x (r-a)(r xI=a,t2=b 如果一元二次方程a.x2十b.x十c=0(a≠0) (2024 b)=0形式 一b)=0 的两个实数根为x1,x2,那么有1十x2 T15) 的方程 即学即用 ,xx2=二以两个实数x1,x2为根的 a 5.若方程(p-2)x--x+3=0是关于x 元二次方程（二次项系数为1）是x2一(x1 的一元二次方程，则p的值是 ( 十x2)x+x1x2=0. A.2 B.-2 2022版课标新变化：根与系数的关系由选学内 C.±2 D.3 容调整为考查内容. 6.用配方法解一元二次方程2x2一4x一1=0 即学即用 时，配方正确的是 7.下列关于x的一元二次方程中，有两个不 Ax-1) 3 相等的实数根的方程是 () A.x2+2=0 B.2x2+3x+2=0 B(x-1D=号 C.4x2-12.x+9=0D.3.x2+5.x-8=0 C.(x-2)2=3 8.若关于x的一元二次方程(k一1)x2+2kx D.(x-2)2=5 十k十3=0有实数根，则k的取值范围是 考点4 一元二次方程的根的判别式及根 与系数的关系(10年4考) 9 北师九上教材5IT3变式已知关于x的方 1.概念：一般地，式子b2一4ac叫做一元二次 程2x2十x一10k=0的一个根为2，则它的另 方程a.x2+b.x十c=0(a≠0)的根的判别式. 一个根为 ,k的值为 通常用希腊字母“△”表示，△=b2一4ac. 重点难点突破 课题1解二元一次方程组 重难点解二元一次方程组 我的解答 典例1解下列方程组： (1) y=2x-1, x+2y=-7. 110A心己0已6安徽数学 x-22-y1 =1, 组的解为 (2) 32 y=-1. x-2y=1. (1)求a,b的值. 我的解答 (2)乙把方程②中的b看成了哪个数？ 我的解答 【解题技巧】当方程组中一个方程的某一个未 知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数 项为零时，可优先选用代入消元法：其他类型 优先选用加减消元法。 x=1, 安徽考向>已知 ,x=2, 都是二元 {ax+by=4,① 典例2已知方程组 a.x-by=-5.② 一次方程a.x十by=3的解，则a,b的值分别 由于甲看错了方程①中的a,得到方程组的解 为 ( 杠=1，乙看错了方程②中的b,得到方程 A.2,-1 B.-2,1 为 y=-2: C.-1,2 D.1,-2 课题2解分式方程 重难点解分式方程 (2) x-1 (r-1)(x-40=1. 典例解方程：1)十2十1=之 x-2 答题模板 答题模板 解：(2)去分母，得 解：(1)去分母，得 整理，得 解得 整理，得 检验： 解得 检验： 课题3解一元二次方程 重难点一 解一元二次方程 典例1按下列要求解方程：x2+4x一32=0. (1)用公式法 我的解答 精解本 111 (2)用配方法。 理、变形为只含有x1十x2,x1x2的式子，再将 我的解答 十，=一名1=台代入即可求得结果， a 我的解答 (3)用因式分解法。 我的解答 安徽考向用适当的方法解方程： (1)x2-3x-5=0. (2)(x-3)2=2(.x-3). 重难点日 一元二次方程根的判别式及根 与系数的关系 典例2已知k为实数，关于x的方程为x2一 k.x=3(k十3). (1)求证：无论k取何值，这个方程总有两个实 数根。 【知识拓展】一元二次方程根与系数的关系是 (2)若方程的两个根分别记为x1,x2,且满足 在方程有实数根的条件下才存在的，因此运 |x1十x2|=x1x2-7,求k的值. 用根与系数的关系求一元二次方程字母系数 (3)在(2)的条件下，求下列各式的值：①(1一 时，在求得字母系数的值或取值范围后，应再 x1)(1-x2):②x号十x;③x1十8x1-x1x2; 考虑用根的判别式，检验此时是否满足判别 @-六月 式的值大于或等于0， 【解题点拨】(1)由判别式△=b一4ac=(k十 安徽考向→若m,n是关于x的方程2x2一 6)2≥0，即可证得方程总有两个实数根：(2)将 4x+1=0的两个根，则上+上的值为（) x1十xg= 名x1x:=S代入1x1+x1 a A.4 B.-4 D.-4 x1x2一7中，即可求得k的值：(3)将各式整 112。己0己6安徽数学第2讲用数学思想方法解方程（组）】 即学即用 1.D2.(1)-2(2)03.C4.-15.B6.A7.D 8,k≤号且k19. 5 1 重点难点突破 课题1 【典例1】 解：原方程粗呵化为仁2L2g ①×2+②，得5.x=-5. 解得x=一1. 把x=一1代人①，得一2一y=1, 解得y=一3. 故方程组的常为二 (②原方程组时化为仁十2y没 ①十②.得2x=10. 解得x=5. 把x-5代人②，得5-2y-1, 解得y=2. 放方程组的解为一 【典例2】 解：(1)将x=1,y=一2代人方程②，得a十2b=一5. 将r=1,y=一1代入方程①，得a一b=4.④① 联立③@，得0+26=-5， a一b=4, 都得公L (2)设乙把方程②中的b看成了m. 把x=1,y=一1，a=1代入方程a.x一my=一5，得1十m= -5. 解得m=一6.故乙把方程②中的b看成了一6. 安徽考向 A 课题2 【典例】 解：(1)3(x一2)+(x+2)(x一2)=x(.x十2)x+3x-10 =x+2xx=10当x=10时.(x十2)(x-2)≠0故t =10是原分式方程的解 (2)x(.x-4)+3=(x-1)(x-4)x3-4r+3=x-5.x+ 4r=1当x=1时，(.x一1)(x一4)=0故原分式方程 无解 课题3 【典例1】 解：(1)x2+4x-32=0 .a=1.b=4.c=-32. .3-4ac=4-4×1×(-32)=144>0. x -b±B-4ac_一4±4年 2a 2X1 =-2±6 x1=-8,xy=4. (2)x2+4.r-32=0 .x2十4x十4-4-32=0 .(x+2)2=36、 .x+2=士6， 解得x1=一8，x1=4. (3):x2+4x-32=0. .(x+8)(x-4)=0, 六x+8=0或x-4=0, 解得x1=一8，x4=4. 安徽考向 解：(1)x-3.x-5=0.∴.a=1.b=-3.c=-5, ∴4=9-4×(-5)=29>0. x=达四 2 ,=计厘 2 =3四 2 (2)(x-3)=2(x-3), (x-3)2-2(x-3)=0. (x-3)(x-3-2)=0. (x-3)(x-5》=0, ,.x一3=0或x一5=0，解得x1=3,x2=5. 【典例2】 解：(1)证明：方程可整理为x一kx一3(k十3)=0. ,△=（一k)2-4×1×[-3(k+3)]=k2+12k十36=(k+ 6)≥0∴无论k取何值，这个方程总有两个实数根。 (2):方程的两个根分别记为x2, .x1+x2=kx4=一3(k+3以. |x1十x21x1x:-7,k|--3(k十3)-7. 分两种情况讨论： ①当k≥0时，k=一3(k十3)一7，即4k=一16.解得k=一4 (不符合题意，舍去)： ②当<0时，一k=一3(k+3)一7，即2k=一16，解得k -8. 综上所述，k的值为一8 (3)由(2)知，k=一8，∴.方程为x1十8.x+15=0, .x1+x:=-8,x1x:=15 ①(1-x1)(1-x=)=1-(x1+x:)+x1x2=1-(-8)+15 =24. ②x+xi=(x1十x2)2-2x1x2=(-8)2-2X15=34 ③x1+8.x1-x1x:=-15-15=-30. ④i-8-+-,--(+ =-15-81+,)-t=-15-8X(-8)-后 -8 TIT: 49高 安微考向 A 第3讲方程（组）及不等式的实际应用 即学即用 1.C2.B3.C4.D 5.r60-x)=86t6.L000X1-4%)r-10X1000≥20% 10×1000 重点难点突破 【典例1】 解：(1)设该商场第1次购进x件A商品、y件B商品。 长题意，得化1my-nm. 解得/r=200. 1y=150. 答：该商场第1次购进200件A商品、150件B商品. (2)设B种商品是打m折销售的 然题意，得1350-120)×200+(120×品-100）× 150X2=36000,解得m=8.5. 答：B种商品是打八五折销售的。 安纖考向 解：设型号B服务器的安装数量是x台，型号A服务器的安 装数量是y台. 由题鱼，得2 解得/r=10. y=5. 参考答案 39