第四单元 第5讲 相似三角形-【学海风暴·PK中考】2026安徽中考数学备考精练本

第5讲 相似三角形(10年8考) 安徽真题 命题点相似三角形的判定与性质(10年8考) 4.(2024安徽)如图①，□ABCD的对角线AC 1.(2016安徽)如图，在△ABC中， 与BD交于点O,点M,N分别在边AD,BC AD是中线，BC=8,∠B= 上，且AM=CN,E,F分别是BD与AN, ∠DAC,则线段AC的长为 第1题国 CM的交点. ( (1)求证：OE=OF. A.4 B.42 C.6 D.45 (2)连接BM交AC于点H,连接HE,HF. 2.(2019安徽)如图，在Rt△ABC中， B (1)如图②，若HE∥AB,求证：HF∥AD: ∠ACB=90°，AC=6,BC=12,点D (i)如图③，若□ABCD为菱形，且MD= 在边BC上，点E在线段AD上，EF AC 2AM,∠EHF=60,求gD的值. ⊥AC于点F,EG⊥EF交AB于点 G.若EF=EG,则CD的长为( 第2题图 A.3.6 B.4 C.4.8 D.5 3.(2019安微)如下图，在Rt△ABC中，∠ACB =90°，AC=BC.P为△ABC内部一点，且 ∠APB=∠BPC=135° (1)求证：△PAB∽△PBC. (2)求证：PA=2PC. (3)若点P到三角形的边AB,BC,AC的距 离分别为h1,h2,h3,求证：h=h2·ha 精练本 49 中考热身 基础练 6.如图，在△ABC中，AC=AB=4,∠C=30°， 1.(2025绥化)两个相似三角形的最长边分别是 D为边BC上一点，且CD=3,E为AB上 一 10cm和6cm,并且它们的周长之和为48cm, 点.若∠ADE=30°，则BE的长为 那么较小三角形的周长是 A.14cm B.18 cm C.30 cm D.34 cm 7.如下图，在△ABC中，D为AC边上一点， 2.(2025芜湖一模)如图，已知D ∠DBC=∠A. ∠1=∠2，那么添加下列的一 (1)求证：△BDCc△ABC. 个条件后，仍无法判定△ABC 第2题图 (2)若BC=4,AC=8,求CD的长. △ADE的是 ( A怨侣 B.∠B=∠D C.AB DE D.∠C=∠AED 3.古代数学文化(2025内江)阿基米德曾说过： “给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话 生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和 提升练 力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原 8.(2025毫州二模)如图，在正方 理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬 形ABCD中，若E为CD边的 石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会 中点，P是BC边上的一动点， 撬动石头.如图乙所示，动力臂OA=-150cm, 有下列条件：①BP:BC=1: B 阻力臂OB=50cm,BD=20cm,则AC的长 3:②BP:BC=1:2:③BP: 第8题图 度是 ) BC=2:3:④BP:BC=3:4.其中能推出 △ABP与△ECP一定相似的条件有() A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 第3题图 9.(2025长春，有改动)将直角三角形纸片ABC A.80 cm B.60 cm C.50 cm D.40 cm (∠C=90°)按图所示的方式折叠两次再展 4(2025成都)若号=3.则“产的值为 开.下列结论错误的是 5.条件补充题如图，在△ABC中，点D,E分别在 再折是 边AB,AC上.添加一个条件，使△ADEO △ACB,则这个条件可以是 第9题图 A.MN∥DE∥PQ B.BC=2DE=4MN 第5题图 第6题图 CAN=Q-QDeP晤误 50 2026安徽数学 10.(2025合肥四十二中三模)如图，AB与CD 相交于点E,点F在线段BC上，且AC∥EF ②如图③，当点F是AE的中点时，求AC 的值 /DB.若BE=5,BF=3,AE=BC,则C的 值为 图2 图3 D 第10题图 第11题图 11.(2025安庆模拟)如图，在正方形ABCD中， E是BC边上一点，将正方形边CD沿DE 折叠到DF,延长EF交AB于点G,连接 DG,BF.请完成下列探究： (1)∠GDE的大小为 BG (2)当∠DBC=60时，BF的值为 12.(2025黄山三模)如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，AB=8,BC=6,E是BC上 点.将△ABE沿着AE折叠，点B恰好落在 AC上，对应点为D,连接DE. (1)求BE的长. (2)G是AC上一点，BG与AE交于点F. ①如图②，当BG⊥AC时，求tan∠BFE 的值： 素养专练 1.《九章算术》中记载了一种测量古井 2.我国古代有一道著名的数学问题：“今有竿不 水面以上部分深度的方法.如图所 知其长，量得影长百寸，立一标杆，长二十寸， 示，在井口P处立一根垂直于井口 影长五寸.问竿长几何.”其大意是现在有一根 的木杆PA,从木杆顶端A处观察 C 不知道长度的竹竿（把它竖立在太阳下），测量 井水水面C处，视线AC与井口的 第1题图 得它的影子长100寸，同时竖立一根长度为 直径PB交于点D.若测得PA= 20寸的标杆，测量得它的影子长5寸.问竹竿 2m,PB=3.6m,PD=1m,则BC的长为 长多少.竹竿的长度是 A.3.6m B.4.2m A.25寸 B.40寸 C.5.2m D.7.8m C.200寸 D.400寸 精练本 51∴.∠AEB-∠BEC-∠CED-90°， ∴在Rt△AEB中，由勾股定理.得AB=AE十BE =17. (3)∠AOE的度数是60或120 【解析】(I):△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴.CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACD+∠IDCB=∠BCE+∠IDCB=60°. ∴.∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中. CA=CB. ∠ACD=∠BCE CD=CE. ∴.△ACD≌△BCE(SAS). ,.∠ADC=∠BEC,AD=BE 又，∠ADC=∠DCE+∠DEC=120°. ∴.∠BEC=∠DEC+∠AEB=120°， .∠AEB=60°. (3)如图①，由(1)知△ACD≌△BCE, ,.∠CAD=∠CBE. :∠CAB=∠CBA=60 ∴.∠O)AB+∠OBA=120°. ∴.∠A0E=180°-120°=60°： 如图②，同理求得∠AOB=60° ∴.∠A0E=120° 综上所述，∠AOE的度数是60或120 第5讲相似三角形 安微直题 1.B 2.B【解析】如图，过点D作HD⊥BC交AB于点H 由题意，得EF∥BC, EF AE .△AFEn△ACD.元-AD ,HD⊥BC,EG⊥EF,.HD∥GE △ABG△ADH,一H-D GE AE 既佛 EF=GE.∴DC=HD. 设HD=DC=x,则BD=12一x. .DHCA.∴.△BDH∽△BCA, 肥设即后子解得一 12 故CD的长为4. 3.证明：(1)∠ACB-90°，AC-BC, .∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC. ∠APB=135. .∠PAB+∠PBA=45 ∴.∠PAB=∠PBC. 又，∠APB=∠BPC=135 .△PABn△PBC. (2),△PAB∽△PBC 胎腮提 在Rt△ABC中，AC=BC. =E,∴.PB=EPC.PA=EPB, 18 。己0己6安徽数学 ∴.PA=2PC (3)如图，过点P分别作PD⊥BC,PE⊥AC,交BC,AC于 点D,E .∠BPC+∠APB=135°+ 135=270°， .∠APC=90 ∴∠EAP+∠ACP=90. :∠ACB=∠ACP+∠DCP =90°， ∴∠EAP-∠DCP 又.∠AEP=∠CDP=90°. ∴△AEP∽△CDP. 器隐-哈 =2,∴h=2h2 △PABC∽△PBC. 次提-E通，= .h=2h=h,·2h,=h2·h1. 4.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD//BC.OA=OC...AM//CN. AM-CN. ∴四边形AMCV是平行四边形， ..AN//CM. .∠OAE=∠OCF {∠OAE=∠OCF, 在△AOE与△COF中， OA=OC. ∠AOE=∠COF, ∴.△AOE≌△COF(ASA).∴.OE=OF 2(1E期：HE/A8票器 0B=OD.0E=0FOm-0元 .OH OF :∠HOF=∠AOD.∴.△HOF∽△AOD. ∴.∠OHF=∠OAD..HF∥AD. (I)□ABCD为菱形，.AC⊥BD ,OE=OF,∠EHF=60, ∴∠EH0=∠FH0=30°..OH=3OE. ,AM∥BC,.△AMH∽△CBH 又.MD=2AM. ÷兴兴子即C-3An, .0A+OH=3(0A-0H),.OA=20OH. ,BN∥AD,∴.△ADE∽△NBE 又：MD=2AM.AM=CN. 器器号即8E-2ED .3(OB-OE)=2(OB+0E), ∴.0B=50E. ÷品器 中考热身 1.B2.C 3.B4.4 5.∠ADE=∠C(答案不唯一) 6 【解析】如图，过点A作 AF⊥BC于点F,∠AFC ∠AFB=90 ,AC=AB,∴.CF=BF :∠AFC-90°.AC=4,∠C-30°， ∴AF-AC-×4-2 由勾股定理，得CF=/AC一AF=/个一2=25， .BF=23,.BC=4厚 CD=3.:.BD=BC-CD=43-=33. ,:∠ADB是△ACD的一个外角 .∠ADB=∠C+∠CAD 又·∠ADB=∠ADE+∠BDE,∠C=∠ADE=30°， ∴.∠CAD=∠BDE AB=AC.∠C=∠B,∴.△ACD∽△DBE. 品篇是方E号 7.解：(1)证明：：∠DBC=∠A,∠BCD=∠ACB, ∴.△BDC∽△ABC. (2),'△BDCC∽△ABC, 器需 即g-9cD-2 8.C【锅折1若E△ABPO△BCP,只需证出兴-部：E 为CD边的中点，四边形ABCD为正方形，∴.BP=2CP, ∴.BP:BC=2CP:(2CP+CP)=2:3,即只有1个条件符 合题意 9.D【解析】由折叠可得，DE⊥AC,PQ⊥AC,MN⊥AC,AM =MD=DP=PC,∴.MN∥DE∥PQ∥BC,故选项A结论正 确：号得△ADEO△ACBO△AMN,器-是= DE-ADBC-2DE.DE-2MN.BC=MN. MN AM I ∴.BC=2DE=4MN,故选项B结论正确： MN/pQ/c瓷器兴器兴 8器名B0-AN-AB.QN=含AB.AN-0 乞NQ:故选项C结论正确：△ADEO△ACB∽△AMN MN AM 1 DE AD 2 PQ AP △APQ心DE=AD=乞·P0-AP=方·CB-AC 伦焉瓷放选项D结论错误 0 【解析】设F=x.,EF∥AC, 器器脚2点解得 35 9 .CF=2 :AC∥DB,△BED△AEC,:P=BE 5 AC-AE 9 3+2 2 11.(1)45°(2/ 【解析】(1)由折叠得△DCE≌△DFE, ∴∠DFE=∠C=9O°·∠CDE=∠FDE,DC=DF=AD, ∴.∠DFG=90°. 在Rt△DFG和RI△DAG中， DG-DG. DF=DA. .Rt△DFG≌Rt△DAG(HL)· .∠ADG=∠FDG ∠GDE=∠FDG+∠FDE=÷∠ADF+G∠CDF 吉∠ADC-45, (2)由折叠得△DCE≌△DFE,∴，∠DEG =∠DEC=60°，EC=EF, ∴.∠BEG=180°-∠DEC-∠DEG 60°.∠EDF=30 在R△DEF中，元=乞 EF 1 在R△GBE中.∠BGE=30, 器需 .△BEF∽△GED, 部脚F-6n, 如图，过点G作GH LDE,垂足为H. 在Rt△GDH中，由(1)知∠GDE=45, 器-，GH-号6D, '∠BEG=∠DEG=6O'.即EG平分∠BED. -GH-号cn, .BG :BF -=厄 12.解：(1)∠ABC=90°.AB=8.BC=6, ∴.AC=AB+BC=8+6=10. 由折叠得AD=AB=8.DE=BE,∠ADE=∠B=90°， ∴.CD=AC-AD=10-8=2,∠CDE=90°， ,CD+DE=CE,且CE=6一BE ,∴.2+BE2=(6-BE) 解得BE=3 8 :BE的长是号 (2)①：BG⊥AC于点G, ∴.∠AGB=∠ADE=90 ∴.GB∥DE. .∠BFE=∠AED. 由得AD-8,DE-E-号 Am∠BFE-∠AED品-兰-8 3 @②如图，作AHCB交BG的延长线于 点H.则∠H=∠FBE. ,F是AE的中点， .G ..AF=EF. 在△AHF和△EBF中， ∠H=∠FBE, ∠AFH=∠EFB. AF=EF. △AHF≌△EBF(AAS) A=E=兰 ,AH∥BC .△AHG∽△CBG. 8 光股 素养专练 1.C【解析】由题意可知∠B=∠APD=90 又：∠BDC=∠PDA∴.△BDCD△PDA.∴PD BD BC 参考答案 19 PB-3.6 m.PD -1 m.:BD -PB-PD-3.6-1- 2.6(m2,6-5c T=分…Bc=5.2m 2.D【解析】设竹竿的长度是x寸.竹竿的影长=100寸，标杆 x20 长=20寸，标杆影长=5寸心，解得x=400.故竹 竿的长度是400寸 第6讲解直角三角形及其应用 安微真题 1.C 2.解：如图，过点A作AE⊥CD,垂足为E. D 36.9 地 ,线段AB和CD都与地面垂直， .四边形ABCE为矩形， ∴.CE=AB=13.20m. 在R△ACE中，a∠CAE-AE CE ..AE= 器 CE =30.0(m). AE 在R△ADE中，cOs∠DAE=元 .AD-- AE 30.030.0 0∠DA正-0s36.9 0.80 =37.5(m). 故AD的长约为37.5m. 3.解：过点E作EH⊥AD于点H,如图 由题意可知，∠CEB=a=36.9°， … EH=1.20m, B法线 ..CE BC 1.20 an36.G0.73 -1,60 (m),∴.AH=AD-CE=2.50- 1.60=0.90(m), D 池底 ∴.AE=/AH+EH=/0.90+1.20=1.50(m), AH0.90 ∴.siny= AE1.50 =0.60 CE :sin3-sim∠CBE-BE =cos∠CEB=cosa=c0s36.9° 0.80. sin2_0.80 8iny0.60≈L.3. 4.解：由题意可知.∠ORB=36.9,∠ORA=24.2° 在Rt△AOR中，AR=40m,∠ORA=24.2°， .OA=AR·sin∠ORA40×0.41=16.4(m),OR=AR· cos∠ORA≈40×0.91=36.4(m). 在R1△BOR中.OR=36.4m,∠ORB=36.9°， .OB=OR·1an∠0RB≈36.4×0.75=27.3(m) ∴.AB=0B-0A=27.3-16.4=1D.9(m). 故无人机从A点到B点的上升高度AB约为I0.9m. 5.解：由题意可知，△ACD是直角三角形，∠BCD=90°一37 =53°.∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°. CD 在Ri△ACD中，：inA=C,CD=90m· Ac-CD。90 70.0150(m. ∠CDA=90°，∠BDA=53, ∴.∠BDC=90°-53°=37°， ∴.∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=90°， 20 。己0己6安徽数学 △D是直角三角形一需-∠BDC, .BC=CD·sin∠BDC≈90X0.60=54(m). .AB=AC-BC=150-54=96(m). 故A,B两点间的距离约为96m. 6.解：，四边形AEFD为矩形，∠BAD=53 .EF∥AD,∠E=∠F=90°..∠EBA=53 ,∠ABC=90°.∴.∠EBA+∠FBC=90°. ,∠FBC+∠BCF=90°，∴.∠BCF=∠EBA=53. ∠E=90°，∠EBA=53°，AB=10cm, ,AE=AB·sin53°≈10X0.80=8(cm), BE=AB·cos53°10×0.60=6(cm). 同理可得BF=BC·sim53°≈6×0.8=4.8(cm),CF=BC· eos53°6X0.6=3.6(cm). .S对边5rD=SEeD一S△AE一Saxr=8X(6+4.8)一 专×8x6-之×4.8X3.6=58.76以em) 故零件的截面面积约为53.76cm 7.解：如图，连接CO并延长交AB于 点D 由题意可知.OD⊥AB,AB=6m, 六AD=2AB=3m, 在Rt△OAD中，∠OAD=41.3°，水而 .AO=- AD 3 s∠0AD0.7万=4(m). OD=AD·tan∠OAD3×0.88=2.64(m), .CD=C0+OD=AO+OD=4+2.64=6.64(m) 做点C到弦AB所在直线的距离约为6.64m. 中考热身 1.D 1 2,C【解析】在R△ABC中，nnA一花三7 .AC=2BC=4,AB=/+2= 25. 过点C作AB的垂线，垂足为M,如图. :Sae=2AC·BC=AB CM, .CM-AC.BC_4X2 AB 25 5 在R△ACM中，AM= √-()-6 在Rt△DCM中，DM= -(5)-6 AD=AM-DM-855_25_65 5 5 5 3.D【解析】设BC=x.则AC=2x,∴AB=AC+BC 正由超意可知血c装需后号 CE-Ec 5 ∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，AD=CD= 25x AB-sE- 5 CD 2 4.解：分别延长CE,DF交过点A的水平线于点M,N,如图. '∠MCB=∠CBA=∠DBA=∠BAM=∠BAN= ∠BDN=90°. .四边形ABCM和四边形ABDN都是矩形，