第四单元 第4讲 等腰三角形与直角三角形-【学海风暴·PK中考】2026安徽中考数学备考精练本

第4讲 等腰三角形与直角三角形(10年6考) 安徽真题 命题点1等腰三角形的性质(10年2考) △PAB,△PBC,△PCA的面积分别记为 1.(2025安徽)如图，在△ABC中，∠A=120°， S。,S1,S2,S.若S1十S,十S3=2S。,则线段 AB=AC,边AC的中点为D,边BC上的点 OP长的最小值是 ( ) E满足ED⊥AC.若DE=5,则AC的长是 号 B.53 2 C.3 D26 2 ) 命题点2 直角三角形的性质(10年4考) A.45 B.6 C.25 D.3 3.(2024安徽)如图，在Rt△ABC中，AC=BC= 2,点D在AB的延长线上，且CD=AB,则 B D BD的长是 第1题图 第3题图 2.(2022安徽)已知点O是边长为6的等边三角 A.0-2 B.-2 形ABC的中心，点P在△ABC外.△ABC, C.22-2 D.22-6 中考热身 基础练 1.(2025达州)如图，在△ABC中， AB=AC=8,BC=5.线段AB的 垂直平分线交AB于点E,交AC 第3题圈 第4题医 于点D,则△BDC的周长为 4.如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中 )第1题图 线，E是AB上方一点，且AE=BE,连接 A.21 B.14 C.13 D.9 DE.若CD=3,AE=7,则DE的长为( 2.(2025蚌埠模拟)如图所示的为生活中常见的 A.25 B.210C.4 D.42 折叠桌的示意图.已知∠ABO=60°，OC= 5.如图，AB∥CD,∠C=33°，OC=OE,则∠A OD,AB∥CD,则∠BOD的大小为 ( 的度数为 C D 第2题图 第5题图 第6题图 A.150° B.140° C.130° D.120 6.如图，在△ABC中，∠DCE=40°，AE=AC 3.(2025合肥二模)如图，直线m∥n,在等腰三 BC=BD,则∠ACB的度数为 角形ABC中，AB=AC,∠A=40°，顶点B在 7.如右图，在Rt△ABC中，B 直线n上，直线m交AB于点E,交AC于点 ∠ACB=90°.CD⊥AB F.若∠1=a,则∠2的度数是 于点D,∠ACD A.a-110 B.a-100 3∠BCD,E是斜边AB的中点. C.a-70° D.a-40° (1)求∠A的度数. 精练本 (2)若AB=2I0,求DE的长度. 12.如图，在△ABC中，AB AC,∠B=40°，D为线段 BC上一动点（不与点B,B如 D C重合)，连接AD,作 第12题图 ∠ADE=40°，DE交线段AC于点E. (1)当D为BC的中点时，∠AED= (2)当BD=CE时，∠AED= 13.【问题发现】1)如图①，△ACB和△DCE均 为等边三角形，当△DCE旋转至点A,D,E 在同一直线上，连接BE.填空： ●提升练 →◆ ①∠AEB的度数为 8.如图，∠ABC的平分线BF,与△ABC的外角 ②线段AD,BE之间的数量关系是 ∠ACG的平分线相交于点F,过点F作DF∥ BC交AB于点D,交AC于点E.若BD=8, 【拓展研究】(2)如图②，△ACB和△DCE均 CE=6,则DE的长为 为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点 A.4 B.2.5 C.2 D.1.5 A,D,E在同一直线上.若AE=15,DE=7, 求AB的长度 【探究发现】(3)图①中的△ACB和△DCE, 在△DCE旋转过程中，当点A,D,E不在同 第8题园 第9题图 一直线上时，设直线AD与BE相交于点O. 9.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称 试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出 为格点.已知M,N是两个格点.若P也是图 结果，不必说明理由 中的格点，且使得△MNP为等腰三角形，则 点P的个数是 A.6 B.7 C.8 D.9 备用图①各用困② 10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8,点D 在BC上.若∠ADC=2∠B,AD=10,则 BC的长为 第10题园 第11题图 11.(2025广西)如图，点A,D在BC同侧，AB =BC=CA=2,BD=CD=2,AD= 48 2026安徽数学∴.点DC关于线段AB的垂直平分线对称，.D(1,4). 5.证明：D是边BC延长线上一点，DE∥AB, ∴.∠D=∠ABC. 在△BDE和△ABC中， (BD=AB. ∠D=∠ABC DE=BC. ∴.△BDE≌△ABC(SAS). ∴.BE=AC 6.证明：(1)，∠BAF=∠EAD, ∴∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF. ∴.∠BAC=∠FAD 在△ABC和△AFD中 ∠BAC=∠FAD. AC-AD. ∠ACB=∠ADF. .△ABC2△AFD(ASA) (2)由(1)得△ABC≌△AFD ..AB-AF BE=FE. .ACLBF,即AC⊥BD 7.D【解析】：AB=AC, .∠B=∠C 在△ABE和△ACD中， (AB=AC, ∠B=∠C BE=CD. ∴.△ABE≌△ACD(SAS), ..AE-AD. ,'AB=AB,∠B=∠B.AD=AE,∠BAD≠∠BAE, ∴.△ABD和△ABE是一对“伪全等三角形” 同理可得△ABD和△ACD是一对“伪全等三角形”， △ACE和△ACD是一对“伪全等三角形”， △ACE和△ABE是一对“伪全等三角形”， .“伪全等三角形”共有4对. 81丽22 【解析】(1)：BE是△ABC的高。 .∠AEB=90°， ∴.AB=/AE+BE=/2+5=2丽 (2)如图，过点D作DN⊥DE交BE于 点N. 由题意，得∠BDO=∠ADC=∠AEB =90°， ∴.∠DAC+∠AOE=∠DBO十 ∠BOD=90°. ∴.∠DAC=∠DBO DN⊥DE,∴.∠NDE=90=∠ADB, .∠BDN+∠NDO=∠ADE+∠NDO, .∠BDN=∠ADE. 在△BDN和△ADE中， ∠NBD=∠EAD. BD-AD. ∠BDN=∠ADE. ∴.△BDN2△ADE(ASA). ∴.DN=DE,BN=AE=2, ∴.NE=BE-BN=5-2=3. ,∠NDE=90°，DN=DE,∴∠DEN=∠DNE=45, 0E-号g-2 2 9.解：(1)BF=DF一BC,理由如下： ,AB=AC,∠BAC=a=60, ,.△ABC是等边三角形， 16 A心己0已6安徽数学 ∴∠ABC-∠BCA=60, .∠ACD=180°-∠BCA=120° ∠BAC=∠EAD=a=60, .∠BAC一∠EAC=∠EAD一∠EAC,即∠BAE =∠CAD 在△ABE和△ACD中. (AB=AC, ∠BAE=∠CAD AE-AD. .△ABE≌△ACD(SAS), ∴BE=CD,∠ABE=∠ACD=120°， ∴.∠EBF=∠ABE-∠ABC=120°-60°=60 ,EF⊥BC, ,在Rt△BEF中 BF BE BE=cos∠BBF=060=2BF. .CD=BD-BC=BF+DF-BC.CD=BE=2BF. ∴.2BF=BF+DF-BC BF=DF-BC. (2)3BF=DF+BC 【解析】(2).AB=AC,∠BAC=a=120°， ·∠ABC=∠BCA=2(180-∠BAC)=30 '∠BAC=∠EAD=a=120°. ∴.∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD,即∠DAC =∠EAB. 在△ABE和△ACD中， (AB=AC. ∠BAE=∠CAD, AE-AD. .△ABE≌△ACD(SAS). .BE=CD,∠ABE=∠ACD=30° .∠EBC=∠EBA+∠ABC=30°+30°=60° 在Rt△BEF中，BE= cos∠EBFc0s60 =2BF. .CD=BC+BD=BC+DF-BF.CD=BE=2BF ..2BF=DF+BC-BF. :.3BF=DF+BC 第4讲等腰三角形与直角三角形 安微真题 1.B【解析】：在△ABC中，AB=AC,∠A=120, ·∠C=180-120 =30 2 :D是AC的中点， .设AC=2x,则CD=x ED⊥AC. .△EDC是直角三角形 ∴.EC=2DE. DE=5,∴.EC=2E 在Rt△EDC中，根据勾股定理，得EC=DE+CD, ∴(25)”=(5)+x2.解得x=3(负值已舍去). AC=2r. .AC=6 2.B【解析】如图，设CP与AB相交于点D. S2=SArvn+SANC,Sa=SAPBA+S△r· S,十S:+Sg=S,+(S△mm+Samr)+(S△mn+S△Ax) =S,+(S△PmB+SAPDA)+(Sam+S么Ax) =S,+Srm+Sam=2S,+S,=2S.S,=25, 设△ABC中AB边上的高为h1,△PAB中AB边上的高 为h:, 则S-号ABA=×6h,=3hS,=AB·A:=司 X6h:=3h:心3h:=乞×3动心h:=2h1 :△ABC是等边三角形∴h,=√6-()=35. h,=,- 2 六点P在平行于AB,且到AB的距离等于的直线上， 设点P所在的直线为/，则当OP⊥1时，OP取得最小值 点O是等边三角形ABC的中心，.COAB,CO⊥I 之C.0.P三点共线，六CP+9 如图，过点O作OE⊥BC于点E. :点O是等边三角形ABC的中心， a∠0E-30,CE-Bc-3, .OC=CE c0s30=2,3. &op=Cp-0x=9E-25=5 2 放线段0P长的最小值是号 3.B【解析】如图，过点C作CH⊥AB于 点H. AC=BC=2,∠ACB=90°，CH⊥AB. ∴.AB=2E,AH=BH=CH=2. CD=AB=2, .DH=CD-CH=√22)-(2)严=6， ..BD-DH-BH-/6-2. 中考热身 1.C2.D3.A4.B5.66 6.100°【解析】，AE=AC,BC=BD. ∴设∠AEC-∠ACE-x,∠BDC=∠BCD=y ∠A=180°-2x°，∠B=180°-2y :∠ACB+∠A+∠B=180', ∠BDC+∠AEC+∠DCE=180' ∠ACB+(180-2x)+(180-2y)=180, 180°-(x”+y)=∠DCE, ·∠ACB+360'-2(x'+y)=180, ∴.∠ACB+2∠DCE=180°. :∠DCE=40°，.∠ACB=100 7.解：(1)，∠ACB=90°，∠ACD=3∠BCD ∴.∠BCD=22.5°，∠ACD=67.5 CD⊥AB,∴∠ADC=90°， .∠A=90°-67.5=22.5 (2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是斜边AB的中点， CE=AB=AE=瓜， .∠ECA=∠A=22.5°. ∴.∠ECD=∠ACD-∠ECA=67.5-22.5=45 CD⊥AB.·∠CED=45=∠ECD, ..CD=DE. 在R1△CDE中.CD+DE=CE, ∴.2DE=().∴.DE=/5 8.C【解析】由角平分线定义，得∠DBF=∠CBF,∠FCE =∠FCG ,'DF∥BC,.∠DFB=∠CBF,∠EFC=∠FCG ∴.∠DBF=∠DFB.∠FCE=∠EFC,∴.BD=FD=8.EF =CE=6,.DE=DF-EF=2. 9.C【解析】如图.当MN是等腰三角形 MNP的底边时，符合条件的点有P:·P:, Pa,P,共4个：当MN是等腰三角形 MNP的腰时，符合条件的有P,PP·p P,共4个，故点P的个数是8. 10.16【解析】：∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=2∠B. ∴.∠B=∠BAD..BD=AD=10. :∠C=90°.AC=8. ∴.CD=/AD-AC=10-8=6, ,BC=BD+CD=10+6=16. 11.√一1【解析】延长AD交BC于点E,如图. AB=CA.BD=CD. .AE⊥BC,BE=CE AB=BC=CA=2, ,∴.BE=CE=1, ∴AE=AB-BE=E.DE= /BD-BE=/2-可=1， ∴AD=AE-DE=5-1. 12.(1)90°(2)70 【解析】(1)当D为BC中点时，如图①所示. 在△ABC中.AB=AC.∠B=40°..∠C=∠B=40°. ,D为BC的中点，.AD⊥BC,∴.∠ADC=90. :∠ADE=40, ∴.∠CDE=∠ADC-∠ADE=50 :∠AED是△CDE的外角， ∴.∠AED=∠CDE+∠C=90 D 图① 因2 (2)当BD=CE时，如图②所示. 设∠BAD=a,,'∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+a. 又：∠ADC=∠ADE+∠CDE,∠ADE=40°. .40°+a=40°+∠CDE,.∠CDE=∠BAD=a. 在△ABC中，AB=AC,∠B=40°，·∠B=∠C=40, ∴.∠BAC=180°-（∠C+∠B)=100°， ∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=100°-a. :∠AED是△CDE的外角， ∴.∠AED=∠CDE+∠C=a+40. 在△CDE和△BAD中， ∠CDE=∠BAD, ∠C=∠B. CE=BD. .△CDE≌△BAD(AAS), ∴.DE=AD,∠DAC=∠AED, .100°一a=a十40°，解得a=30°， ∴∠AED=a+40°=70. 13.解：(1)①60②AD=BE (2),△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴.CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°， ,.∠ACD+∠LDCB=∠BCE+∠DCB=90°. .∠ACD=∠BCE, ∴.△ACD≌△BCE(SAS), ∴.BE-AD-AE-DE-8,∠ADC-∠BEC. ,'△DCE为等腰直角三角形， .∠CDE=∠CED=45. 点A,D,E在同一直线上， ,.∠ADC=180-∠CDE=135°， ·∠BEC=∠AIDC=135, 梦考答案 17 ∴.∠AEB-∠BEC-∠CED-90°， ∴在Rt△AEB中，由勾股定理.得AB=AE十BE =17. (3)∠AOE的度数是60或120 【解析】(I):△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴.CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACD+∠IDCB=∠BCE+∠IDCB=60°. ∴.∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中. CA=CB. ∠ACD=∠BCE CD=CE. ∴.△ACD≌△BCE(SAS). ,.∠ADC=∠BEC,AD=BE 又，∠ADC=∠DCE+∠DEC=120°. ∴.∠BEC=∠DEC+∠AEB=120°， .∠AEB=60°. (3)如图①，由(1)知△ACD≌△BCE, ,.∠CAD=∠CBE. :∠CAB=∠CBA=60 ∴.∠O)AB+∠OBA=120°. ∴.∠A0E=180°-120°=60°： 如图②，同理求得∠AOB=60° ∴.∠A0E=120° 综上所述，∠AOE的度数是60或120 第5讲相似三角形 安微直题 1.B 2.B【解析】如图，过点D作HD⊥BC交AB于点H 由题意，得EF∥BC, EF AE .△AFEn△ACD.元-AD ,HD⊥BC,EG⊥EF,.HD∥GE △ABG△ADH,一H-D GE AE 既佛 EF=GE.∴DC=HD. 设HD=DC=x,则BD=12一x. .DHCA.∴.△BDH∽△BCA, 肥设即后子解得一 12 故CD的长为4. 3.证明：(1)∠ACB-90°，AC-BC, .∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC. ∠APB=135. .∠PAB+∠PBA=45 ∴.∠PAB=∠PBC. 又，∠APB=∠BPC=135 .△PABn△PBC. (2),△PAB∽△PBC 胎腮提 在Rt△ABC中，AC=BC. =E,∴.PB=EPC.PA=EPB, 18 。己0己6安徽数学 ∴.PA=2PC (3)如图，过点P分别作PD⊥BC,PE⊥AC,交BC,AC于 点D,E .∠BPC+∠APB=135°+ 135=270°， .∠APC=90 ∴∠EAP+∠ACP=90. :∠ACB=∠ACP+∠DCP =90°， ∴∠EAP-∠DCP 又.∠AEP=∠CDP=90°. ∴△AEP∽△CDP. 器隐-哈 =2,∴h=2h2 △PABC∽△PBC. 次提-E通，= .h=2h=h,·2h,=h2·h1. 4.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD//BC.OA=OC...AM//CN. AM-CN. ∴四边形AMCV是平行四边形， ..AN//CM. .∠OAE=∠OCF {∠OAE=∠OCF, 在△AOE与△COF中， OA=OC. ∠AOE=∠COF, ∴.△AOE≌△COF(ASA).∴.OE=OF 2(1E期：HE/A8票器 0B=OD.0E=0FOm-0元 .OH OF :∠HOF=∠AOD.∴.△HOF∽△AOD. ∴.∠OHF=∠OAD..HF∥AD. (I)□ABCD为菱形，.AC⊥BD ,OE=OF,∠EHF=60, ∴∠EH0=∠FH0=30°..OH=3OE. ,AM∥BC,.△AMH∽△CBH 又.MD=2AM. ÷兴兴子即C-3An, .0A+OH=3(0A-0H),.OA=20OH. ,BN∥AD,∴.△ADE∽△NBE 又：MD=2AM.AM=CN. 器器号即8E-2ED .3(OB-OE)=2(OB+0E), ∴.0B=50E. ÷品器 中考热身 1.B2.C 3.B4.4 5.∠ADE=∠C(答案不唯一) 6 【解析】如图，过点A作 AF⊥BC于点F,∠AFC ∠AFB=90 ,AC=AB,∴.CF=BF :∠AFC-90°.AC=4,∠C-30°， ∴AF-AC-×4-2 由勾股定理，得CF=/AC一AF=/个一2=25，