第三单元 第4讲 函数的综合-【学海风暴·PK中考】2026安徽中考数学备考精练本

第4讲函数的综合(10年11考) 课题1反比例函数、二次函数与一次函数的综合 安徽真题 命题点 反比例函数与一次函数的综合(10年6考) kx使其经过点B,得到直线，则直线I对应 1.(2024安徽)已知反比例函数y=二(k≠0)与 的函数表达式是 一次函数y=2一x的图象的一个交点的横坐 4.(2025安徽)如下图，在平面直角坐标系xOy 标为3，则k的值为 中，一次函数y=a.x十4(a≠0)与反比例函数 A.-3B.-1 C.1 D.3 y=(k≠0)的图象交于A,B两点.已知点 2.(2020安徽，有改动)如图，一次函数y=x+k A和B的横坐标分别为6和2. (k>0)的图象与x轴和y轴分别交于点A和 (1)求a与k的值. 点B,与反比例函数y一的图象在第一象限 (2)设直线AB与x轴、y轴的交点分别为C, 交于点C.过点C作CD⊥x轴，CE⊥y轴，垂 D,求△COD的面积. 足分别为D,E.当矩形ODCE与△OAB的 面积相等时，k的值为 第2题图 第3题图 3.(2018安徽)如图，正比例函数y=kx的图象 6 与反比例函数y=二(x>0)的图象有一个交 点A(2,m),AB⊥x轴于点B.平移直线y= 中考热身 基础练 1.反比例函数y=二(k≠0)与一次函数y=2x B +1的图象的一个交点是(1，m),则k的值为 A.-2 B.2 C.-3 D.3 -m0 2.(2025淮南三模)已知二次函数y D =a.x2十c与正比例函数y=bx 的图象如图所示，则函数y=a.x 3(2025合肥=模)如下图.反比例函数y一与 +bx+的图象大致为 一次函数y=一x十m的图象交于A,B两点， 第2题图 30 2026安徽数学 点A的坐标为(1,2). 称后的图象经过点C(一4，m). (1)求出点B的坐标， (1)m的值为 (2)若M(x,y)是反比例函数y=图象上 (2)M是x轴上一动点，当AM一MC取得最 大值时，点M的坐标为 的点，N(x2,y2)是一次函数y=一x十n图 6.如下图，已知抛物线y=一x2+mx+n经过 象上的点，当点M在点N下方时，直接写出 x的取值范围. 点A(一1.4.B(1,0),直线y=- 2x+b经 过点B,且与抛物线交于点D (1)求抛物线的表达式 (2)N是抛物线上一点（点N在BD上方），过 一x+m 点N作NP⊥x轴，垂足为P,交BD于点 M,设点P坐标为(a,0). ①求线段MN的长（用含a的代数式表示）： ②当△BDN的面积最大时，求a的值及面积 的最大值 提升练 4.二次函数y=kx2十2k.x一k与反比例函数y =(k是常数，且k≠0)在同一平面直角坐标 系内的大致图象可能是 5.如图，反比例函数y,= (k1≠0，x<0)的图象与直 B 线y2=k2x十b(k2≠0)交 于A(-2,6)和B(-6,n) 两点，该函数关于x轴对 第5题因 精练本 31 课题2一次函数、反比例函数、二次函数与几何的综合 安徽真题 命题点1 反比例函数与几何图形的综合10年 (3)设直线y=m(m>0)与抛物线y=a.x2一 2考) 2x十1交于A,B两点，与抛物线y=3(x一 1.(2023安微)如图，O是坐标原点，Rt△OAB 1)2交于C,D两点，求线段AB与线段CD的 的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB=2, 长度之比。 ∠AOB=30,反比例函数y=(k>0)的图 象经过斜边OB的中点C. (1)k= (2)D是该反比例函数图象上的一点.若DB ∥AC,则OB2-BD2的值为 4.(2023安徽)在平面直角坐标系中，O是坐标 原点，抛物线y=a.x2十b.x(a≠0)经过点 A(3,3),对称轴为直线x=2. 第1题图 第2题国 (1)求a,b的值. 2.(2022安徽)如图，□OABC的顶点O是坐标 (2)已知点B,C在抛物线上，点B的横坐标 原点，点A在x轴的正半轴上，点B,C在第 为t,点C的横坐标为t十1.过点B作x轴的 1 垂线交直线OA于点D,过点C作x轴的垂 一象限.反比例函数y=二(x>0)的图象经过 线交直线OA于点E 点C,反比例函数y=二(k≠0，x>0)的图象 ①当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积 之和： 经过点B.若OC=AC,则k= 命题点2二次函数与几何图形综合00年3考) 3.(2021安微)已知抛物线y=ax2一2x十1(a≠ 0)的对称轴为直线x=1. (1)求a的值. (2)若点M(x1,y1),N(x2y2)都在此抛物线 上，且-1<x,<0,1<x2<2,比较y1与y2 的大小，并说明理由。 32 2026安徽数学 ②在抛物线对称轴右侧，是否存在点B,使得 以B.C,D,E为顶点的四边形的面积为： 若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存 在，请说明理由。 中考热身 基础练 部分记为图象M.若直线y=kx一2k十2(k≠ 0)与图象M有唯一交点，则k的取值范围是 1.(2025烟台)如图，菱形OABC的顶点A在x 轴正半轴上，OA=3,反比例函数y=(x> 4.如下图，抛物线过点O(0,0),E(10,0),矩形 0)的图象过点C和菱形的对称中心M,则k ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A 的值为 ( 的左侧)，点C,D在抛物线上.设B(t,0),当 A.4 B.42 C.2 D.22 t=2时，BC=4. (1)求抛物线的解析式. (2)当t为何值时，矩形ABCD的周长取最大 值？最大值是多少？ 第1题国 第2题图 (3)保持1=2时的矩形ABCD不动，向右平移 2.(2025吉林)如图，在平面直角坐标系中，过原 抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个 5的图象交于 交点G,H,且直线GH平分矩形ABCD的面 点O的直线与反比例函数y= 积时，请直接写出平移后的抛物线的解析式 A,B两点，分别以点A,点B为圆心，画半径 为1的⊙A和⊙B.当⊙A,⊙B分别与x轴 相切时，切点分别为点C和点D,连接AC, BD,则阴影部分图形的面积和为 (结果保留π) 提升练 3.（2025淮北三模)如图，在平 面直角坐标系xOy中，正方 形ABCD的边长为5，AB∥y -1012 轴，BC∥x轴，且点A的坐标 为（一2,4），点C的坐标为 第3题图 (3,一1).若抛物线的顶点坐标为(1,0)，且经 过正方形的顶点D. (1)抛物线的表达式为 (2)将抛物线在正方形ABCD内（含边界）的 精练本 33由图象可知，当正比例函数值大于反比例函数值时，x的取 值范围为一3<x<0或x>3. 中考热身 1.C2.C3.B 4.A【解析】由关于x的方程x+b=D的解是x=一1，得 一k十b=0,即k=b. 故直线y=kx十2b即y=bx十2b-一定经过点（一2,0）. 5.a<0或a>8【解析】联立y=2与y=ax(1一x).则一ax 十ax=2,整理.得ax-a.x十2=0.直线y=2与y ax(1一x)的图象有两个不同的交点，则△=（一a)2一4a·2 =a°一8a>0,解得a0或a>8. 6.解：(1)把A(-8,1)代人y=严 得1=解得m=一8。 二反比例函数的解析式为y=一8 x 把B(m,-4代人y=-8,得-4=一8，解得m=2, .B(2,-4). 把A(一8,1)，B(2,一4)分别代入y=.x十b 一8k+6=1解得 得2+6=一4 b=一3. 1 一次函数的解析式为y=一立x一3， (2)x<-8或0<x<2. 7.(1)-1 (2)≥0或1≤一4 【解析】(1)把M(一2,3)代人抛物线y=ax+br十3中，得 4a-2b=0. 即2a=b对称轴为直线x=1=一2 =-1 (2)如图①、图②所示 1+2 1+2 + = 周① 图② 当1十1<m<1十2时，都有y1>y,则有1一2≥-2或1十2 ≤一2，解得1≥0或t≤一4. 8.解：(1)由题总，得该二次函数的图象开口向上 函数的最小值小于2a2, 则3a-2a+3)-4a+1y =2a1-4a+2, 4 即2a-4a+2<2a3,解得a>子 (2)”二次函数的图象与x轴有交点。 .△=4(a+1)2-4X1×(3a3-2a+3)=-8a°+16a-8 -8(a-1)≥0. ∴.8(a-1)0 ∴8(a-1)=0,解得a=1. (3)证明：当x=0时y=3a-2u+3=3(a-宁)+号 >0,∴二次函数的图象不经过原点 创新考法 解：(1)一2. y=3 (2)①-11 ②描点，连线，画出函数图象如图所示. y=3 第4讲函数的综合 课题1反比例函数、二次函数与一次函数的综合 安徽真题 3 1.A2.23.y=交x-3 6a+4= 4.解：(1)由题意，得 解得a=一2 2+4= 2 k=6. (2)由(1D知，直线AB的表达式为y-一宁十 1 在y=一之x十4中，令y=0.得x=8:令x=0,得y=4, .C(8,0),D(0.4),.O℃=8，OD=4. ÷△C0D的面积为2OC·0D-乞×8X4-16, 中考热身 1.D 2.B【解析】由已知函数图象，得a>0,b≥>0，c<0,y=a.x 七6：+c的图象开日向上其图象的对称轴直线工=二在 y轴的左侧.，二次函数y=4x2十c与正比例函数y=bx的 图象交点的横坐标为m,n,·二次函数y=ar十c与正比 例函数y=一.红的图象交点的横坐标为一，一n,,·方程 ax+c=一br的两根为一m,一n.∴.函数y=ax+br十C 的图象与x轴的交点的横坐标为一，一，∴，符合以上条件 的只有选项B. 3解：)由题藏，得2：2=-1+m解得女=2，m=3, 2 = 得2该： 1y=2. y=一x+3, ∴.点B的坐标为(2,1). (2)x的取值范围为x<0或1<x<2. 4.A【解析】当k>0时，反比例函数图象位于第一、三象限 :k>0,一k<0,二次函数的图象与y轴的交点在y轴负 半轴。”k>0,二次函数图象开口向上.：对称轴为直线x 三一 2k =一1·对称轴在y轴左边，故选项A符合题意.当 表0时，反比例函数图象位于第二，四象限.，最0，一 >0,二次函数的图象与y轴的交点在y轴正半轴.：k<0, 2k “二次函数图象开口向下.：对称轴为直线x=一 =-1. “对称轴在y轴左边，没有选项符合题意. 5.(1)一3(2)（一6,0）【解析】(1)反比例函数图象过点A (-2,6) ∴k1=-12.y1=- 12 ”点C(一4，m)关于x轴的对称点(-4，-m)在y,=-旦 参考答案 0 的图象上，m=一3. (2)如图，设点C关于x轴的对 称点为F(一4,3)， 射线AF交x轴于点M,连接 MC,CF,∴.MF=MC, .AM-MC=AF,此时AM- MC有最大值. 设直线AF的表达式为y=ka 十a. 把A(一2,6)，F(一4,3)分别代 人y=kx十a中， 得二24士a=6·解得 - -4k十a=3, a=9, 63 直线AF的表达式为y=2I+9 令y=0.则x=-6, ,.当AM一MC取得最大值时，点M的坐标为（一6,0）. 6.解：(1)抛物线y=一x2十mx十n经过点A(一1,4).B(1,0), 二0解得 n=3, .抛物线的表达式为y=一x2一2x十3. 1 1 (2)①把B1.0)代人y=-乞x+b,得0=-2X1+6.一6 ·直线BD的表达式为y=一立r+2 :Pa,0n(a,-za+）,N(a,-a-2a+3 线段MN的长为-a-2a+3-(-子4+之）=-a 3 5 y=-x-2x+3, ②联立 1 y- 解得或 x=一2 y=0 y=T (-是》 Sam=2MN(-)=2(-a-a+号）× (1+)=-子-+曾-++ “当a=一子时，面积最大，最大值为智 课题2一次函数、反比例函数、二次函数与几何的综合 安微真题 1.(1)(2)4,【解析】(1)在Rt△OAB中，AB=2,∠AOB =30.∴.OB=4.0A=25.∴.A(23,0).B(25,2). C是OB的中点..OC=BC=2 如图，过点C作CP⊥OA于点P, ,CP=sin30·0C=1.OP=cos30° (0C-5.C(B,1). :反比例西数y=兰(>0)的闲象 经过斜边OB的中点C, 1疗邮得=6 10 心己0己6安徽数学 (2)设直线AC的表达式为y=a.x十b(a≠0). 将A(23,0),C(5,1)代入，得 25a+b=0. 5a+b=1. 解得a 3 6=2. 心直线AC的表达式为y=一 3+2 :AC∥BD, “直线BD的表达式为y=- Γ3+4 ·点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上 联立 解得1=25+3.x,=25-3. "y1=2-5,y2=2+ 当点D的坐标为(25+3.2-5)时 BD=(25+3-25)+(2-5-2)2=9+3=12. ∴.OB2-BD3=16-12=4: 当点D的坐标为(2-3,2+5)时， BD°=(25-2/5+3)2+(2-2-5)2=9+3=12， ∴.OB-BD=16-12=4. 综上所述，OB一BD的值为4. 2.3【解析】如图，连接OB,过点C作CD⊥OA于点D,过点 B作BE⊥x轴于点E,.CD∥BE, ,四边形OABC为平行四边形， .OC=AB,CBOA,即CBDE ,四边形CDEB为平行四边形. :CD⊥OA,四边形CDEB为矩形，∴.CD=BE. 在R△COD和R△BAE中.CD=BE, OC=AB. R△COD2R△BAE(HL).∴.SAm=S△AE OC=AC,CD LOA.:.OD=AD,..SA=SACA. :反比例函数y=二(>0)的周象经过点C 1 SAmo-S.cmn-7..Som-4Scmm-2. i.ammw-1. 1 3 SAE=Sam十SAAE=1+= 个N 3.解：1)由题意，得一2 2 =1,解得a=1. (2)y,>y.理由如下： ,抛物线的对称轴为直线x=1,且4=1>0，，当x<1时， y随x的增大而减小：当x>1时，y随x的增大而增大， .当一1<x,<0时y1随x1的增大而减小 当x=一1时y=4:当x=0时，y=1,1<y<4 同理，当1<x2<2时，y:随x:的增大而增大. 当x=1时，y=0:当x=2时，y=1, .0<y<1y1>y. (3)令x-2x十1=m..(x-1)=m, 解得x1=m+1,x:=一√m十1， .AB=|x1-x|=2/m 同理，令3(x-1)=m6-1=号 解得x= /3 3 +1x,=- 3+1 CD-l-r1-2mAB2/m 3CD2 5 =原 3 故线段AB与线段CD的长度之比为√：1. 4.解：(1)抛物线y=ar2十bx(a≠0)经过点A(3,3),对称轴 9u+3b=3. 为直线r=2, 得份- (2)①由(1)，得y=一x2+4x, .当x=1时，y=一t2+41:当x=1十1时，y=一(1十1)2十 4(t十1)=-12+20+3， 六B(1,-1+4),C(1+1,-12+21+3). 设OA的表达式为y=kx,将A(3,3)代入，得3=3k, .k=1,.OA的表达式为y=x .D(1.t),E(十1.l+1). 设BD与x轴交于点M,过点A 作AN⊥CE于点N,连接AC,如 图①，则M(1,0),N(1+1,3), Sam+Sar=合BD·0N 1 士之AN·CE三2（一十4一二2=两罚 1 0+z(3-1-10·(-+24 1 +3-1-1D=2（-1+3)+ -+0=-++- 1 3 1+2=2. ②存在. 由①，得B(1.一1+4)，C(1+ 1,-2+2+3),D(1,1) E(t+1,1+1) 当2<t<3时，过点D作DHI CE于点H,如图②， 则H(+1,1),BD=-2+41- 1=-12+31,CE=1+1-(-t +21+3)=t-1-2,DH=1+1 -1=1. 图2 ∴S9m=之(BD+CE)· DH即--++- -20X10得1- 当1>3时，如图圆，过点D作3-2-可明 DH⊥CE于点H, 则BD=1一（一，2十4！）=一3 CE=2-1-2, ZBD+CE)· DH,即号-+--2X1 解得= 四+1（会去，=-+1（会去. 综上所述，1的值为乞 中考热身 1.D【解析】，M是菱形的对称中心，菱 形OABC的顶点A在x轴正半轴上， 0A=3. ..AM-CM.OC=OA=BC=AB-3. .A(3,0) 设C.M(安)w 安得= 过点C作CH⊥AO于点H,如图， .OH=1,CH=3-1下=22， .C(1,2E),∴k=1×22=22 2号【解析】当⊙A,⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点 C和点D,∴，AC⊥x轴，BD⊥x轴.半径为1，∴.AC=BD =1…点A的额坐标为1把y=1代人y-解得： =3, ..CLoAC-- ∠OAC=60°，∴.第一象限中阴影部分的面积S:= 心X工冬同理，第三象限中阴影部分的面积5，=令 360 六Sn=子 3.y=-1P2k>2或长-号 【解析】(1)由题意可知，D(3,4).设抛物线的表达式为y=☑ (x一1).把D(3,4)代入，得4=a(3一1)2，解得a=1,∴地 物线的表达式为y=(x一1) (2)设抛物线与正方形ABCD边长的另一个交点为E, 如图 当y=(x一1)2=4时，解得x1=3,x =一1. .E(-1.4) :直线y=kr-2k+2=(x-2)0+2. .直线过定点F(2,2),当x=2时，y =(x-1)=(2-1)2=1<2, -101 .直线与地物线y=(x一1)必有两 个交点.：直线y=kr一2k+2(k≠0)与图象M有唯一 交点， .当x=3时，抛物线过点D(3,4),y=kr一2k十24. 即3k一2k十2>4，解得k>2. 当x=一1时，抛物线过点E(一1,4)y=kx一2k十2>4， 即一k一26+2>4，解得太<一3 2 综上所述，k>2或k<一了 2 4.解：(1)设抛物线解析式为y=ax(x一10). 当=2时，BC=4,·点B的坐标为(2,0). 四边形ABCD是矩形，.点C的坐标为(2，一4)， .将点C坐标代入y=ar(x一10)，得2a(2一10)=一4，解 得a=子 ∴抛物线的解析式为y=子一号 1 (2)由抛物线的对称性得AE=OB=1, .AB=10-2t. 当=1时，点C的纵坐标为-子。 .矩形ABCD的周长=2(AB+BC) 梦考答案 11 =2[40-2)+(-+] =-之产+4+20 =--0+号 -<0… 41 “.当1=1时，矩形ABCD的周长取最大值，最大值为 【解析】(3)，当1=2时，BC=4, .点B的坐标为(2.0).0A=10一2：十1=8， .点C的坐标为(2，一4)，点A的坐标为(8,0). 连接AC,BD相交于点P,连接OC,取OC的中点Q,连接 PQ,如图 又D :直线GH平分矩形ABCD的面积， ∴.直线GH过点P 由平移的性质可知.OG=CH,OGCH, .四边形OCHG是平行四边形， ..OC/GH. ,P是AC的中点，Q是OC的中点 .P(5.-2).Q(1.-2). .PQ/OG.PQ=4. .四边形QPGO是平行四边形， .0G=PQ=4, ∴.抛物线向右平移的距离是4个单位长度 y=-=-- 4 “平移后的抛物线的解析式为y=十r一5一)一 4 x-9y-5。 1 微专题反比例函数中的“k” 1.-42.-43.-6 4.C【解析】如图，延长BA交y轴于点 E,则BE⊥y轴 “点A在双曲线y=上， .四边形AEOD的面积为4 :点B在双曲钱y=兰上，且AB/D x轴， ∴.四边形BEOC的面积为12， .矩形ABCD的面积为12一4=8. 5.5【解析】设点A的纵坐标是b,则点B的纵坐标也是b:把 y=6代人y兰得=兰则=会即点A的损垫标是 3 子同理可得点B的横坐标是一 AB=-(-2）= 5 六SAmw=方·6=5 6.B【解析】如图，连接OA,OC 12 。。己0己6安徽数学 :点P在y轴上AB∥y轴， ∴.△AOC和△APC的面积相等 又“点A在反比例雨数y=1区的图象 6 上，点C在反比例函数：=二的图象 上，AB⊥x轴， .S&Mx-Saaw-S么0r=6, .△APC的面积为6. 第5讲函数的实际应用 安徽真题 1.B 2.解：(1)第二期培植的盆景比第一期增加x盆， ∴.第二期培植的盆景有(50十x)盆，花卉有(50一x)盆， .W,=(50+x)(160-2x)=-2x2+60x+8000, W2=19(50-x)=-19,x+950. (2)根据题意，得W=W,+W:=一2x2+60x+8000-19r +950=-2a+4+8950=-26-9}'+28g 一2<0，且x是整数， ∴.当x=10时，W取得最大值，最大值是9160. 故当x=10时，第二期培植的盆景与花并售完后获得的总 利润W最大，最大总利润是9160元. 3.解：(1)由题意可得A(一6,2).：E(0,8)是地物线的顶点， .可设抛物线对应的函数表达式为y=a.x2十8. 将A(-6,2)代入，得(-6·a+8=2,解得。=-6， 1 六抛物线对应的函数表达式为y=一后十8， (2)①：点P,的横坐标为n(0<m≤6)，且四边形 P,P:P,P,为矩形，点P,,P3在抛物线AED上， 心点P2的坐标为m,一方m°+8) i.P:P:-PP.-MN--m+8.P:P,-2w.21- 3(-行m+8)+2m=-7m㎡+2m+2=-7m-2y+6 1 :一2<0一当m=2时.1取最大值，最大值为26m 即栅栏总长1关于m的函数表达式为=一号 +2m+ 24,/的最大值为26m. ②方案一：设P,P==nm,则P:P￥=(18一3n)m .矩形P,P,P,P,的面积为(18一3n)nm一3n2十18n= -3(n-3)2+27. 一3<0，∴当n=3时，矩形P,PPP,的面积取最大值 最大值为27m,此时P,P:=3m,PP,=9m 令-名+8=3，解得=士历此时点P,的横坐标 的取值范倒为-√3而+9≤xr,≤3而. 方案二：设P,P:=Nm,则P,P:=(9一n)m,矩形 PRPR的图积为G-iM=-r+n=一(a-名)厂+斗 :-1<0当=号时，矩形PP,P,P,的面积取最大 值，最大值为m,此时P,P:-号m,P,P-号m 令-名+8=号解得=士瓜。 “此时点P,的横坐标的取值范围为一√/+乞≤x,≤ 9 2T.(两种方案选择一种作答即可)